16.3.1 平方差公式-同步练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以平方差公式为核心，通过基础辨析、几何直观、规律探究的三层递进设计，实现从概念理解到综合运用的知识巩固，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|公式结构辨析与直接运算|选择题1-3题考查公式识别，填空题8-10题强化分解与简单计算，夯实抽象能力| |应用深化|几何背景与实际问题|解答题15-16题结合图形面积（如剪拼正方形）与秧田面积计算，发展几何直观与应用意识| |综合拓展|多步推理与规律探究|解答题19-20题通过图形变换验证公式、规律算式推导，培养推理意识与创新思维|

16.3.1 平方差公式 一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.等于  (    ) A. B. C. D. 2.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下列各数中与的积是有理数的是(    ) A. B. C. D. 4.从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加米，相邻的另一边减少米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会(    ) A. 没有变化 B. 变大了 C. 变小了 D. 无法确定 5.如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是(    ) A. B. C. D. 6.计算的结果是(    ) A. B. C. D. 7.观察下面图形，从图到图可用式子表示为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。 8.分解因式：          ． 9.将一个长方形按如图方式剪开，恰好可以拼成一个缺角的正方形，缺角也是正方形。根据两个图形阴影部分的面积关系，可以解释的一个整式乘法公式是          。 10.若，，则          ． 11.计算：           ． 12.若，则          ，          ． 13.若，，则          ． 14.如图阴影部分面积相等，其中能够验证平方差公式的是          填序号 三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 先化简，再求值：，其中，． 16.本小题分 如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为． 用含，的式子表示中能使用的面积：          ． 若，，求比多出的使用面积． 17.本小题分 化简：时，小刚同学想到用一个“引子”就可以使这个式子的计算有规律，思路如下： 解：，                       根据小刚同学的解题思路，将下面过程补充完整． 解：，                       计算： 18.本小题分 从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个完全相同的梯形如图甲，然后拼成一个平行四边形如图乙通过计算阴影部分的面积可以验证出平方差公式吗若能，请你说明其中的道理． 19.本小题分 如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分剪拼成一个长方形如图。 如图，可以求出阴影部分的面积为          。 如图，重新拼成的长方形的宽为          ，长为          ，面积为          。 比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式：          。 请应用这个公式解答下列各题： 已知，，则____ 计算： 计算：。 20.本小题分 请先观察下面的算式： 按上面的规律填空：第个算式是          第个算式是          ． 请你用中的结论计算的值． 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  【解析】解：、，故原题计算错误； B、，故原题计算错误； C、，故原题计算正确； D、，故原题计算错误； 故选：． 利用合并同类项法则、积的乘方的性质、单项式乘以单项式计算法则、平方差公式进行计算即可． 此题主要考查了整式的混合运算，关键是熟练掌握合并同类项法则、积的乘方的性质、单项式乘以单项式计算法则、平方差公式． 3.【答案】  【解析】解：． 故选D． 4.【答案】  【解析】解：矩形的面积为， 矩形的面积比正方形的面积小了平方米， 故选：． 矩形的长为米，矩形的宽为米，矩形的面积为，根据平方差公式即可得出答案． 本题考查了平方差公式的几何背景，列出矩形的面积的代数式，根据平方差公式计算是解题的关键． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是关键． 利用正方形的面积公式和长方形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可． 【解答】 解：第一个图形阴影部分的面积是， 第二个图形的面积是． 则． 故选：． 6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  【解析】解：． 故答案为：． 直接利用平方差公式分解因式得出答案． 此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键． 9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】   【解析】，，， 13.【答案】  14.【答案】  【解析】 图形 分析 判断 题图中，上边是一个长为，宽为的长方形，下边大正方形减去小正方形的面积为 可以验证平方差公式 题图中，左上边是一个上底为，下底为，高为的等腰梯形，下边大正方形减去小正方形的面积为， 题图中，右上边是一个底边长为，高为的平行四边形，下边大正方形减去小正方形的面积为 可以验证平方差公式 15.【答案】解：原式  当，时，原式．  16.【答案】【小题】 【小题】 ，，，  故比多出的使用面积为． 17.【答案】【小题】 【小题】 ．   18.【答案】解：能对于图甲：阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差， 即． 对于图乙：阴影部分的面积等于四个梯形的面积之和，且每个梯形的上底是，下底是，高为， 所以--，所以．  19.【答案】【小题】 【小题】 【小题】 或 【小题】 20.【答案】【小题】 【小题】 由得，令，所以所以． 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $