第11讲 频率与概率（3大题型归纳）（暑假预习讲义）新高二数学沪教版

第11讲 频率与概率 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 计算频率 题型2 频率与概率的关系 题型3 用频率估计概率 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 计算频率 1.熟记频率计算公式 2.能根据表格统计频数与总次数代入公式完成数值计算 3.掌握多组试验数据的频率求解并规范保留小数或分数结果 辨析概率与频率的关系 1.分清二者本质区别频率是试验统计得到的可变数值概率是事件固有的稳定常数 2.理解联系大量重复试验下频率会在概率附近上下波动 3.能准确判断语句对错区分频率的随机性与概率的确定性 用频率估计概率 1.掌握估计规则试验次数足够大时可用稳定后的频率近似当作概率 2.能根据多组试验频率变化趋势选取稳定值作为概率估计值 3.会结合频率估算总体中对应事件发生的频数 学习重点： 1.频率计算公式的直接运算 2.频率与概率的概念区分、内在联系辨析 3.利用稳定频率估算事件概率 学习难点： 1.区分频率的随机波动性与概率的固定不变性 2.理解“试验次数足够大”是用频率估概率的前提少量试验频率不能代表概率 3.文字辨析题中准确识别混淆频率、概率概念的错误表述 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 频率 （1）定义 设是某个试验的样本空间，A是的事件.在相同的条件下将该试验独立地重复n次，则称______是n次独立重复试验中事件A发生的频率 （2）性质 一般地，如果事件A发生的可能性愈大，频率也__愈大____；反之，如果愈大，那么可以设想事件A发生的可能性也__愈大____.因此，频率与概率间应有紧密的联系. 【易错提醒】 1.代入公式时分母分子颠倒误将总次数作分子频数作分母 2.认为单次试验的频率固定不变忽略频率具备随机波动性 3.多类事件统计时重复或漏算频数全部频率相加不等于1 4.混淆频数与频率概念直接把发生次数当成频率 5.少量试验得到的频率当作稳定值不区分试验规模大小 6.计算完成后不化简分数或不按要求保留小数位数 即时即练 1.（2025高二·上海·专题练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为_____. 2.国庆长假市民旅游观光非常活跃.为提高服务质量，A市文旅部门对属地W景区的游客进行满意度调研，通过微信小程序共随机收集到300名游客的反馈数据如下表： 不满意 一般 满意 男性 15 20 女性 5 20 (1)请据此表数据，估计游客对景区的满意率； (2)若，求满意的顾客中女性顾客不少于男性顾客的概率. 知识点02 概率 （1）定义 在相同的条件下，将一试验独立重复次，若用表示事件在这次试验中发生的频率，则当增加时，将向一个固定的_数值p_________靠近，这个____数值p______就可看作事件发生的__概率________，即是的估计． （2）频率与概率的区别与联系 频率和概率都是随机事件发生__可能性大小________的定量刻画，但频率与__试验次数________及具体的试验有关，因此频率具有__随机性________；而概率是刻画随机事件发生____可能性大小______的数值，是一个__固定的量________，不具有___随机性_______，因此频率不能完全反映概率． 【易错提醒】 1.将有限次试验的频率直接等同于概率忽略“试验次数足够大”前提 2.概念混淆描述概率时认为数值会随试验发生改变 3.误认为概率为0的事件一定不可能发生几何概型存在概率为0的随机事件 4.误认为概率为1的事件一定必然发生几何概型存在概率为1的随机事件 5.表述错误写成“频率等于概率”正确逻辑是频率只能近似估计概率 6.混淆概率与统计量把单次试验结果当作事件固有概率 7.忽略概率取值边界随机事件错写标准范围 即时即练 1.对某工厂生产的产品质量进行抽查，数据如下表所示． 抽查件数 50 100 200 300 500 合格件数 47 95 192 285 478 根据上表所提供的数据，问：合格品的概率约为多少？（结果保留两位小数） 2.（24-25高二·上海·课堂例题）抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2022次，那么第2021次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 题型1 计算频率 【例1】（24-25高二下·上海·阶段检测）袋中有10个球，有红球和黄球两种类型．小明有放回地取10000次，有6993次取到红球，有3007次取到黄球，那么红球最有可能有个_______． 【例2】（24-25高二上·上海金山·期末）某同学抛掷硬币100次，有51次出现正面.因此出现正面的频率是__________. 【技巧归纳】 1.先定位题干中事件对应的频数与全部试验总次数 2.套用固定公式分子为发生次数分母为总次数 3.多组数据依次单独计算每组频率整理成表格方便对比 4.计算完成后按题目要求化简分数或保留指定小数位数 5.验算：同一试验所有互斥事件频率相加结果应为1 【变式1-1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为__________. 【变式1-2】（24-25高二·上海·课堂例题）今年第一季度在某妇幼医院出生的男、女婴人数统计表（单位：人）如下表： 月份性别 一 二 三 总计 男婴 22 19 23 64 女婴 18 20 21 59 求今年第一季度该医院男婴的出生频率． 题型2 频率与概率的关系 【例1】（2024·上海徐汇·一模）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（    ） A．40个 B．45个 C．50个 D．55个 【例2】（25-26高二上·上海·单元测试）某种彩票中奖的概率为，有以下理解： ①买10000张彩票一定能中奖； ②买10000张彩票只能中奖1次； ③若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖； ④买一张彩票中奖的可能性是． 其中正确理解的序号为________． 【技巧归纳】 1.区分核心特征频率随试验改变具有随机性概率是事件固定不变的固有常数 2.大数规律判定试验次数不断增多频率会在概率附近小幅浮动 3.辨析判断题抓关键词出现“某次试验、可变、波动”对应频率出现“稳定、固定、固有”对应概率 4.牢记逻辑边界频率只能无限接近概率无法完全等同于概率 5.举反例快速排除错误说法少量试验的频率不能代表事件概率 【变式2-1】（24-25高二上·上海·课前预习）独立地重复试验100次，成功60次，成功的频率是0.6吗？成功的概率是0.6吗？ 【变式2-2】（25-26高二上·上海普陀·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是 B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上 C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 D．大量试验后，可以用频率近似估计概率 题型3 .用频率估计概率 【例1】（24-25高二·上海·课堂例题）某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表： 射击次数（n） 10 20 50 100 200 500 击中10环次数（m） 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 (1)将表格填写完整； (2)这名运动员射击一次，击中10环的经验概率约为多少？（精确到0.1） 【例2】（24-25高二上·上海·课堂例题）某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表： 本科 研究生 合计 35岁及以下 40 30 70 35~50岁 27 13 40 50岁及以上 8 2 10 现从该校教职工中任选1人，求下列事件的概率： (1)具有本科学历； (2)35岁及以上； (3)35岁及以下且具有研究生学历． 【技巧归纳】 1.观察多组试验的频率变化趋势选取波动极小的稳定数值作为概率估计值 2.只有试验次数足够大时才能使用稳定频率近似代替概率 3.已知估算概率求总体发生数量用公式预估频数=总样本容量×估算概率 4.试验组数越多、单次试验总量越大估算得到的概率精准度越高 5.作答规范表述不能写频率等于概率需说明用稳定频率估计概率 【变式3-1】（24-25高二上·上海·课堂例题）对一批西装进行了多次抽检，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 (1)根据表中数据，计算并填写每次抽检中检出次品的频率； (2)从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售2000件西装，至少需额外准备多少件正品西装供买到次品的顾客调换？ 【变式3-2】有人对甲、乙两名网球运动员训练中一发成功次数做了统计，结果如下表： 一发次数n 10 20 50 100 200 500 甲一发成功次数 9 17 44 92 179 450 一发成功的频率 一发次数n 10 20 50 100 200 500 乙一发成功次数 8 19 44 93 177 453 一发成功的频率 请根据以上表格中的数据回答下列问题： (1)分别计算出两位运动员一发成功的频率，完成表格； (2)根据（1）中计算的结果估计两位运动员一发成功的概率． 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（    ） A．大量的试验中，出现正面的频率为0.5. B．不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5 C．试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5 D．试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.5 2．（24-25高二·上海·课堂例题）对某班名同学的一次数学成绩进行统计，如果这一组的频数是，那么这个班的学生这次数学测验，成绩在分之间的频率是（    ） A．18 B．0.4 C．0.35 D．0.3 3．（25-26高三上·上海·期中）小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是，一次点球训练中，他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（    ） A． B． C．1 D．介于和1之间的某个实数 4．（25-26高二下·上海·期末）本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高二上·上海·阶段检测）小鹿同学抛一枚质量均匀的硬币，抛了2023次都是正面朝上，那他抛第2024次正面朝上的概率为________． 6．（23-24高二下·上海·期中）袋中有10个球，有红球和黄球两种类型.小明有放回地取10000次，有6973次取到红球，有3027次取到黄球，那么红球最有可能有______个． 7．（23-24高二下·上海·期中）某人抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中正面朝上7欠，则该硬币正面朝上的频率为________． 8．（24-25高二上·上海·课后作业）一家药物公司试验一种新药，在1000个病人中试验，其中857人有明显疗效，80人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率（经验概率）是________. 9．（24-25高二·上海·课堂例题）抛掷一枚图钉次，出现次“钉尖朝上”，则出现“钉尖朝上”的频率是________． 10．（25-26高二上·上海·单元测试）某同学进行了15局的赛车游戏，其中10局取得胜利，则取得胜利的频率是________． 11．（25-26高二上·上海金山·期末）某新闻栏目在当地开展对“键盘侠”的认可程度调查，随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度．若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有______人． 12．（23-24高二下·上海·阶段检测）在一个不透明的纸盒中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 ______个. 13．（24-25高二上·上海浦东新·期末）某袋子内装有三种颜色的小球，小明每次从袋子中随机摸出一个小球，观察颜色后再放回，重复了90次，得到的信息如下：观察到红色小球52次，蓝色小球26次.如果从这个袋子内任意摸一个小球，这个小球既不是红色也不是蓝色的经验概率为__________. 14．（24-25高三下·上海·开学考试）某班有学生45人，则至少有两人生日相同的概率为______.（假定一年365天，答案精确到0.001）. 三、解答题 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域（不考虑指针落在分界线上的情况）就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据． 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率 (1)计算并完成表格； (2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？ (3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？ 16．（24-25高二上·上海·课堂例题）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中共计1000吨生活垃圾．经分拣以后数据统计如下表（单位：t）： “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 根据样本估计本市生活垃圾投放情况． (1)厨余垃圾投放正确的经验概率是多少？ (2)居民生活垃圾投放错误的经验概率是多少？ (3)该市哪类垃圾箱中投放正确的经验概率最高？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 频率与概率 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 计算频率 题型2 频率与概率的关系 题型3 用频率估计概率 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 计算频率 1.熟记频率计算公式 2.能根据表格统计频数与总次数代入公式完成数值计算 3.掌握多组试验数据的频率求解并规范保留小数或分数结果 辨析概率与频率的关系 1.分清二者本质区别频率是试验统计得到的可变数值概率是事件固有的稳定常数 2.理解联系大量重复试验下频率会在概率附近上下波动 3.能准确判断语句对错区分频率的随机性与概率的确定性 用频率估计概率 1.掌握估计规则试验次数足够大时可用稳定后的频率近似当作概率 2.能根据多组试验频率变化趋势选取稳定值作为概率估计值 3.会结合频率估算总体中对应事件发生的频数 学习重点： 1.频率计算公式的直接运算 2.频率与概率的概念区分、内在联系辨析 3.利用稳定频率估算事件概率 学习难点： 1.区分频率的随机波动性与概率的固定不变性 2.理解“试验次数足够大”是用频率估概率的前提少量试验频率不能代表概率 3.文字辨析题中准确识别混淆频率、概率概念的错误表述 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 频率 （1）定义 设是某个试验的样本空间，A是的事件.在相同的条件下将该试验独立地重复n次，则称______是n次独立重复试验中事件A发生的频率 （2）性质 一般地，如果事件A发生的可能性愈大，频率也__愈大____；反之，如果愈大，那么可以设想事件A发生的可能性也__愈大____.因此，频率与概率间应有紧密的联系. 【易错提醒】 1.代入公式时分母分子颠倒误将总次数作分子频数作分母 2.认为单次试验的频率固定不变忽略频率具备随机波动性 3.多类事件统计时重复或漏算频数全部频率相加不等于1 4.混淆频数与频率概念直接把发生次数当成频率 5.少量试验得到的频率当作稳定值不区分试验规模大小 6.计算完成后不化简分数或不按要求保留小数位数 即时即练 1.（2025高二·上海·专题练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为_____. 【答案】 【分析】利用独立重复试验可求出试验出现正面朝上的频率，再根据每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上机会相等求出正面朝上的概率． 【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次， 出现正面朝上的频率为：， 每次抛质地均匀的硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是， 出现正面朝上的概率为：， 出现正面朝上的频率为，概率为． 故答案为： 2.国庆长假市民旅游观光非常活跃.为提高服务质量，A市文旅部门对属地W景区的游客进行满意度调研，通过微信小程序共随机收集到300名游客的反馈数据如下表： 不满意 一般 满意 男性 15 20 女性 5 20 (1)请据此表数据，估计游客对景区的满意率； (2)若，求满意的顾客中女性顾客不少于男性顾客的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算满意的总人数，再利用频率公式计算满意率. （2）先确定的取值范围及对应的基本事件总数，再确定满足 “女性顾客不少于男性顾客” 的基本事件数，最后利用古典概型公式计算概率. 【详解】（1）根据题意，，， 所以游客对景区的满意率. （2）因为，，， 所以满意的顾客中，男性和女性的人数对所有可能为：，，，，，，共个数对， 其中的有：，共个数对， 所以满意的顾客中，女性顾客不少于男性顾客的概率. 知识点02 概率 （1）定义 在相同的条件下，将一试验独立重复次，若用表示事件在这次试验中发生的频率，则当增加时，将向一个固定的_数值p_________靠近，这个____数值p______就可看作事件发生的__概率________，即是的估计． （2）频率与概率的区别与联系 频率和概率都是随机事件发生__可能性大小________的定量刻画，但频率与__试验次数________及具体的试验有关，因此频率具有__随机性________；而概率是刻画随机事件发生____可能性大小______的数值，是一个__固定的量________，不具有___随机性_______，因此频率不能完全反映概率． 【易错提醒】 1.将有限次试验的频率直接等同于概率忽略“试验次数足够大”前提 2.概念混淆描述概率时认为数值会随试验发生改变 3.误认为概率为0的事件一定不可能发生几何概型存在概率为0的随机事件 4.误认为概率为1的事件一定必然发生几何概型存在概率为1的随机事件 5.表述错误写成“频率等于概率”正确逻辑是频率只能近似估计概率 6.混淆概率与统计量把单次试验结果当作事件固有概率 7.忽略概率取值边界随机事件错写标准范围 即时即练 1.对某工厂生产的产品质量进行抽查，数据如下表所示． 抽查件数 50 100 200 300 500 合格件数 47 95 192 285 478 根据上表所提供的数据，问：合格品的概率约为多少？（结果保留两位小数） 【答案】 【分析】求出每组抽查的频率可得答案. 【详解】应用频率估计概率，可得合格品的概率约为， 所以合格品的概率约为. 2.（24-25高二·上海·课堂例题）抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷2022次，那么第2021次出现正面朝上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用概率的性质求解即可. 【详解】由概率的性质得无论实验多少次，概率始终不变， 故第2021次出现正面朝上的概率是，故D正确. 故选：D 题型1 计算频率 【例1】（24-25高二下·上海·阶段检测）袋中有10个球，有红球和黄球两种类型．小明有放回地取10000次，有6993次取到红球，有3007次取到黄球，那么红球最有可能有个_______． 【答案】7 【分析】利用频率近似红球的所占比例可得答案. 【详解】因为红球所占比例为， 所以红球的个数最有可能有. 故答案为：. 【例2】（24-25高二上·上海金山·期末）某同学抛掷硬币100次，有51次出现正面.因此出现正面的频率是__________. 【答案】0.51/ 【分析】根据频率公式计算即可. 【详解】由题意，出现正面的频率为. 故答案为：0.51. 【技巧归纳】 1.先定位题干中事件对应的频数与全部试验总次数 2.套用固定公式分子为发生次数分母为总次数 3.多组数据依次单独计算每组频率整理成表格方便对比 4.计算完成后按题目要求化简分数或保留指定小数位数 5.验算：同一试验所有互斥事件频率相加结果应为1 【变式1-1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段检测）从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为__________. 【答案】 【分析】根据数表求出取到奇数号码的次数即可计算作答. 【详解】由数表知，取到奇数号码的次数是：， 所以取到号码为奇数的频率为. 故答案为：0.56 【变式1-2】（24-25高二·上海·课堂例题）今年第一季度在某妇幼医院出生的男、女婴人数统计表（单位：人）如下表： 月份性别 一 二 三 总计 男婴 22 19 23 64 女婴 18 20 21 59 求今年第一季度该医院男婴的出生频率． 【答案】 【分析】求出第一季度出生的男婴数和婴儿总数，计算其比值即可得解. 【详解】由题意第一季度出生的男婴数为64，出生的婴儿总数为， 所以今年第一季度该医院男婴的出生频率为. 题型2 频率与概率的关系 【例1】（2024·上海徐汇·一模）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（    ） A．40个 B．45个 C．50个 D．55个 【答案】B 【分析】因为重复摸球次数足够多，所以将频率视为概率，应用古典概型概率的计算公式计算即可. 【详解】设红球个数为， 由题意可得：，解得：. 故选：B 【例2】（25-26高二上·上海·单元测试）某种彩票中奖的概率为，有以下理解： ①买10000张彩票一定能中奖； ②买10000张彩票只能中奖1次； ③若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖； ④买一张彩票中奖的可能性是． 其中正确理解的序号为________． 【答案】④ 【分析】根据概率的定义即可得解. 【详解】由某种彩票中奖的概率为， 得买一张彩票中奖的可能性是，故④正确； 买10000张彩票可能一张都没有中奖，故①②错误； 若买9999张彩票未中奖，则第10000张也有可能不中奖，故③错误. 故答案为：④. 【技巧归纳】 1.区分核心特征频率随试验改变具有随机性概率是事件固定不变的固有常数 2.大数规律判定试验次数不断增多频率会在概率附近小幅浮动 3.辨析判断题抓关键词出现“某次试验、可变、波动”对应频率出现“稳定、固定、固有”对应概率 4.牢记逻辑边界频率只能无限接近概率无法完全等同于概率 5.举反例快速排除错误说法少量试验的频率不能代表事件概率 【变式2-1】（24-25高二上·上海·课前预习）独立地重复试验100次，成功60次，成功的频率是0.6吗？成功的概率是0.6吗？ 【答案】成功的频率是0.6，成功的概率不一定是0.6 【详解】因为独立地重复试验100次，成功60次，所以成功的频率是， 由概率的定义知，成功的概率不一定是0.6. 【变式2-2】（25-26高二上·上海普陀·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是 B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上 C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报 D．大量试验后，可以用频率近似估计概率 【答案】D 【分析】利用概率的定义和估计方法逐个选项分析求解即可. 【详解】对于A，可得中靶的结果是频率，不是概率；故错误， 对于B，C，太过绝对，故错误， 对于D，符合概率的估算方法，故正确． 故选：D. 题型3 .用频率估计概率 【例1】（24-25高二·上海·课堂例题）某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表： 射击次数（n） 10 20 50 100 200 500 击中10环次数（m） 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 (1)将表格填写完整； (2)这名运动员射击一次，击中10环的经验概率约为多少？（精确到0.1） 【答案】(1)答案见解析 (2)0.9 【分析】（1）根据题意频率计算公式运算求解； （2）根据概率和频率的关系分析求解. 【详解】（1）根据频率计算公式，表格数据如下： 射击次数（n） 10 20 50 100 200 500 击中10环次数（m） 8 19 44 93 178 453 击中10环频率 0.8 0.95 0.88 0.93 0.89 0.906 （2）由（1）中所求，随着射击次数的增大，频率的稳定值为0.9． 故这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9. 【例2】（24-25高二上·上海·课堂例题）某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表： 本科 研究生 合计 35岁及以下 40 30 70 35~50岁 27 13 40 50岁及以上 8 2 10 现从该校教职工中任选1人，求下列事件的概率： (1)具有本科学历； (2)35岁及以上； (3)35岁及以下且具有研究生学历． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）根据表中的数据求出具有本科学历的人数，从而利用频率来衡量概率； （2）根据表中的数据求出35岁及以上的人数，从而利用频率来衡量概率； （3）根据表中的数据求出35岁及以下且具有研究生学历的人数，从而利用频率来衡量概率. 【详解】（1）由题意得，P（具有本科学历）． （2）由题意得，P（35岁及以上）． （3）由题意得，P（35岁及以下且具有研究生学历）． 【技巧归纳】 1.观察多组试验的频率变化趋势选取波动极小的稳定数值作为概率估计值 2.只有试验次数足够大时才能使用稳定频率近似代替概率 3.已知估算概率求总体发生数量用公式预估频数=总样本容量×估算概率 4.试验组数越多、单次试验总量越大估算得到的概率精准度越高 5.作答规范表述不能写频率等于概率需说明用稳定频率估计概率 【变式3-1】（24-25高二上·上海·课堂例题）对一批西装进行了多次抽检，并记录结果如下表： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 (1)根据表中数据，计算并填写每次抽检中检出次品的频率； (2)从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是多少？ (3)如果要销售2000件西装，至少需额外准备多少件正品西装供买到次品的顾客调换？ 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)至少需额外准备52件正品西装供买到次品的顾客调换． 【分析】（1）利用次品率的计算公式求解即可； （2）利用次品的经验概率及古典概型求解即可； （3）利用次品西装的件数约为（件）求解即可. 【详解】（1）检出次品的频率，填表如下： 抽取件数 50 100 200 300 400 500 检出次品的件数 5 6 5 6 8 10 检出次品的频率 0.1 0.06 0.025 0.02 0.02 0.02 （2）抽取的件数总和为， 检出次品的件数总和为， 故从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是． （3）如果要销售2000件西装，则次品西装的件数约为（件）， 所以至少需额外准备52件正品西装供买到次品的顾客调换． 【变式3-2】有人对甲、乙两名网球运动员训练中一发成功次数做了统计，结果如下表： 一发次数n 10 20 50 100 200 500 甲一发成功次数 9 17 44 92 179 450 一发成功的频率 一发次数n 10 20 50 100 200 500 乙一发成功次数 8 19 44 93 177 453 一发成功的频率 请根据以上表格中的数据回答下列问题： (1)分别计算出两位运动员一发成功的频率，完成表格； (2)根据（1）中计算的结果估计两位运动员一发成功的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2)0.9 【分析】（1）根据频率、频数和总数之间的关系完善表格； （2）利用频率与概率之间的关系即可得出结论. 【详解】（1） 一发次数n 10 20 50 100 200 500 甲一发成功次数 9 17 44 92 179 450 一发成功的频率 0.9 0.85 0.88 0.92 0.895 0.9 一发次数n 10 20 50 100 200 500 乙一发成功次数 8 19 44 93 177 453 一发成功的频率 0.8 0.95 0.88 0.93 0.885 0.906 （2）由（1）知，随着一发次数的增多，两位运动员一发成功的频率都越来越集中在0.9附近， 所以估计两人一发成功的概率均为0.9. 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（    ） A．大量的试验中，出现正面的频率为0.5. B．不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5 C．试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5 D．试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.5 【答案】B 【分析】根据频率、概率、经验概率的概念分析可得答案. 【详解】对于A，大量的试验中，出现正面的频率越来越接近于0.5，故A不正确； 对于B，事件发生的概率是一个常数，与试验次数无关，所以不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5，故B正确； 对于C，经验概率是指特定的事件发生的次数占总体试验样本的比率，随着试验次数增大，出现正面的经验概率约为0.5，故C不正确； 对于D，试验次数每增加一次，不能判断下一次出现正面的频率比它前一次更接近于0.5，D不正确. 故选：B 2．（24-25高二·上海·课堂例题）对某班名同学的一次数学成绩进行统计，如果这一组的频数是，那么这个班的学生这次数学测验，成绩在分之间的频率是（    ） A．18 B．0.4 C．0.35 D．0.3 【答案】D 【分析】根据频率的计算公式计算即可. 【详解】由题意，成绩在分之间的频率是. 故选：D. 3．（25-26高三上·上海·期中）小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是，一次点球训练中，他连续2次都没有踢进门，则他第3次踢进门的概率为（    ） A． B． C．1 D．介于和1之间的某个实数 【答案】A 【分析】根据概率的概念与意义求解. 【详解】他踢点球进门的概率是，所以他第3次踢进门的概率为. 故选：A 4．（25-26高二下·上海·期末）本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由概率的加法公式代入题中条件即可求解. 【详解】设事件为“吹南风”，则，事件为“下雨”，则， 由题意得， 则，解得. 二、填空题 5．（23-24高二上·上海·阶段检测）小鹿同学抛一枚质量均匀的硬币，抛了2023次都是正面朝上，那他抛第2024次正面朝上的概率为________． 【答案】/0.5 【分析】独立事件概率互不影响，所以他不论抛多少次，正面朝上的概率都是固定的. 【详解】每次抛硬币都是独立的， 所以他不论抛多少次，正面朝上的概率都是， 故答案为：. 6．（23-24高二下·上海·期中）袋中有10个球，有红球和黄球两种类型.小明有放回地取10000次，有6973次取到红球，有3027次取到黄球，那么红球最有可能有______个． 【答案】7 【分析】利用频率近似红球的所占比例可得答案. 【详解】因为红球所占比例为， 所以红球的个数最有可能有. 故答案为:7 7．（23-24高二下·上海·期中）某人抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中正面朝上7欠，则该硬币正面朝上的频率为________． 【答案】/0.7 【分析】由频率的定义即可得解. 【详解】某人抛掷一枚质地均匀的硬币10次，其中正面朝上7欠，则该硬币正面朝上的频率为. 故答案为：. 8．（24-25高二上·上海·课后作业）一家药物公司试验一种新药，在1000个病人中试验，其中857人有明显疗效，80人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率（经验概率）是________. 【答案】0.143/ 【分析】根据频率计算公式即可求解. 【详解】没有明显疗效的频率（经验概率）是， 故答案为：0.143 9．（24-25高二·上海·课堂例题）抛掷一枚图钉次，出现次“钉尖朝上”，则出现“钉尖朝上”的频率是________． 【答案】/ 【分析】由频率计算公式计算即可. 【详解】由题意，出现“钉尖朝上”的频率是. 故答案为：. 10．（25-26高二上·上海·单元测试）某同学进行了15局的赛车游戏，其中10局取得胜利，则取得胜利的频率是________． 【答案】 【分析】根据频率公式即可求解. 【详解】取得胜利的频率是， 故答案为： 11．（25-26高二上·上海金山·期末）某新闻栏目在当地开展对“键盘侠”的认可程度调查，随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度．若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有______人． 【答案】 【分析】利用样本频率估计总体概率，可研究总体分布. 【详解】根据随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余36人持反对态度， 所以持反对态度的人占比有，用此作概率估计， 可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有人， 故答案为： 12．（23-24高二下·上海·阶段检测）在一个不透明的纸盒中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 ______个. 【答案】16 【分析】设袋中红球有个，根据概率的概念列式求解即可. 【详解】设袋中红球有个，根据题意，得，解得：， 经检验：是分式方程的解，所以袋中红球有16个. 故答案为：16 13．（24-25高二上·上海浦东新·期末）某袋子内装有三种颜色的小球，小明每次从袋子中随机摸出一个小球，观察颜色后再放回，重复了90次，得到的信息如下：观察到红色小球52次，蓝色小球26次.如果从这个袋子内任意摸一个小球，这个小球既不是红色也不是蓝色的经验概率为__________. 【答案】 【分析】计算红色球、蓝色球出现的频率，即为概率，由事件的关系可计算既不是红色也不是蓝色的概率. 【详解】记取到红球为事件A，取到蓝球为事件B，取到的球不是红球也不是蓝球为事件C. 所以，, 由题意，，且互斥， 则. 故答案为： 14．（24-25高三下·上海·开学考试）某班有学生45人，则至少有两人生日相同的概率为______.（假定一年365天，答案精确到0.001）. 【答案】0.891 【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数为，至少有两人生日相同的对立事件是没有人生日在同一天，共有种结果，根据对立事件和古典概型的概率公式得到结果 【详解】由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件数， 至少至少有两人生日相同的对立事件是没有人生日在同一天，共有种结果， . 故答案为:0.891 三、解答题 15．（25-26高一下·全国·课堂例题）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域（不考虑指针落在分界线上的情况）就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据． 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率 (1)计算并完成表格； (2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？ (3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？ 【答案】(1)答案见解析； (2)0.7； (3)0.7. 【分析】（1）根据表格数据，按照频率公式直接计算可得； （2）通过观察表中频率变化可得； （3）根据频率与概率的关系可知. 【详解】（1）通过计算可得： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701 （2）当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7. （3）由表格可知，随着转动转盘次数越来越大，频率越来越稳定在0.7附近， 所以，获得铅笔的概率约是0.7. 16．（24-25高二上·上海·课堂例题）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中共计1000吨生活垃圾．经分拣以后数据统计如下表（单位：t）： “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 根据样本估计本市生活垃圾投放情况． (1)厨余垃圾投放正确的经验概率是多少？ (2)居民生活垃圾投放错误的经验概率是多少？ (3)该市哪类垃圾箱中投放正确的经验概率最高？ 【答案】(1) (2) (3)“厨余垃圾”箱． 【分析】（1）根据表中数据，利用古典概型的概率求解； （2）根据表中数据，利用古典概型的概率先求得居民生活垃圾投放正确的概率，再利用对立事件的概率求解； （3）利用古典概型的概率分别求得“厨余垃圾”箱中投放正确的经验概率， “可回收物”箱中投放正确的经验概率和“其他垃圾”箱中投放正确的经验概率，再比较即可. 【详解】（1）厨余垃圾投放正确的经验概率为． （2）设“居民生活垃圾投放错误”为事件A，则事件表示“居民生活垃圾投放正确”， ，所以． （3）因为“厨余垃圾”箱中投放正确的经验概率为， “可回收物”箱中投放正确的经验概率为， “其他垃圾”箱中投放正确的经验概率为． ，所以该市三类垃圾箱中投放正确的经验概率最高的是“厨余垃圾”箱． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $