2026—2027学年湘教版九年级数学上册第一次月考重难点突破训练卷（测试范围1、2章）（湖南省专用）

**基本信息** 湘教版九年级数学月考卷聚焦1-2章核心知识，以比例线段、相似三角形、锐角三角函数为重点，通过路灯影子（23题）等生活情境题与正方形旋转综合题（24题），实现基础巩固与推理能力的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|比例线段、相似判定|基础概念辨析，如成比例线段计算| |填空题|6/18|位似、坡度、矩形性质|结合几何图形，如等边三角形运动问题| |解答题|8/72|相似应用、锐角三角函数、图形变换|生活情境（路灯影子）与综合推理（正方形旋转），体现应用意识与推理能力|

2026年9月份第一次月考重难点突破训练卷（测试范围1、2章） 湘教版2026一2027学年九年级数学上册（湖南省专用） (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分) 1.四条线段a,b,c,d成比例，其中b=3c,c=8c,d=12c,则a=() A.2cm B.4cm C.6cm D.8cn 2.在Rt△ABC中.∠C=90°si4s3 2,则tanB的值为() 3 √5 1 A.2 B.3 C.2 D.3 2I3 ,lsA,B,C,D,E,F AB=2,BC=4 DE=3 3.如图，直线 分别交直线 于点 ,已知 ,则EF的长是() A.3 B.4 C.6 D.9 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2,AB=4,则cosB的值为() A B A号 5 B.2 C.3 D.5 x2 x+y 5.已知y3,那么x-y的值为()， A.5 B.-5 6.如图，在口ABCD中，E为CD上一点，连接AE,BD,且AE,BD交于点 F,5.gSs=4:25,则Sm8m=（） B A.2:3 B.2:5 C.3:5 D.3:2 7.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB,垂足为D,CD=1,则AB的长 为() 3 A.2 B.2V5 C.3+1 D.5+1 8.如图，己知∠I=∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是() A怨0 B.∠B=D C.∠C=LAED n8能 9.如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E,若 BF:FD=3:1,BC=10,则CE的长为() A.3 B.4 c.5 。.9 10.如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB延长线上的点O 重合.DE交BC于点F,交AB延长线于点E.DO交BC于点P,DM⊥AB于点M, AM=4:则下列结论，①D0=0,@0=3,③BP= 8,④BD∥FQ.正确的是 () MB A.①②③ B.②④ C.①③④ D.①②③④ 二、填空题（每小题3分，满分18分） OB 1 11.如图，AD与BC相交于点0，∠A=∠B,OA3,AC=6,则BD的长为 BP 1 12.如图，等边三角形ABC的边长为3，P为BC边上的一点，Cp2,D为AC边上的 一点，连接AP,PD,若∠APD=60°，则CD的长为 D 60 13.己知矩形ABCD中，若AB=4,BC=2,点E为CD的中点，F为AB上一点，连接 EF、DF,BF=5,则cosZEDF- 14.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=40海里，某船从港口A出发，沿北偏东 15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站0处测得该船位于北偏东60°的方向，则 该船航行的距离（即AB的长）是海里. 北 B 十东 60 A 15.如图，四边形ABCD和AB'CD'是以点O为位似中心的位似图形，若OA:OA=3:5, 则四边形ABCD与四边形A'B'CD的面积比是 D' B 16.如图，土坡ABCD是一个梯形，DC∥AB,斜坡AD长130米，坡度是1：2.4，沿AD 走上平台，可以坐电梯直达矩形观景台CDEF顶部EF,在点E观察坡底点A,俯角是45° ，则观景台的垂直高度ED为米. E G 三、解答题(17、18题每题8分，19、20、21、22每题9分，23、24每题10 分，共计72分，解答题要有必要的文字说明) 17.计算：2026°-iam60°+V l8.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE,垂足为F, A D B E C (1)求证：△MBE∽△DFA; (2)若AB=6,BC=4,求DF的长， 19,如图，在平面直角坐标系0中，△1BC的三个顶点坐标分别为4(2-2）， B(4,-5),C(5,-1) (1)在坐标系xO少中画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形△4BC: ②以点0为位似中心，将△48C放大为原来的2倍，得到△4，G,请在坐标系0中酒 0 △4，B2C2 出 20,如图，在0C中，∠B=45B=3N2.D是C中点，mC 5 D (1)求BC的长 (2)求tan∠ADB的值. 21.如图，在四边形ABCD中，点E在边CD上，DE=2CE,连接AC,AE.将△ABC 绕点E按顺时针方向旋转90°，得到△DBC,D,B,C分别是点A,B,C的对应点 A B E (1)点C在线段 上.（填“AC”AE”或“AD”) (2)若AD=4,求AC的长 (3)若点B在边AD上，求tan∠BAC的值. 22.如图所示，在矩形ABCD中，E是CD上一点，BF⊥AE于点F (I)求证：△ABF∽△EAD (2)若AB=2,BC=3,点E是边CD的中点，求BF的长. 23.如图，路灯(P点)距地面7.5米，身高15米的小明从距路灯的底部(O点)20米的 A点，沿AO所在直线行走14米到B点时. BN M (1)求小明在A点处的影子AM的长度： (2)当小明从A点走到B点，影子是变长了还是缩短了？并求出变长或变短了多少米？ 24.如图1，四边形ABCD为正方形，AB=10,将边BC绕点C顺时针旋转 a(90<a<180)至CE,连接DE,，BE,CD交BE于点F. 图1 图2 (I)用含a的代数式表示∠BEC和∠DEC的大小. (2)求证：BE·BF=2AB2 (3)如图2，作∠DCE和∠BCE的平分线分别交BE和ED的延长线于点G,H.若 HD=DE,求BG的长. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 A D E A 11.2 12.3 533 13.5或13 14 20W2 15.9:25 16.70 17.【详解】解：原式=1-5+5 =1 18.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， .∠B=90°，ADIIBC. ∴.∠AEB=∠DAF, .DF⊥AE, .∠DFA=90° .∠B=∠DFA, ∴.△ABE∽△DFA」 (2).△ABE∽△DFA, AB AE DE AD BC=4,E是BC的中点， BE-BC-1x4-2 2 2 ∴在RMBE中，AE=VAB2+BE=6+2=2N10 又AD=BC=4, 6-210 .DF4, or-5vin 5. 19.(1)如图所示，△4BG即为所求； (2) 如图所示， △A,B,C即为所求： B 20.【详解】(1)解：作AE⊥BC于点E, B E D :∠B=45°，AB=3V2∠AEB=90° ∴.∠A=∠B=∠45° AE=BE=AB·sin45°=3， 在RIAADE,anC= 5, ∴.CE=5AE=15 ∴.BC=BE+CE=3+15=18 (2)BC=18,点D为BC的中点， .BD=9 :DE BD-BE=6. ·an∠ADB=4E_31 DE62' 1 即BC=l8,tan∠ADB=。 2· 21.【详解】(1)解：将△ABC绕点E按顺时针方向旋转90°，得到△DBC,D是点A的 对应点，则∠AED=90°，∠AEC=90° C是点C的对应点， ∴点C在线段AE上. (2)解：由旋转可知，AE=DE,∠AED=90° 在Rt△AED中，AE2+DE2=AD2=42, .AE DE =22 DE =2CE. ..CE=2 ÷在RIAEC中，AC2=AE2+CE2=(22+(2)=10, ..AC=10 (负值已舍去). (3)解：如图，过点C'作CF1AD于点F. 设CE=x,则AE=DE=2x,CE=x, ..AC=x .∠AED=90° .∠EAD=∠EDA=45° 在RtCFA中 CF=AC.sin∠BAD=2、 2 r 在Rt△CED中，CD=VCE2+DE=V5x 在RtaC'FD中， DF=VCD-Cp3 ·ian∠B'Dc'=CF= 2x1 3· 2 -x 由旋转可知，∠BAC=∠B'DC, 1 .tan∠BAC= 3 B B E D 22.(1)证明：：四边形ABCD是矩形， .∠BAD=∠D=90°. :.∠EAD+∠BAF=90° .BF⊥AE, .∠AFB=90°=∠D,∠ABF+∠BAF=90°， ∴.∠ABF=∠EAD, ∴.△ABF∽△EAD (2)解：：四边形ABCD是矩形，AB=2,BC=3,点E是边CD的中点， 4B-CD-2.RC-AD-3.DE-TCD-1, 4E-VAD+DE+F0 ,△ABF∽△EAD BF AB ·ADAE BF 2 .3=10, ,BF=30 5. 23.【详解】(1)解：OP⊥OM,AC⊥OM, ∴.∠CAM=∠POM=90°」 .∠CMA=∠PMO .∴ACMA∽△PMO」 :AM_AC OM OP, A _1.5 AM+207.5, 解得AM=5(米)； (2)解：OA=20米，AB=14米， .0B=20-14=6(米)， BD⊥OM,OP⊥OM ∴.∠DBN=∠PON=90° .∠DNB=∠PNO」 .aDNB∽aPNO. :BN、BD ON OP, BN1.5 BN+67.5, 解得BN=1.5(米)， 所以当小明从A点走到B点，影子缩短了，缩短了5-1.5=3.5（米）， 24.【详解】(1)解：由旋转的性质可得∠BCE=α，BC=CE, ÷∠BBC=∠CBE=180P-∠BCE_180°-&=90°-C 2 2 2 在正方形ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD. ∴.∠DCE=a-90°，DC=EC, ∠DBC=∠CDB=180°-∠DCE_180°-a-90）-135-_g 2 2 2 (2)证明：如图所示，连接BD, d 由(1)得∠BEC=90°-C .∠DC=135- 2 ∴.∠DEB=∠DEC-∠BEC=45° 由正方形的性质可得∠BDF=45°，AB=AD,∠A=90° ∴.∠DEB=∠BDF 又：∠DBF=∠EBD, △DBF∽AEBD, :BF、BD BD BE 即BE.BF=BD2 在R1△ABD中，由勾股定理得BD=AB2+AD=2AB2 .BE.BF=2AB2 (3)解：如图所示，连接DG,记CH交BE于点P, B :CG平分∠DCE, ∴.∠DCG=∠ECG. 由(1)得CD=CE. 又.CG=CG ∴.ADCG2aECG(SAS) ∴.GD=GE,∠DGC=∠EGC, ∴.∠GDE=∠GED=45° ∴.∠DGE=90°=∠DGP ·∠DGC=∠EGC=(360°-90)=1350 2 .∴.∠PGC=45° CH平分LBCE ∠PcG=∠CE-∠cE=BCE-DCE)-×0=45， ∠CPG=90° BC=CE, ..BP=PE: '∠CPG=∠DGP .CH与DG平行， ..PG:GE=HD:DE. HD=DE, ..PG=GE. .BP=PE=2PG. :∠PGC=∠PCG, :PC=PG, :.BP=2PC: 设PC=x,则BP=2x, 由正方形的性质可得BC=AB=I0, 由勾股定理得PC2+BP2=BC2 x2+(2x2=102 解得5=255=-25 (舍)， ∴PC=25 :.BP=4V5 PG=2/5 .BG=BP+PG=65