2.2.1 直线的点斜式方程（基础知识+基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

2.2.1直线的点斜式方程 （基础知识+基本题型） 知识点一 直线的点斜式方程 1．方程由直线上一定点及其斜率确定，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．适用于斜率存在的直线． 2．如果直线过点，且与轴垂直，这时倾斜角为，，即，由点斜式，得直线方程为，如图． x y O 3．如果直线过点，且与轴垂直，此时它的倾斜角为（直线与轴平行或重合），斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程表示为，如图． x y O 注意： （1）经过坐标平面内定点的直线有无数条，可分为两类：①斜率存在的直线方程为；②斜率不存在的直线方程为． （2）要注意到与是不同的，前者表示的直线上缺少一个点，后者是整条直线的方程． 知识点二 直线的斜截式方程 我们把直线与轴交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距． 若直线的斜率为，且在轴上的截距为，则直线的方程为，即，这个方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 1.斜截式方程 （1）斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在，几种特例如下： 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 （2）斜截式与一次函数的解析式相同，都是的形式，但有区别，当时，即为一次函数；当时，不是一次函数，一次函数必是一条直线的斜截式方程． （3）截距 ①直线的斜截式方程是由点斜式推导而来的．直线与轴的交点的纵坐标称为此直线的纵截距．值得强调的是，截距可能是正数，也可能是负数，还可能是，不能将其理解为“距离”而恒为非负数． ②直线与轴的交点的横坐标称为此直线的横截距．并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线没有纵截距，直线没有横截距． 2.点斜式与斜截式的关系 （1）直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，即过定点，它们都不能表示斜率不存在的直线． （2）在直线方程的各种形式中，点斜式是最基本的形式，它是推导其他形式的基础． （3）点斜式与斜截式是两种常见的直线方程的形式，点斜式的形式不唯一，而斜截式的形式是唯一的． 考点一 求直线的点斜式方程 例1 根据条件写出下列直线的方程： （1）过点，斜率是； （2）过点，倾斜角为； （3）过点，且与轴平行； （4）过点和． 解：（1）由点斜式方程可知，所求直线的方程为． （2）由题意，知直线的斜率， 故所求直线的方程为． （3）因为直线与轴平行，斜率不存在，所以直线的方程不能用点斜式表示．由于直线上所有点的横坐标都是，故这条直线的方程为． （4）因为直线经过点和，所以斜率． 由点斜式，得． 总结：求直线的点斜式方程的方法步骤 是 确定点 方程为 求出斜率 由点斜式写方程 斜率是否存在？ 否 考点二 求直线的斜截式方程 例2 写出下列直线的斜截式方程： （1）斜率是，在轴上的截距是； （2）倾斜角为，在轴上的截距是； （3）倾斜角为，在轴上的截距是． 解：（1）． （2）因为，所以． （3）因为，所以． 总结：直线的斜截式方程不仅形式简单，而且特点明显，是直线的斜率，是直线在轴上的截距，只要确定了，的值，直线的图象就一目了然．另外直线的斜截式方程为，不要记成． 例3 已知直线的方程为，的方程为，直线与平行且与在轴上的截距相同，求直线的斜截式方程． 解：由斜截式方程，知直线的斜率，又因为，所以的斜率． 由题意，知在轴上的截距为， 所以在轴上的截距为，由斜截式，得直线的方程为． 考点三 由平行或垂直的条件求直线方程 例4 已知直线的方程为，直线过点． （1）当时，求的方程； （2）当时，求的方程. 解：设的斜率分别为. （1）因为,所以.又因为过点, 所以的方程为,即. （2）因为，所以.所以. 又因为过点, 所以的方程为，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $