16.3.1 平方差公式 同步练习2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以平方差公式为核心，通过基础应用、几何验证、综合拓展三阶设计，实现从概念理解到运算能力再到创新应用的知识巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|平方差公式结构判断、直接运算|单选题1（公式结构识别）、填空题10（直接代入计算），夯实公式记忆| |中档|公式几何验证、简单变形|单选题2（图形面积推导公式）、解答题15（混合运算），强化几何直观与运算能力| |提升|综合应用与创新拓展|解答题17（新定义运算）、单选题9（多图形面积综合），培养推理能力与创新意识|

16.3.1 平方差公式 同步练习2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列各式可以利用平方差公式计算的是(    ) A． B． C． D． 2．如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　） A． B． C． D． 3．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．运用完全平方公式计算，则公式中的对应的是（   ） A． B． C．x D． 5．已知，则的值是（   ） A．20 B．16 C．12 D．8 6．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（    ） A． B． C． D． 7．在同一平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（   ） A． B．1 C．7 D． 8．如果是完全平方式，则的值是（   ） A．3 B．3或 C．6 D．6或 9．如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．已知，则的值_______． 11．若是完全平方式，则的值是______． 12．如图，对该正方形的面积进行表达时能体现的乘法公式是______． 13．___________． 14．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出的展开式，则的值是 ________ ． 三、解答题 15．计算： (1) (2) (3) (4)． 16．在一次数学活动中，小红同学将一个长为，宽为的长方形，如图①所示，沿图中虚线用剪刀均分成四个全等的小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．小红同学通过观察图①②，用两种不同的方法表示出了图②中阴影部分的面积，并得出，，这三个代数式之间的一个等量关系． (1)请写出代数式的一个等量关系，并说明理由； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：若，求的值． 17．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中m，n均为非零常数）．例如：． (1)已知：． ①求m，n的值； ②已知关于p的不等式组，求p的取值范围 (2)当时，对于任意实数x，y都成立，请求出m，n满足的关系式． 18．如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形， 把余下的部分剪拼成一个矩形． (1)通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A．  B． C．     D． (2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A D C B A A A D C 1．【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，平方差公式的结构为，要求相乘的两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A:，其中是相同项，与互为相反数，符合平方差公式结构，可得，可以用平方差公式计算，此项符合题意． 选项B:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意． 选项C:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意． 选项D:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意． 2．【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，由图1中大正方形的面积小正方形的面积图2长方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由题意，； 故选D． 3．【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的计算是解题的关键．利用完全平方公式，将展开为，然后代入已知值计算． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴ 故答案为：C． 4．【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查完全平方公式，根据完全平方公式，确定a和b的值，直接计算即可． 【详解】∵在公式中，对应，有，， ∴， 故公式中的对应的是， 故选B． 5．【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式，将已知条件代入求解． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴． 故选：A． 6．【答案】A 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式与图形面积关系，解题的关键是理解题意；由图形分别表示两个图形阴影部分的面积，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知：图1表示阴影部分的面积为； 图2表示阴影部分的面积为， ∴； 故选A． 7．【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征及平方差公式的应用，本题先利用关于y轴对称的点的坐标特征求出和的值，再运用平方差公式计算的值． 【详解】∵点与点关于轴对称， ∴根据关于轴对称的点的坐标性质：纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴，， ∴． 故选：A． 8．【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】根据完全平方公式的特征判断即可得到k的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 即或，故D正确． 9．【答案】C 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式混合运算在面积中的应用，正确用含，，的代数式表示出、和、是解题关键．用含，，的代数式表示出图1、图2中阴影部分的周长和面积，可得、，代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，得：长方形的长为，宽为， 则，， ， ， ，， ， ∴ ∴， 解得：， 故选：C． 10．【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】运用平方差公式，结合化简求值即可． 【详解】解：原式 ． 11．【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方公式的结构特征，明确式子中首尾两项与中间项的关系，进而求解的值． 【详解】解：是完全平方式， ， ． 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了利用几何图形面积推导乘法公式．通过大正方形的面积两种表示方法进行求解即可得解． 【详解】解：根据题意，大正方形的面积为， 也可以表示为 则可以得到的乘法公式是， 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．【答案】192 【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算 【分析】读懂题意并根据所给的式子寻找规律,将展开，即可求解． 【详解】解：观察发现，， ， ∴， ， ∴． 15．【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】同底数幂相乘、运用平方差公式进行运算、同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整式的运算和数字计算，涉及幂的运算、整式的乘法、平方差公式和完全平方公式的应用． 解题时需熟练掌握相关公式和运算法则． （1）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，再计算同底数的除法，最后合并同类项，即可求解； （2）计算幂的乘方以及单项式乘以多项式，最后合并同类项，即可求解； （3）根据平方差公式变形即可求解； （4）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 16．【答案】(1) (2) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系．会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到． （1） 分别表示大正方形，小正方形和长方形面积，由图知大正方形面积四个长方形面积=小正方形面积，可得它们之间的关系． （2）直接把（1）中得到的关系式用的值对应替换即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积可表示为： 或 ∴． （2）∵， ∴ ； 17．【答案】(1)①；②p的取值范围为 (2)m，n满足的关系式 【知识点】构造二元一次方程组求解、求不等式组的解集、整式的混合运算 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及整式的混合运算，正确理解题意是解题关键． （1）①根据定义求出，即可建立关于m，n的二元一次方程组求解；②分别表示出、即可求解； （2）分别表示出，令其相同项的系数相等即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴ 解得： ②∵， ∴ 解得：； 解得： ∴ （2）解：∵， ∴ 整理得： ∵对于任意实数x，y都成立， ∴ 18．【答案】(1)B (2)①3；② 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了矩形的面积公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键，（1）分别表示左图和右图中的阴影部分的面积，根据面积相等得出结论；（2）由（1）的规律，利用平方差公式，将整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：由题可得：左图中阴影部分的面积为：， 右图阴影部分的面积为：， ∴， 故选：B． （2）①解：∵， ∴， ∵， ∴， ②解： ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $