2.4圆的标准方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练围绕“圆的标准方程”，按基础认知、技能应用、综合探究三层设计，覆盖10个题型40题，基础题夯实概念辨析，中档题提升运算推理，综合题培养模型应用与空间观念，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|圆的半径、圆心坐标等单一概念|以选择填空为主（如1-3题），强化几何直观| |技能应用层|方程转化、点与圆位置关系|含中档解答题（如4题求轨迹），提升运算能力| |综合探究层|轨迹问题、最值范围|结合实际情境（如40题阿波罗尼斯圆），培养推理与模型意识|

2.4 圆的标准方程 题型一 圆的一般方程与标准方程的相互转化 1．圆的半径为（   ） A． B． C． D． 2．已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 3．圆的圆心坐标为_________． 4．已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 题型二 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 5．若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．下列命题正确的是（    ） A．直线在轴和轴上的截距相等，则直线的斜率为 B．直线过定点 C．若，是方程的两个实根，则点在圆外 D．若方程表示圆，则正数的取值范围是 7．若方程为圆的方程，则的值为______. 8．已知方程：（）表示的图形是圆. (1)求t的取值范围； (2)求圆心的轨迹方程； (3)求其中面积最大的圆的方程. 题型三 求圆的一般方程 9．以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 10．已知的三个顶点的坐标分别为，，，则下列中说法正确的有（    ） A．边上的高所在直线的方程 B．的外接圆的方程为 C．的面积为12 D．直线在轴上的截距为7 11．，，.三角形的外接圆方程为_______. 12．已知等腰直角的三个顶点为，，，且. (1)求点C的坐标； (2)若点D是中点，求的外接圆方程. 题型四 圆过定点问题 13．圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 14．已知二次函数交轴于两点（不重合），交轴于点．圆过三点．下列说法正确的是（    ） A．圆心在直线上 B．的取值范围是 C．圆半径的最小值为 D．存在定点，使得圆恒过点 15．对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 16．已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求经过、、三点的圆的方程； (2)圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请说明理由. 题型五 由圆的一般方程确定圆心和半径 17．已知圆的方程为，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 18．已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 19．已知圆的圆心坐标为，则的半径为______. 20．若圆过点，，. (1)求圆的一般方程； (2)求圆关于直线对称的圆的标准方程. 题型六 轨迹问题——圆 21．已知，，点P满足，点Q在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 22．在平面直角坐标系中，已知点，，动点C满足，则（    ） A．C的轨迹方程为 B．的面积最大值为3 C．的最大值为 D．B到直线AC的距离最大值为 23．已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 24．已知圆P经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若线段的端点D的坐标是，端点C在圆P上运动，求的中点的轨迹方程，并指出它的轨迹是什么图形. 题型七 判断点与圆的位置关系 25．已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 26．在平面直角坐标系中，已知过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，则（    ） A．当时，直线的方程为 B．当为的中点时，直线的斜率为 C．当面积最小时，其外接圆的方程为 D．点在的外接圆内 27．若为圆：上任意一点，点，则的取值范围为______. 28．已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为. (1)求圆C的一般方程； (2)判断和圆的位置关系． 题型八 点与圆的位置关系求参数 29．若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．若点在圆：的外部，则实数可能的值为（    ） A． B． C． D． 31．已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 32．已知点是直线与直线的交点. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； (3)若点在圆的外部，求实数的取值范围. 题型九 圆的对称性的应用 33．若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D．-1 34．已知曲线，则（    ） A．曲线M是轴对称图形 B．若点为曲线M上的点，则的最大值为 C．若圆C在曲线M的内部（含边界），则圆C面积的最大值为 D．曲线M围成的图形的面积为 35．若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 36．已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 题型十 定点到圆上点的最值（范围） 37．点在以为直径的单位圆上运动，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 38．已知点和圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8 39．已知圆的圆心为（0，0），半径为3，圆的圆心为（0，0），半径为6，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是__________． 40．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. (3)求曲线上的点到直线的最小距离. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 圆的标准方程 题型一 圆的一般方程与标准方程的相互转化 1．圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程通过配方法由一般形式化为标准形式即可. 【详解】原方程为，分组配方得， 整理为圆的标准方程， 对比圆的标准方程 （为半径），可得半径 . 2．已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 【答案】BCD 【分析】化简圆的方程为，结合选项，分别求得圆心坐标和半径，以及圆心到直线的距离和圆的面积，即可得到答案. 【详解】对于A，由圆的方程，可化为，得圆心为，A不正确； 对于B，当时，得圆的方程，则圆的半径为，B正确； 对于C，由圆心为，得圆心到直线的距离为，C正确； 对于D，当时，得圆的方程为，则圆的半径为，圆的面积为，D正确. 故选：BCD. 3．圆的圆心坐标为_________． 【答案】 【详解】将方程转化为圆的标准方程得：，所以圆心坐标为. 4．已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，将圆的一般式化为标准式，即可得到结果； （2）根据题意，由列出方程，化简即可得到结果. 【详解】（1）圆的方程可变形为， 故的圆心坐标为，半径为2. （2）设，因为点M是的中点，， ， 故， 由此可得， 故轨迹方程为，轨迹是以圆心为，半径为的圆. 题型二 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 5．若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程的要求列不等式求解即可. 【详解】方程表示一个圆，则，解得. 故选：D. 6．下列命题正确的是（    ） A．直线在轴和轴上的截距相等，则直线的斜率为 B．直线过定点 C．若，是方程的两个实根，则点在圆外 D．若方程表示圆，则正数的取值范围是 【答案】BD 【分析】对于A，验证直线满足条件，但斜率不为，即可判断，对于B，将直线方程化为，求直线与直线的交点，由此确定直线所过的定点，判断B，对于C，由根与系数关系可得，，结合关系证明，由此判断C，对于D，结合圆的方程的特征列不等式求正数的范围，判断D. 【详解】对于A，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以直线在轴和轴上的截距相等，但直线的斜率为，A错误， 对于B，方程可化为， 由可得， 所以直线过定点，B正确， 对于C，由，是方程的两个实根，可得，， 所以， 所以点在圆内，C错误， 对于D，方程表示圆，则，所以，又， 所以正数的取值范围是，D正确， 故选：BD 7．若方程为圆的方程，则的值为______. 【答案】1 【分析】根据圆的方程的形式，得，再代入验证求解. 【详解】若方程表示圆，则，即， 当时，方程，即，为圆的方程，成立， 当时，方程，即，不是圆的方程，故舍去， 所以 8．已知方程：（）表示的图形是圆. (1)求t的取值范围； (2)求圆心的轨迹方程； (3)求其中面积最大的圆的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将圆的一般方程进行配方整理成圆的标准方程，由可得t的取值范围； （2）设圆心坐标为，则，进行坐标替换即可得所满足的等式关系，即可得圆心的轨迹方程； （3）根据，结合二次函数的性质即可得的最大值，从而得符合的圆的方程. 【详解】（1）原方程可整理为. 则，解得. （2）设圆心坐标为，则，由得. 消去t可得，此即为圆心的轨迹方程， （3）求圆面积最大即求圆半径最大，即半径的平方最大， 则，. 所以当时，的最大值为，此时圆的方程为. 题型三 求圆的一般方程 9．以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程. 【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 10．已知的三个顶点的坐标分别为，，，则下列中说法正确的有（    ） A．边上的高所在直线的方程 B．的外接圆的方程为 C．的面积为12 D．直线在轴上的截距为7 【答案】AB 【分析】由直线的点斜式方程求得边上所在的直线可判断A；设的外接圆的方程为，求出可判断B；求出直线的方程，利用点到直线的距离求出的高，再求出，利用三角形面积公式计算可判断C；求出直线的方程令，求出在轴上的截距可判断D. 【详解】对于A，因为边的斜率为，所以边上的高的斜率为，又经过，由直线的点斜式方程可得，即，故正确； 对于B，设的外接圆的方程为， 所以，解得，所以的外接圆的方程为，故正确； 对于C，直线的方程为，即为，到直线的距离为，，所以的面积为，故错误； 对于D，直线的方程为，即，令，所以在轴上的截距为，故错误. 故选：AB. 11．，，.三角形的外接圆方程为_______. 【答案】 【分析】设出三角形外接圆的一般式方程，利用待定系数法列式求解. 【详解】设的外接圆方程为， 依题意得，解得， 故所求圆的方程为. 故答案为： 12．已知等腰直角的三个顶点为，，，且. (1)求点C的坐标； (2)若点D是中点，求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形形状以及垂直关系的向量表示，联立方程组可得，再由可得点的坐标为； （2）求出，设出圆的一般方程，利用待定系数法计算可得其外接圆方程. 【详解】（1）由题意知 易知 因为，所以，即①， 又所以，即②, 将①式代入②式得， 又，所以,得, 点的坐标为. （2）由题意知, 设的外接圆方程为， 代入点得,解得, 即， 即的外接圆方程为. 题型四 圆过定点问题 13．圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 14．已知二次函数交轴于两点（不重合），交轴于点．圆过三点．下列说法正确的是（    ） A．圆心在直线上 B．的取值范围是 C．圆半径的最小值为 D．存在定点，使得圆恒过点 【答案】AD 【分析】由圆心在中垂线上可知A正确；根据可求得范围，知B错误； 求得坐标后，代入圆的方程可表示出，结合范围可求得，知C错误； 将圆的方程整理为，由此可求得定点，知D正确. 【详解】对于A，对称轴为，过两点的圆的圆心必在中垂线，即上，A正确； 对于B，与轴交于两点，，解得：， 即且，B错误； 对于C，设在左侧，由得：，则， 设圆：，又， ，解得：， 且，，C错误； 对于D，由C可知，圆：， 即，， 令，解得：或，圆恒过定点或，D正确. 故选：AD. 15．对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 16．已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求经过、、三点的圆的方程； (2)圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请说明理由. 【答案】(1)或 (2)是，理由： 由（1）知圆的方程为或， 令，解得或， 故圆过定点和. 【分析】（1）设圆的方程为，在该圆的方程中，令，可知方程与方程是同一个方程，可得出、的值，然后令，得到方程，此方程有一个根为，可求出的值，即可得出圆的方程； （2）在圆的方程中，令，可求出圆所过定点的坐标. 【详解】（1）由题意知，解得或， 设所求圆的方程为， 由题意知函数的图象与两坐标轴的三个交点即为圆与坐标轴的交点. 在圆的方程中，令，得，这与是同一个方程，故，. 令，得，此方程有一个根为，代入此方程得，解得， 综上可知，圆的方程为或 （2）略 题型五 由圆的一般方程确定圆心和半径 17．已知圆的方程为，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的方程配成标准式，即可确定圆心坐标. 【详解】圆，即， 所以圆心为． 故选：C． 18．已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 【答案】BC 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，再结合各项的描述判断正误. 【详解】将方程配方化为， 所以圆心为，半径为，故A错误； 当时，半径为，B正确； 圆心到直线的距离为，C正确； 当时，半径为3，圆面积为，D错误． 故选：BC 19．已知圆的圆心坐标为，则的半径为______. 【答案】 【分析】根据圆的一般方程配方得到圆的标准方程，求出圆心坐标的表达式 ，求出、，进而计算出半径即可. 【详解】由，有， 因为圆心坐标公式为，所以，， 所以的半径为. 故答案为： 20．若圆过点，，. (1)求圆的一般方程； (2)求圆关于直线对称的圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入三点坐标利用待定系数法求圆的一般方式. （2）要求圆关于直线的对称圆，只需求出圆心关于直线的对称点，再根据对称前后的圆半径相等即可求解. 【详解】（1）设圆的一般方程为，则 ，解得， ∴圆的一般方程为. （2）    由（1）得圆的圆心为，半径，圆半径为. 设，则，且的中点在直线上， ∴，解得, ∴圆的标准方程为. 题型六 轨迹问题——圆 21．已知，，点P满足，点Q在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求点的轨迹方程，已知，设利用两点间距离公式列出等式，得到点的轨迹是一个圆，然后用将军饮马模型，把折线距离转化为直线距离，最后化简计算. 【详解】设，由得，， 整理得，所以点P在以为圆心，半径为2的圆上． 点Q在圆上运动，该圆的圆心为，半径为1，如图， 有图可知，当，时，才有可能取得最小值， 设圆与圆关于直线对称，则， 连接，则， 当C，M，三点共线时，取得最小值． 设，则，解得，即， 所以，则的最小值为． 故选：C 22．在平面直角坐标系中，已知点，，动点C满足，则（    ） A．C的轨迹方程为 B．的面积最大值为3 C．的最大值为 D．B到直线AC的距离最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，由题意求出点的轨迹方程；对于B，由，可由点的轨迹方程得当的最大值，从而求得的面积的最大值；对于CD，当共线时，，点到直线的距离为0，当不共线时，由余弦定理结合基本不等式，求得的取值范围，从而求得的最大值，同时根据点到直线的距离为，可求得点到直线的距离的最大值． 【详解】对于A，设，由，得， 整理得，故A正确； 对于B，因为点的轨迹方程为，即， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 因为的面积为，所以当取最大值2时， 的面积取得最大值，最大值为，故B正确； 对于C，当共线时，；当不共线时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以，结合共线情形，所以， 综上的最大值为，故C错误； 对于D，当共线时，点到直线的距离为0； 当不共线时，点到直线的距离， 由选项C知，此时，所以， 所以点到直线的距离，结合共线情况可知， 综上点到直线的距离的最大值为，故D正确． 23．已知直角三角形的斜边为，且，，则直角顶点的轨迹方程为________． 【答案】（且） 【详解】法一：设顶点，因为，且，，三点不共线，所以且． 又因为，，且， 所以，化简得． 因此，直角顶点的轨迹方程为（且）． 法二：设的中点为，由中点坐标公式得． 由直角三角形的性质知，． 由圆的定义知，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（由于，，三点不共线，所以应除去与轴的交点）， 直角顶点的轨迹方程为（且）． 24．已知圆P经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若线段的端点D的坐标是，端点C在圆P上运动，求的中点的轨迹方程，并指出它的轨迹是什么图形. 【答案】(1) (2)，的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. 【分析】（1）设圆心的坐标为，通过半径列出等式求解即可； （2）设线段中点，由中点坐标公式求得坐标，代入（1）所得方程即可. 【详解】（1）设圆心的坐标为， 则有， 整理求得，故圆心为， 半径r满足， 则圆P的方程为. （2）设线段中点，， 由可知，， ∵点C在圆上运动，∴， ∴的轨迹方程为. ∴的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. 题型七 判断点与圆的位置关系 25．已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【详解】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 26．在平面直角坐标系中，已知过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，则（    ） A．当时，直线的方程为 B．当为的中点时，直线的斜率为 C．当面积最小时，其外接圆的方程为 D．点在的外接圆内 【答案】ABD 【分析】由两直线垂直斜率关系和点斜式可得A；结合中点坐标和斜率公式可得B；设出截距式方程，代入点，由基本不等式确定直线方程，再得到外接圆方程可得C；将点代入外接圆方程可得D. 【详解】对于A，，，， 直线的方程为，即，A正确； 对于B，设，因为的中点，所以， 可得,，B正确； 对于C，依题意设， 过，，，， ，当且仅当，时等号成立． 外接圆方程为，即，所以C错误； 对于D，的外接圆方程为， 整理得（*）， 将点代入（*）左边，得 又因为，所以 ，当且仅当，时等号成立， 点在的外接圆内，D正确． 故选：ABD． 27．若为圆：上任意一点，点，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】判断点与圆的位置关系，利用圆的性质即可得解. 【详解】圆：化为标准方程，得， 因为， 所以点在圆的内部，且， 所以的取值范围为. 故答案为： 28．已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为. (1)求圆C的一般方程； (2)判断和圆的位置关系． 【答案】(1); (2)点在圆C上. 【分析】（1）结合已知条件，建立方程组，求解即可; （2）将点代入圆C的一般方程为,即可判断. 【详解】（1）由题意可得：因为圆,所以圆心， 因为圆心在直线上，半径长为，且圆心在第二象限. 所以，解得：, 故圆C的一般方程为：. （2）将点代入圆C的一般方程为, 得：，故点在圆C上. 题型八 点与圆的位置关系求参数 29．若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在圆内，得出不等关系，解不等式即可求得结果. 【详解】由在圆内，得， 即，可化为； 解得，即. 故选：A 30．若点在圆：的外部，则实数可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用点与圆的位置关系列出不等式求解即得. 【详解】由点在圆：的外部，得， 解得或，则实数可能的值为，，. 故选：ABD 31．已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由点与圆位置关系的表示结合圆的定义列方程组即可求解. 【详解】由题可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 32．已知点是直线与直线的交点. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； (3)若点在圆的外部，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）联立，求得交点P的坐标，设与直线平行的直线为，代入P点坐标，求出m值，即可得答案. （2）当截距为0时，设直线方程为，代入点P坐标，求出k值，可得直线方程，当截距不为0时，设直线方程为，点P坐标，求出a值，可得直线方程，综合即可得答案. （3）根据点P在圆外部，代入圆的方程，可求出t的范围，根据方程表示圆，可得t的范围，综合即可得答案. 【详解】（1）联立方程组，解得，所以交点P的坐标为 设与直线平行的直线为， 代入点的坐标得：，解得， 所以过点且与直线平行的直线的方程为. （2）若直线在两坐标轴上截距为0，即直线经过原点时，设直线方程为， 代入得，解得， 所以直线方程为，即； 若直线的截距不为0时，设直线方程为， 将点代入，得，此时直线方程为， 所以过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. （3）因为点在圆C的外部，     所以，解得 又方程表示圆， 所以，解得 故实数的取值范围为：. 题型九 圆的对称性的应用 33．若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【分析】根据直线过圆心可求参数的值. 【详解】圆的标准方程为：，故圆心为， 因为直线是圆的对称轴，故圆心在直线上， 故即， 故选：A. 34．已知曲线，则（    ） A．曲线M是轴对称图形 B．若点为曲线M上的点，则的最大值为 C．若圆C在曲线M的内部（含边界），则圆C面积的最大值为 D．曲线M围成的图形的面积为 【答案】AB 【分析】对于A，在曲线上取点，写出关于轴对称的点，代入方程，可得答案；对于B，由题作图，结合三角形的三边关系结合圆的性质，可得答案；对于C，结合题意，将曲线的中心对称为圆心，利用数形结合，可得答案；对于D，根据曲线在第一象限进行分割，利用面积之间的对比，可得答案. 【详解】对于A，任意取曲线上的一点，即 其关于轴的对称点，则，显然方程成立， 所以曲线关于轴对称，故A正确； 对于B，当时，曲线方程为， 则其圆心，半径为， 与x轴正半轴交点，与y轴正半轴交点． ，当共线时，等号成立，故B正确； 对于C，由题意作图如下： 当点与点重合时，以为半径的圆为符合题意的最大面积，此时面积为，故C错误； 对于D，由题意作图如下： 曲线所围成的图形在第一象限分为、与扇形， 易知， 扇形的面积小于圆的一半， 由曲线，则曲线关于轴成轴对称， 曲线围成的图形的面积小于，故D错误. 故选：AB. 35．若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【答案】 【分析】圆上两点关于直线对称时该直线必过圆心，代入圆心坐标即可求解参数. 【详解】圆的圆心. 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. 36．已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆的标准方程，由，设的方程，从而可求解. （2）设的圆心，由与关于直线对称得，从而可求解. 【详解】（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4． 因为，所以可设的一般式方程为， 将代入，解得， 故的一般式方程为． （2）设的圆心为，由与关于直线对称， 可得，解得 所以的标准方程为． 题型十 定点到圆上点的最值（范围） 37．点在以为直径的单位圆上运动，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，然后令，则，再换元后利用二次函数的性质可求得答案. 【详解】如图，设P到的距离分别为， 因为点P是以为直径的单位圆上的动点，所以， 因为P到的距离分别为x，y，所以， 令（）， 所以， 令， 则，所以， 所以， 因为，所以当时， 可得取得最大值. 38．已知点和圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心，半径为 B．点在圆外 C．圆关于直线对称 D．设点是圆上任意一点，则的最大值为8 【答案】ABD 【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断A选项；求并与圆半径比较大小，即可知道点与圆的位置关系，判断B选项；验证圆心是否在直线上，即可判断C选项；由与圆的半径，求出的范围，判断D选项. 【详解】圆心，半径为，A选项正确； 点在圆外，B选项正确； ∵圆心不在直线上， ∴圆关于直线不对称，C选项错误； ，圆半径， ，即，D选项正确. 故选：ABD. 39．已知圆的圆心为（0，0），半径为3，圆的圆心为（0，0），半径为6，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是__________． 【答案】 【详解】 设为的中点，连接、. 因为，所以 由在圆上，在圆上， 两边平方得 整理得 代入，，，得 即 设，，则 所以 整理得 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 点到圆心的距离为，则 因为，所以， 所以的范围为 40．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. (3)求曲线上的点到直线的最小距离. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 (3) 【分析】（1）根据条件列出方程求出曲线的轨迹方程即可； （2）求出点与圆心的距离，即可求出最值； （3）根据圆心到直线的距离求最值即可. 【详解】（1）设， 则， 化简得，， 即. （2）由知，圆心为，半径， 因为， 所以点在圆外， ， 所以. （3）因为圆心到直线的距离为， 所以曲线上的点到直线的最小距离为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $