空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量基本定理及其应用专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量基底表示与基本定理应用，以递进式题型构建知识逻辑，覆盖多情境典例，强化空间向量工具性。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |用基底表示向量|3例+3变式|平行六面体/四面体中点、交点向量表示，多为选择（含多选）|从向量线性运算到基底表示，为基本定理奠定基础| |空间向量基本定理及其应用|4例+4变式|系数求解、模长计算、基底转换，选择/填空/解答|深化基本定理应用，构建空间向量运算与几何问题的转化逻辑|

空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量基本定理及其应用专项训练 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量基本定理及其应用专项训练 考点目录 用基底表示向量 空间向量基本定理及其应用 考点一 用基底表示向量 例1．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·河北衡水·阶段检测·多选）如图所示，在平行六面体中，设，，，，分别是，，的中点，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测·多选）在四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 考点二 空间向量基本定理及其应用 例1．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）如图所示，平行六面体的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，，则对角线的长是________． 例4．（25-26高二上·湖南株洲·阶段检测）在正四棱锥中，若，平面与棱交于点，若，则__________． 变式1．（2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·河南商丘·阶段检测）设是空间的一组基底，向量，若，，，且是空间的另一组基底，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·山东青岛·期末）是空间的一个单位正交基底，向量，若向量用空间的另一个基底表示为，则______． 变式4．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知平行六面体分别是上的点，且满足，，体对角线交截面于点.设，则实数__________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量基本定理及其应用专项训练 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量基本定理及其应用专项训练 考点一 用基底表示向量 考点目录 用基底表示向量 空间向量基本定理及其应用 例1.(26-27高二上云南玉溪开学考试)如图，在平行六面体 BCD-4B,CD中，M为1C与BD的交点，若 AB=a AD=b AA=c ,则下列向量中与 M 相等的向量是() D C B B 1- A 2+ b-c 17-1b-c B.-20-2 1a-1b-c C.2a- 17+1b-c D.2a+2 【答案】A 【详解】由题意得， BM-B+BN-+BD-+)+(d+6) = 21 例2.(25-26高二上四川广安阶段检测)在四面体OABC中，M,N分别是OA,CB的中点，点G在线段MN上， 满足MG=2G ,用向量O1.0B,0c表示向量元为《) y 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量基本定理及其应用专项训练 A.0G=01+0B+oc 2 B OG-0A+-0B+0C coc-oi*号orc 3 D.oc-oi+50s+oc 3 【答案】A 【分析】利用向量的加减法运算和向量基本定理进行变形 【详解】 O M G B 如图所示： oc-ON+MG-O丽+号W-号0N+号，因为M,N分别为O41,CB的中点， 所以om-0,oN=0丽+00， 所以0G=5oi+00)+6oi-=。01+号o丽+号oc 6 6 例3.(2526高二上河北衡水阶段检测多选)如图所示，在平行六面体1BCD-ABCD中，设1=a】 =6AD=C,M,N,P分别是14，BC,GD的中点，则下列表示正确的是() D D A M 】 A.P- B.AN-a+B+lc 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量基本定理及其应用专项训练 D.MP-1d+1b+c 20 2 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的线性运算结合基底向量求解即可 CD 【详解】对于A选项，因为P是CD的中点， 所以P-4+A=+0+DP-4+D+Dc=a+cB=a++6,放A正确： 2 对于B选项，因为N是BC的中点， 所以4N=+亚+丽=a+6+C:a+b0=i+,放B错误： 2 对于C选项，因为N是BC的中点， 所以G-C+cC-c+M-0+4=a+,故c正确： →。1 2 AA 对于D选项，因为M是AA的中点， 所以 ma+-号瓜+0-+a+）58 2 ,故D正确 变式1，(2526高二下四川的州期末)如图。在空间四边形O4BC中，设O1=8,0B=6,0c=C,且 OM=2M,BN=NC,则=() 2-21- A.3a+6+2 3 B. nr 2 【答案】D 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量基本定理及其应用专项训练 【详解】由题意可知：M=O1,BN=)Bc 所以=M+B+BN-=}oi++8c-oi+oi-oi+oc-o丽) =-20a+0s+oc=-2a+6+ 3 2 3a+2+2 变式2.(2526高二下四川成都期末)如图，在三棱柱MBC-4BG中，8CG与BC的交点为P,则4P () B A. 丽+c+) 日.（西+c-网） c.(西-4c+4) D.(+C-丽) 【答案】B 【详解】由已知，在 BcCa中，BC与 C的交点为P,所以，BC与BCE 互相平分， P++(B+BC)+BC) =历-}4+c--亚+c4-+c- 2 所以，AP=+AC-) 变式3.(2526高二下湖北累州阶段检测多送)在四面体P-ABC中，PD=DB,征=2C,则《) A.E-i+号c 2于 3 C.PE-2PA+IPC 3 n.i+元-丽 3 【答案】AD 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量基本定理及其应用专项训练 【详解】 E ,故A正确，C错误： E-c+-P+a=元+a-)-m+号Pc D正=PE-P历-}+C-丽，放B错误，D正确 3 3 5 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量基本定理及其应用专项训练 考点二 空间向量基本定理及其应用 例1.(25-26高二下·河南许昌期末)己知M是四面体ABCD的棱BC的中点，点N在线段DM上，且 DN=2NM,P为线段4 的中点， DP=xDa+)DB+DC,则 x+y+z=() 2 3 A. B.4 D.1 【答案】C 【详解1如图.P-Di+DN-Di+×号D=Da+片×D+DC)Di+Ds+Dc, 2 2 2 231 32 6 6 1,1,15 又DP=xDa+DB+DC,则x=2J=2=6,所以x+y+22+6+66 NL-- 例2. (25-26高二下福建莆田·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E、F分别为 PgPn的中点，若G-0C,且G=证+y,则r+y=《) G A.2 B.Z D.3 【答案】D 【分析】由空间向量的线性运算以及空间向量的基本定理可得出关于x、'的方程组，解出这两个未知数的值，即 可得出+y的值， 6 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量基本定理及其应用专项训练 【时解1因为PG=C,所以c-亚-c-40,可得4G-C号亚， ABCD C=AB+AD 因为四边形 为平行四边形，所以 所似Gc+号D-(西+而列+号-丽+兮而+号和、 因为点EP分别为pgPD的钟点，所以正-西+号D.下-号0+亚， 6=亚+=}+P}0+号P+分0+和 所以 3 1 因为 、、 不共面，所以 2=3,所以 ，故 x+y 2 4 AB AD AP 2 Γ3 x=y= 3 x+y= 3 例3.(2526高二上河南濮阳·阶段检测)如图所示，平行六面体ABCD-AB'C"D'的底面是边长为2的正方形， 侧棱的长为3，∠BAA=∠DAA'=120°，则对角线BD的长是 D' 17 【答案】 【分析】将对角线D表示成BD=BA+BC+B ,然后根据向量的方法计算出对角线BD的长即可 【详解】∠AAB=∠A'AD=120°，且AA的长为3，AB=2, 故BABC=0, BA.BB=3x2×cos60°=3x2x=3BC.BB=3x2xc0s120°=3×2× 2 -3 BDi=BA+BC+BB 由于 所以BD=(BA+BC+BB) 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量基本定理及其应用专项训练 BA'+BC+BB+2(BA.BC+BA.BB'+BC.BB) =V4+4+9+2(0+3-3)=17 7 故答案为： 例4.(2s26高=上潮南株洲阶段检测)在正四楼维p-1BCD中，若PE-号P丽所-号P元，平有G与枝 PD G PG=APD 人= 交于点，若 ,则 【答案】5 【分析】根据空间向量的线性运算、空间基底等知识列方程，化简求得九的值 【详解】由已知可得， PC=PA+AC=AB+AD-AP A,E,F.G 由题知 四点共面， 可设征=x征+)G,则P+PF=x(P+PE)+(P+PG), 所拟P+(丽+而-P)=P+号PB+)D+2P历 =x+子x(B-aP）+yaP+y(D-). 整理可得， 居音+j亚6号亚传j0-0 [2x 33y+y=0 12 又 不共面，所以有33 x=0 ,解得 1 AP,AB,AD =0 5 2 故答案为：5 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量基本定理及其应用专项训练 E B BCD-ABCD中，M, 分别为棱 BC AB 变式1.(2026·云南昆明模拟预测)在平行六面体 的中点，点0 在平面DMW上，且 0-2AC, 入的值为() A.5 4 B. 【答案】D 【分析】先将 0,4C用平行六面体的棱向是表示，40可由DM,D 线性表示，建立向量等式，根据向量相等时 对应系数相等，列方程求解入. 【详解1设底，以4为原点，令丽=a而=6，双=C,则C=+万+C,因t0=2a+6+8,D点， AD=6 M是BC中点，W=a+5.因tDm=-而=a5, N是4B中点，丽=a+G,因此DN=丽-D=a-6+e, 因为在平面DN上，所以D0可表示为平面内的向量的线性组合， 0 DO=sDM+iDN 0-而=a-传a-6*d】 代入A0=入ā+6+c,整理得： 9 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量基本定理及其应用专项训练 t= S+ 2 = ,解得，代入得 ,即 9λ 4 九-1=- S= 1= 1= Γ2 4 9 A 以D 变式2.(2s26高=上河南商丘阶段检测)设a,是空间的一组基底，向量O1=i+36+6,若m-i-万， i=a+b-c p=a-b+c mi,p ,且 是空间的另一组基底，则0A=() A,-4m+2i+3D B.4m-2方+3币 C.4m+2方-3元 D.4i+2方+3市 【答案】A 【分折】设O1=a-列+a+万-d小+：(a-6+,根据OA=a+35+列出方程组即可求解. 【详解】设 OA=xm+yn+zp 则0i=a-6列+y(a+i-c)+za-i+d) =(x+y+z)a+(-x+y-z)b+(z-y)c x+y+z=1 -x+y-z=3 又 =i+36+e' 则 2-y=1，解得 x=-4’y=2’2=3 0A=-4im+2i+3p 所以 故选：A. 变式3.(25-26高二上山东青岛期末) 位，6是空间的一个单位正交基底，向量P=ā+25+3，若向量P用空 间的另一个基底a+6,a-6,表示为P=(6+6列+6-列+6.则x+y+:= 10 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量基本定理及其应用专项训练 【答案】4 【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于x、’、z的方程组，解出这三个未知数的值，即可得解. 【详解1因为P=(a+列+a-6列+c=(r+列a+(x-6+2c,且p=a+26+3记. 3 X=- 由于 是空间的一个单位正交基底，所以x+y=1,解得y= 2, x-y=2 2=3 a.B.c z=3 因此x+y+z=1+3=4. 故答案为：4。 ABCD-A BC D,M,N,T 变式4.(25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测)已知平行六面体 分别 AB,AD,MA上的点， 且满近西-号孤N=号D,而-瓜，依时角线4C交板面7于点p设币=AC,刻实激： 【答案】g 【分析】由向量历师， 共面，可得存在实数，女，使得币=亚+长，即可得 D-T=k(P-M)+名，(P-孤)），代入条件计算可得关于2，，k的方程，求解即可 【详解】因为向盘示亚亚共面，所以存在实数，名，使得严人亚+严， 所以P-47=k(亚-N)小+(D-N)】 因为-服N-兮0，行=44，乖=C=A++, 所以代入上式可得： 丽+0+杯-号杯 =人(+而+属-号丽+（丽+而+麻-写而） 11 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量基本定理及其应用专项训练 k2》B+0+M+k[+)0+A -]亚++62-而++6列4 -6-62 故可得 =k2+k,2 4 故答案为g A D C --. D BL-M C 12