培优06 解一元一次方程（专项训练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 聚焦解一元一次方程全题型突破，以"基础解法-错误诊断-综合应用"为逻辑主线，通过分层题型设计培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解一元一次方程|3题型12题|参数代入法/步骤正误诊断/分数拆分技巧|从方程解法规范到参数问题，构建"解法-辨析-应用"递进逻辑| |方程的应用|4题型24题|新定义转化/解的关联分析/绝对值分类讨论|以自定义背景、解的关系、绝对值方程为载体，发展数学抽象与推理能力|

专题06 解一元一次方程 常考题型·精准突破 考点一 解一元一次方程 题型1已知方程的解求参数 题型2 解方程过程中正误辨析 题型3 解一元一次方程（高频） 考点二 解一元一次方程的应用 题型4 自定义背景下的解一元一次方程（重） 题型5 构造一元一次方程求解 题型6 两个方程解的关联问题（重） 题型7 解绝对值方程（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 解一元一次方程 ◆题型1已知方程的解求参数 1．（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）已知是关于的方程的解，则的值是（     ） A．11 B． C．2 D．4 2．（25-26七年级下·山东淄博·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）小明在做“解方程”作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是●，怎么办呢？小明想了一想，便看了书后的答案，此方程的解是，小明很快补好这个常数，这个常数应是（   ） A． B．2 C． D．4 4．（2026·湖南长沙·中考真题）若关于的方程的解是，则的值为__________． ◆题型2 解方程过程中正误辨析 5．（25-26七年级上·四川广元·期末）下列方程变形中，正确的是（     ）． A．方程，系数化1，得； B．方程，移项，得； C．方程，去括号，得； D．方程，去分母，得 6．（25-26七年级下·四川乐山·阶段检测）下面是从小明同学作业本中摘抄的内容，其中正确的是（    ） A．方程，移项得： B．方程，去分母得 C．方程，去括号得 D．方程，系数化为得 7．（25-26六年级下·山东威海·期中）小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的没有乘以10，由此求得的解为，则方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 8．下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：去分母，得 ，…………………第一步 去括号，得 ，…………………第二步 移项，合并同类项，得 …………………第三步 系数化为1， 得…………………第四步 (1)以上求解过程中，第_________步开始出现错误，具体的错误是_________． (2)该方程正确的解是_________． ◆题型3 解一元一次方程 9．（25-26六年级下·上海·期末）阅读以下内容： 我们已经学习过了分数的拆分，例如，…， 通过分数的拆分，我们也能进行一些简便运算，例如： 通过分数的拆分，可以使计算变得更简便． 类似地，解方程，这个方程的解是________． 10．（26-27七年级上·河南开封·开学考试）解方程． (1) (2) (3) (4) 11．（25-26六年级下·山东泰安·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．计算题： (1) (2) (3) (4) 考点二 解一元一次方程的应用 ◆题型4 自定义背景下的解一元一次方程 13．（2026·浙江温州·三模）将四个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成．若定义，则中的值为______． 14．（25-26六年级下·山东东营·期末）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为和解方程．例如：方程的解为，而，则方程为和解方程．若已知关于x的一元一次方程是和解方程，则m的值为___________． 15．（25-26七年级上·湖北武汉·开学考试）自定义新运算：，已知，求 16．（21-22七年级上·江苏南通·阶段检测）定义一种新运算：，如．请解决下列问题： (1)直接写出结果：_____________；_____________． (2)若关于的方程的解与方程的解相同，求的值． ◆题型5 构造一元一次方程求解 17．（25-26七年级下·吉林长春·期末）已知，解答下列问题： (1)当取何值时，？ (2)当取何值时，比大4？ 18．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）有一个等式：，好奇的小刚想知道这个等式中的代表什么数？请你帮助他写出解答过程． 19．（25-26七年级上·四川广元·期末）定义：若，则称与是关于整数的“平衡数”．比如2与是关于的“平衡数”，4与11是关于15的“平衡数”．请回答下列问题： (1)与是关于________的“平衡数”． (2)现有与（为常数），且与始终是整数的“平衡数”，且的大小与取值无关，求的值． 20．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）定义：若代数式A和代数式B满足（n为正整数），则称A是B的n阶关系式．例如：，我们就称是的1阶关系式． 根据上述知识，解答以下问题： (1)是的 阶关系式； (2)若是的3阶关系式，求x 的值； (3)若关于a，b（，m，n为整数）的代数式是的k 阶关系式，求k 的值． ◆题型6 两个方程解的关联问题 21．（25-26七年级下·山西晋城·期末）阅读与思考 请认真阅读并完成相应的任务． 规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例题分析：例如：方程的解是， 方程的解是， ∵， ∴方程与方程是“值3方程”． 任务： (1)①方程和方程是不是“值1方程”？________________（选填“是”或“不是”）； ②方程和方程是“值________________方程”． (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 22．（25-26七年级下·吉林长春·期末）【定义】 如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么就称这两个方程互为“相反方程”． 例如：方程的解为，方程的解为， 所以与互为“相反方程”． 【应用】 (1)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，求的值； (2)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，则的值为__________． 23．（25-26六年级下·山东威海·期中）阅读下面的内容，并完成相应任务． 成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 “成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为 因为，所以这两个方程互为“成双方程”． 任务： (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”． (2)若关于x的方程 和 互为“成双方程”，求m的值． 24．（25-26七年级下·四川眉山·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”． 例如：方程和为“互逆方程”． (1)方程与 （填“是”或“不是”）“互逆方程”； (2)若关于x的方程与为“互逆方程”，求c的值； (3)若关于x的方程和为“互逆方程”，求m的值． ◆题型7 解绝对值方程 25．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）我们规定：对于任意有理数a，把a减去a的绝对值，所得的结果叫做数a的“倍点”，记作，即．例如，． (1)求和的值； (2)若，求的值； (3)小明说：“若两个数的倍点相同，则这两个数一定相等．”请判断这个说法是否正确，并说明理由． 26．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）阅读下面的材料，完成有关问题． 材料： 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5和3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为． 应用： (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离是______，A到C的距离是______．（直接填最后结果）； (2)点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______．（用含绝对值的式子表示）； (3)拓展：利用数轴探究： ①满足的x的所有值是______； ②设，当时，m的值是不变的，而且这个不变的值是m的最小值，这个最小值是______； (4)试求的最小值． 27．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图，点M，N均在数轴上，点M所对应的数是，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点． (1)求出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； (3)若点P、Q分别同时从点M、N出发，均沿数轴相向运动，运动时间为t，点P保持每秒运动2个单位长度，点Q保持每秒运动3个单位长度，点P到O立即折返，点Q到M立即折返，点P、Q分别折返到M、N时停止运动，直接写出P、Q距离为1时t的值． 28．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数25所对应的两点之间的距离；若，则______； 综合攻坚·知能拔高 一．选择题 29．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）爱动脑筋的小青同学设计了一种“幻圆”游戏，将、、、、、、、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，他已经将、、、这四个数填入了圆圈，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） 结论Ⅰ：的值为： 结论Ⅱ：的值为． A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 30．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）已知两个多项式，，设，，下列说法： ①若，则； ②若的值与的值无关，则； ③若关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数有个． 其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 二．填空题 31．（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）规定，，且，则________． 32．（25-26七年级下·河南南阳·期末）若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．如：的解为，则方程是“奇异方程”．若关于的一元一次方程是“奇异方程”，则的值为__________． 33．（25-26七年级下·山东淄博·期末）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，；，，．若x是大于且小于的有理数，且，则x的值为___________． 三．解答题 34．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）解方程。 35．（25-26七年级下·吉林长春·期末）在学习解一元一次方程后，小张对一道一元一次方程的解答过程如下： 解方程：． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 系数化为1，得第五步 (1)第________步开始出现错误；（填序号） (2)写出正确求解过程． 36．（25-26七年级上·北京·期末）我们规定一种新运算：，例如： 请根据上述规定回答下列问题． (1)则______； (2)若，求x的值； (3)已知关于x的方程的解和关于y的方程的解互为相反数，直接写出a的值． 37．（26-27七年级上·福建莆田·阶段检测）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)、两点之间的距离是多少？ (2)若数轴上点到点的距离为，求点表示的数； (3)若数轴上点到点的距离与它到点的距离相等，求点表示的数． 38．（26-27七年级上·广东深圳·开学考试）观察下列两个等式：，，给出定义如下： 我们称使等式成立的两个数，为“挽手数对”，记为． 如：数对，都是“挽手数对”． (1)数对，中是“挽手数对”的是_____． (2)若是“挽手数对”，则的值为______． (3)若是“挽手数对”中的一个数，求这个“挽手数对”． 39．（22-23七年级下·江苏泰州·开学考试）定义：若关于的方程的解为，则称这样的方程为“元宵方程”．例如：的解为，而．则方程为“元宵方程”． (1)方程是“元宵方程”吗？请说明理由． (2)若，有符合要求的“元宵方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由． (3)若关于的方程为“元宵方程”，请解关于的方程：． 40．（25-26七年级下·福建漳州·期中）阅读与探究： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 例：解方程． 思路一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，去掉绝对值． 解：依题意得：或 解得：或． 思路二：分和两种情况进行分类讨论，去掉绝对值． 解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， 原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)已知关于x的方程的解为正整数，求整数a的值． 41．（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”，例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于x的两个方程与为“互反方程”，求a的值； (3)已知m为整数，若关于x的方程的解是正整数，且其与方程互为“互反方程”，直接写出m的值． 42．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，则______；若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为，则______． (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，请直接写出关于y的一元一次方程的解． 43．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【知识探索】 (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)①若，则______； ②若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为______； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： (3)折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则表示的点和______表示的点重合； (4)折叠纸面，若表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和______表示的点重合； ②若、（在的左侧）两点之间的距离为，且、两点经折叠后重合，则点表示的数是______，点表示的数是______； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 解一元一次方程 常考题型·精准突破 考点一 解一元一次方程 题型1已知方程的解求参数 题型2 解方程过程中正误辨析 题型3 解一元一次方程（高频） 考点二 解一元一次方程的应用 题型4 自定义背景下的解一元一次方程（重） 题型5 构造一元一次方程求解 题型6 两个方程解的关联问题（重） 题型7 解绝对值方程（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 解一元一次方程 ◆题型1已知方程的解求参数 1．（25-26七年级上·辽宁朝阳·期末）已知是关于的方程的解，则的值是（     ） A．11 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】把代入方程，得到关于的方程，解方程即可解答． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 2．（25-26七年级下·山东淄博·期末）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用换元思路，通过变形第一个方程，使两个方程结构一致，得到与的对应关系，结合已知的解即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为 将方程变形，把改写为，把改写为， 代入原方程得 两边同时加，得 对比关于的方程， 可得 ∵ ∴． 3．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）小明在做“解方程”作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是●，怎么办呢？小明想了一想，便看了书后的答案，此方程的解是，小明很快补好这个常数，这个常数应是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】解：把，代入方程，得●， ∴●. 4．（2026·湖南长沙·中考真题）若关于的方程的解是，则的值为__________． 【答案】 【分析】方程的解满足方程，将代入原方程即可计算出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得， 整理得， 解得． ◆题型2 解方程过程中正误辨析 5．（25-26七年级上·四川广元·期末）下列方程变形中，正确的是（     ）． A．方程，系数化1，得； B．方程，移项，得； C．方程，去括号，得； D．方程，去分母，得 【答案】B 【详解】解：A选项，方程，系数化为1得，原变形错误； B选项，方程，移项得，原变形正确； C选项，方程，去括号得，原变形错误； D选项，方程，去分母得，原变形错误. 6．（25-26七年级下·四川乐山·阶段检测）下面是从小明同学作业本中摘抄的内容，其中正确的是（    ） A．方程，移项得： B．方程，去分母得 C．方程，去括号得 D．方程，系数化为得 【答案】D 【详解】解：对于A，∵方程，移项时移项要变号，∴正确移项结果为，原变形错误，不符合题意； 对于B，∵方程，去分母时需要给等式两边同时乘分母的最小公倍数6，∴正确去分母结果为，原变形错误，不符合题意； 对于C，∵方程，去括号时需要给括号内每一项都乘括号外的系数，∴正确去括号结果为，原变形错误，不符合题意； 对于D，∵方程，系数化为1需要给等式两边同时除以9，∴得，原变形正确，符合题意． 7．（25-26六年级下·山东威海·期中）小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的没有乘以10，由此求得的解为，则方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据错误的去分母规则得到错误方程，将错解代入求出参数的值，再将参数的值代入原方程求解，即可解题． 【详解】解：∵小明去分母时，方程右边的没有乘以， ∴错误去分母得到的方程为：， 将代入错误方程，得， 解得， 将代入原方程，得， 两边同乘10正确去分母，得， 展开得， 移项合并得， 解得， ∴方程正确的解为． 8．下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：去分母，得 ，…………………第一步 去括号，得 ，…………………第二步 移项，合并同类项，得 …………………第三步 系数化为1， 得…………………第四步 (1)以上求解过程中，第_________步开始出现错误，具体的错误是_________． (2)该方程正确的解是_________． 【答案】(1)一，去分母时，多项式分子未加括号，错误将变形为，符号错误； (2) 【分析】本题为解一元一次方程的纠错问题，按照解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1，检查原解题过程找出错误，再按正确步骤计算得到方程的正确解即可． 【详解】（1）解： 原方程为．去分母时，给方程两边同乘4，对分子是多项式的需要添加括号，正确形式应为， 因此第一步开始出现错误，错误为去分母时多项式分子未加括号，符号错误． （2）解：， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ． ◆题型3 解一元一次方程 9．（25-26六年级下·上海·期末）阅读以下内容： 我们已经学习过了分数的拆分，例如，…， 通过分数的拆分，我们也能进行一些简便运算，例如： 通过分数的拆分，可以使计算变得更简便． 类似地，解方程，这个方程的解是________． 【答案】 【分析】先提取后，根据题目信息拆分方程左边各项，抵消中间项，将原方程化简为一元一次方程求解． 【详解】解： ． 10．（26-27七年级上·河南开封·开学考试）解方程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 11．（25-26六年级下·山东泰安·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （3）先把分母化成整数，然后按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （4）先化简方程，然后按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ， ． （4）解：， ，     ， ， ， ． 12．计算题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， ． （2）解： ， ， ， ， ． （3）解： ， ， ， ， ． （4）解： ， ， ， ， ， ． 考点二 解一元一次方程的应用 ◆题型4 自定义背景下的解一元一次方程 13．（2026·浙江温州·三模）将四个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成．若定义，则中的值为______． 【答案】5 【详解】解：根据题意得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 14．（25-26六年级下·山东东营·期末）我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为和解方程．例如：方程的解为，而，则方程为和解方程．若已知关于x的一元一次方程是和解方程，则m的值为___________． 【答案】 【分析】先求出一元一次方程的解，再根据和解方程的定义得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：对于关于的一元一次方程，将系数化为，得 ， 该方程是和解方程，根据定义，方程的解为， ， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 15．（25-26七年级上·湖北武汉·开学考试）自定义新运算：，已知，求 【答案】 【分析】根据自定义新运算变形，转换过后得到解方程即可． 【详解】解：∵根据题意 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 16．（21-22七年级上·江苏南通·阶段检测）定义一种新运算：，如．请解决下列问题： (1)直接写出结果：_____________；_____________． (2)若关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 【答案】(1)；18 (2)2 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）利用新定义得出一元一次方程，解方程求出，解第二个方程得出，根据两方程的解相同得出，得出，然后整体代入即可求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： 解得 解方程得 ∵两方程的解相同， ∴ ∴ ∴． ◆题型5 构造一元一次方程求解 17．（25-26七年级下·吉林长春·期末）已知，解答下列问题： (1)当取何值时，？ (2)当取何值时，比大4？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得， 即当时，； （2）解：∵，且比大， ∴， 解得， 即当时，比大． 18．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）有一个等式：，好奇的小刚想知道这个等式中的代表什么数？请你帮助他写出解答过程． 【答案】解：设代表的数为x， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以代表． 【分析】设代表的数为x，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】略 19．（25-26七年级上·四川广元·期末）定义：若，则称与是关于整数的“平衡数”．比如2与是关于的“平衡数”，4与11是关于15的“平衡数”．请回答下列问题： (1)与是关于________的“平衡数”． (2)现有与（为常数），且与始终是整数的“平衡数”，且的大小与取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“平衡数”的定义求解即可； （2）先根据整式的加减法则求出，再根据a与b始终是整数n的“平衡数”，与x取值无关得出关于k的方程，求解后即可得出n的值． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于的“平衡数” （2）解：∵，， ∴ ， ∵与始终是整数的“平衡数”， ∴，即 ∵的大小与取值无关， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）定义：若代数式A和代数式B满足（n为正整数），则称A是B的n阶关系式．例如：，我们就称是的1阶关系式． 根据上述知识，解答以下问题： (1)是的 阶关系式； (2)若是的3阶关系式，求x 的值； (3)若关于a，b（，m，n为整数）的代数式是的k 阶关系式，求k 的值． 【答案】(1)7 (2) (3) 【分析】（1）计算两式的差，根据n阶关系式的定义直接得到阶数； （2）根据3阶关系式的定义列方程，求解x的值； （3）根据k阶关系式的定义列等式，令含a，b的项系数为0，求m，n后计算k的值． 【详解】（1）解：∵， ∴是的7阶关系式； （2）解：根据题意，得 ， 去分母，得， 整理，得， 解得 ； （3）解： 由题意得：， 整理得：， ∵k为固定正整数，与a，b的取值无关，且， ∴含a，b的项的系数均为0，即且， 解得， 将，代入，得， 综上所述，． ◆题型6 两个方程解的关联问题 21．（25-26七年级下·山西晋城·期末）阅读与思考 请认真阅读并完成相应的任务． 规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例题分析：例如：方程的解是， 方程的解是， ∵， ∴方程与方程是“值3方程”． 任务： (1)①方程和方程是不是“值1方程”？________________（选填“是”或“不是”）； ②方程和方程是“值________________方程”． (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 【答案】(1)①是；②6 (2)34或18 【分析】（1）①先求出各个方程的解，再根据“值1方程”的定义进行判断即可； ②先求出各个方程的解，再根据“值Q方程”的定义进行判断即可； （2）根据“值2方程”的定义得出，去掉绝对值符号求出a的值即可． 【详解】（1）①解：方程的解为，方程的解为， ， ∴方程和方程是 “值1方程”． ②解：方程的解为，的解为， ， ∴方程和方程是 “值6方程”． （2）解：∵， ∴． 解得． ∵，解得． ∵关于x的一元一次方程和是“值2方程”， ∴． ∴． 当时，． 当时，． ∴a的值为34或18． 22．（25-26七年级下·吉林长春·期末）【定义】 如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么就称这两个方程互为“相反方程”． 例如：方程的解为，方程的解为， 所以与互为“相反方程”． 【应用】 (1)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，求的值； (2)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，则的值为__________． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）先求出方程的解，再根据“相反方程”的定义得到方程的解，代入即可求出的值； （2）将、看作常数，分别求出方程与的解，再根据“相反方程”的定义得到关于、的方程，即可求解． 【详解】（1）解：方程的解为：， ∵与互为“相反方程”， ∴方程的解为：， ∴，解得． （2）解：方程的解为：， 方程的解为：， ∵与互为“相反方程”， ∴， 化简得：， ∴． 23．（25-26六年级下·山东威海·期中）阅读下面的内容，并完成相应任务． 成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 “成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为 因为，所以这两个方程互为“成双方程”． 任务： (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”． (2)若关于x的方程 和 互为“成双方程”，求m的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】求已知方程的解，再根据“成双方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 根据“成双方程”的定义，两个方程的解之和为2， ∴另一个方程的解为， 那么这个一元一次方程可以是（答案不唯一）． （2）解方程得， ∵两个方程互为“成双方程”， ∴方程的解为， 将代入方程得， 解得． 24．（25-26七年级下·四川眉山·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”． 例如：方程和为“互逆方程”． (1)方程与 （填“是”或“不是”）“互逆方程”； (2)若关于x的方程与为“互逆方程”，求c的值； (3)若关于x的方程和为“互逆方程”，求m的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）分别求出方程的解，然后根据定义进行判断； （2）求出方程的解，然后根据定义得出方程的解，即可求出参数； （3）分别表示出两个方程的解，然后根据定义列出方程求解． 【详解】（1）解：方程与是“互逆方程”，理由如下： 解方程得，； 解方程得，； ∵和互为相反数， ∴方程与是“互逆方程”； （2）解：， 解得：； ∵两个方程为“互逆方程”， ∴的解为，代入方程可得， ∴； （3）解：， 解得； ， 解得； ∵两个方程为“互逆方程”， ∴， 解得． ◆题型7 解绝对值方程 25．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）我们规定：对于任意有理数a，把a减去a的绝对值，所得的结果叫做数a的“倍点”，记作，即．例如，． (1)求和的值； (2)若，求的值； (3)小明说：“若两个数的倍点相同，则这两个数一定相等．”请判断这个说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)0， (2) (3)解：小明的说法不正确．理由如下： 由，得当时，； 当时，； 如，，得， 显然，故小明的说法不正确． 【分析】（1）根据给出的定义，计算求解即可； （2）利用分类思想，建立方程解答即可； （3）通过分类讨论，去绝对值计算说明即可． 【详解】（1）解：根据定义，得，． （2）解：由，得当时，；当时，； ， ， 解得． （3）略 26．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）阅读下面的材料，完成有关问题． 材料： 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5和3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为． 应用： (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离是______，A到C的距离是______．（直接填最后结果）； (2)点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______．（用含绝对值的式子表示）； (3)拓展：利用数轴探究： ①满足的x的所有值是______； ②设，当时，m的值是不变的，而且这个不变的值是m的最小值，这个最小值是______； (4)试求的最小值． 【答案】(1)4，8 (2) (3)①5或；②4 (4)的最小值为1025156 【分析】（1）根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据两点间的距离公式列出代数式即可； （3）①分三种情况进行讨论求解，即可；②化简绝对值求出m的值即可，根据绝对值的意义，求最小值即可； （4）根据绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得A到B的距离是， A到C的距离是； （2）解：A到B的距离与A到C的距离之和可以表示为； （3）解：①∵， 当时，， ∴； 当时，； 当时，， ∴． 综上：或； ②， 当时，. （4）解：∵表示在数轴上表示x的点到表示1，2，3，……，2025共2025个点的距离之和， ∴当取中间那个数1013时，取到最小值， 把代入得： ． 即的最小值为1025156． 27．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图，点M，N均在数轴上，点M所对应的数是，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点． (1)求出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； (3)若点P、Q分别同时从点M、N出发，均沿数轴相向运动，运动时间为t，点P保持每秒运动2个单位长度，点Q保持每秒运动3个单位长度，点P到O立即折返，点Q到M立即折返，点P、Q分别折返到M、N时停止运动，直接写出P、Q距离为1时t的值． 【答案】(1)1 (2)点P所对应的数是或 (3)或或或 【分析】（1）根据题意可知数轴上右侧的数比左侧大，利用M对应的数加上两点距离即可得到N对应的数即可； （2）根据点P到点M、N的距离之和大于M、N的距离得到点在点、的两侧，分情况讨论：当点P在点M的左边或点P在点N的右边时，分别求出、的距离，从而求出点P所对应的数； （3）先分别确定P到达O点的时间、Q到达M点的时间，根据时间节点划分运动阶段，每个阶段分别用含t的式子表示P、Q对应的数，再根据两点距离为1列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解： ， 点N所对应的数是1； （2）解：点P到点M、N的距离之和是5个单位长度，， 点在点、的两侧， 分情况讨论： 如图，当点P在点M的左边时， ， 点P所对应的数是； 如图，当点P在点N的右边时， ， 点P所对应的数是， 综上所述，点P所对应的数是或； （3）解：根据题意得：点P到达O点所需时间为：，点Q到达M点所需时间为：， 则点P停止运动时需要的时间为，点Q停止运动时需要的时间为， 分情况讨论： ①当点Q未到达点M时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， 根据题意得：， 解得：或； ②当点Q从点M折返且点P未到达点O时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， ， 解得：（舍去）或（舍去）； ③当点P、Q都已折返时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， ， 解得：或， 综上所述：当或或或时， P、Q距离为1． 28．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数25所对应的两点之间的距离；若，则______； 【答案】(1)5 (2) (3)43或7 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式表示即可； （3）根据数轴上两点之间的距离公式可知，表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18，即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是：； （2）解：数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为：， （3）解：表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18， 因此或． 综合攻坚·知能拔高 一．选择题 29．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）爱动脑筋的小青同学设计了一种“幻圆”游戏，将、、、、、、、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，他已经将、、、这四个数填入了圆圈，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） 结论Ⅰ：的值为： 结论Ⅱ：的值为． A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 【答案】A 【分析】横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，可得：，即可求出，所以、、可能是、、， 分情况讨论即可得到结果． 【详解】解：如下图所示，设两个空白位置的数分别为、， 根据题意可得：， 解得：， 、、可能是、、， 当、、时， 可得：，， ， 不成立； 当、、时， 可得：，，，， 成立， ，； 当、、时， 可得：，， ， 不成立； 当、、时， 可得：，，，， 成立， ，； 当、、时， 可得：，， ， 不成立； 当、、时， 可得：，， ， 不成立； 综上所述，，或， Ⅰ对Ⅱ不对． 30．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）已知两个多项式，，设，，下列说法： ①若，则； ②若的值与的值无关，则； ③若关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数有个． 其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】先根据多项式加减法则化简和，再逐个验证三个说法的正确性，即可求解． 【详解】解：∵，， 故， ， ， ； ， ， ， ； ①若，即， 解得；故①说法正确． ②， ， ； 若的值与的值无关，则含项的系数为， 即，， 解得，， ∴，故②说法正确． ③， ， ， 整理得， 故， ∴； ∵是正整数，是整数， 故的值可以是、、， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 符合条件的整数的值有个，故③说法正确． 综上，个说法都正确． 二．填空题 31．（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）规定，，且，则________． 【答案】 【分析】根据新定义和求出k，从而得解． 【详解】解： ，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得： ∴． 32．（25-26七年级下·河南南阳·期末）若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．如：的解为，则方程是“奇异方程”．若关于的一元一次方程是“奇异方程”，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据“奇异方程”的定义得到方程的解，再将解代入原方程得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的一元一次方程是“奇异方程”， 根据定义可得方程的解， 将代入原方程得： ， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 33．（25-26七年级下·山东淄博·期末）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，；，，．若x是大于且小于的有理数，且，则x的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，一元一次方程求解，理解新定义的整数部分与小数部分的含义，根据的取值范围确定，再将原方程转化为关于的一元一次方程即可求解． 【详解】解：是大于且小于的有理数，根据定义可得， ， 又 ， ， 将，代入方程， 得， 整理得 ， 移项得 ， 解得 ． 三．解答题 34．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）解方程。 【答案】 【分析】根据解方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解方程即可． 【详解】解： 方程两边都乘以2024，得， 整理，得， 移项，得， 整理，得， 系数化为1，得． 35．（25-26七年级下·吉林长春·期末）在学习解一元一次方程后，小张对一道一元一次方程的解答过程如下： 解方程：． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 系数化为1，得第五步 (1)第________步开始出现错误；（填序号） (2)写出正确求解过程． 【答案】(1)二 (2)解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【分析】（1）由去括号法则验证即可得到第二步开始出现错误； （2）由一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：第二步中去括号符号错误， 故题目第二步开始出现错误； （2）略 36．（25-26七年级上·北京·期末）我们规定一种新运算：，例如： 请根据上述规定回答下列问题． (1)则______； (2)若，求x的值； (3)已知关于x的方程的解和关于y的方程的解互为相反数，直接写出a的值． 【答案】(1) (2)或1 (3) 【分析】（1）根据新定义列式即可解答； （2）先根据新定义将方程化为：或，再解方程即可； （3）分别解两个方程，根据解互为相反数，列等式即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：， 当时，可化为 ， ， ； 当时，可化为， ， ， ； 综上，或1； （3）解：，解得， ， ， ， ， ， 关于x的方程的解和关于y的方程的解互为相反数， ， 37．（26-27七年级上·福建莆田·阶段检测）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)、两点之间的距离是多少？ (2)若数轴上点到点的距离为，求点表示的数； (3)若数轴上点到点的距离与它到点的距离相等，求点表示的数． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据绝对值的意义，即可求解． （2）找出数轴上与点之间的距离是4的点C表示的数即可，注意点C可在点A的左右两边； （3）根据题意可得点是线段的中点，即可求解． 【详解】（1）解：、两点之间的距离为． （2）解：设点表示的数为，则， 即，所以或， 解得或． （3）解：点到、的距离相等，说明点是线段的中点，它表示的数为． 38．（26-27七年级上·广东深圳·开学考试）观察下列两个等式：，，给出定义如下： 我们称使等式成立的两个数，为“挽手数对”，记为． 如：数对，都是“挽手数对”． (1)数对，中是“挽手数对”的是_____． (2)若是“挽手数对”，则的值为______． (3)若是“挽手数对”中的一个数，求这个“挽手数对”． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据“挽手数对”的定义分别求解即可； （2）根据“挽手数对”的定义列出方程，解方程求出的值即可； （3）设这个“挽手数对”为或，根据“挽手数对”的定义列出方程，解方程分别求出、的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴不是“挽手数对”； ∵，，， ∴是“挽手数对”． （2）解：∵是“挽手数对”， ∴， 解得：． （3）解：∵是“挽手数对”中的一个数， ∴设这个“挽手数对”为或， 当这个“挽手数对”为时，， 解得：， ∴这个“挽手数对”为； 当这个“挽手数对”为时，， 解得：， ∴这个“挽手数对”为； 综上所述：这个“挽手数对”为或． 39．（22-23七年级下·江苏泰州·开学考试）定义：若关于的方程的解为，则称这样的方程为“元宵方程”．例如：的解为，而．则方程为“元宵方程”． (1)方程是“元宵方程”吗？请说明理由． (2)若，有符合要求的“元宵方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由． (3)若关于的方程为“元宵方程”，请解关于的方程：． 【答案】(1)方程是“元宵方程”， 解：解方程，得， 又∵， ∴方程是“元宵方程”． (2)有，该方程的解为 (3) 【分析】本题根据“元宵方程”的定义解题，核心思路为：对于，若方程的解满足，则为元宵方程． （1）先求解给定方程，再计算，对比验证即可； （2）根据元宵方程的定义建立关于的等式，代入求出，再得到方程的解； （3）先根据元宵方程的定义推导出，代入关于的方程化简求解． 【详解】（1）略 （2）解：若是“元宵方程”，则满足方程的解， 又∵的解为， ∴代入得：， 解得，因此存在符合要求的“元宵方程”， ∴方程的解为． （3）解：∵是“元宵方程”， ∴，整理得， 将代入关于的方程得：， 解得． 40．（25-26七年级下·福建漳州·期中）阅读与探究： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 例：解方程． 思路一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，去掉绝对值． 解：依题意得：或 解得：或． 思路二：分和两种情况进行分类讨论，去掉绝对值． 解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， 原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)已知关于x的方程的解为正整数，求整数a的值． 【答案】(1) 或 (2) 整数的值为或 【分析】（1）根据题意可得或，解方程即可得到答案； （2）仿照题意解方程得或，再根据方程的解为正整数得到，，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或； （2）解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， ∵原方程的解为正整数，a是整数， ∴，， ∴或． 41．（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”，例如：方程与方程为“互反方程”． (1)判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由； (2)若关于x的两个方程与为“互反方程”，求a的值； (3)已知m为整数，若关于x的方程的解是正整数，且其与方程互为“互反方程”，直接写出m的值． 【答案】(1) 解：方程的解为， 方程的解为， ， 方程与为“互反方程”； (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，理解新定义，是解题的关键． （1）先求出两个方程的解，再根据“互反方程”定义解答即可； （2）先分别求出两个方程的解，再根据“互反方程”定义得出两个根的乘积等于列出方程，然后求出解即可； （3）先求出第一个方程的解，再根据整数解讨论m的值，然后根据结果得出另一个方程的解，进而根据“互反方程”定义判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：方程的解为， 方程的解为， 这两方程为“互反方程”， ， 解得：； （3）解：方程的解为， 为整数，且为正整数， ，1， 当时，原方程的解为，方程的解为，满足题意； 当时，原方程的解为，方程的解为，不满足题意， 综上，． 42．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，则______；若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为，则______． (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，请直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)12，或3 (2) (3) 【分析】（1）根据“友好方程”的定义进行解答，注意分类讨论； （2）利用“友好方程”的定义求解的值即可； （3）根据方程可以改写成，利用“友好方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，方程， 解得， 方程的解为， 由于方程与方程是“友好方程”， 则， 解得； 若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n，另一个解为， ①， 解得， ②， 解得， 则或， 故答案为：12；或3； （2）解：方程，解得， 方程解得， 由题意，得， 解得； （3）解：方程解得， 由于方程和方程是“友好方程”， 则方程的解为， 将方程改写为， 则，即， 因此方程的解为． 43．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【知识探索】 (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______； (2)①若，则______； ②若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为______； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： (3)折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则表示的点和______表示的点重合； (4)折叠纸面，若表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和______表示的点重合； ②若、（在的左侧）两点之间的距离为，且、两点经折叠后重合，则点表示的数是______，点表示的数是______； 【答案】(1)； (2)①或；②； (3)； (4)①；②，； 【分析】（1）数轴上两个点所表示的数的差的绝对值即为两点之间的距离； （2）①解绝对值方程即可；②根据题意得到，再根据与的距离是，得到在和之间，即可得解； （3）根据题意求出折叠点对应的数是，即可得解； （4）①根据题意求出折叠点对应的数是，即可得解；②设点表示的数是，则点表示的数是，根据①所得折叠的点表示的数求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示与的两点之间的距离是； （2）解：①若，则或， 解得：或； ②要使所表示的点到表示和的点的距离之和为， ， 与的距离是， ， 是整数， 的值为，，，，，， 所有符合条件的整数的和为； （3）解： 表示的点和表示的点重合， 折叠点对应的数是， 表示的点与表示的点重合； （4）解：① 表示的点和 表示的点重合， 折叠的点表示的数是， ， 表示的点和表示的点重合； ②设点表示的数是，则点表示的数是， ， 解得：， 点表示的数是，点表示的数是． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $