2026—2027学年湘教版九年级数学上册第一次月考常考题型重难点突破训练卷（测试范围1、2章）（湖南省专用）

**基本信息** 湘教版九年级数学9月月考卷，聚焦相似三角形与锐角三角函数，通过动车行驶、电脑桌调节等真实情境题，融合几何直观与运算能力，适配月考重难点突破需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|比例线段、位似坐标、俯角计算|第7题动车行驶情境（空间观念）| |填空题|6/18|相似面积比、网格三角函数|第14题网格交点比（抽象能力）| |解答题|8/72|解直角三角形、位似作图、动态几何|23题电脑桌调节（应用意识）、24题折叠探究（推理能力）|

2026年9月份第一次月考常考题型重难点突破训练卷（测试范围1、2章） 湘教版2026—2027学年九年级数学上册（湖南省专用） (考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D．3 2．下面四组线段中，成比例的是（　　） A． B． C． D． 3．在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 4．如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，D、E分别为、边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 7．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 8．如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 9．如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 10．如图，将一张矩形纸片沿折叠，B点恰好落在边上，设此点为F，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．两个相似三角形面积比为，则对应高的比为______． 12．在中，点、分别在、上，，如果，的面积为，四边形的面积为，那么的长为______． 13．正方形如图所示，以原点O为位似中心，在第一象限内把正方形的各边缩小为原来的，则点C的对应点的坐标为_____________． 14．如图所示，在的正方形网格中，点、、、都在格点上，、相交于点，则的值是_____． 15．如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________． 16．如图，正方形的对角线相交于点，为边的中点，与相交于点，点在的延长线上，且，． （1）的长为________； （2）的长为________． 三、解答题（17、18题每题8分，19、20、21、22每题9分，23、24每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．计算： (1)； (2)． 18．如图，在中，，，，点在的延长线上，，求的长． 19．如图．在中，于点D，若． (1)求的长； (2)求的值． 20．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； (3)和关于点位似，直接写出点的坐标为______________． 21．已知，如图，是等边三角形，过边上的点D作，交于点G，在的延长线上取点E，使，连接． (1)求证： (2)延长交于点M，求证：． 22．如图，已知正方形中，平分且交边于点E，将绕点C顺时针旋转到的位置，并延长交于点G． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 23．如图1是可调节高度和桌面角度的电脑桌，它的左视图可以抽象成如图2所示的图形，底座长为，支架垂直平分，桌面的中点固定在支架处，宽为．身高为的使用者站立处点与点，在同一条直线上，． 点到点的距离是视线距离． (1)如图2，当，时，求视线距离的长； (2)如图3，使用者坐下时，高度下降，当桌面与的夹角为时，恰有视线，问需要将支架调整到多少？（参考数据：） 24．【问题情境】 在矩形中，点为线段上一点，连接，将沿所在的直线翻折，得到，延长交线段边于点，射线与射线交于点，如图（1）． (1)【问题解决】若，． ①当点是的中点时，求的长； ②当时，求的长； (2)【问题探究】连接，如图（2）．若为直角三角形，且满足，试探究线段与线段的数量关系． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D D D B A B D D 11． 12．4 13． 14．2 15． 16． 17．【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 18．【详解】解：在中，∵，， ∴， 在中，由勾股定理，得． 19．【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在中，， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 20．(1) 解：如图，即为所求； (2) 解：如图，即为所求； （3）解：如图，点即为所求． 可得． 21．(1)证明：∵是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴为等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； (2)证明：如图， ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴． 22．(1)证明：由旋转可知： ， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． (2)证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵由（1）可知：， ∴， ∴， ， 即， ∴， ∵， ∴， 由旋转可知：， ∴． 23．【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∴， 如图，连接，延长交于点， ∵，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 在中， ； （2）解：∵使用者坐下时，高度下降， ∴， 如图，延长交于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 24．【详解】（1）解：①∵四边形为矩形， ∴，，，， ∵点O是的中点， ∴， 根据折叠可得：； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据折叠可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； （2）解：当，点E与C重合时，为直角三角形，如图所示： 根据（1）可得：， ∵， ∴， 设，则，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 即， 整理得：， 解得：或（舍去）， ， ∴； 当，如图所示： ∵， ∴， 设，则，设， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上，或 学科网（北京）股份有限公司 $