2.4圆的方程 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 《圆的方程》同步练习以基础巩固为核心，通过三级分层设计覆盖圆心坐标、直线与圆位置关系等核心知识点，强化运算能力与几何直观，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一概念与基本运算|单选1-4直接考查配方求圆心、对称圆方程等基础操作| |中档层|综合应用与参数计算|单选5-6结合直线过圆心求最值，多选题7-8融合相切、点与圆位置判断| |提高层|复杂情境与逻辑推理|解答题11-12需构建轨迹方程、分析含参数圆方程，培养模型意识与推理能力|

《圆的方程》同步练习 一、单选题 1．圆x2+y2﹣2x﹣6y＝0的圆心坐标为（　　） A．（﹣1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（1，﹣3） 【分析】将圆的方程配成标准式，即可得解． 【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣6y＝0即（x﹣1）2+（y﹣3）2＝10， 所以圆心坐标为（1，3）． 故选：B． 【点评】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题． 2．圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线x﹣y+a＝0的距离为，则a的值为（　　） A．﹣1或﹣3 B．﹣1或3 C．1或﹣3 D．1或3 【分析】直接利用点到直线的距离公式求出结果． 【解答】解：圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为：（1，0）， 则：圆心（1，0）到直线x﹣y+a＝0的距离d， 解得：a＝1或﹣3． 故选：C． 【点评】本题考查的知识要点：点到直线的距离公式的应用． 3．若点P（0，1）在圆C：x2+y2+3y+a＝0外，则a的取值范围为（　　） A． B． C．（﹣4，+∞） D．（﹣4，9） 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可． 【解答】解：因为点P（0，1）在圆C：x2+y2+3y+a＝0外， 所以，解得． 故选：B． 【点评】本题主要考查点和圆的位置关系应用，考查计算能力，属于基础题． 4．圆x2+（y﹣1）2＝1关于直线x﹣y＝0对称的圆的方程是（　　） A．x2+（y+1）2＝1 B．（x+1）2+y2＝1 C．（x﹣1）2+y2＝1 D．x2+y2＝1 【分析】通过求原圆心关于对称轴的对称点，结合半径不变，得到对称圆的方程． 【解答】解：圆x2+（y﹣1）2＝1的圆心为（0，1），半径为1． 设点（0，1）关于直线x﹣y＝0的对称点为（m，n），则， 解得m＝1，n＝0． 所以对称圆的圆心为（1，0），半径为1，方程为（x﹣1）2+y2＝1． 故选：C． 【点评】本题考查圆的方程，考查点关于直线的对称点的求法，正确求出圆心坐标是关键，属于基础题． 5．若直线2ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的周长，则ab的最大值是（　　） A．4 B．2 C． D． 【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，把圆心坐标代入直线2ax﹣by+2＝0，利用基本不等式求出ab的最大值． 【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0 即 （x+1）2+（y﹣2）2＝4，表示圆心在（﹣1，2），半径等于2的圆， 由题意知，圆心（﹣1，2）在直线2ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0）上， ∴﹣2a﹣2b+2＝0． 再由 a+b＝1≥2，∴1≥4ab，ab， 故ab的最大值是 ， 故选：C． 【点评】本题考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，判断圆心（﹣1，2）在直线2ax﹣by+2＝0上是解题的关键，属于中档题． 6．已知圆x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0，至少有3个点到直线x+y+m＝0的距离为1，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，推得圆心到直线的距离小于等于1，再结合点到直线的距离公式，即可求解． 【解答】解：圆x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0化为圆x+2）2+（y﹣2）2＝9， 则圆心为（﹣2，2），半径为3， 圆上至少有3个点到直线的距离为2， 则圆心到直线的距离小于等于2， 故d，解得﹣2， 故A选项符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查圆上的点到直线的距离，属于中档题． 二、多选题 7．若直线3x+4y＝b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0相切，则实数b的值是（　　） A．﹣2 B．﹣12 C．2 D．12 【分析】首先将圆的方程整理为标准方程，分析圆心和半径，然后结合直线与圆的位置关系得到关于实数b的方程，解方程即可求得最终结果． 【解答】解：根据题意，圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0即：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1， 若直线3x+4y＝b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0相切，则圆心（1，1）到直线3x+4y﹣b＝0的距离为1， 即1，变形可得|b﹣7|＝5，解得b＝2或b＝12； 故选：CD． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的一般方程，属于基础题． 8．已知点D（3，﹣1）和圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝9，则下列说法正确的有（　　） A．圆心C（﹣1，2），半径为r＝3 B．点D在圆C外 C．圆C关于直线2x+y﹣4＝0对称 D．设点A是圆C上任意一点，则|AD|的最大值为8 【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断A选项；求|CD|并与圆半径比较大小，即可知道点与圆的位置关系，判断B选项；验证圆心是否在直线上，即可判断C选项；由|CD|与圆的半径，求出|AD|的范围，判断D选项． 【解答】解：由圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝9，可得圆心C（﹣1，2），半径为r＝3，A选项正确； ∵，∴点D在圆C外，B选项正确； ∵圆心C（﹣1，2）不在直线2x+y﹣4＝0上， ∴圆C关于直线2x+y﹣4＝0不对称，C选项错误； ∵，圆半径r＝3， ∴5﹣3≤|AD|≤5+3，即2≤|AD|≤8，D选项正确． 故选：ABD． 【点评】本题主要考查圆的相关知识的应用，考查计算能力，属于中档题． 三、填空题 9．已知⊙O：x2+y2+2x﹣6y+8＝0．若⊙O被直线l：y＝kx+5平分，则k＝　2　 ． 【分析】根据题意，⊙O的圆心在直线l上，从而求出圆心坐标，将其代入l的直线方程，解出实数k的值． 【解答】解：⊙O化成标准方程，可得（x+1）2+（y﹣3）2＝2， 圆心为（﹣1，3），半径r， 因为⊙O被直线l：y＝kx+5平分， 所以直线l经过⊙O的圆心（﹣1，3），可得3＝﹣k+5，解得k＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查直线的方程、圆的方程及其性质等知识，属于基础题． 10．若圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝9上存在不同两点P、Q关于直线x+ay﹣3＝0对称，则实数a＝　﹣1　 ． 【分析】根据题意，可得直线x+ay﹣3＝0是圆C的一条对称轴，将圆心C的坐标代入直线的方程，得到关于a的方程，解之即可得到本题的答案． 【解答】解：由题意，圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝9的圆心为C（1，﹣2），半径r＝3， 若圆C上存在不同两点P、Q关于直线x+ay﹣3＝0对称， 则直线x+ay﹣3＝0是圆C的一条对称轴，可知圆心C在该直线上， 所以1﹣2a﹣3＝0，解得a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、轴对称的性质等知识，属于基础题． 四、解答题 11．已知圆C的圆心为点C，其在直线x﹣2y+4＝0上，且与x轴交于两点A（﹣5，0）、B（1，0）． （1）求△ABC的面积； （2）求圆C的标准方程； （3）已知Q（2，1），点P在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹方程． 【分析】（1）求出线段AB的中垂线方程，分析可知点C为直线x﹣2y+4＝0与线段AB中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点C的坐标，即可求得△ABC的面积； （2）求出圆C的半径，即可得出圆C的标准方程； （3）设点P（x0，y0）、M（x，y），利用中点坐标公式得出，再将点P的坐标代入圆C的方程，化简可得出点M的轨迹方程． 【解答】解：（1）根据题意，因为A（﹣5，0）、B（1，0），易得线段AB的中垂线方程为x＝﹣2， 易知圆心C为直线x＝﹣2与直线x﹣2y+4＝0的交点， 联立两直线方程，有，解可得，故点C（﹣2，1）， |AB|＝6，C到AB的距离为1， 则； （2）根据题意，由（1）可知，C（﹣2，1）， 则圆C的半径为， 故圆C的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2＝10； （3）设点P（x0，y0）、M（x，y）， 由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点P在圆C上，所以（2x﹣2+2）2+（2y﹣1﹣1）2＝10，化简得． 故点M的轨迹方程为． 【点评】本题考查轨迹方程的求法，涉及圆的标准方程，属于中档题． 12．已知曲线C：（1+a）x2+（1+a）y2﹣4x+8ay＝0，a∈R． （1）当a取何值时，方程表示圆？ （2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点． （3）当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值． 【分析】（1）当a＝﹣1时，可知方程表示直线；当a≠﹣1时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程； （2）将已知方程整理为x2+y2﹣4x+a（x2+y2+8x）＝0，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得； （3）根据（2）的结论，可知以AB为直径的圆面积最小，从而得到圆的方程，与已知方程对应相等可构造方程组，解方程组求得结果． 【解答】解：（1）当a＝﹣1时，方程为x+2y＝0表示一条直线． 当a≠﹣1时，（1+a）x2+（1+a）y2﹣4x+8ay＝0， 整理得， 由于， 所以a≠﹣1时方程表示圆． （2）方程可变形为：x2+y2﹣4x+a（x2+y2+8y）＝0， 无论a取任何值，上式都成立， 所以，解得或． ∴曲线C过定点A（0，0），B（）． 即无论a为何值，曲线C必过两定点 （3）由（2）曲线C过定点A和B，在这些圆中，以AB为直径的圆的面积最小 ∵以AB为直径的圆的方程为：． 所以：，解得a 【点评】本题考查圆的方程、圆过定点以及圆的性质的应用等知识；本题求解圆面积最小的关键是能够根据圆的性质，确定以两定点为直径的圆面积最小，从而得到圆的方程，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 《圆的方程》同步练习 1、 单选题 1．圆x2+y2﹣2x﹣6y＝0的圆心坐标为（　　） A．（﹣1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（1，﹣3） 2．圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线x﹣y+a＝0的距离为，则a的值为（　　） A．﹣1或﹣3 B．﹣1或3 C．1或﹣3 D．1或3 3．若点P（0，1）在圆C：x2+y2+3y+a＝0外，则a的取值范围为（　　） A． B． C．（﹣4，+∞） D．（﹣4，9） 4．圆x2+（y﹣1）2＝1关于直线x﹣y＝0对称的圆的方程是（　　） A．x2+（y+1）2＝1 B．（x+1）2+y2＝1 C．（x﹣1）2+y2＝1 D．x2+y2＝1 5．若直线2ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的周长，则ab的最大值是（　　） A．4 B．2 C． D． 6．已知圆x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0，至少有3个点到直线x+y+m＝0的距离为1，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 7．若直线3x+4y＝b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0相切，则实数b的值是（　　） A．﹣2 B．﹣12 C．2 D．12 8．已知点D（3，﹣1）和圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝9，则下列说法正确的有（　　） A．圆心C（﹣1，2），半径为r＝3 B．点D在圆C外 C．圆C关于直线2x+y﹣4＝0对称 D．设点A是圆C上任意一点，则|AD|的最大值为8 三、填空题 9．已知⊙O：x2+y2+2x﹣6y+8＝0．若⊙O被直线l：y＝kx+5平分，则k＝　 　 ． 10． 若圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝9上存在不同两点P、Q关于直线x+ay﹣3＝0对称，则实数a＝　 　 ． 四、解答题 11．已知圆C的圆心为点C，其在直线x﹣2y+4＝0上，且与x轴交于两点A（﹣5，0）、B（1，0）． （1）求△ABC的面积； （2）求圆C的标准方程； （3）已知Q（2，1），点P在圆C上运动，求线段PQ中点M的轨迹方程． 12．已知曲线C：（1+a）x2+（1+a）y2﹣4x+8ay＝0，a∈R． （1）当a取何值时，方程表示圆？ （2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点． （3）当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $