26.4 实际问题与二次函数 课时作业 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 同步练·初中数学·新授课，覆盖二次函数的最值、最大利润、面积最值、抛物线型问题及自变量取值范围影响，通过三级分层设计实现从基础巩固到综合应用再到拓展探究的知识进阶，培养模型意识、推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础达标|二次函数最值、简单面积/利润问题|基础题型（如直接求最值、简单销售利润），强化运算能力与模型意识| |B组能力提升|含参数最值、跨情境综合应用（隧道/投篮）|综合题型（如货车过隧道、高尔夫球飞行轨迹），发展推理能力与几何直观| |C组拓展探究|动点问题、含参数面积最值讨论|探究题型（如双动点面积、墙长参数化问题），培养创新意识与问题解决能力|

26.4　实际问题与二次函数　课时作业 人教版·九年级上册·第二十六章　二次函数　　建议用时：45分钟　　满分：100分 一、学习目标 1．能根据实际问题中的数量关系列出二次函数解析式，并确定自变量的取值范围。 2．会利用二次函数的性质求实际问题中的最大（小）值，解决最大利润、最大面积等问题。 3．会根据抛物线型实际问题（拱桥、隧道、喷泉、投篮、铅球等）建立适当的平面直角坐标系，求出解析式并解决问题。 4．体会二次函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型，发展数学建模能力。 二、知识点梳理 知识点1　二次函数的最值 二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）配方得 ，顶点坐标为 。 当 a<0 时，抛物线开口向下， 时 y 有最大值 ；当 a>0 时，抛物线开口向上， 时 y 有最小值 。 用二次函数解决实际问题的一般步骤： （1）审题：弄清问题中的常量、变量及它们之间的关系，设出自变量和函数； （2）列式：根据等量关系列出二次函数解析式； （3）定范围：根据实际意义确定自变量的取值范围； （4）求最值：用配方法或顶点坐标公式求出最值，注意检验顶点横坐标是否在取值范围内； （5）作答：写出符合实际意义的答案。 知识点2　最大利润问题 基本关系：单件利润=售价-进价；总利润=单件利润×销售量。 常见设法： （1）设每件涨价 x 元：销售量随售价的升高而减少，如“每涨价 1 元，少卖 m 件”，则销售量为（原销售量-mx）件； （2）设每件降价 x 元：销售量随售价的降低而增加，如“每降价 1 元，多卖 n 件”，则销售量为（原销售量+nx）件； （3）也可以直接设售价为 x 元，此时涨价（或降价）的金额要用含 x 的式子表示。 【易错提醒】销售量、单件利润都不能为负数；题目中若要求“让顾客得到实惠”“尽快减少库存”，应在满足条件的解中选择售价较低（销量较大）的一个。 知识点3　几何图形的面积最值问题 用一个量（如边长 x）表示图形的其他边长，利用面积公式列出面积 S 关于 x 的二次函数，再求最值。 例如：用长为 L 的篱笆围成一个矩形，矩形一边长为 x，则另一边长为 ，面积 。当 ，即矩形为正方形时面积最大。 【易错提醒】靠墙围矩形时，与墙平行的边长不能超过墙长，这会限制 x 的取值范围，最值不一定在顶点处取得。 知识点4　抛物线型实际问题 解题关键是建立适当的平面直角坐标系，把实际问题中的长度转化为点的坐标。 常用的建系方法及对应的设法： 建系方法 抛物线的特点 设出的解析式 以顶点为原点，对称轴为 y 轴 顶点在原点 y=ax² 以对称轴为 y 轴，地面（水面）为 x 轴 顶点在 y 轴上 y=ax²+k 以起点（出手点）正下方的地面为原点 已知顶点 (h，k) y=a(x-h)²+k 以抛物线与 x 轴的两个交点所在直线为 x 轴 已知与 x 轴交于 (x₁，0)，(x₂，0) y=a(x-x₁)(x-x₂) 图1　以拱顶为原点建立坐标系 常见问题：已知“宽”求“高”，就是已知点的横坐标求纵坐标；已知“高”求“宽”，就是已知点的纵坐标求横坐标（注意宽度是两个横坐标之差）；“落地点”“落水点”对应 y=0。 知识点5　自变量取值范围对最值的影响 求二次函数在 m≤x≤n 范围内的最值时，要先看顶点横坐标 h 是否在这个范围内。 顶点横坐标 h 的位置 a<0 时的最大值 a>0 时的最小值 m≤h≤n 在 x=h 处取得 在 x=h 处取得 h<m 在 x=m 处取得 在 x=m 处取得 h>n 在 x=n 处取得 在 x=n 处取得 【方法】顶点不在范围内时，利用函数在该范围内的增减性判断最值在哪个端点取得，也可以画出草图观察。 三、典例精析 例1（最大利润问题）　某文具店销售一种文具，每件进价 30 元。当售价为每件 40 元时，每天可卖出 200 件。市场调查发现：售价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件。 （1）设每件文具涨价 x 元，每天的销售利润为 y 元，求 y 与 x 之间的函数解析式； （2）售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）若物价部门规定该文具的售价不得高于每件 42 元，则售价定为多少元时，每天的利润最大？ 【解答】（1）涨价 x 元后，每件利润为 (40+x-30)=(10+x) 元，每天销售量为 (200-10x) 件。 所以 y=(10+x)(200-10x)=-10x²+100x+2000。 由 200-10x≥0 且 x≥0，得 0≤x≤20。 （2）y=-10x²+100x+2000=-10(x-5)²+2250。 因为 -10<0，所以当 x=5 时，y 有最大值 2250，此时售价为 40+5=45（元）。 答：售价定为 45 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 2250 元。 （3）由 40+x≤42，得 0≤x≤2。因为 x<5 时，y 随 x 的增大而增大，所以当 x=2 时，y 最大，最大值为 -10×(2-5)²+2250=2160。 答：售价定为 42 元时，每天的利润最大，为 2160 元。 【点评】第（3）问中，顶点横坐标 x=5 不在 0≤x≤2 内，最大值要在端点处取得，这是本节课的易错点。 例2（几何面积问题）　如图，某农户准备利用一面长 15 m 的墙，用长 24 m 的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园 ABCD（墙的一部分作为边 AD）。设 AB 的长为 x m，菜园的面积为 S m²。 例2图 （1）求 S 与 x 之间的函数解析式，并写出 x 的取值范围； （2）若菜园的面积为 45 m²，求 AB 的长； （3）菜园的面积能否达到 50 m²？菜园面积的最大值是多少？ 【解答】（1）因为共有三道与墙垂直的篱笆，所以 BC=(24-3x) m， S=x(24-3x)=-3x²+24x。 由 0<24-3x≤15 得 3≤x<8，所以 x 的取值范围是 3≤x<8。 （2）令 -3x²+24x=45，整理得 x²-8x+15=0，解得 x₁=3，x₂=5，都在 3≤x<8 内。 答：AB 的长为 3 m 或 5 m。 （3）S=-3x²+24x=-3(x-4)²+48。 因为 -3<0，x=4 在 3≤x<8 内，所以当 x=4 时，S 取得最大值 48。因为 48<50，所以菜园面积不能达到 50 m²，最大面积为 48 m²（此时 AB=4 m，BC=12 m）。 【易错】BC 是与墙平行的边，必须满足 BC≤15，不能遗漏。 例3（拱桥问题）　如图1，一座拱桥的截面是抛物线形，当水面宽 AB=12 m 时，拱顶离水面 4 m。以拱顶为原点 O、过拱顶的水平线为 x 轴建立平面直角坐标系。 （1）求抛物线的解析式； （2）当水面下降 1 m 时，水面宽度是多少？ （3）一艘宽 4 m、船顶高出水面 3 m 的货船，在正常水位（水面宽 12 m）时能否从桥下正中通过？ 【解答】（1）设抛物线的解析式为 y=ax²。由题意，点 B 的坐标为 (6，-4)， 代入得 36a=-4，，所以抛物线的解析式为 。 （2）水面下降 1 m 后，水面所在直线为 y=-5。令 ，得 x²=45，。 所以水面宽度为 （m）。 （3）船宽 4 m，从正中通过时，船的两侧对应 x=±2。当 x=2 时，。 此处拱桥离水面的高度为 （m），因为 ，所以货船能通过。 【点评】“已知高求宽”时，得到的两个横坐标互为相反数，宽度是它们的差；“已知宽求高”时要先把宽度的一半作为横坐标。 四、课时作业 A组　基础达标 一、选择题 1．某商品每天的利润 y（元）与售价 x（元）之间的函数解析式为 y=-2x²+8x+10，则该商品每天的最大利润是（　　） A．8 元 B．10 元 C．18 元 D．20 元 2．用一根长 20 m 的绳子围成一个矩形，这个矩形的最大面积是（　　） A．20 m² B．25 m² C．50 m² D．100 m² 3．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度 h（m）与运动时间 t（s）之间的关系为 h=20t-5t²，则小球从抛出到达到最高点所用的时间是（　　） A．1 s B．2 s C．4 s D．20 s 4．当 2≤x≤4 时，二次函数 y=-(x-1)²+5 的最大值是（　　） A．5 B．4 C．-4 D．-3 二、填空题 5．汽车刹车后行驶的距离 s（m）与行驶时间 t（s）之间的函数关系为 s=10t-2t²，则汽车刹车后到停下来前进了________m。 6．已知两个正数的和为 10，则这两个数的积的最大值是________。 7．如图是一座抛物线形拱桥，建立如图所示的平面直角坐标系，拱顶 O 离水面 4 m，水面宽 AB=20 m，则抛物线的解析式为________________。 第7题图 8．某种产品每件的成本是 10 元，试销阶段每件的销售价 x（元）与日销售量 m（件）之间的关系为 m=-x+30。为获得最大日销售利润，每件产品的售价应定为________元，此时最大日利润是________元。 三、解答题 9．某商店销售一种商品，每件进价 20 元。经调查，每天的销售量 m（件）与售价 x（元/件）之间满足 m=-2x+100（20≤x≤50）。设每天的销售利润为 w 元。 （1）求 w 与 x 之间的函数解析式； （2）售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ （3）商店想要每天获得 400 元的利润，同时让顾客得到实惠，售价应定为多少元？ 10．某学校要用长为 28 m 的篱笆，一边靠墙（墙长 20 m）围成一个矩形生物园。设与墙垂直的一边长为 x m，矩形的面积为 S m²。 （1）求 S 与 x 之间的函数解析式，并写出 x 的取值范围； （2）当 x 为何值时，生物园的面积最大？最大面积是多少？ 11．如图，一名运动员推铅球，铅球出手后行进的高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的关系为 y=-0.1(x-3)²+2.5。 第11题图 （1）铅球出手时离地面的高度是多少？ （2）铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？此时铅球的水平距离是多少？ （3）求该运动员的成绩（即图中 OA 的长）。 12．如图，公园要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管顶端离地面 2.5 m，从顶端向四周喷出的水流呈形状相同的抛物线。以水管底部为原点建立如图所示的坐标系，右侧水流的解析式为 。 第12题图 （1）水流的最大高度是多少？此时离水管的水平距离是多少？ （2）如果不计其他因素，水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不落到池外？ B组　能力提升 一、选择题 13．当 -1≤x≤2 时，二次函数 y=x²-2x+3 的最大值和最小值分别是（　　） A．6，2 B．6，3 C．3，2 D．6，没有最小值 14．用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，则这个菜园的最大面积为（　　） A．100 m² B．108 m² C．112.5 m² D．225 m² 二、填空题 15．一个直角三角形的两条直角边长的和为 8 cm，则这个直角三角形面积的最大值是________cm²。 16．一名运动员打高尔夫球，球的飞行高度 h（m）与水平距离 x（m）之间的关系为 ，则球飞行的最大高度是________m，球从击出到落地的水平距离是________m。 三、解答题 17．如图，某隧道的截面由矩形和抛物线组成，矩形的长为 8 m，宽为 2 m，隧道的最高点离地面 6 m。以矩形底边（地面）的中点为原点、地面所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系。 第17题图 （1）求抛物线部分的解析式； （2）一辆高 4.2 m、宽 2.4 m 的货车沿隧道中线行驶，能否通过隧道？ （3）若隧道内为双向行车道（以中线为界），这辆货车在右侧车道内紧靠中线行驶，能否通过隧道？ 18．如图，小亮在距篮筐中心水平距离 5 m 处跳起投篮，篮球出手时离地面 2 m，篮球运行的路线是抛物线。当篮球运行的水平距离为 3 m 时，达到最大高度 3.8 m，篮筐中心离地面 3 m。以篮球出手点正下方的地面为原点、地面为 x 轴建立平面直角坐标系。 第18题图 （1）求篮球运行路线的解析式； （2）通过计算判断此球能否准确投中； （3）在小亮出手时，对方队员在小亮前方水平距离 1 m 处跳起拦截，他的最大摸高为 3.1 m，他能否拦截成功？ 19．某超市销售一种水果，进价为每千克 8 元，当售价为每千克 16 元时，每天可售出 100 kg。调查发现，售价每降低 1 元，每天可多售出 20 kg。设每千克降价 x 元，每天的销售利润为 y 元。 （1）求 y 与 x 之间的函数解析式，并求售价为多少时每天的利润最大，最大利润是多少； （2）若超市要求每天的销售量不少于 150 kg，则售价定为多少时每天的利润最大？最大利润是多少？ 20．如图，抛物线 y=-x²+4 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），矩形 CDEF 的顶点 C，D 在 x 轴上，顶点 E，F 在抛物线上（点 D，E 在 y 轴右侧）。 第20题图 （1）求点 A，B 的坐标； （2）设点 D 的坐标为 (m，0)，用含 m 的式子表示矩形 CDEF 的周长 L； （3）求矩形 CDEF 周长的最大值，并求出此时点 E 的坐标。 C组　拓展探究 21．如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm。点 P 从点 A 出发，沿 AB 边以 1 cm/s 的速度向点 B 移动；同时点 Q 从点 B 出发，沿 BC 边以 2 cm/s 的速度向点 C 移动。当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为 t s。 第21题图 （1）求 △PBQ 的面积 S（cm²）与 t 之间的函数解析式，并写出 t 的取值范围； （2）当 t 为何值时，△PBQ 的面积最大？最大面积是多少？ （3）求四边形 APQC 面积的最小值； （4）当 △PBQ 的面积为 5 cm² 时，求 t 的值。 22．某农户销售一种农产品，成本为每千克 10 元。经统计，在 30 天的销售期内，第 x 天（1≤x≤30，x 为整数）的售价 p（元/kg）与 x 之间的关系为 p=x+20，日销售量 q（kg）与 x 之间的关系为 q=-2x+80。设第 x 天的销售利润为 w 元。 （1）求 w 与 x 之间的函数解析式； （2）第几天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）在这 30 天中，共有多少天的日销售利润不低于 1200 元？ 23．在例 2 中（用长 24 m 的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园，AD 边靠墙），若墙长为 a m（0<a<24），其他条件不变。 （1）当 a=10 时，求菜园面积的最大值； （2）求菜园面积的最大值（用含 a 的式子表示）。 五、答案与解析 A组　基础达标 1．C　【解析】y=-2x²+8x+10=-2(x-2)²+18，因为 -2<0，所以当 x=2 时，y 有最大值 18。故选 C。 2．B　【解析】设矩形一边长为 x m，则另一边长为 (10-x) m，面积 S=x(10-x)=-(x-5)²+25，当 x=5 时 S 最大为 25 m²。故选 B。 【点评】周长一定的矩形中，正方形的面积最大。 3．B　【解析】h=20t-5t²=-5(t-2)²+20，当 t=2 时 h 最大，所以小球经过 2 s 到达最高点，最大高度为 20 m。故选 B。 4．B　【解析】抛物线开口向下，对称轴为直线 x=1。当 2≤x≤4 时，y 随 x 的增大而减小，所以当 x=2 时，y 取最大值 -(2-1)²+5=4。故选 B。 【易错】不能直接认为最大值是顶点纵坐标 5，因为 x=1 不在 2≤x≤4 内。 5．12.5　【解析】s=10t-2t²=-2(t-2.5)²+12.5，当 t=2.5 时，s 取最大值 12.5，即汽车刹车后经过 2.5 s 停下，前进了 12.5 m。 6．25　【解析】设其中一个数为 x，则另一个数为 10-x，积 y=x(10-x)=-(x-5)²+25，最大值为 25。 7．　【解析】设 y=ax²，由题意，点 B 的坐标为 (10，-4)，代入得 100a=-4，。 8．20；100　【解析】日利润 w=(x-10)(-x+30)=-x²+40x-300=-(x-20)²+100，所以当 x=20 时，w 取最大值 100。 9．解：（1）w=(x-20)(-2x+100)=-2x²+140x-2000（20≤x≤50）。 （2）w=-2x²+140x-2000=-2(x-35)²+450。 因为 -2<0，x=35 在 20≤x≤50 内，所以当 x=35 时，w 有最大值 450。 答：售价定为 35 元时，每天的利润最大，最大利润是 450 元。 （3）令 -2(x-35)²+450=400，得 (x-35)²=25，x-35=±5，解得 x₁=30，x₂=40。 为了让顾客得到实惠，售价应定为 30 元。 【点评】两个售价都能获得 400 元利润，“让顾客得到实惠”要取较低的售价。 10．解：（1）与墙平行的一边长为 (28-2x) m，所以 S=x(28-2x)=-2x²+28x。 由 0<28-2x≤20 得 4≤x<14，所以 x 的取值范围是 4≤x<14。 （2）S=-2x²+28x=-2(x-7)²+98。 因为 -2<0，x=7 在 4≤x<14 内，所以当 x=7 时，S 有最大值 98。 答：当 x=7 时生物园面积最大，最大面积为 98 m²（此时与墙平行的边长为 14 m，小于墙长 20 m）。 11．解：（1）当 x=0 时，y=-0.1×(0-3)²+2.5=-0.9+2.5=1.6，所以铅球出手时离地面的高度是 1.6 m。 （2）因为 -0.1<0，所以当 x=3 时，y 有最大值 2.5。即铅球离地面的最大高度是 2.5 m，此时水平距离是 3 m。 （3）令 y=0，得 -0.1(x-3)²+2.5=0，(x-3)²=25，x-3=±5，解得 x₁=8，x₂=-2（不合题意，舍去）。 所以 OA=8 m，该运动员的成绩是 8 m。 【易错】铅球落在出手点前方，x 应取正值，x=-2 要舍去。 12．解：（1）因为 ，所以当 x=2 时，y 有最大值 4.5。即水流的最大高度是 4.5 m，此时离水管的水平距离是 2 m。 （2）令 y=0，得 ，(x-2)²=9，x-2=±3，解得 x₁=5，x₂=-1（舍去）。 所以水流落地点离水管 5 m，水池的半径至少为 5 m。 B组　能力提升 13．A　【解析】y=x²-2x+3=(x-1)²+2，开口向上，对称轴为直线 x=1，在 -1≤x≤2 内。 当 x=1 时，y 最小为 2；当 x=-1 时，y=6；当 x=2 时，y=3。因为 x=-1 离对称轴更远，所以最大值为 6。故选 A。 14．C　【解析】设与墙垂直的边长为 x m，则与墙平行的边长为 (30-2x) m，由 0<30-2x≤18 得 6≤x<15。 S=x(30-2x)=-2(x-7.5)²+112.5，x=7.5 在范围内，所以最大面积为 112.5 m²。故选 C。 15．8　【解析】设一条直角边长为 x cm，则另一条为 (8-x) cm，面积 ，最大值为 8。 16．10；60　【解析】当 x=30 时，h 有最大值 10。令 h=0，得 (x-30)²=900，x-30=±30，x₁=0（击球点），x₂=60，所以球从击出到落地的水平距离为 60 m。 17．解：（1）由题意，抛物线的顶点为 (0，6)，且经过点 (4，2)。 设抛物线的解析式为 y=ax²+6，把 (4，2) 代入得 16a+6=2，。 所以抛物线部分的解析式为 （-4≤x≤4）。 （2）货车沿中线行驶，车的两侧离中线各 1.2 m。当 x=1.2 时，。 因为 5.64>4.2，所以货车能通过隧道。 （3）货车在右侧车道紧靠中线行驶，车的右侧对应 x=2.4。当 x=2.4 时，。 因为 4.56>4.2，且在 0≤x≤2.4 内隧道高度都不低于 4.56 m，所以货车能通过隧道。 【点评】判断车辆能否通过，关键是找出车辆最“危险”的位置，即车顶离隧道壁最近的点（车的外侧边缘）。 18．解：（1）由题意，抛物线的顶点为 (3，3.8)，且经过点 (0，2)。 设 y=a(x-3)²+3.8，把 (0，2) 代入得 9a+3.8=2，a=-0.2， 所以篮球运行路线的解析式为 。 （2）当 x=5 时，，恰好等于篮筐中心的高度，所以此球能准确投中。 （3）当 x=1 时，。 因为对方队员的最大摸高 3.1 m 大于 3 m，所以他能拦截成功。 19．解：（1）降价 x 元后，每千克利润为 (16-x-8)=(8-x) 元，每天销售量为 (100+20x) kg。 y=(8-x)(100+20x)=-20x²+60x+800（0≤x<8）。 y=-20(x-1.5)²+845，所以当 x=1.5 时，y 有最大值 845，此时售价为 16-1.5=14.5（元）。 答：售价为每千克 14.5 元时，每天的利润最大，最大利润为 845 元。 （2）由 100+20x≥150，得 x≥2.5，所以 2.5≤x<8。 因为当 x>1.5 时，y 随 x 的增大而减小，所以当 x=2.5 时，y 最大，最大值为 (8-2.5)×(100+20×2.5)=5.5×150=825。 答：售价定为每千克 13.5 元时，每天的利润最大，最大利润为 825 元。 【易错】第（2）问中顶点 x=1.5 不在取值范围内，最大值在端点 x=2.5 处取得，而不是 845 元。 20．解：（1）令 y=0，得 -x²+4=0，x₁=-2，x₂=2，所以 A(-2，0)，B(2，0)。 （2）由抛物线关于 y 轴对称可知，C(-m，0)，E(m，4-m²)，其中 0<m<2。 所以 CD=2m，DE=4-m²， L=2(CD+DE)=2(2m+4-m²)=-2m²+4m+8（0<m<2）。 （3）L=-2m²+4m+8=-2(m-1)²+10。 因为 -2<0，m=1 在 0<m<2 内，所以当 m=1 时，L 有最大值 10，此时 4-m²=3，点 E 的坐标为 (1，3)。 C组　拓展探究 21．解：（1）由题意，AP=t cm，PB=(6-t) cm，BQ=2t cm。 点 P 到达 B 需 6 s，点 Q 到达 C 需 4 s，所以运动时间 0<t≤4。 （0<t≤4）。 （2）S=-t²+6t=-(t-3)²+9，t=3 在 0<t≤4 内，所以当 t=3 时，△PBQ 的面积最大，为 9 cm²。 （3）（cm²），四边形 APQC 的面积为 24-S。 当 S 最大，即 t=3 时，四边形 APQC 的面积最小，最小值为 24-9=15（cm²）。 （4）令 -t²+6t=5，即 t²-6t+5=0，解得 t₁=1，t₂=5。 因为 0<t≤4，所以 t=5 舍去，t 的值为 1。 【点评】动点问题要先根据运动的时间确定取值范围，再列函数求最值；“四边形面积最小”可以转化为“三角形面积最大”。 22．解：（1）每千克利润为 p-10=x+10（元），所以 w=(x+10)(-2x+80)=-2x²+60x+800（1≤x≤30，x 为整数）。 （2）w=-2x²+60x+800=-2(x-15)²+1250。 因为 -2<0，x=15 在范围内，所以第 15 天的销售利润最大，最大利润为 1250 元。 （3）令 -2(x-15)²+1250=1200，得 (x-15)²=25，解得 x₁=10，x₂=20。 因为抛物线开口向下，所以当 10≤x≤20 时，w≥1200。 x 为整数，所以共有 20-10+1=11（天）的日销售利润不低于 1200 元。 【易错】第（3）问天数要算上两端，是 11 天，不是 10 天。 23．解：由例 2，S=x(24-3x)=-3(x-4)²+48，且 BC=24-3x 满足 0<24-3x≤a， 所以 x 的取值范围是 。 （1）当 a=10 时，。因为 ，当 x>4 时 S 随 x 的增大而减小， 所以当 时，S 最大，最大值为 （m²）。 （2）分两种情况讨论： ① 当 ，即 12≤a<24 时，x=4 在取值范围内，菜园面积的最大值为 48 m²； ② 当 ，即 0<a<12 时，S 随 x 的增大而减小，所以当 （此时 BC=a）时 S 最大， 最大值为 （m²）。 综上所述，当 12≤a<24 时，菜园面积的最大值为 48 m²；当 0<a<12 时，菜园面积的最大值为 m²。 【点评】含参数的最值问题，关键是比较顶点横坐标与取值范围端点的大小，分类讨论。墙足够长时在顶点处取最大值，墙较短时篱笆应“用满墙长”。 26.4 实际问题与二次函数 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $