专题06一元一次方程的认识及解法精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制六年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元一次方程，涵盖定义判定、等式性质、五步解法及列方程等核心内容，从等式与方程的概念辨析切入，衔接整式知识，通过实例构建文字等量关系到方程的转化支架。 资料亮点在于精准的概念辨析与步骤规范，如明确方程解与解方程的区别、强调去分母漏乘等陷阱，分层题型覆盖基础到拔高，培养学生抽象能力、运算能力和模型意识，助力夯实代数基础，便于教师开展分层教学。

专题06一元一次方程的认识及解法精讲学案 核心立意 精准辨析方程、一元一次方程的严格定义与判定标准；熟练掌握等式两大基本性质；标准化掌握一元一次方程五步解法，零失误规避步骤陷阱；精准抓取题干等量关系规范列方程，建立严谨代数运算思维，夯实初中方程基础。 等式、方程相关概念 1.等式：用等号 “=” 表示相等关系的式子。 例：2+3=5，x+5=9 2.方程：含有未知数的等式。 ✅两个必备条件：①有等号；②含有未知数 ❌区分：代数式无等号，不是方程；2+3=5不含未知数，只是等式，不是方程。 3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值（是一个数值）。 4.解方程：求方程解的过程（是一个运算过程）。 辨析：方程的解（结果）≠解方程（过程） 等式的基本性质（解方程理论依据） ⚠️重要提醒：等式变形必须左右两边同时进行相同操作；不能同时除以 0。 列方程 1.核心思路：把文字描述的等量关系，转化为方程。 2.列方程一般步骤： ①审题，找出题目中的等量关系（最重要）； ②设未知数（直接设、间接设）； ③用含未知数的代数式表示相关量； ④根据等量关系列出方程。 3.常用关键词： 相等、一共、比… 多、比… 少、几倍、和、差、积、商。 一元一次方程定义 只含有一个未知数，未知数的次数都是1，且含有未知数的式子都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 标准形式ax+b=0(a≠0,a、b为常数) 三个缺一不可条件： ①只含1 个未知数； ②未知数最高次数为1； ③整式方程（未知数不在分母中） 举例：3x+5=0 ✔；+2=3 ❌（分母含未知数，不是整式方程）；x2+1=5 ❌（次数为 2） 解一元一次方程完整步骤 ①去分母：方程所有项统一乘最简公分母，不含分母的常数项必须同步乘，禁止漏项。 ②去括号：依据乘法分配律逐项相乘；括号前为负号时，括号内每一项全部变号。 ③移项：跨等号移动的项必须变号；等号同侧调换项位置，符号保持不变。 ④合并同类项：同类项系数相加减，将方程统一化简为 ax=b (a≠0) 标准形式。 ⑤系数化为1：方程两边同除以未知数系数，严格区分分子、分母位置，杜绝颠倒。 重点辨析 1. 分母含未知数的式子为分式方程，无论化简结果如何，原式都不是一元一次方程。 2. 方程的解是具体数值，解方程是运算过程，两个概念不可混淆。 3. 利用等式性质2运算时，除数绝对不能为0。 4. 移项变号、同侧换位不变号，两类操作规则严格区分，不可混用。 ①判定一元一次方程只看未知数个数与次数，忽略整式判定条件； ②检验方程解时只代入单侧计算，未双侧比对； ③去分母时常数项漏乘最简公分母； ④负号去括号时，部分项遗漏变号； ⑤未移动的项随意更改符号； ⑥系数化为1时分子、分母位置颠倒，计算出错。 题型 考察方向 难度 题型一 判断各式是否是方程 ★ 题型二 列方程 ★★ 题型三 判断是否是方程的解 ★ 题型四 已知方程的解，求参数 ★★ 题型五 判断是否是一元一次方程 ★★ 题型六 判断是否是一元一次方程解 ★★ 题型七 等式的性质 1 ★ 题型八 等式的性质 2 ★★ 题型九 合并同类项与移项 ★★ 题型十 去括号 ★★ 题型十一 去分母 ★★★ 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 ★★★ 题型十三 一元一次方程解的关系 ★★★ 题型十四 绝对值方程 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题 题型一：判断各式是否是方程 解题思路：①判断是不是等式，不含等号直接判定不是方程；②等式里面检查是否含有未知数；①②同时满足，才是方程。 1．下列四个式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中___是等式，___是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 3．下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 题型二 列方程 解题思路：①读题，勾画代表等量关系的语句；②选取合适的未知量设未知数；③用含未知数的式子把其余相关量表示出来；④依据等量关系列出等式。 4．某校七年级有学生x人，其中男生人数比女生人数多20人，男生有150人，列方程为___． 5．根据“x的3倍与4的和等于x的一半”可以列方程为（    ） A． B． C． D． 6．下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 题型三 判断是否是方程的解 解题思路：①把给出的数值替换方程里未知数；②分别算出等式左侧、右侧结果；③两边数值相等就是方程的解，不相等就不是。 7．是下列哪个一元一次方程的解（    ） A． B． C． D． 8．代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值，则关于x的方程的解是______． x 0 1 0 4 8 9．多项式和（为常数，）的值由的取值决定．下表是当取不同值时多项式对应的值．由此可知，关于的方程的解是（    ） 0 1 3 3 1 13 A． B． C． D． 题型四 已知方程的解，求参数 解题思路：①将已知解代入原方程；②化简整理，得到只含有参数的方程；③解这个方程求出参数。 10．若是关于的方程的解，则的值为___________． 11．已知是关于的方程的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．已知关于x的一元一次方程的解是，则关于y的一元一次方程的解是_______． 13．整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值，则关于的方程的解是（     ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 题型五 判断是否是一元一次方程 解题思路：①是整式方程，未知数不出现在分母；②只含有一个未知数；③未知数次数是1；④化简之后未知数系数不等于0；四条全部满足才是一元一次方程。 14．已知是关于x的一元一次方程，则___________． 15．下列选项中哪一个是一元一次方程（　　） A． B． C． D． 16．若方程是关于的一元一次方程，则的值是（    ） A．2 B． C． D．0 题型六 判断是否是一元一次方程解 解题思路：①先判断原式是否是一元一次方程，如果不是，则不存在对应的解；②把给定数值代入未知数；③计算对比等式左右两边是否相等。 17．若一个一元一次方程的解是，则这个方程可以是：_________（写出一个即可）． 18．使等式成立的的值为或；使等式成立的的值为或；使等式成立的的值为4或；根据上述材料，则使等式成立的的值为________． 19．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 题型七 等式的性质 1 解题思路：①观察等式一侧进行加、减运算；②等式另一侧同步进行完全一样的加减；③等式依旧成立。 20．等式就像平衡的天平，将图中的事实用数学语言表示为（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 21．兰兰在计算时，把“”看成了“”，得到的解是，则方程正确的解是______． 22．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型八 等式的性质 2 解题思路：①看清运算是乘法还是除法；②两边同时乘同一个数；作除法时，除数不能为0；③等式当中所有项一并参与运算，不要漏乘。 23．已知等式，则下列等式成立的是（　　）． A． B． C． D． 24．整式的值随着x的取值的变化而变化，如表是当x取不同的值时对应的整式的值： x 0 1 2 3 0 4 8 则关于x的方程的解是________ ． 25．下列解方程的过程正确的是（    ） A．由 ，得 B．由，得 C．由 ，得 D．由，得 题型九 合并同类项与移项 解题思路：①凡是跨过等号移动的项必须变号，在等号同侧挪动不用变号；②分别合并含未知数项、常数项；③化成ax=b形式。 26．方程中，_________． 27．把写成“用表示的形式”是（   ） A． B． C． D． 28．规定，，且，则________． 29．关于的一元一次方程的解（   ） A．是一个大于小于的数 B．是一个大于的数 C．是一个大于小于的数 D．不存在 题型十 去括号 解题思路：①看清括号前的系数和正负符号；②用乘法分配律将系数乘括号内每一项；③括号前面是负号时，括号内所有项都改变符号。 30．方程的解是（     ） A． B． C． D． 31．对于任意两个有理数，规定，若，则的值为___________． 32．设，，有，则y的值是（   ） A．－4 B．4 C．－1 D．1 题型十一 去分母 解题思路：①求出全部分母的最小公倍数；②等式两边每一项同时乘最小公倍数；③约分去掉分母，不含分母的常数项不能漏乘。 33．解方程时，去分母后正确的是（     ） A． B． C． D． 34．小明在解方程时，误将看成了，解得方程的解是，则原方程的解为_______． 35．下列各方程的变形中，去分母错误的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 解题思路：①把解代入原方程；②整理化简方程；③结合一元一次方程隐含条件，一次项系数不能等于0；④算出参数。 36．如果是关于的方程的解，那么的值是__________． 37．某同学在解关于x的方程时，把“”看成了“”，解得，则方程的正确解为（   ） A． B． C． D． 38．已知关于的一元一次方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的和为：___________． 39．如果a，b为定值时，关于x的方程，它的根总是2，则的值为（   ） A．18 B．15 C．12 D．10 题型十三 一元一次方程解的关系 解题思路：①分别解出两个方程，解使用参数表示；②依据题干给出关系（相等、互为相反数、和为多少等）列出等式；③解等式求出参数的值。 40．若关于x的方程与的解相同，则___________． 41．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 42．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则______． 43．王老师在如下所示的木板上写了两个关于的方程，并解出两个方程的解相差4，则的值为（    ） ①； ②． A．或 B．2或 C．2或 D．2或 题型十四 绝对值方程 解题思路：①移项变形，让绝对值单独位于等式一边；②利用绝对值定义去掉绝对值符号，写出两种情况；③分别求解两个方程；④检验解，舍去使得原方程不成立的增根 44．如果，那么（     ） A． B． C． D． 45．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 46．假设a是常数，是方程的一个解．问方程的另一个解是多少？（   ） A． B． C．0 D．5 E．10 47．的最小值为3，则a的值为（   ） A． B．2或 C．3或 D．2 解答题 1．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．回答下列问题，并说明理由： (1)由能不能得到? (2)由能不能得到？ (3)由能不能得到? (4)由能不能得到? 3．阅读下面的内容，并完成相应任务． 成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 “成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为 因为，所以这两个方程互为“成双方程”． 任务： (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”． (2)若关于x的方程 和 互为“成双方程”，求m的值． 4．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 5．数轴上A、B两点之间的距离表示为．借助数轴回答下列问题： (1)数轴上表示1和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示和5的两点之间的距离是_______； (2)当取最小值5时，a的值为__________． (3)数轴上A、B两点表示的数分别为x和，如果，求x的值； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06一元一次方程的认识及解法精讲学案 核心立意 精准辨析方程、一元一次方程的严格定义与判定标准；熟练掌握等式两大基本性质；标准化掌握一元一次方程五步解法，零失误规避步骤陷阱；精准抓取题干等量关系规范列方程，建立严谨代数运算思维，夯实初中方程基础。 等式、方程相关概念 1.等式：用等号 “=” 表示相等关系的式子。 例：2+3=5，x+5=9 2.方程：含有未知数的等式。 ✅两个必备条件：①有等号；②含有未知数 ❌区分：代数式无等号，不是方程；2+3=5不含未知数，只是等式，不是方程。 3.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值（是一个数值）。 4.解方程：求方程解的过程（是一个运算过程）。 辨析：方程的解（结果）≠解方程（过程） 等式的基本性质（解方程理论依据） ⚠️重要提醒：等式变形必须左右两边同时进行相同操作；不能同时除以 0。 列方程 1.核心思路：把文字描述的等量关系，转化为方程。 2.列方程一般步骤： ①审题，找出题目中的等量关系（最重要）； ②设未知数（直接设、间接设）； ③用含未知数的代数式表示相关量； ④根据等量关系列出方程。 3.常用关键词： 相等、一共、比… 多、比… 少、几倍、和、差、积、商。 一元一次方程定义 只含有一个未知数，未知数的次数都是1，且含有未知数的式子都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。 标准形式ax+b=0(a≠0,a、b为常数) 三个缺一不可条件： ①只含1 个未知数； ②未知数最高次数为1； ③整式方程（未知数不在分母中） 举例：3x+5=0 ✔；+2=3 ❌（分母含未知数，不是整式方程）；x2+1=5 ❌（次数为 2） 解一元一次方程完整步骤 ①去分母：方程所有项统一乘最简公分母，不含分母的常数项必须同步乘，禁止漏项。 ②去括号：依据乘法分配律逐项相乘；括号前为负号时，括号内每一项全部变号。 ③移项：跨等号移动的项必须变号；等号同侧调换项位置，符号保持不变。 ④合并同类项：同类项系数相加减，将方程统一化简为 ax=b (a≠0) 标准形式。 ⑤系数化为1：方程两边同除以未知数系数，严格区分分子、分母位置，杜绝颠倒。 重点辨析 1. 分母含未知数的式子为分式方程，无论化简结果如何，原式都不是一元一次方程。 2. 方程的解是具体数值，解方程是运算过程，两个概念不可混淆。 3. 利用等式性质2运算时，除数绝对不能为0。 4. 移项变号、同侧换位不变号，两类操作规则严格区分，不可混用。 ①判定一元一次方程只看未知数个数与次数，忽略整式判定条件； ②检验方程解时只代入单侧计算，未双侧比对； ③去分母时常数项漏乘最简公分母； ④负号去括号时，部分项遗漏变号； ⑤未移动的项随意更改符号； ⑥系数化为1时分子、分母位置颠倒，计算出错。 题型 考察方向 难度 题型一 判断各式是否是方程 ★ 题型二 列方程 ★★ 题型三 判断是否是方程的解 ★ 题型四 已知方程的解，求参数 ★★ 题型五 判断是否是一元一次方程 ★★ 题型六 判断是否是一元一次方程解 ★★ 题型七 等式的性质 1 ★ 题型八 等式的性质 2 ★★ 题型九 合并同类项与移项 ★★ 题型十 去括号 ★★ 题型十一 去分母 ★★★ 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 ★★★ 题型十三 一元一次方程解的关系 ★★★ 题型十四 绝对值方程 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题 题型一：判断各式是否是方程 解题思路：①判断是不是等式，不含等号直接判定不是方程；②等式里面检查是否含有未知数；①②同时满足，才是方程。 1．下列四个式子中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程的识别，理解并掌握方程的定义是解题关键．方程的定义：含有未知数的等式叫方程，据此即可获得答案． 【详解】解：A、 不含有未知数，故不是方程，不符合题意； B、 是方程，符合题意； C、不是等式，故不是方程，不符合题意； D、不含有未知数，故不是方程，不符合题意． 故选：B． 2．下列各式中___是等式，___是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【答案】①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦ 【分析】本题主要考查等式和方程的概念，根据等式和方程的定义，等式是含有等号的式子，方程是含有未知数的等式，通过检查每个式子是否含有等号和未知数，进行分类． 【详解】解：①含有等号和未知数x，是等式也是方程； ②含有等号但没有未知数，是等式但不是方程； ③含有等号和未知数x，是等式也是方程； ④不含等号，既不是等式也不是方程； ⑤含有等号和未知数x、y、z，是等式也是方程； ⑥含有等号和未知数x、y，是等式也是方程； ⑦含有等号和未知数y，是等式也是方程； ⑧含有不等号，是不等式； ⑨含有不等号，是不等式； ⑩含有约等号，不是等式． 等式有：①②③⑤⑥⑦，方程有：①③⑤⑥⑦． 故答案为：①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦． 3．下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程判断即可； 【详解】根据方程的定义可知：，是方程，有个． 题型二 列方程 解题思路：①读题，勾画代表等量关系的语句；②选取合适的未知量设未知数；③用含未知数的式子把其余相关量表示出来；④依据等量关系列出等式。 4．某校七年级有学生x人，其中男生人数比女生人数多20人，男生有150人，列方程为___． 【答案】 【分析】本题主要考查列一元一次方程，主要根据题意中的关系，列出部分关系是解题的关键． 首先根据题意利用总人数列出女生人数为人，再利用男生人数比女生人数多20人由此列方程即可． 【详解】解：由题意得：女生人数为人， ∵男生人数比女生人数多20人， ∴， 故答案为：． 5．根据“x的3倍与4的和等于x的一半”可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列一元一次方程．根据题意直接列出方程，x的3倍是，与4的和是，等于x的一半是，因此方程为，即可作答． 【详解】解：根据“x的3倍与4的和等于x的一半”可以列方程为， 故选：C． 6．下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程解决问题的方法及应用．根据题意，逐项分析进行解答． 【详解】解：A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示； B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示． C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示； D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示； 故选：D． 题型三 判断是否是方程的解 解题思路：①把给出的数值替换方程里未知数；②分别算出等式左侧、右侧结果；③两边数值相等就是方程的解，不相等就不是。 7．是下列哪个一元一次方程的解（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．将代入每个方程，计算左右两边是否相等即可得解． 【详解】解：、把代入方程，左边，右边，左边右边，故本选项不符合题意； 、把代入方程，左边，右边，左边右边，故本选项不符合题意； 、把代入方程，左边，右边，左边右边，故本选项不符合题意； 、把代入方程，左边，右边，左边右边，故本选项符合题意； 故选：． 8．代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值，则关于x的方程的解是______． x 0 1 0 4 8 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程 转化为 ，然后从表格中找出当时对应的值即可． 【详解】解：由方程可得， 观察表格，当时，， 故方程的解为：． 故答案为：． 9．多项式和（为常数，）的值由的取值决定．下表是当取不同值时多项式对应的值．由此可知，关于的方程的解是（    ） 0 1 3 3 1 13 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，根据表格得出当时，，，即，从而得出方程的解． 【详解】解：由表格数据： 当 时，，，则，； ∴方程的解为， 故选：C． 题型四 已知方程的解，求参数 解题思路：①将已知解代入原方程；②化简整理，得到只含有参数的方程；③解这个方程求出参数。 10．若是关于的方程的解，则的值为___________． 【答案】 【分析】将方程的解代入原方程即可求解． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 整理得 ， 移项得， 系数化为得． 11．已知是关于的方程的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，关键是熟练应用定义解题；将方程的解代入方程求，然后求代数式的值即可. 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得：， ∴. 故选：B ． 12．已知关于x的一元一次方程的解是，则关于y的一元一次方程的解是_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，通过整体代换的思想，将第二个方程中的视为一个整体，与第一个方程对比，直接利用已知解求解． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， 且关于的方程可化为， 令，则方程变为，与第一个方程形式相同， 因此，即，解得， 故答案为：． 13．整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值，则关于的方程的解是（     ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等式的性质将原方程变形为等于常数的形式，再对照表格中数据即可得到方程的解． 【详解】解：∵原方程为， 移项得， 两边同乘得， 由表格可知，当时，， ∴方程的解为． 题型五 判断是否是一元一次方程 解题思路：①是整式方程，未知数不出现在分母；②只含有一个未知数；③未知数次数是1；④化简之后未知数系数不等于0；四条全部满足才是一元一次方程。 14．已知是关于x的一元一次方程，则___________． 【答案】 【分析】根据一元一次方程中未知数的最高次数为，列出关于的方程求解即可． 【详解】解：根据一元一次方程的定义可知，方程中未知数的次数为， 因此可得 移项计算得． 15．下列选项中哪一个是一元一次方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且两边都为整式的等式是一元一次方程”，逐项判断即可求解． 【详解】解：选项A、只含有1个未知数，未知数的最高次数为1，且等式两边都是整式，符合一元一次方程的定义，符合题意； 选项B、中的不是整式，不符合一元一次方程定义，不符合题意； 选项C、含有2个未知数，不符合一元一次方程定义，不符合题意； 选项D、中未知数的最高次数为2，不符合一元一次方程定义，不符合题意． 16．若方程是关于的一元一次方程，则的值是（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解此题的关键． 根据一元一次方程的定义可得，，求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴且， 由， 得， ∴， 由， 得， ∴， 故选B． 题型六 判断是否是一元一次方程解 解题思路：①先判断原式是否是一元一次方程，如果不是，则不存在对应的解；②把给定数值代入未知数；③计算对比等式左右两边是否相等。 17．若一个一元一次方程的解是，则这个方程可以是：_________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的定义及其解法是解题的关键． 任写一个符合条件的一元一次方程即可． 【详解】解：这个方程可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 18．使等式成立的的值为或；使等式成立的的值为或；使等式成立的的值为4或；根据上述材料，则使等式成立的的值为________． 【答案】或 【分析】观察已知等式可得规律：形如的等式，解为或，根据规律求解即可． 【详解】解：整理已知等式找规律： 第一个等式：，解为或； 第二个等式：，解为或； 第三个等式：，解为或； 所以可得规律：的解为或； ∵，， ∴，符合上述规律， 所以可得或， 检验：两个解都满足，代入原等式均成立，因此是原等式的解． 所以成立的的值为或． 19．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解为，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为， 故选：A． 题型七 等式的性质 1 解题思路：①观察等式一侧进行加、减运算；②等式另一侧同步进行完全一样的加减；③等式依旧成立。 20．等式就像平衡的天平，将图中的事实用数学语言表示为（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查等式的基本性质1，根据等式的性质1依次进行判断即可． 【详解】解：如图的事实具有的性质为：等式两边同时加同一个数，等式仍成立； A．若，则，不满足等式两边同时加同一个数； B．若，则，不满足等式两边同时加同一个数； C．若，则，满足等式两边同时加同一个数，等式仍成立； D．若，则，不满足等式两边同时加同一个数． 故选：C． 21．兰兰在计算时，把“”看成了“”，得到的解是，则方程正确的解是______． 【答案】 【分析】将代入到错误方程中，求出正确的“”的值，再根据等式性质解方程． 【详解】解：当时，根据题意得， 则原方程为 ． 22．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的性质：性质、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 根据等式的性质解答即可． 【详解】解：A、若，且时，则，故符合题意； B、若，则，不符合题意； C、若，则，不符合题意； D、若，则，不符合题意； 故选：A． 题型八 等式的性质 2 解题思路：①看清运算是乘法还是除法；②两边同时乘同一个数；作除法时，除数不能为0；③等式当中所有项一并参与运算，不要漏乘。 23．已知等式，则下列等式成立的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，掌握好等式的两条性质是解题关键． 将给定等式两边同时除以2，简化后得到x与y的关系，再与选项对比． 【详解】解：由等式的性质2，将等式的两边同时除以2，得，与选项C一致． 故选：C． 24．整式的值随着x的取值的变化而变化，如表是当x取不同的值时对应的整式的值： x 0 1 2 3 0 4 8 则关于x的方程的解是________ ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解知识点，掌握等式的性质成为解题的关键．将变形为，观察表格数据可得答案． 【详解】解：∵ ， ∴， 由表可知，当时，， ∴关于x的方程的解是． 故答案为：． 25．下列解方程的过程正确的是（    ） A．由 ，得 B．由，得 C．由 ，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质进行判断，即可求解． 【详解】解：A、等式的两边同时乘以，得到，故本选项错误； B、在等式的两边同时乘以，得到，故本选项错误； C、由 ，得，故本选项正确； D、在等式的两边同时加上，得到，故本选项错误． 故选：C． 题型九 合并同类项与移项 解题思路：①凡是跨过等号移动的项必须变号，在等号同侧挪动不用变号；②分别合并含未知数项、常数项；③化成ax=b形式。 26．方程中，_________． 【答案】 【分析】将看作未知量，通过移项合并同类项求解一元一次方程即可． 【详解】解：原方程为， 移项得， 合并同类项得， 两边同时除以2，得 ． 27．把写成“用表示的形式”是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只需通过移项将单独放在等式左侧，再将的系数化为1即可得到结果. 【详解】解：因为 移项得 等式两边同时除以 得 所以符合要求的结果为. 28．规定，，且，则________． 【答案】 【分析】根据新定义和求出k，从而得解． 【详解】解：，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得： ∴． 29．关于的一元一次方程的解（   ） A．是一个大于小于的数 B．是一个大于的数 C．是一个大于小于的数 D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程，涉及分离常数法，熟记一元一次方程的解法是解决问题的关键． 通过变形方程，提取公因式，并证明系数不为零，从而解得，即可得到该解在到之间． 【详解】解：∵，， ∴左边， ∵，， 右边， ∵，， ∴原方程可化为， 即， 移项得， ∵ ， 与中分子相同，分母， ， 即， ∴， 解得， ∵， ∴关于的一元一次方程的解是一个大于小于的数， 故选：C． 题型十 去括号 解题思路：①看清括号前的系数和正负符号；②用乘法分配律将系数乘括号内每一项；③括号前面是负号时，括号内所有项都改变符号。 30．方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤解方程，即可得出答案． 【详解】解： 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为得． 31．对于任意两个有理数，规定，若，则的值为___________． 【答案】2 【分析】根据题目给出的新定义运算规则，列出关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：根据新定义运算 ，可得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为得． 32．设，，有，则y的值是（   ） A．－4 B．4 C．－1 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，把相应的式子代入，利用去括号的法则，及合并同类项的法则进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ， ， ， ， 故选：B． 题型十一 去分母 解题思路：①求出全部分母的最小公倍数；②等式两边每一项同时乘最小公倍数；③约分去掉分母，不含分母的常数项不能漏乘。 33．解方程时，去分母后正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解一元一次方程的去分母步骤，去分母时需将方程两边同乘所有分母的最小公倍数，常数项也需要乘，本题分母为2和3，计算后即可得到结果． 【详解】解：∵方程的分母是和，最小公倍数为， ∴方程两边同时乘以去分母，得：． 34．小明在解方程时，误将看成了，解得方程的解是，则原方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，根据题意得是方程的解，据此把代入方程中求出a的值，进而解方程即可． 【详解】解：根据题意得，是方程的解， ∴， 解得：； ∴原方程为 解得：， 即原方程的解为， 故答案为：． 35．下列各方程的变形中，去分母错误的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次方程过程中去分母的变形．解题的关键在于去分母时方程两边每一项都乘以分母的最小公倍数，避免漏乘常数项．逐一检查各选项方程两边是否每一项都乘即可． 【详解】解： A：原方程 ，分母公倍数为，两边同乘得 ，正确．不符合题意； B：原方程 ，分母公倍数为，两边同乘得 ，正确．不符合题意； C：原方程 ，分母公倍数为，两边同乘得 ，正确．不符合题意； D：原方程 ，分母公倍数为，两边同乘应得 ，但选项中为 ，常数项未乘，错误．符合题意． 故答案为：D． 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 解题思路：①把解代入原方程；②整理化简方程；③结合一元一次方程隐含条件，一次项系数不能等于0；④算出参数。 36．如果是关于的方程的解，那么的值是__________． 【答案】3 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．将代入方程求解a即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴将代入得 解得． 故答案为 3． 37．某同学在解关于x的方程时，把“”看成了“”，解得，则方程的正确解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程， 根据错误操作得到错误方程，代入错误解求出参数，再代入正确方程求解 【详解】解：∵该同学将方程中的“”误看作“”， ∴错误方程为． 又∵错误解得， ∴代入错误方程：， 解得． 代入正确方程，得， 解得． 故正确解为． 故选：D． 38．已知关于的一元一次方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的和为：___________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解的应用，核心是先求解方程得到含参数的解的表达式，再根据解为非负整数且是整数的条件，确定的所有可能取值，最后计算这些整数的和． 【详解】解：解关于的一元一次方程，得， ∵方程的解是非负整数，且为整数， ∴是非负整数， 又分子为4， ∴， ∴为正整数， ∴是4的正约数，4的正约数为1、2、4， 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件； 则符合条件的整数的和为； 故答案为：． 39．如果a，b为定值时，关于x的方程，它的根总是2，则的值为（   ） A．18 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 先将方程的根代入原方程并化简得，由题可知，当a，b为定值时，对任意的k成立，因此可得，易求a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：将，代入原方程并化简得， ∵当a，b为定值时，对任意的k成立， ∴，解得：， ∴． 故选：B． 题型十三 一元一次方程解的关系 解题思路：①分别解出两个方程，解使用参数表示；②依据题干给出关系（相等、互为相反数、和为多少等）列出等式；③解等式求出参数的值。 40．若关于x的方程与的解相同，则___________． 【答案】1 【分析】先求解方程得到的值，再将该值代入方程，转化为关于的一元一次方程，进而求解的值. 【详解】解：解方程，得， 把代入， 得， 即， 解得. 41．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可先将关于的方程变形为与已知方程结构相同的形式，再利用整体代换的思想，结合已知方程的解求解的值． 【详解】解：由，得． 关于的方程的解为， ， ． 42．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则______． 【答案】22 【详解】解：解方程，得， 又方程与方程是“和谐方程”， ∴方程的解为， 把代入，得， 解得． 43．王老师在如下所示的木板上写了两个关于的方程，并解出两个方程的解相差4，则的值为（    ） ①； ②． A．或 B．2或 C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】先分别求出两个方程的解，再根据两个解相差4分两种情况列方程，即可求出a的值． 【详解】解：对于方程①， ∵两边同乘6得， 整理得， ∴； 对于方程②， 移项得， ∴； ∵两个解相差4，分两种情况讨论： 情况1：方程①的解比方程②的解小4，则， 整理得， 解得； 情况2：方程①的解比方程②的解大4，则， 整理得， 解得， 因此a的值为或． 题型十四 绝对值方程 解题思路：①移项变形，让绝对值单独位于等式一边；②利用绝对值定义去掉绝对值符号，写出两种情况；③分别求解两个方程；④检验解，舍去使得原方程不成立的增根 44．如果，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义判断的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，，不满足；当时，，满足条件；当时，，满足条件； ∴满足的的取值范围是． 45．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 【答案】 【分析】先理解题意，结合，得出，又因为，故，则，再进行分类讨论，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 当时，则，整理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 当时， ∵， ∴ 则，此为矛盾，此种情况不成立，舍去． ∴的值为． 46．假设a是常数，是方程的一个解．问方程的另一个解是多少？（   ） A． B． C．0 D．5 E．10 【答案】A 【分析】先把代入，求出，则原方程为，再解方程即可． 【详解】解：把代入，得： ， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，， ∴方程的另一个解是． 47．的最小值为3，则a的值为（   ） A． B．2或 C．3或 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了解绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义求解，表示数轴上点x到1的距离，表示数轴上点x到的距离，两个距离之和的最小值为两点间的距离，据此列方程求解a的值． 【详解】∵表示数轴上点x到1的距离， 表示数轴上点x到的距离， ∴的最小值为数轴上1与两点间的距离，即， 又∵该式最小值为3， ∴， ∴或， 解得或． 故选：B． 解答题 1．解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握移项、去括号、去分母、系数化为1等步骤． （1）移项、合并同类项、系数化为1； （2）去括号、移项、合并同类项、系数化为1； （3）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1； （4）先化小数系数为整数系数，再去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】（1）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （2）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （3）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 （4）解： 整理，得， 即， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 2．回答下列问题，并说明理由： (1)由能不能得到? (2)由能不能得到？ (3)由能不能得到? (4)由能不能得到? 【答案】(1)能，根据等式的两边同减去同一个数或式等式仍成立 (2)能，根据等式的两边同时除以同一个不为零的数等式仍成立 (3)能，根据等式的两边同时除以同一个不为零的数等式仍成立 (4)能，等式的两边同时乘以同一个不为零的数仍成立 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 3．阅读下面的内容，并完成相应任务． 成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 “成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为 因为，所以这两个方程互为“成双方程”． 任务： (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”． (2)若关于x的方程 和 互为“成双方程”，求m的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】求已知方程的解，再根据“成双方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 根据“成双方程”的定义，两个方程的解之和为2， ∴另一个方程的解为， 那么这个一元一次方程可以是（答案不唯一）． （2）解方程得， ∵两个方程互为“成双方程”， ∴方程的解为， 将代入方程得， 解得． 4．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2）解：由条件可知另一个方程的解为：， 又两个方程解的差为8， 得： 或， 或． 5．数轴上A、B两点之间的距离表示为．借助数轴回答下列问题： (1)数轴上表示1和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示和5的两点之间的距离是_______； (2)当取最小值5时，a的值为__________． (3)数轴上A、B两点表示的数分别为x和，如果，求x的值； 【答案】(1)4，4，6 (2)或2 (3)或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离，解绝对值方程，一元一次方程的应用， （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意得到当x在3和之间（可以取到端点）时，由最小值，然后由取最小值5求解即可； （3）根据题意得到，然后去绝对值求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示1和5的两点之间的距离是， 数轴上表示和的两点之间的距离是， 数轴上表示和5的两点之间的距离是， 故答案为：4；4；6； （2）解：∵可以表示为x到3的距离与x到的距离之和 ∴由数轴可得，当x在3和之间（可以取到端点）时，有最小值 ∴当取最小值5时，， ∴或； （3）解：∵数轴上A、B两点表示的数分别为x和，如果， ∴，即 ∴或 ∴或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $