1.4 正方形的性质与判定 课时作业 2026-2027学年北师大版数学 九年级上册

**基本信息** 分层清晰，基础巩固聚焦正方形性质与判定的直接应用，能力提升深化综合推理与几何直观，适配新授课知识内化与思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点（性质辨析、边长/对角线计算、判定条件）|选择填空直接考查性质差异（如菱形与正方形对角线区别）、面积公式应用，解答题验证性质与判定（如证对角线垂直平分且相等的四边形是正方形）| |能力提升|综合应用（全等证明、相似比、几何综合）|解答题结合相似（如AN∶NC=1∶2）、等边三角形（如求∠DAE度数），发展推理能力与空间观念|

第一章 第4节　正方形的性质与判定　课时作业 北师大版数学九年级上册　同步课时训练 班级：__________　姓名：__________　得分：__________ ■ 知识点一　正方形的性质 知识点归纳 定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 性质：正方形既是矩形又是菱形，因此它同时具有矩形和菱形的所有性质：①四条边都相等；②四个角都是直角；③对角线相等，互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；④是轴对称图形（4条对称轴），也是中心对称图形。 面积公式：设正方形边长为a，对角线长为d，则 S = a² = d²。 ■ 知识点二　正方形的判定 知识点归纳 判定思路一：先证是矩形，再证有一组邻边相等（或对角线互相垂直）。 判定思路二：先证是菱形，再证有一个角是直角（或对角线相等）。 常用判定：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；③对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。 图1　正方形ABCD及其对角线 ■ 基础巩固 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A. 四条边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 2. 正方形的对角线长为6，则正方形的边长为（　　） A. 6 B. 12 C. 3 D. 6 3. 下列命题正确的是（　　） A. 对角线相等的菱形是正方形 B. 四个角都相等的四边形是正方形 C. 四条边相等的四边形是正方形 D. 对角线相等的四边形是正方形 4. 正方形ABCD的边长为4，则对角线AC的长为（　　） A. 4 B. 8 C. 4 D. 2 5. 在下列条件中，能判定四边形ABCD（已知是矩形）为正方形的是（　　） A. AC = BD B. AC⊥BD C. AB = BC = CD D. ∠A = 90° 6. 正方形的面积为18，则它的对角线长为（　　） A. 6 B. 3 C. 6 D. 9 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 正方形的一条对角线长为10，则该正方形的面积为__________。 8. 在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，图中共有__________个等腰直角三角形（仅数由顶点和O构成的最基本三角形）。 9. 菱形ABCD中，再添加条件__________（写出一个即可），可以判定它是正方形。 10. 正方形的周长为24，则它的对角线长为__________。 11. 在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，则BE__________DE（填“>”“<”或“=”）。 12. 矩形ABCD中，再添加条件__________（写出一个即可），可以判定它是正方形。 三、解答题 13. （6分）如图2，正方形ABCD的边长为6，求对角线AC的长和正方形的面积，并比较两种计算面积方法（a²与d²）的结果是否一致。 图2 14. （6分）如图3，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直平分且相等，垂足为O。求证：四边形ABCD是正方形。 图3 15. （6分）在菱形ABCD中，∠ABC = 90°。求证：四边形ABCD是正方形。 16. （6分）如图4，正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE。若∠AEB = 60°，AB = 2，求BE的长。 图4 ■ 能力提升 17. （5分）如图5，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接BE、DE。求证：BE = DE。 图5 18. （5分）正方形的对角线长为8，求正方形的边长和面积。 19. （5分）如图6，在正方形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC相交于点N。求证：AN∶NC = 1∶2。 图6 20. （5分）已知正方形ABCD的面积为25，对角线AC、BD相交于点O，求△AOB的面积。 21. （5分）如图7，正方形ABCD中，F是CD的中点，BF与AC相交于点G。求AG∶GC的值。 图7 22. （5分）如图8，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，连接AE。求∠DAE的度数。 图8（示意：E在CD外侧构成等边三角形CDE） ■ 参考答案与解析 1. 【答案】B 【解析】四条边相等、对角线互相垂直、对角线互相平分都是菱形本身具有的性质； 对角线相等是矩形特有、菱形不一定具有（除非是正方形）的性质。 故选 B。 2. 【答案】A 【解析】正方形对角线与边长关系：d = a，∴a = = = 6。 故选 A。 3. 【答案】A 【解析】A项，菱形四边已相等，再有对角线相等，由矩形判定定理可知它也是矩形，既是菱形又是矩形，即为正方形，正确； B项，四个角都相等的四边形只能判定为矩形（四个角都是90°），不能确定四边相等，不一定是正方形，错误； C项，四条边相等只能判定为菱形，不能确定有直角，不一定是正方形，错误； D项，对角线相等的四边形不一定是平行四边形（例如等腰梯形的对角线也相等），错误。 故选 A。 4. 【答案】C 【解析】正方形边长为4，对角线 = = = 4。 故选 C。 5. 【答案】C 【解析】已知四边形ABCD是矩形，AC=BD、∠A=90°是矩形本身固有性质，不提供新信息； AC⊥BD（对角线垂直）能判定矩形是正方形；AB=BC=CD 说明有一组邻边相等，同样能判定为正方形。 本题选项C为最直接、无歧义的判定条件。 故选 C。 6. 【答案】A 【解析】正方形面积 S = d²，18 = d²，d² = 36，d = 6。 故选 A。 7. 【答案】50 【解析】正方形面积 = d² = ×10² = ×100 = 50。 8. 【答案】4 【解析】正方形对角线互相垂直平分，将正方形分成4个全等的等腰直角三角形：△AOB、△BOC、△COD、△DOA。 9. 【答案】∠ABC = 90°（答案不唯一，AC = BD也可） 【解析】菱形已具备四边相等，再添加“有一个角是直角”这一条件，由“有一个角是直角的菱形是正方形”即可判定； 也可添加“对角线相等”，由“对角线相等的菱形是正方形”判定。 10. 【答案】6 【解析】正方形周长为24，边长 = 24÷4 = 6，对角线 = ×边长 = 6。 11. 【答案】= 【解析】在正方形ABCD中，对角线AC垂直平分BD（正方形对角线性质），E在AC上， 由“垂直平分线上的点到线段两端点距离相等”，得BE = DE。 12. 【答案】AB = BC（答案不唯一，AC⊥BD也可） 【解析】矩形已具备一个角是直角，再添加“一组邻边相等”，由“有一组邻边相等的矩形是正方形”即可判定； 也可添加“对角线互相垂直”，由“对角线互相垂直的矩形是正方形”判定。 13. 【答案】AC = 6；面积为36，两种方法结果一致 【解析】对角线 AC = = = 6。 方法一：S = a² = 6² = 36。 方法二：S = d² = ×(6)² = ×72 = 36。 两种方法结果一致，均为36，验证了公式 S = d² 的正确性。 14. 【答案】见解析 【解析】证明：∵AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形； 又∵AC = BD，∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）； 又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）； ∴四边形ABCD既是矩形又是菱形，即四边形ABCD是正方形。 15. 【答案】见解析 【解析】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴四条边都相等，即四边形ABCD首先是特殊的平行四边形（邻边相等）； 又∵∠ABC = 90°，即菱形有一个角是直角， 由“有一个角是直角的菱形是正方形”，得四边形ABCD是正方形。 16. 【答案】 【解析】在正方形ABCD中，∠B = 90°（即∠ABE = 90°），AB = 2。 在Rt△ABE中，∠ABE = 90°，∠AEB = 60°，由正切定义：tan∠AEB = ， 即 tan60° = = ，解得 BE = = 。 17. 【答案】见解析 【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD（对角线互相垂直平分），垂足为O。 ∵E在OC上，即E在直线AC上，也就是E在BD的垂直平分线上， 由“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，得BE = DE。 18. 【答案】边长为4，面积为32 【解析】设正方形边长为a，对角线为d = 8，由 d = a，得 a = = 4。 面积 = d² = ×64 = 32（也可用 a² = (4)² = 32 验证）。 19. 【答案】见解析 【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB = CD。 ∵AB∥CD，∴∠MAN = ∠DCN，∠AMN = ∠CDN（两直线平行，内错角相等）。 ∴△AMN ∽ △CDN（AA）。 ∴ = 。 ∵M是AB的中点，∴AM = AB。又AB = CD，∴AM = CD，即 = 。 ∴ = ，即 AN∶NC = 1∶2。 20. 【答案】6.25 【解析】正方形面积为25，对角线将正方形分成4个全等的三角形（△AOB、△BOC、△COD、△DOA）， ∴S△AOB = 25÷4 = 6.25。 21. 【答案】2∶1 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB = CD。 ∵AB∥DF（F在CD上），∴∠GAB = ∠GCF，∠GBA = ∠GFC（两直线平行，内错角相等）。 ∴△ABG ∽ △CFG（AA）。 ∴ = 。 ∵F是CD的中点，∴CF = CD = AB。 ∴ = 2。 ∴AG∶GC = 2∶1。 22. 【答案】15° 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AD = CD，∠ADC = 90°。 ∵△CDE是等边三角形，∴DE = CD，∠CDE = 60°。 ∴AD = DE（都等于CD），△ADE是等腰三角形。 ∵E在正方形外侧，∴∠ADE = ∠ADC + ∠CDE = 90° + 60° = 150°。 在等腰△ADE中，AD = DE，顶角∠ADE = 150°， ∴∠DAE = ∠DEA = = 15°。 学科网（北京）股份有限公司 $