第二章 §2.2 2.2.3　直线的一般式方程 知识点讲练 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享 2.2.3　直线的一般式方程 学习目标　1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线. 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化． 导语 前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式方程，可以发现它们都是二元一次方程．现在请同学们思考一下，在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示呢？ 一、直线的一般式方程 问题1　直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？ 提示　y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，可以化为二元一次方程.2x－y＋3＝0可以化为y＝2x＋3，可以表示直线． 知识梳理 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 注意点： (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． ④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质： ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 例1　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴． 解　(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)， 即x－y－5＋3＝0. (2)由两点式，得直线方程为＝， 即2x＋y－3＝0. (3)由截距式，得直线方程为＋＝1， 即x＋3y＋3＝0. (4)y－2＝0. 反思感悟　求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 跟踪训练1　(1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． ①斜率是－，且经过点A(8，－6)的直线方程为________________； ②在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为________________； ③经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为________________． 答案　①x＋2y＋4＝0　②2x－y－3＝0　③x＋y－1＝0 (2)直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是(　　) A．x－2y＋4＝0 B．x＋2y－4＝0 C．x－2y－4＝0 D．x＋2y＋4＝0 答案　D 解析　直线2x－y－2＝0与y轴的交点为A(0，－2)， ∵所求直线过点A且斜率为－， ∴所求直线的方程为y＋2＝－x，即x＋2y＋4＝0. 二、利用一般式解决直线的平行与垂直问题 例2　已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1,3)，且与l平行； (2)过点(－1,3)，且与l垂直． 解　方法一　l的方程可化为y＝－x＋3， ∴l的斜率为－. (1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－. 又∵l′过点(－1,3)， ∴由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)， 即3x＋4y－9＝0. (2)∵l′与l垂直， ∴l′的斜率为，又l′过点(－1,3)， ∴由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)， 即4x－3y＋13＝0. 方法二　(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9. ∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0. (2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0. 将(－1,3)代入上式得n＝13. ∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0. 反思感悟　(1)利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． ①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. ②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. (2)过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 ①由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定