1.4 正方形的性质与判定 课后作业2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦正方形性质与判定，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，实现从单一知识点到综合应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|正方形性质、判定及与矩形菱形比较|以选择填空为主，如第1题对比对角线性质，第8题判定真命题，强化概念理解| |能力提升|正方形与菱形、矩形综合判定，简单动点与最值|如第7题添加条件证正方形，第14题矩形中PE+PF最小值，培养推理与转化能力| |综合拓展|折叠、旋转及跨知识综合应用|如第5题折叠求BE长，第19题正方形旋转综合题，发展空间观念与创新意识|

1.4 正方形的性质与判定 课后作业2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 2．如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE＝AC，连接AE交CD于点F，则∠E＝（   ） A．22.5° B．30° C．35° D．45° 3．如图，E为正方形内一点，，，连接，若，则的长为（    ） A． B．10 C．6 D． 4．如图，点是正方形的边上的一点，线段交于点，连接．下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形ABCD中，，点E，F分别在边AB，CD上，．若将四边形EBCF沿EF折叠，点恰好落在AD边上．则BE的长度为（    ） A．2 B． C． D．4 6．若四边形ABCD是 甲 ，则四边形ABCD一定是 乙 ，甲、乙两空可以填（    ） A．平行四边形，矩形 B．矩形，菱形 C．菱形，正方形 D．正方形，平行四边形 7．如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 8．下列命题中，真命题的是（    ） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．三条边相等的四边形是菱形 D．一组邻边相等的矩形是正方形 9．如图，四边形与四边形均为正方形，点在上，过点作，分别交，于，，则知道以下哪条线段的长度就可以求出阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 10．如图，在四边形中，，，、相交于点，关于四边形的形状，甲、乙、丙三人的说法如下： 甲：若添加，则四边形为菱形； 乙：若添加，则四边形为矩形； 丙：若添加，则四边形为正方形． 他们说法正确的是（    ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．都正确 二、填空题 11．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以适当长为半径画弧，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点；再分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限相交于点，连接，．若，则点的坐标为______． 12．四边形的对角线、满足条件:______时，顺次连接四边形各边的中点所得四边形是矩形． 13．如图1，菱形的对角线与相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为，点Q的运动路线为．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为__________厘米． 14．如图，在矩形中，，，点P是对角线上一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作于点E，过点P作于点F，连接，则的最小值为______． 15．如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接、，则、和之间的数量关系为：________． 三、解答题 16．如图，图、图、图均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为．点A，点都在格点上，按下列要求作图，使所画图形的顶点都在格点上，并且所画图形均不全等． (1)在图中，以A，，，为顶点画一个四边形，使其为轴对称图形． (2)在图中，以A，，，为顶点画一个面积为的平行四边形． (3)在图中，以A，，，为顶点画一个正方形． 17．如图，在矩形中，点E，F分别在边上，，且，与相交于点G．求证：矩形为正方形； 18．如图，点E在正方形内，且满足，，，求图中阴影部分的面积．    19．综合探究 (1)如图1，已知正方形和正方形中，点，，在同一直线上，连接，，则和的数量关系为__________，位置关系为__________； (2)如图2，将图1中的正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度，旋转角为，和交于点．试判断和的数量和位置关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，，则长为__________． 20．数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片和一张正方形纸片，要求同学们通过折叠，折出一些特殊角． (1)如图，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边上，折痕为，此时折出的 度； (2)如图，小刚受到小明折叠过程的启发，发现如果将长方形纸片对折，折痕为，然后展开，点为上一点，再将沿折叠，使点落到上的点处，此时 度； (3)如图，小慧将正方形纸片的沿过点的直线翻折，点的对应点落在正方形内部的点处，折痕为，再将沿过点的直线翻折，使点的对应点与点重合，折痕为． ①求的度数； ②若，求的长度． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A A D D C D A B 1．【答案】D 【知识点】正方形性质理解、利用菱形的性质证明、矩形性质理解 【分析】因为正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分． 【详解】解：根据矩形、菱形、正方形的对角线相互平分的性质，可知选D． 故选：D． 【点睛】此题综合考查了矩形、菱形、正方形的对角线的性质，熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键． 2．【答案】A 【知识点】根据正方形的性质求角度、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据正方形的性质可得∠ACB＝45°，再根据等腰三角形的性质即可得到结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝45°， ∴∠E＝∠CAE=45°， ∵CE＝AC， ∴∠E＝∠CAE＝∠ACB＝22.5°． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形外角的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 3．【答案】A 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是掌握以上知识点． 首先解直角三角形求出，然后根据正方形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． 故选：A． 4．【答案】A 【知识点】根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 证明和全等得，对于选项、C、，无法证明即可，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ∴， ∴，故选项A成立，符合题意； 无法证明、、， 故选：A 5．【答案】D 【知识点】正方形折叠问题 【分析】由正方形的性质得出∠EFD=∠BEF=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，由直角三角形的性质可得：2（3-x）=x，解方程求出x即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，∠A=90°， ∴∠EFD=∠BEF=60°， ∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B‘恰好落在AD边上， ∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E， ∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°， ∴B'E=2AE， 设BE=x，则B'E=x，AE=6-x， ∴2（6-x）=x， 解得x=4． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键． 6．【答案】D 【知识点】矩形的判定定理理解、正方形的判定定理理解 【分析】将各选项填入后，根据平行四边形、特殊平行四边形的关系逐一判断即可得． 【详解】A、若四边形是平行四边形，则四边形一定是矩形，此命题是假命题，则此项不符题意； B、若四边形是矩形，则四边形一定是菱形，此命题是假命题，则此项不符题意； C、若四边形是菱形，则四边形一定是正方形，此命题是假命题，则此项不符题意； D、若四边形是正方形，则四边形一定是平行四边形，此命题是真命题，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形、特殊平行四边形，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键． 7．【答案】C 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形．据此解答即可． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．即满足条件． 故选：C． 8．【答案】D 【知识点】证明四边形是菱形、矩形的判定定理理解、正方形的判定定理理解、判断命题真假 【分析】本题考查判断命题的真假，涉及平行四边形的判定、矩形、菱形和正方形的判定，根据相关特殊平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故原命题为假命题，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题是假命题，不符合题意； C、四条边都相等的四边形是菱形，故原命题是假命题，不符合题意； D、一组邻边相等的矩形是正方形，故原命题是真命题，符合题意， 故选：D． 9．【答案】A 【知识点】根据正方形的性质求面积、用勾股定理解三角形 【分析】连接，易得，进而得到，推出即可. 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，四边形为矩形，， ∵， ∴， ． 故只要知道线段的长就可以求出阴影部分的面积. 10．【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是菱形、证明四边形是矩形、证明四边形是正方形 【分析】由题意可得垂直平分，则，若添加，则，证明得出，从而可得，即可判断甲说法正确；添加，无法证明四边形为矩形，即可判断乙说法错误；当添加时，，从而可得，当添加时，四边形为菱形，再结合，即可判断丙说法正确． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴垂直平分， ∴， 若添加，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故甲说法正确； 添加，无法证明四边形为矩形，故乙说法错误； 当添加时，， ∴， 当添加时，四边形为菱形； ∵， ∴四边形为正方形，故丙说法正确； 综上所述，说法正确的有甲丙． 11．【答案】 【知识点】二次根式的除法、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，二次根式的运算，熟练根据作图确定是解题的关键．连接，，由作图可知，判定四边形是正方形，再在等腰直角中求出和即可解决． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可知， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 12．【答案】 【知识点】证明四边形是矩形、中点四边形 【分析】根据三角形的中位线性质得出，，，，求出，，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，根据，和求出，再根据矩形的判定得出答案即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形． 理由：点、、、分别是边、、、的中点，   ，，，， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， 即， 四边形是矩形， 即当时，顺次连接四边形各边中点所得的四边形为矩形， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定，三角形的中位线性质，中点四边形等知识点，能熟记平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定是解此题的关键． 13．【答案】 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】四边形是菱形，由图象可得AC和BD的长，从而求出OC、OB和．当点P在段上运动且P、Q两点间的距离最短时，此时连线过O点且垂直于．根据三角函数和已知线段长度，求出P、Q两点的运动路程之和． 【详解】由图可知，（厘米）， ∵四边形为菱形 ∴（厘米） ∴ P在上时，Q在上，距离最短时，连线过O点且垂直于． 此时，P、Q两点运动路程之和 ∵（厘米） ∴（厘米） 故答案为． 【点睛】本题主要考查菱形的性质和三角函数．解题的关键在于从图象中找到菱形对角线的长度． 14．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、四边形中的线段最值问题 【分析】利用勾股定理得出，证明四边形是矩形，从而得到，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，最后根据，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 矩形， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， ， ， ， ． 15．【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明 【分析】由正方形的性质结合已知条件得出四边形是矩形，都为等腰直角三角形，由勾股定理得出，连接，证明，由全等三角形的性质得出，由勾股定理得出，进而可得出． 【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，都为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 连接，如图所示：    ∵四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ． 即． 16．【答案】(1) 如图，四边形为所作； (2) 如图，平行四边形为所作； (3) 如图，正方形为所作； 【知识点】利用平行四边形的性质求解、正方形性质理解、画轴对称图形 【分析】直接利用轴对称图形的性质得出一个符合题意的图形； 直接利用平行四边形的性质得出一个符合题意的图形； 直接利用正方形的性质得出一个符合题意的图形． 此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握轴对称图形、平行四边形的性质以及正方形的性质是解题关键． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 17．【答案】 ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； 【知识点】证明四边形是正方形 【分析】由推导，利用有一组邻边相等的矩形是正方形解题． 【详解】略 【点睛】本题考查正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键． 18．【答案】76 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求面积 【分析】利用勾股定理求出正方形的边长，再计算正方形的面积，从而得到阴影部分面积． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 正方形的面积是． 的面积是， 阴影部分的面积是． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是利用勾股定理求出正方形的边长． 19．【答案】(1)， (2)解：，，理由如下： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，设和交于点， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴． (3) 【知识点】二次根式的乘法、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】（1）先证出，则，，再延长，交于点，得出，由此即可得； （2）先证出，则，，再设和交于点，得出，由此即可得； （3）先求出的长，，再得出点在上，点与点重合，则，在中，利用勾股定理可得的长，进而可得的长，然后根据即可得． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长，交于点， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴， ∴和的数量关系为，位置关系为． （2）解：略． （3）解：如图，连接，交于点， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴如图，点在上，此时点与点重合， ∴， ∴在中，， ∴， 同理可得：， ∴． 20．【答案】(1) (2) (3)①② 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据正方形的性质求线段长、正方形折叠问题 【分析】（1）根据折叠的性质可得，再由求解即可； （2） 添加辅助线，连接，得到为的垂直平分线，结合折叠的性质可得，，进而得到为等边三角形，从而可求解，由此可解； （3）①根据折叠可知，，，再结合，求解即可； ②先由折叠的性质得到，，再由直角三角形中的勾股定理建立关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠的性质可得， ， ，即， ； （2）解：连接，如图， 将长方形纸片对折，折痕为， 为的垂直平分线， ， 再由折叠的性质可得，， ， 为等边三角形， ， ， ； （3）解：①由折叠性质可知：，． 四边形是正方形， ， 即． ； ②四边形是正方形， ， 由折叠可得，， ， ，， ， ， 中，， ， 即，解得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $