16.3.2 完全平方公式-同步练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、情境应用、综合探究三层设计，实现完全平方公式从概念理解到几何直观再到代数推理的递进，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（选择1-3、填空9-10）|公式直接应用（添括号、运算辨析）|聚焦符号意识，通过辨析题强化公式结构认知| |情境层（选择5-7、填空11-12）|几何与代数结合（面积计算、图形剪拼）|依托几何直观，将公式与图形面积建立关联| |探究层（解答15、19-20）|综合推理与模型构建（规律验证、实际问题）|发展推理意识，通过"发现-验证-论证"培养创新思维|

16.3.2 完全平方公式 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.对多项式添括号，正确的是(    ) A. B. C. D. 2.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.已知，，则(    ) A. B. C. D. 5.如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是(    ) A. B. C. D. 6.已知实数，满足，，则(    ) A. B. C. D. 7.如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形不重叠无缝隙，则该长方形的面积为  (    ) A. B. C. D. 8.张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为若，则，满足(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.在括号内填入适当的项：                                                       10.若恒成立，则          ． 11.将两个边长分别为，的正方形按如图所示的位置放置。已知，图中阴影部分的面积为，则的值为          。 12.已知，，则          ． 13.已知实数，满足，则的取值范围是          ，的最大值是          ． 14.如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，． 若，，则图中阴影部分的面积是           若图中阴影部分的面积为，图中四边形的面积为，则图中阴影部分的面积是          ． 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和． 验证：如，为偶数，请把的一半表示为两个正整数的平方和． 探究：设“发现”中的两个已知正整数为，，请论证“发现”中的结论正确． 16.本小题分 已知，求代数式的值． 17.本小题分 先化简，再求值：，其中． 18.本小题分 如图，长方形的周长为，四个正方形的面积和为，求长方形的面积． 19.本小题分 有两个正方形，，其边长分别为，现将放在的内部得图，将，并列放置后构造新的正方形得图图和图中阴影部分的面积分别为和． 正方形，的面积之和为          ； 三个正方形和两个正方形如图摆放，求阴影部分的面积． 20.本小题分 用四个完全一样的长方形长、宽分别为，，拼成如图所示的大正方形已知大正方形的面积为，中间空缺的小正方形的面积为，求的值． 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  【解析】解：；A错误； ；B错误； ；C错误； ；D正确； 故选：． 根据同底数幂的乘法法则，完全平方公式，幂的乘方公式进行运算即可； 本题考查整式的运算；熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：、，故原式错误； B、，故原式错误； C、，故原式错误； D、，故原式正确， 故选：． 根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式逐一进行判断即可． 此题考查了合并同类项、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查完全平方公式的应用，根据题中条件，变换形式即可．根据题中条件，结合完全平方公式，先计算出的值，然后再除以即可求出答案． 【解答】 解：，将，代入，可得 ， 则， 所以， 故选：． 5.【答案】  6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了完全平方公式的运用，熟记公式结构是解题的关键根据完全平方公式求出，再求出，进而可得结果． 【解答】 解：， ， ， ， ， ． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力，题型较好，难度不大；根据题意得出长方形的面积是，求出即可． 【解答】 解：长方形的面积是 ， ，  ， 故选C． 8.【答案】  9.【答案】【小题】 【小题】 【小题】 【小题】   10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】或  13.【答案】   14.【答案】【小题】 【小题】   15.【答案】解：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．理由如下： ， 故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．  【解析】写出两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和，根据完全平方公式，合并同类项法则计算即可求解． 本题考查了完全平方公式的计算，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的式子的规律，写出相应的结论并进行验证． 16.【答案】解：原式因为，所以所以原式．  17.【答案】解：原式； 当时，原式．  18.【答案】解：设，，由题意，得，即， 又四个正方形的面积和为，，即， 的两边平方得，即，将代入，得，，即长方形的面积为．   19.【答案】【小题】 【小题】   20.【答案】．  第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $