专题02 简单几何体（期中真题汇编，上海专用）高二数学上学期沪教版

**基本信息** 聚焦简单几何体7大高频考点，汇编上海南洋中学、延安中学等多校期中真题，覆盖斜二测画法、体积计算、外接球等核心知识，题型包含填空、选择、解答，梯度适配高二空间几何中期测评需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |填空题|20+|斜二测画法直观图面积、圆柱侧面积、截面圆半径|结合“六角攒尖”古建筑侧面积计算，融入生活情境| |单选题|5|圆锥体积变化、最短距离、外接球表面积|以“毛豆腐发酵几何体”考查空间想象，关联实际问题| |解答题|6|祖暅原理推导球体积、旋转体表面积、点面距离|设置“勒洛四面体”“阿基米德多面体”等创新题型，对接高考命题趋势|

专题02 简单几何体 7大高频考点概览 考点01斜二测画法 考点02多面体侧面积 考点03多面体体积 考点04外接球/内切球 考点05点到面距离问题 考点06截面问题 考点07最短距离问题 地 城 考点01 斜二测画法 一、填空题 1．(25-26高二上·上海南洋中学·期中)如图，三角形是用斜二测画法画出的边长为1的正三角形的直观图，则其底边上的高的值为___________． 2．(25-26高二上·上海延安中学·期中)把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，则四边形的面积为__________. 3．(25-26高二上·上海闵行区“六校联合教研”·期中)如图，是水平放置的的直观图，，则的面积是________． 4．(25-26高二上·上海南洋模范中学·期中)如图是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积等于______． 地 城 考点02 多面体侧面积 一、填空题 1．（25-26高二上·上海南洋中学·期中）正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则此正三棱锥的侧面积为___________． 2．（25-26高二上·上海复旦中学·期中）如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分；多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1，且侧棱长为，则棱锥侧面积为______. 3．（25-26高二上·上海进才中学·期中）圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是__________． 4．(25-26高二上·上海大学附属中学·期中)已知一个圆台它的母线长为5，且两底面半径分别为，则该圆台的侧面积为__________. 5．(25-26高二上·上海浦东新区·期中)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为 ，母线长最短 ，最长 ，则斜截圆柱的侧面面积 _____ . 地 城 考点03 多面体体积 一、单选题 1．（25-26高二上·上海浦东新区·期中）圆柱底面直径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的，则体积变为原来的（   ） A．0.5倍 B．1倍 C．2倍 D．4倍 2．（25-26高二上·上海延安中学·期中）如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径（即杯口直径）6cm，高8cm（不含杯脚），已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变；如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（   ） A．63颗 B．126颗 C．378颗 D．504颗 3．（25-26高二上·上海延安中学·期中）豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐ABC悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T.若忽略三角形豆腐的厚度，设，点在内部.假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26高二上·上海市南洋模范中学·期中）与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为，最小值为，则该几何体的体积为____________． 5．(25-26高二上·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)底面半径为的圆柱的侧面积为，则该圆柱的体积为______．（结果保留） 6．(25-26高二上·上海嘉定区第二中学·期中)一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为_________. 7．（25-26高二上·上海南洋中学·期中）如图，已知平面，，，，，是的中点，则绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积是___________． 8．（25-26高二上·上海延安中学·期中）某地球仪上北纬的纬线长度为，该地球仪的体积是__________. 9．（25-26高二上·上海曹杨第二中学·期中）长为，宽为1的矩形，以它的对角线所在直线为轴旋转一周，得到的旋转体的体积为______． 三、解答题 10．（25-26高二上·上海延安中学·期中）如图所示，是直角三角形，，以为圆心，2为半径的四分之一圆在三角形内，图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周形成一个几何体： (1)求该几何体的体积； (2)求该几何体的表面积； 11．(25-26高二上·上海行知中学·期中)（1）如图1，设圆台的上､下底面的面积分别为，高为，根据圆锥的体积，证明：圆台的体积； （2）如图2，在平面直角坐标系中，多边形的顶点，若该多边形是正六边形，写出点的坐标并求该六边形绕轴旋转一周形成的几何体的体积； （3）在（2）的条件下，求几何体的表面积． 12．(25-26高二上·上海市西中学·期中)沪教版教材11．4．2在推导半径为的球的体积公式时，先构造如图所示的圆柱体，圆柱体的底面半径和高都为，其底面和半球体的底面同在平面上，然后在圆柱体内挖去一个圆锥后，运用祖暅原理来推导，请解答以下问题：    (1)补全完整祖暅原理：夹在两个 间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的 截得的两个截面的 ，那么这两个几何体的体积必相等． (2)请把如图补充完整并写出球的体积公式的推导过程． 地 城 考点04 外接球/内切球 一、单选题 1．（25-26高二上·上海南洋模范中学·期中）已知，，，四点在同一个球的球面上，，，若四面体体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（25-26高二上·上海市实验学校·期中）已知正三棱柱的高为2，底面边长为，则该三棱柱的外接球的体积为________. 3．（25-26高二上·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中）在三棱锥中，平面，，若点A，B，C，D均在球O的表面上，且，则球O的表面积为______. 4．(25-26高二上·上海市西中学·期中)＂阿基米德多面体＂也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为_________. 5．（25-26高二上·上海格致中学·期中）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则___________.      6．(25-26高二上·上海闵行区“六校联合教研”·期中)如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为_______.    7．（25-26高二上·上海南洋模范中学·期中）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，给出下列四个结论：正确的序号是______． ①若P，Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值是4； ②勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是； ③勒洛四面体ABCD的体积是； ④勒洛四面体ABCD内切球的半径是． 三、解答题 8．（25-26高二上·上海闵行·期中）如图，半球内有一内接正方体（即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球上）；若正方体的棱长为，求： (1)半球的半径； (2)半球的表面积和体积． 地 城 考点05 点到面距离问题 一、填空题 1．(25-26高二上·上海市实验学校·期中)已知等边的边长为1，平面，且，则点到平面的距离为______． 2．(25-26高二上·上海格致中学·期中)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________. 二、解答题 3．(25-26高二上·上海南洋中学·期中)如图，正三棱柱的各棱长均为2，D为棱的中点． (1)求该三棱柱的体积； (2)求点到平面的距离． 地 城 考点06 截面问题 一、填空题 1．(25-26高二上·上海复旦中学·期中)已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为______ 2．(25-26高二上·上海杨浦高级中学·期中)已知两个平行平面间的距离为2，这两个平面截球所得两个截面圆的半径分别为1和，则球O的表面积等于______. 3．(25-26高二上·上海延安中学·期中)如图，求是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球所得截面面积为__________. 4．(25-26高二上·上海南洋中学·期中)湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为cm，深为cm的空穴，则这个球的表面积为___________． 5．（25-26高二上·上海南洋中学·期中）动点在棱长为的正方体表面上运动，且与点的距离是，点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为___________． 地 城 考点07 最短距离问题 一、单选题 1．（25-26高二上·上海松江二中·期中）如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 2．(25-26高二上·上海进才中学·期中)在直三棱柱中，，，，E是棱上的一点，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（25-26高二上·上海大学附属中学·期中）已知圆锥的母线长为4，底面直径，则沿着侧面从点到点的距离最小值是_____. 4．（25-26高二上·上海浦东新区·期中）如图几何体是圆锥的一部分，其中，，.从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是_____.    5．(25-26高二上·上海行知中学·期中)已知棱长为2的正方体，棱的中点为，从点沿着正方体表面到点的最短路径的长度为__________． 6．(25-26高二上·上海嘉定区第二中学·期中)如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 简单几何体 7大高频考点概览 考点01斜二测画法 考点02多面体侧面积 考点03多面体体积 考点04外接球/内切球 考点05点到面距离问题 考点06截面问题 考点07最短距离问题 地 城 考点01 斜二测画法 一、填空题 1．(25-26高二上·上海南洋中学·期中)如图，三角形是用斜二测画法画出的边长为1的正三角形的直观图，则其底边上的高的值为___________． 【答案】 【分析】利用公式求得直观图面积即可求解. 【详解】， 所以， 设底边上的高为， 则，得， 故答案为： 2．(25-26高二上·上海延安中学·期中)把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，则四边形的面积为__________. 【答案】 【分析】根据直观图分析出四边形的形状，然后可计算出四边形的面积. 【详解】由直观图可知，四边形为直角梯形，如下图所示， 则四边形的面积为， 故答案为：. 3．(25-26高二上·上海闵行区“六校联合教研”·期中)如图，是水平放置的的直观图，，则的面积是________． 【答案】4 【分析】作出的实物图，即可计算出的面积． 【详解】由斜二测画法可知，的实物图如下图所示： 可知，，且， 因此，的面积为． 故答案为：4． 4．(25-26高二上·上海南洋模范中学·期中)如图是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积等于______． 【答案】 【分析】根据直观图面积与原面积关系即可得到答案. 【详解】由图易知为等腰直角三角形，则， 根据面积比关系得原图形的面积等于. 故答案为： 地 城 考点02 多面体侧面积 一、填空题 1．（25-26高二上·上海南洋中学·期中）正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则此正三棱锥的侧面积为___________． 【答案】 【分析】正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，根据等腰三角形的性质求出三角形的面积即可求出三棱锥的侧面积. 【详解】已知正三棱锥底面边长为2，侧棱长为3， 则正三棱锥侧面等腰三角形底边上的高， 侧面积. 故答案为： 2．（25-26高二上·上海复旦中学·期中）如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分；多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1，且侧棱长为，则棱锥侧面积为______. 【答案】 【分析】设底面边长为，根据侧棱长和高求出，进而求出棱锥的斜高，最后求出侧面积即可． 【详解】设正六棱锥底面边长为，则由正六边形的性质可知底面中心到底面顶点的距离为， 又正六棱锥高为1且侧棱长为，根据正六棱锥的性质得，解得， 所以侧面等腰三角形的高， 所以棱锥侧面积为. 故答案为： 3．（25-26高二上·上海进才中学·期中）圆锥的侧面展开图中扇形中心角为，底面周长为，这个圆锥的侧面积是__________． 【答案】 【分析】借助扇形弧长公可计算出圆锥母线长，结合扇形面积公式即可得圆锥侧面积. 【详解】设圆锥母线长为l，扇形圆心角为，则，故， 则. 故答案为：. 4．(25-26高二上·上海大学附属中学·期中)已知一个圆台它的母线长为5，且两底面半径分别为，则该圆台的侧面积为__________. 【答案】 【分析】根据圆台的侧面积公式计算即得. 【详解】设圆台的上下底面圆半径为，母线长， 则该圆台的侧面积为. 故答案为：. 5．(25-26高二上·上海浦东新区·期中)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为 ，母线长最短 ，最长 ，则斜截圆柱的侧面面积 _____ . 【答案】 【分析】将相同的两个几何体，对接为圆柱，然后求出新圆柱侧面积的一半即可． 【详解】将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形。 由题意得该斜截圆柱的侧面面积 . 故答案为： 地 城 考点03 多面体体积 一、单选题 1．（25-26高二上·上海浦东新区·期中）圆柱底面直径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的，则体积变为原来的（   ） A．0.5倍 B．1倍 C．2倍 D．4倍 【答案】C 【分析】利用圆柱的体积公式，直接计算求解即可. 【详解】设原来的圆柱体积为，底面半径为，高为，变化后的圆柱的体积为， 则，=，所以体积变为原来的2倍. 故选：C 2．（25-26高二上·上海延安中学·期中）如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径（即杯口直径）6cm，高8cm（不含杯脚），已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变；如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（   ） A．63颗 B．126颗 C．378颗 D．504颗 【答案】B 【分析】由已知利用三角形相似求得水面圆的半径，由圆锥的体积减去水的体积，得到可放入珍珠的体积，除以一颗珍珠的体积得答案 【详解】作出轴截面图如图，由题意， 设，则，解得， 则最大放入珍珠的体积， 一颗珍珠的体积是，由， 所以最多可以放入珍珠126颗. 故选：B. 3．（25-26高二上·上海延安中学·期中）豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐，将三角形豆腐ABC悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为T.若忽略三角形豆腐的厚度，设，点在内部.假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知：是由三个半圆柱，三个球体的一部分和一个直三棱柱构成，根据圆柱、球和棱柱的体积公式分别求得各个部分几何体的体积即可加和得到结果. 【详解】空间中，在垂直于平面的角度看，如下图所示： 其中：，和区域内的几何体为底面半径为的半圆柱； ，，区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为； 区域内的几何体是高为的直三棱柱. 因为四边形和为矩形，则， 可得， 同理可得：，， 所以， 可得，，区域内的几何体合成一个完整的，半径为的球， 则，，区域内的几何体的体积之和； 又因为，和区域内的几何体的体积之和； 区域内的直三棱柱体积， 所以的体积为. 故选：B. 二、填空题 4．（25-26高二上·上海市南洋模范中学·期中）与圆柱底面成角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为，最小值为，则该几何体的体积为____________． 【答案】 【分析】由图形可知所求几何体是由底面直径相同，高为1的圆柱和高为2的圆柱的一半拼成，由圆柱体积公式可求得结果. 【详解】作出几何体的轴截面如下图所示： 则所求几何体是由一个底面直径为2，高为1的圆柱， 和一个底面直径为2，高为2的圆柱的一半构成， 则所求几何体体积为：， 故答案为：. 5．(25-26高二上·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中)底面半径为的圆柱的侧面积为，则该圆柱的体积为______．（结果保留） 【答案】 【分析】设圆柱的高为，由圆柱的侧面积为，列出方程，求得，结合圆柱的体积公式，即可求解. 【详解】已知圆柱的半径，设圆柱的高为， 由圆柱的侧面积为，可得，解得， 圆柱体积为：. 故答案为：. 6．(25-26高二上·上海嘉定区第二中学·期中)一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为_________. 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，利用圆锥的侧面积公式及弧度数的定义，得，可求出，再利用圆锥的体积公式，即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由题知，解得，所以， 所以圆锥的体积为， 故答案为：. 7．（25-26高二上·上海南洋中学·期中）如图，已知平面，，，，，是的中点，则绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积是___________． 【答案】 【分析】绕直线旋转一周所构成的旋转体，是以为底面半径、为高的圆锥中挖去一个以为底面半径、为高的小圆锥，从而可求体积． 【详解】在中，由 与， 得：， 又因为是的中点，所以. 绕直线旋转一周所构成的旋转体， 是以为底面半径、为高的圆锥中挖去一个以为底面半径、为高的小圆锥. 故绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积： . 故答案为： 8．（25-26高二上·上海延安中学·期中）某地球仪上北纬的纬线长度为，该地球仪的体积是__________. 【答案】 【分析】先求纬线圆半径，根据直角三角形的性质，再求地球仪的半径． 【详解】如图所示，由题意知，北纬所在小圆的周长为， 则该小圆的半径，在中，， 所以该地球仪的半径， 所以该地球仪的体积是. 故答案为：. . 9．（25-26高二上·上海曹杨第二中学·期中）长为，宽为1的矩形，以它的对角线所在直线为轴旋转一周，得到的旋转体的体积为______． 【答案】/ 【分析】作于点，于点，求出，，然后结合圆锥体积公式利用割补法求解即可. 【详解】如图，是点关于的对称点，交于， 作于点，于点，， ，，    设、、绕直线旋转所成旋转体的体积 分别为，、，则有，， 所求体积． 故答案为： 三、解答题 10．（25-26高二上·上海延安中学·期中）如图所示，是直角三角形，，以为圆心，2为半径的四分之一圆在三角形内，图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周形成一个几何体： (1)求该几何体的体积； (2)求该几何体的表面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用球、圆锥的体积公式计算即可求解； （2）利用圆锥，球体的表面积公式计算即可求解. 【详解】（1）该平面图形绕AB所在直线旋转一周形成一个几何体为一个圆锥挖去了半个球体， 圆锥的底面半径为，高为，球体的半径为， 所以圆锥的体积为，半球体的体积为， 所以该几何体的体积为； （2）因为，所以， 圆锥的表面积为， 半球体的球面面积为，半球体的底面圆面积为， 所以该几何体的表面积为. 11．(25-26高二上·上海行知中学·期中)（1）如图1，设圆台的上､下底面的面积分别为，高为，根据圆锥的体积，证明：圆台的体积； （2）如图2，在平面直角坐标系中，多边形的顶点，若该多边形是正六边形，写出点的坐标并求该六边形绕轴旋转一周形成的几何体的体积； （3）在（2）的条件下，求几何体的表面积． 【答案】 （1）补形成圆锥，圆台体积为大圆锥体积减去小圆锥的体积，大圆锥高为，小圆锥高为， 大圆锥体积减去小圆锥体积为 由圆锥性质，， 由合比性质，， 表示， 所以， ， ． （2），； （3） ． 【分析】（1）补形得出圆台体积等于圆锥体积的差计算证明； （2）应用圆台，圆柱，圆锥的体积计算求解； （3）应用圆台，圆柱，圆锥的侧面积计算求解. 【详解】（1）略 （2）， 该旋转体体积等于两个圆台体积加一个圆柱体积减去两个圆锥体积． 圆台， 圆锥， 圆柱， 所求几何体的体积． （3）该旋转体的表面积等于两圆台侧面积加一个圆柱侧面积加两个圆锥侧面积， 圆台侧， 圆柱侧， 圆锥， 所求几何体的表面积. 12．(25-26高二上·上海市西中学·期中)沪教版教材11．4．2在推导半径为的球的体积公式时，先构造如图所示的圆柱体，圆柱体的底面半径和高都为，其底面和半球体的底面同在平面上，然后在圆柱体内挖去一个圆锥后，运用祖暅原理来推导，请解答以下问题：    (1)补全完整祖暅原理：夹在两个 间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的 截得的两个截面的 ，那么这两个几何体的体积必相等． (2)请把如图补充完整并写出球的体积公式的推导过程． 【答案】(1)平行面；任意平面；面积相等 (2) 如图（1），设平行于大圆且与大圆的距离为的平面截半球所得圆面的半径为，， 于是截面面积， 则可以看成是在半径为的圆面上挖去一个半径为的同心圆所得的圆环的面积， 所以，取一个底面半径和高均为的圆柱， 从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面上， 如图（2）， 用同一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面， 可知圆环大圆半径为，小圆半径为，圆环面积，所以， 则根据祖暅原理可得这两个几何体的体积相等，即， 所以可得球的体积为.    【分析】（1）结合题意求解； （2）半球截面面积可以看成是在半径为的圆面上挖去一个半径为的同心圆所得的圆环的面积，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，利用祖暅原理可求解. 【详解】（1）平行面；任意平面；面积相等 （2）略 地 城 考点04 外接球/内切球 一、单选题 1．（25-26高二上·上海南洋模范中学·期中）已知，，，四点在同一个球的球面上，，，若四面体体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由底面积不变,可得高最大时体积最大, 即与面垂直时体积最大, 设球心为,半径为,在直角中,利用勾股定理列方程求出半径，即可求出球的表面积. 【详解】 根据,可得直角三角形的面积为3, 其所在球的小圆的圆心在斜边的中点上, 设小圆的圆心为, 由于底面积不变,高最大时体积最大, 所以与面垂直时体积最大, 最大值为为, 即,如图, 设球心为,半径为, 则在直角中,即, 则这个球的表面积为,故选C. 二、填空题 2．（25-26高二上·上海市实验学校·期中）已知正三棱柱的高为2，底面边长为，则该三棱柱的外接球的体积为________. 【答案】 【分析】利用正弦定理求底面等边三角形的外接圆半径，结合正三棱柱的结构特征求半径和体积. 【详解】由题意可知：底面等边三角形的外接圆半径， 则外接球的半径， 所以该三棱柱的外接球的体积为. 故答案为：. 3．（25-26高二上·上海外国语大学附属浦东外国语学校·期中）在三棱锥中，平面，，若点A，B，C，D均在球O的表面上，且，则球O的表面积为______. 【答案】 【分析】由条件，三棱锥的顶点都为棱长为1的正方体的顶点，所以将三棱锥补成正方体，正方体的外接球即为三棱锥的外接球，进而求得半径即可求解. 【详解】 由题意可知三棱锥的顶点都为棱长为1的正方体的顶点， 将三棱锥补成正方体，棱长为1， 则该正方体的外接球的直径为， 即三棱锥的外接球的直径为，则三棱锥的外接球的半径为， 则球O的表面积为. 故答案为：. 4．(25-26高二上·上海市西中学·期中)＂阿基米德多面体＂也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、6个面为正方形的一种半正多面体．若，则此半正多面体外接球的表面积为_________. 【答案】 【分析】根据正方体的对称性可知,该半正多面体外接球的球心为正方体的中心，进而可求球的半径和表面积. 【详解】如图，在正方体中，分别取正方体、正方形的中心、，连接， ∵分别为的中点，则， ∴正方体的边长为， 故，可得， 根据对称性可知：点到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为，半径， 故该半正多面体外接球的表面积为. 故答案为： 5．（25-26高二上·上海格致中学·期中）如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为.若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为，则___________.      【答案】 【分析】画出截面图，设储物盒所在球的半径为，从而利用表达出小球最大半径和正方体棱长，进而求出比值. 【详解】设储物盒所在球的半径为，如图，    小球最大半径满足，所以， 正方体的最大棱长满足，解得：， ∴， 故答案为： 6．(25-26高二上·上海闵行区“六校联合教研”·期中)如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为_______.    【答案】 【分析】根据水的高度以及圆锥形容器的轴截面为等边三角形得到水的体积，设出球的半径表示出球的体积，则根据放球后总体积，得到关于铁球半径的方程，解出即可. 【详解】如图，作出圆锥容器的轴截面，为正三角形，，，故. 设铁球的半径为，则，，在中，. 设放入球后，球与水共占体积为，则， 又，依题意有，故，解得.    故答案为： 7．（25-26高二上·上海南洋模范中学·期中）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，给出下列四个结论：正确的序号是______． ①若P，Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值是4； ②勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是； ③勒洛四面体ABCD的体积是； ④勒洛四面体ABCD内切球的半径是． 【答案】①②④ 【分析】由勒洛四面体的定义，可判定①正确；由勒洛四面体被平面截得的截面，求得其面积，可判定②正确；由勒洛四面体内切球的球心，即为正四面体的外接球的球心，连接并延长，利用求得性质，求得，得到正四面体的外接球的体积为，可判定③不正确；由，求得，可判定④正确. 【详解】对于①，由勒洛四面体的定义，可得勒洛四面体表面上的任意两点间的距离的最大值为，所以①正确； 对于②，勒洛四面体被平面截得的截面，如图（1）所示，其中边长为， 所以截面的面积为，所以②正确； 对于③，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心，即为正四面体的外接球的球心， 连接并延长，交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径， 如图所示，在正四面体中，为的中心，是正四面体的外接球的球心， 连接，由正四面体的性质，可得在上， 因为，所以，则， 又因为，即， 解得，则正四面体的外接球的体积为， 因为勒洛四面体的体积小于正四面体的体积，所以③不正确； 对于④，因为，所以，所以④正确. 故答案为：①②④. 三、解答题 8．（25-26高二上·上海闵行·期中）如图，半球内有一内接正方体（即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球上）；若正方体的棱长为，求： (1)半球的半径； (2)半球的表面积和体积． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用球的截面小圆性质结合已知求出半球半径即可. （2）利用球的表面积公式和球的体积公式求解表面积与体积即可. 【详解】（1）由题意得正方体的棱长为， 则在半球上的正方体4个顶点所在小圆半径为， 而半球球心到此截面小圆距离为， 因此半球半径. （2）由球的表面积公式得半球的表面积， 由球的体积公式得体积. 地 城 考点05 点到面距离问题 一、填空题 1．(25-26高二上·上海市实验学校·期中)已知等边的边长为1，平面，且，则点到平面的距离为______． 【答案】/ 【分析】利用等体积法即可求点到平面的距离. 【详解】如图，因为平面，所以为三棱锥的高， 则， 由平面，平面，得， 在直角中，，同理， 则等腰的底边上的高为， 则， 设点到平面的距离为，则， 得． 故答案为：. 2．(25-26高二上·上海格致中学·期中)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________. 【答案】 【分析】取的中点，连接，点到平面的距离等于点到平面的距离，由等体积可得点到平面的距离 【详解】取的中点，连接， 则， 点到平面的距离等于点到平面的距离， 由等体积可得，解得， 故答案为： 二、解答题 3．(25-26高二上·上海南洋中学·期中)如图，正三棱柱的各棱长均为2，D为棱的中点． (1)求该三棱柱的体积； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用柱体的体积公式以及边长求解即可； （2）利用等体积法求出点到平面的距离. 【详解】（1）正三棱柱的各棱长均为2， 所以； （2）设点到平面的距离为，由， 又， 所以，即得， 即， 解得. 地 城 考点06 截面问题 一、填空题 1．(25-26高二上·上海复旦中学·期中)已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为______ 【答案】 【分析】根据直接求值. 【详解】已知球的半径，截面圆的半径为， 所以截面圆的圆心与球心的距离为：（）. 故答案为： 2．(25-26高二上·上海杨浦高级中学·期中)已知两个平行平面间的距离为2，这两个平面截球所得两个截面圆的半径分别为1和，则球O的表面积等于______. 【答案】 【分析】设球半径为，球心到截面距离分别为，，则，，再根据球心在两个截面的同侧和球心在两个截面的两侧列式求解即可. 【详解】解：设球半径为，球心到截面距离分别为，，则，， 若球心在两个截面的同侧，故，即， 两边平方化简得，不合题意. 若球心在两个截面之间，则，即，解得. 所以球的表面积等于. 故答案为： 3．(25-26高二上·上海延安中学·期中)如图，求是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球所得截面面积为__________. 【答案】 【分析】根据内切球特征及球的截面的特征可确定所求截面即为等边的内切圆，由此可求得截面面积. 【详解】是边长为的等边三角形， 球与平面、、分别相切于的各边的中点， 平面截球所得的截面为的内切圆， 的内切圆半径， 则所求的截面圆的面积是． 故答案为：． 4．(25-26高二上·上海南洋中学·期中)湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为cm，深为cm的空穴，则这个球的表面积为___________． 【答案】 【分析】根据截面圆半径、截面距球心的距离、球的半径之间的关系，列出方程可求出球的半径，则球的表面积可求. 【详解】设球的半径为，如图所示，， 所以，解得， 所以球的表面积为， 故答案为：. 5．（25-26高二上·上海南洋中学·期中）动点在棱长为的正方体表面上运动，且与点的距离是，点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为___________． 【答案】/ 【分析】先将问题转化为“球与正方体表面所形成的交线总长度”，分析交线的类型，然后根据扇形的弧长公式完成计算. 【详解】将问题转化为“以为球心半径为的球，与正方体各表面所形成的交线长度之和”， 因为，所以正方体的各个面根据与球心的位置关系可分为两类， 第一类：平面，平面，平面为过球心的截面，截痕为大圆弧，半径为，如图所示， 因为，所以， 所以，所以圆心角为； 第二类：平面，平面，平面是与球心距离为的截面， 截痕为小圆弧，半径为，圆心角为， 所以曲线的长度为， 故答案为：. 地 城 考点07 最短距离问题 一、单选题 1．（25-26高二上·上海松江二中·期中）如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用几何法，结合平面展开图，可找到最小距离，通过计算即可得到答案. 【详解】    当，即可得平面，此时是最小距离， 然后把平面与平面展开成共面， 如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为 此时，即此时取到最小值， 由正方体可知：， 所以. 故选：A 2．(25-26高二上·上海进才中学·期中)在直三棱柱中，，，，E是棱上的一点，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由侧面展开图求解， 【详解】由题意得， 将三棱柱的侧面展开如图所示，当三点共线时，的周长的最小， 此时， 即的周长的最小值为， 故选：C 二、填空题 3．（25-26高二上·上海大学附属中学·期中）已知圆锥的母线长为4，底面直径，则沿着侧面从点到点的距离最小值是_____. 【答案】. 【分析】将其侧面展开，通过计算得到侧面展开图为半圆，根据图形可得最短距离. 【详解】考虑圆锥的侧面展开图， 由题意可知圆锥的母线长为4，底面直径为，则半径， 所以底面圆的周长为， 所以圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，即半径为4的半圆， 如图所示：    在直角三角形中，，所以， 所以沿着侧面从点到点的距离最小值为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·上海浦东新区·期中）如图几何体是圆锥的一部分，其中，，.从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是_____.    【答案】 【分析】根据条件，求出各个长度，以及和的长，即可求出所需圆心角，将圆锥的侧面展开，分析可得线段AB即为所求，根据余弦定理，即可求得答案. 【详解】连接OA，OB，因为，，则，    所以劣弧即缺少的圆弧的长为，占底面圆周的，    圆O的周长为，则几何体所在的圆锥的侧面展开图，即扇形的圆心角为， 所以侧面展开图中的长为，则， 所以 ， 所以，则从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是. 故答案为： 5．(25-26高二上·上海行知中学·期中)已知棱长为2的正方体，棱的中点为，从点沿着正方体表面到点的最短路径的长度为__________． 【答案】 【分析】把两个平面展开到同一平面内，利用两点之间线段最短进行求解即可. 【详解】 将面与面展开到同一平面内，连接，如图： 因为正方体的棱长为2，所以； 将面与面展开到同一平面内，连接，如图： 此时； 因为，所以从点沿着正方体表面到点的最短路径的长度为. 故答案为：. 6．(25-26高二上·上海嘉定区第二中学·期中)如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______. 【答案】 【分析】根据正方体结构特征，直观想象将面旋转展开成与面在同一个平面内，进而求的最小值. 【详解】根据正方体结构，将面以为轴旋转展开，与面在同一个平面内， 易知：要使最小，即为上述所得平面内. 故答案为： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $