全国中学生物理竞赛-机械振动 学习讲义

全国中学生物理竞赛 机械振动 全国中学生物理竞赛 机械振动学习讲义 学生自学与教师备课用书 从回复力与初始条件到共振和正常模 概念推导 经典例题 方法总结 分层训练 32 道经典例题　8 个进阶专题　42 道分层练习 每道例题给出分析与解答，独立练习另附完整解析。 覆盖简谐运动、小振动、振动合成、阻尼、受迫振动与耦合振动。 2026年9月 目录 使用说明与学习路线 3 简谐运动的方程 图像与相位 4 振动能量与时间分配 7 弹簧系统的建模 8 从动力学与能量确定频率 10 摆与流体振动 11 势能曲线与小振动 14 振动合成与拍 14 阻尼振动 16 受迫振动与共振 18 耦合振动与正常模 20 分阶段过程与约束失效 22 进阶专题与解题方法 23 解题方法与易错剖析 27 分层练习 29 分层练习完整解析 32 教师备课与实验探究 37 公式速查与学习自检 39 拓展阅读与来源说明 40 使用说明与学习路线 机械振动研究系统在平衡位置附近的往复运动。本讲义的主线是：先确定平衡和约束，再建立动力学方程，由方程判定频率，最后用初始条件确定振幅与相位。简谐公式只是这一过程的结果，不能代替受力、能量及接触条件分析。 本讲义供物理竞赛学生自学和教师备课，包含32道经典例题、8个进阶专题、42道分层练习及完整解析，配有12幅图示。前半部分系统讲解简谐运动、弹簧与摆类模型，后半部分讨论合成、阻尼、受迫振动、共振、耦合振动和分段过程。微积分用于解释推导；尚未熟悉微积分的学生可先掌握各结论的条件，再回看推导。 模型约定　除非特别指出，采用经典力学、惯性系和理想约束；弹簧质量忽略、服从胡克定律，连接牢固，不存在松弛或超出弹性范围的问题。小振动指相对于平衡位置的小偏离，不等于物体在任意位置都做简谐运动。线性阻尼模型与干摩擦模型分别处理。所有角度进入三角函数及级数时按弧度计算。 符号 含义 使用提醒 相对平衡位移 广义坐标 角位移 先说明零点与正方向 非负振幅 初相位 瞬时相位 余弦约定 周期 频率 无阻尼固有角频率 ， 劲度系数 质量 转动惯量 有约束时不能直接用总质量代替有效质量 动能 势能 振动能量 振动势能通常以平衡位置的最小值为零 线性阻尼系数 衰减系数 阻尼比 ，， 阻尼自由角频率 驱动角频率 位移滞后角 三者不能与混用 耦合弹簧劲度 约化质量 品质因数 用于本文线性黏性阻尼模型 建议学习顺序为概念与相位、动力学建模、能量方法、合成与阻尼、受迫响应、耦合与进阶。每道题先写出“坐标—平衡—方程—初值—边界”五项，再代数计算。判断一个答案时，还要检查量纲、无阻尼极限、振幅趋零极限以及连接是否始终成立。 简谐运动的方程 图像与相位 简谐运动的动力学定义 对恒定正数，若相对固定平衡位置的位移满足 则称这一坐标做简谐运动。等价条件为加速度与位移成正比且反向。对质量恒定的单质点，这意味着沿运动方向的合力为，。这里的回复力是合力的效果，并不一定是某一个单独的弹力。匀速圆周运动的投影可以作为数学表示，实际物体并不必然沿圆周运动。 往复、周期和简谐是不同概念。存在往复运动不一定周期严格不变；周期运动也不一定是正弦函数。后文左右劲度不同的振子可以具有与振幅无关的周期，却仍不属于单一频率的简谐运动。 图1 位移从平衡位置量起 合回复力与位移反向 通解与初始条件 将代回方程可验证其成立。另一种更便于直接代入初值的形式是 因此 必须由正弦和余弦共同确定初相位象限。只求会丢失速度方向；只求正切会把相差的状态混同。相位相差表示同一状态。若，质点始终静止于平衡处，此时相位没有物理意义。 位移 速度和加速度的关系 设，则 位移、速度、加速度的振幅分别为，量纲不同，不能直接比较数值大小。用余弦表示时，速度相位比位移超前，加速度比位移超前。过平衡处速度最大但加速度为零；到极端处速度为零而加速度大小最大。速度为零的瞬间仍可有加速度，并非停止后永远不动。 图2 三个归一化图像显示位移 速度和加速度的相位关系 周期，频率。同一位置在一周期通常经过两次，方向相反；只有位置和速度同时重复，才是同一运动状态。相图满足，以横轴、纵轴画图时为圆，运动方向为顺时针。 图3 相图同时保留位置与速度 不能仅凭位置确定相位 例题 1 由初值确定完整运动 题目　水平弹簧振子，。取平衡位置为原点，时、。求振幅、周期和运动方程。 分析　系统参数确定频率；位置和速度共同确定振幅及相位。先使用初值形式，能避免象限判断错误。 解答　，，。 其中、，故弧度，位于第一象限。对方程求导代应得到负速度；这一检验能立刻发现相位符号错误。 例题 2 从图像信息还原方程 题目　位移图像的振幅为。质点在过平衡位置并向负方向运动，第一次到达负向极端位置的时刻为。求运动方程和最大加速度。 解答　过平衡到下一极端为四分之一周期，所以，。初始速度负，故 若写正弦正号，会使初始方向相反。读图时，横轴单位、曲线过零斜率和是否相邻极值都要核对；两个同向最大值之间才是完整周期。 例题 3 位置相同而经过时间不同 题目　振幅为。在处向正方向运动，从此刻起第一次返回同一位置需多久？若从向负方向出发，第一次到达又需多久？ 解答　第一问选起始相位，下一次位于且向负方向时相位为，相位增量，时间为。第二问起始相位、末相位，时间为。 规律　时间由相位差除以角频率得到，不能用路程占全程的比例。运动在极端附近慢、平衡附近快。每次选择反三角函数的分支，都应同时标出速度方向。 例题 4 用两组位移速率测频率 题目　同一简谐振子，在处速率为，在处速率为。求角频率和振幅。 解答　由，两式相减得到 所以，。速率不包含方向，足以确定，但尚不能给出相位；若两组数据属于不同振幅的运动，就不能这样相减。 振动能量与时间分配 能量与相空间轨迹 对理想线性振子，以平衡位置势能最小值为零： 把动力学方程乘以并积分，也能得到这一守恒式：。能量决定振幅，不决定运动方向。两个处于同一、速度正负相反的状态有相同能量，但相位不同。 瞬时能量为、，它们以的角频率变化，每隔重复。整周期时间平均满足；这不表示每一瞬间动能与势能相等。二者相等时。 图4 动能与势能随位移的关系 总能量为水平线 时间积分与停留概率 若只求从到的一段单向运动时间，可以用 积分符号的上下限和速度符号必须对应真实运动方向。对完整周期内随机时刻采样，位置落入的比例为。靠近极端位置停留得久，密度虽然发散，但积分仍有限；粒子停留在某一个精确点的时间占比仍为零。 例题 5 动能占优的时间份额 题目　求一周期内动能满足的时间比例，并说明为何不能只按位移区间长度计算。 解答　由可知条件等价于，即。在相位圆上，允许区间为和，总角长，所以时间占比为。 辨析　这一位移区间长度占全部可达区间的一半，但平衡附近速度较大，所以停留时间只占三分之一。能量条件先化为位移条件，再转为相位或时间条件，是此类题的通用步骤。 例题 6 恒力突然施加后的平衡迁移 题目　水平弹簧振子原先静止于未变形位置。起持续施加沿正方向的恒力。求此后运动和最大伸长。 分析　外力改变平衡位置，原平衡处变成新运动的极端位置。弹簧本身的劲度和质量没有改变，故固有频率不变。 解答　原坐标方程为。新平衡位置，令，则、，所以 最大伸长不是静态伸长。以新平衡为零的振动能量为；若仍只把弹簧势能与动能相加，它们之和随恒力做功而变化。应使用包含的总势能，或明确外力功。 例题 7 一个短时冲量怎样改变振幅 题目　质量的振子在位置、速度时受到沿正方向的瞬时冲量。求冲量后的振幅和振动能量变化。 解答　短时冲量使位置连续、速度变为。因此 能量增量不仅含，还含与原速度相关的交叉项。冲量与原速度反向时可能减小能量。若在平衡处取，即可使物体停止；若在非平衡位置把速度降为零，之后仍会受回复力而运动。 弹簧系统的建模 竖直弹簧与坐标平移 取向下为正，为相对于自然长度的伸长，竖直弹簧满足。平衡伸长。令，得。在重力恒定、弹簧线性且始终有效的模型中，重力改变平衡位置，不改变小振动角频率。 弹簧势能是，重力势能是，两者合起来为加常量。不能把叫作原坐标下单独的弹性势能。沿倾角固定的光滑斜面作同类运动时，将换为，结论仍成立；如果重力方向相对约束变化，例如摆，就不能把重力简单当常量项删除。 例题 8 从自然长度静止释放 题目　竖直弹簧上端固定、下端连接质量的物体，在弹簧自然长度处静止释放。求平衡位置、振幅、最大伸长和最大速率。 解答　以向下伸长计，，初始相对平衡位移，所以。运动为，最大伸长，最大速率。 检验　在最低点速度为零，重力做功恰等于弹性势能。最低点并不是平衡位置；此时弹力为，合力向上。 例题 9 并联 串联与剪短弹簧 题目　两根相同轻弹簧各有劲度，分别并联或串联连接质量，求振动周期之比。若一根均匀弹簧剪成原长度的和两段，再并联，其等效劲度是多少？ 解答　并联同位移、力相加，；串联中间连接点无质量，同力而位移相加，。故。 对同材质、同截面和绕制结构的均匀弹簧，劲度与长度成反比，两段劲度为和，并联得。此结果要求实际安装允许两段围绕各自平衡长度产生相同位移；不能忽略不同自然长度及预拉伸安排。串联中间若有不可忽略的质量，将形成多个自由度，不能直接套静态串联公式求全部振动频率。 例题 10 对称斜弹簧的横向小振动 题目　装置位于水平面内。两个固定点位于和，用两根相同弹簧连接质量的质点。每根劲度、自然长。质点仅沿垂直于两固定点连线的光滑导轨运动，平衡处为中点。求小振动频率。 分析　平衡时弹簧已有拉力。小横向位移主要改变拉力方向；弹簧长度变化是二阶小量，但方向变化是一阶，不能把回复力误判为零。 解答　质点横向位移时，每根长度，横向合力为。在时保留一阶： 若，线性回复项消失，最低非零项为，不能声称频率仍为。若允许弹簧受压且，中点对横向小扰动反而不稳定。几何结构与预应力决定有效劲度。 图5 预拉伸弹簧的长度变化虽小 回复力仍可具有一阶项 从动力学与能量确定频率 有效质量和有效劲度 若一个独立坐标足以描述系统，小振动动能和势能可写为、，其中系数在平衡附近为常量，则。先用约束把所有物体的平动和转动速度都写成的倍数，再求有效质量；先把每根弹簧的长度变化写成的倍数，再求有效劲度。 例如第个质量速度为，刚体角速度为，则它们分别贡献和。系数要平方，因为它来自能量。几何变速约束中的“省力”和“速度放大”不能只凭直觉改变频率。 例题 11 连弹簧圆盘的无滑动振动 题目　均匀圆盘质量、半径，在水平粗糙面上纯滚动，轮心与水平弹簧连接，劲度。求小振动频率，并给出静摩擦足够的振幅条件。 解答　令轮心位移为。纯滚动使角速度大小为，所以，得到 取向右为正、逆时针角加速度为正。平动、转动及联立，得。若静摩擦系数为，则全程纯滚动要求，即。 辨析　静摩擦可以保证滚动且不做功，但它的可用大小有限。若振幅超过阈值，先前的约束失效，不能继续沿用同一个频率公式。 图6 纯滚动把平动与转动惯性共同计入有效质量 例题 12 有转动惯量的定滑轮 题目　轻绳越过半径、转动惯量的定滑轮，一端连接竖直运动质量，另一端连接水平弹簧，劲度。绳不可伸长、不滑动，轴无摩擦，平衡附近绳始终张紧。求振动频率。 分析　两端位移大小相同，滑轮角速度为。滑轮两侧张力一般不同，差张力提供转矩。 解答　以悬挂物相对于平衡位置的向下位移为坐标，重力常量项被平衡伸长抵消。系统动能为，二次势能为，故。令应恢复轻滑轮结果。若绳松弛或滑动，则不能再令两端位移相同。 例题 13 两个自由物体之间的弹簧 题目　光滑水平面上质量分别和的两物体由劲度的弹簧连接，无外部水平力。求相对伸长的小振动频率；若质心静止、伸长振幅为，两物体各自振幅是多少？ 解答　设两体位置差相对自然长度的变化为，约化质量。相对方程，故。质心条件使轻物体振幅、重物体振幅，两者反相；内部振动能量为。 规律　用相对坐标时应使用约化质量，不是质量之和。质心本身还可匀速运动，这一整体平动不改变内部频率。 摆与流体振动 例题 14 单摆的回复力与小角近似 题目　质量为的质点由长的轻绳悬挂，在竖直面内摆动。推导小振动周期，并说明近似范围。 分析　取与竖直向下方向的夹角为坐标。绳张力沿径向，不是沿轨道的回复力；切向回复分量为。圆周运动的向心加速度不应混入切向方程。 解答　切向方程。当且角度用弧度表示时，，因而 质量消去，是因为重力回复作用和惯性同正比于。实际周期随振幅增大而增大；“与振幅无关”只是小角近似。若用弧长作坐标，仍得到同一频率，而不是把角振幅直接当长度代入能量。 检验　最低点速率时，张力，可大于重力。把张力写成会遗漏径向加速度。绳必须保持张紧，空气阻力和支点摩擦在本模型中忽略。 例题 15 物理摆与最短周期悬点 题目　均匀细杆长、质量。先以端点为固定轴小幅摆动，再允许在杆上选择悬点，使质心位于悬点下方，求最小周期。 解答　质心到悬点的距离为，转动方程，所以。端点悬挂时、，故。 对任意悬点，平行轴定理给出。等效摆长为，其最小值在处取得。均匀杆，于是 辨析　悬点趋近质心时回复力矩趋零，而转动惯量仍非零，周期趋于无穷，不能说“摆长趋零，所以周期趋零”。杆倒悬时平衡不稳定，不具有上述实数小振动频率。 例题 16 等截面 U 形管液柱 题目　U 形管截面积为，液体密度为，液柱总长度为，两自由液面位于直管段。忽略黏性、局部流动损失和液体压缩性，求液面微小振动周期。 分析　取一侧液面相对平衡升高量为，另一侧下降，两侧高度差为。同一时刻，等截面管内各段流速大小均为，参加运动的质量是整段液体。 解答　压强差给出的沿管回复作用为，故，得到、。也可用及重力势能增量求得。 条件　若两臂截面不同，液面位移与流速不再相等；若弯管存在显著水力损失，振动会衰减。题中的总长度不能换成单侧液柱高度。 例题 17 浮体的竖直振动 题目　直立均匀截面圆柱质量、横截面积、高度，浮于密度的液体。忽略液体附加惯性、黏性阻力和辐射波，且浮体保持竖直。求小振动频率及保持部分浸没的振幅限制。 解答　平衡吃水深度，需。取向下位移，浮力增加，故，于是。 振幅须满足，使圆柱不完全出水或全部浸没。真正水中振动常使周围液体一起加速，实际惯性大于，因此本式是题设理想模型的结果，不能直接当精确实验公式。 图7 物理摆 U形管与浮体的回复作用来源各不相同 补充模型 扭摆与弹簧自身质量 扭转弹性元件对角位移提供回复力矩，其中为扭转劲度。被悬挂刚体对轴的转动惯量为，则，角频率，能量为。这里对应普通振子质量的是转动惯量，不能把刚体总质量直接放在分母。 若弹簧本身质量不能忽略，且其低频形变近似保持沿长度均匀伸缩，距固定端比例为的微元速度约为。弹簧动能为，等效附加质量为。于是端部挂质量时，基频近似为。弹簧还可以具有内部高阶模，所以该近似不能替代完整的连续体振动分析。 势能曲线与小振动 稳定平衡附近为何常出现简谐运动 一维保守系统满足。平衡点由确定。令，将势能在平衡附近展开： 若，且高阶项在考察振幅内远小于二次项，则，。势能曲线最低点的曲率决定频率；势能零点本身不影响运动。 若，小扰动指数离开平衡，平衡不稳定。若，二阶判据失效：仍稳定，却不是线性简谐振动；不稳定。不能把零曲率一概理解为“没有任何回复作用”。 例题 18 双势阱中的局部振动 题目　质量的质点具有势能，其中均为正。求各平衡点及稳定平衡附近的小振动频率。 解答　，给出及。，因此原点不稳定，而两个非零平衡点稳定，且。 若总能量低于中央势垒，运动局限于一个势阱；只有振幅足够小，才能使用上述常频率。能量接近势垒时，质点会在原点附近停留很久，周期变化显著。这说明“周期性”“稳定”和“简谐”是三个不同判断。 振动合成与拍 同方向同频率合成的三种方法 设、。利用余弦和角公式，将总位移整理为，其中，。则 合相位由、共同确定。只写会丢失象限；当时合振动恒为零，相位没有确定意义。 几何上可把两个振动表示为长度分别、夹角为相位差的旋转矢量，合振幅是矢量和的长度。若熟悉复数，也可相加与，最后取乘后的实部。三种方法等价，均要求频率相同。 例题 19 正交相位的振动合成 题目　合成和，其中。 解答　，所以、，合振幅、初相位。于是。 检验　时、，与原两式相加完全一致。若误取，位移虽然对，速度方向却错。 例题 20 相消与能量的辨析 题目　两个同方向同频率振动的振幅均为，相位差为，求合振幅。若相位差为，能否说能量消失？ 解答　第一问合振幅为，合相位为第一振动初相位加。相位差为时，位移函数之和恒为零。 辨析　函数相加不自动代表两份机械能简单相加。若把看作同一线性振子的两个数学解，合运动能量含交叉项；它不是两份独立能量的和。若它们属于两个不同物体，则必须分别计算各自能量，位移和为零更不意味着两个物体都静止。对波的相消还须考察整个空间中的能量分布，不能只看一个点。 例题 21 近频振动与拍频 题目　两个等振幅的振动频率分别为和，初相位都为零，求合振动和拍频。 解答　用和差化积得。快振动频率为，带符号的慢因子频率为，实际振幅包络是。相邻振幅最大的时刻相隔，故拍频为。 规律　拍频，不是频率差的一半。两频相近时，才有清晰的快振动和慢包络两个尺度；相差很大时和差化积仍成立，但“拍”的物理描述不再恰当。 图8 同频合成用相量 近频合成出现随时间变化的包络 补充模型 两个正交方向的振动 若同一个质点的两个垂直坐标为、，它们不是沿同一方向相加，而是共同构成平面轨迹。消去时间可得 当或，轨迹退化为直线；当时为轴向椭圆，若再有则为圆。其余非退化情形也是椭圆，但主轴通常不与坐标轴重合。轨迹形状本身还不直接说明运行方向，应代入某一时刻的速度判断。 若两个方向的频率不同，就得到更一般的利萨如图形。频率比为有理数时，非零双分量运动可以在共同周期后重复；频率比为无理数时一般没有非零共同周期。不要把“每个分量都周期运动”误当成“整体状态必然周期重复”。 阻尼振动 线性黏滞阻尼模型 阻力与速度相反且正比于速度时，，。方程写为 试探解给出。根的类型决定自由响应，不由初始振幅决定。 阻尼类型 自由响应形式 运动特征 欠阻尼 过平衡位置振荡，包络指数衰减 临界阻尼 没有周期性振荡，是否穿过平衡点取决于初态 过阻尼 两个衰减时间尺度，无周期性振荡 对同样的静止偏离初态，临界阻尼常用来实现快速而不振荡的回位。它不是对任意评价指标、任意初速度都成立的“最快定理”。欠阻尼振动的相邻同向极值间隔为。 能量满足。严格说，瞬时能量一般不是单一指数函数，因为位移与速度平方的振荡因子没有完全抵消。弱阻尼时周期平均能量近似按衰减；同相位、相隔整数个阻尼周期的能量之比则严格等于对应指数因子。 例题 22 用衰减峰值求阻尼参数 题目　测得欠阻尼振子的周期为，第六个正向峰值是第一个正向峰值的一半。求、及品质因数。 解答　两峰之间有五个完整周期，，故。再由求 对数减量定义为相邻同向峰值比的自然对数。这里的采用定义；弱阻尼下才可近似以除以每周期损失能量来解释它。应分清“第六峰”与“经过六周期”。 例题 23 临界阻尼是否一定不穿过平衡点 题目　临界阻尼系统初位移。分别考虑与，比较运动。 解答　由得、。第一种初态为，其导数，位移保持非负并逐渐趋零。 第二种初态为，在穿过平衡点一次，然后从负侧趋于零。它没有往复的周期性振荡，但可以穿过平衡点。“非振荡”不等于“永不穿过”。 例题 24 干摩擦造成的分段振动 题目　水平弹簧振子受库仑摩擦，滑动摩擦力大小恒为，最大静摩擦力也取。从静止释放。求停止位置和停止时刻。 分析　每次持续滑动过程中，摩擦方向恒定，可把它看作改变该段平衡点的常力。速度反向时必须重新判断静摩擦能否让物体停住，不能套用指数包络。 解答　从正端点向左滑到负端点，能量给出，从而。本题端点依次为、、、；前三段末端中，前两次弹簧力仍超过最大静摩擦，运动继续，到原点后停止。 各滑动段都是相对于偏移平衡点的半个简谐周期，故停止时刻为。总路程，摩擦耗能，正好等于初始能量。一般最终位置不必是原点，只需满足。 图9 同样静止释放初态下 三类线性阻尼响应的差异 受迫振动与共振 稳态响应与暂态响应 给振子施加周期外力，方程为。完整解等于自由响应与一个特解之和。正阻尼会使自由响应逐渐消失，留下频率为驱动力频率的稳态运动；稳态频率不是。 设，代回方程，比较余弦和正弦系数可得 取、时，滞后角。低频时位移近似跟随外力；在时落后；高频时接近反相。速度在时与外力同相，外力持续高效输入能量。 在无阻尼、驱动恰好等于的理想情况，不存在有界的稳态振幅。零初态的共振解为，振幅随时间增长。这是线性理想模型的结论；真实系统会受到阻尼、非线性和结构限制。 例题 25 三个容易混淆的频率 题目　某振子、，驱动加速度幅值。求自由阻尼频率、位移共振频率，以及在时的振幅和相位。 解答　自由阻尼频率为。位移振幅最大意味着分母平方最小，对求导得非零极值条件，所以。 驱动取时，、；真正最大位移振幅为，略大于。 条件　只有，位移幅频曲线才在正频率出现峰值；否则振幅从静态值开始随频率单调下降。、、是不同概念，在弱阻尼近似下才彼此接近。 例题 26 平均功率共振与带宽 题目　在与线性阻尼系数均固定时，求稳态平均输入功率最大对应的驱动频率，以及功率下降到峰值一半的两频率之差。 解答　稳态一周期内机械能净变化为零，外力输入等于阻尼耗散，故 将振幅代入，也可写成。分母在时最小，因此功率峰值严格位于，；速度振幅峰值也位于此处。 半功率点满足，所以 由此。此处是恒定力幅激励下的功率带宽，不能把“振幅降到一半”当成半功率点。对位移幅频曲线，弱阻尼近峰区才常使用振幅降到峰值的对应半功率的近似。 图10 位移共振峰可偏移 功率共振峰在本模型中保持于固有频率 例题 27 地基激励与隔振 题目　质量通过弹簧和阻尼器连接到振动地基，地基位移。求质量块绝对位移幅值与地基幅值之比，并判断何时小于一。 解答　质量块绝对位移为，弹簧变形和阻尼器相对速度分别为、，故。改用相对坐标，有。 绝对位移的稳态传递比为 比较分子分母，等价于。对正频率即。适量阻尼可抑制共振峰，但高频隔振区增加阻尼反而可增大绝对位移传递比；“阻尼越大隔振越好”并不普遍正确。 辨析　若题目问相对位移幅值，应使用。绝对位移、相对变形、传递力是不同输出量，必须先说明所求。 耦合振动与正常模 例题 28 两个相同振子的正常模 题目　两个质量均为的物块，各以劲度的弹簧连接左右固定墙，中间用劲度的弹簧耦合。水平无摩擦，位移均向右为正。求两个正常模。 分析　中间弹簧的伸长变化是，因此两物块受到大小相等、方向相反的耦合力。先写原坐标方程，再作和差变换。 令、，得到两个独立方程、，其中 同相模使中间弹簧长度不变；反相模使耦合弹簧伸长变化加倍，所以频率较高。正常模是所有坐标以同一频率振动且振幅比和相位关系固定的特殊集体运动。 系统总能量为。两个模能量独立守恒；各物块的局部机械能却可交换。这里定义带有二分之一，其有效质量为，不能漏掉这个归一化因素。 图11 同相模不拉伸中间弹簧 反相模加强回复作用 例题 29 单侧释放与能量交换的近似 题目　对例题28系统，初始、，两者均静止。求运动，并讨论何时可近似观察到能量从一个振子转移到另一个。 解答　，故 当，两个频率接近，和差化积给出快振动和慢调制。第一物块位移包络首次为零的时刻是。在弱耦合近似下，局部能量主要随包络平方缓慢转移。 严格辨析　包络为零保证当时，却一般不保证，因此不能据此断言其瞬时机械能严格为零。若，频率比为，两个模没有共同的非零精确周期，整体运动不严格周期重复。各模各自简谐，也不代表每个原坐标只含一个频率。 分阶段过程与约束失效 例题 30 碰撞之后的弹簧振动 题目　质量的物块连在水平弹簧上，最初静止于平衡位置。另一质量的弹丸沿弹簧轴线以速度射入并留在物块中。碰撞很短，求随后振幅和碰撞损失能量。 分析　碰撞时间远短于振动周期，可忽略弹簧在碰撞期间的冲量，先用动量守恒求共同速度。完全非弹性碰撞机械能不守恒；碰撞结束后的无摩擦振动才机械能守恒。 解答　碰撞后速度为，振动质量为，所以。碰后位移仍为零，振幅 碰后振动能量为，碰前动能为，损失。如果碰撞发生于非零位移，还须保留当时弹簧势能，并用新质量下的求振幅。 例题 31 左右劲度不同的周期运动 题目　一物体在时受力，在时受力，两侧无耗散。从静止释放，求左侧振幅及总周期。 解答　势能取两段分别为和，在原点连续。设左侧最远点为，能量守恒给出。右侧往返经过两个四分之一周期，左侧亦然，故 若、，则、。周期虽然仍与振幅无关，但左右频率不同，整体位移不是单个正弦函数，所以不是全程简谐运动。分界处位移、速度连续，加速度在本题也连续为零。 例题 32 竖直振动台上的脱离条件 题目　质量的水平振动台由竖直弹簧支持，台上放未粘连物块。弹簧允许在相关范围内受拉或受压，忽略台与地面的碰撞。二者从共同平衡位置下方处静止释放，求全程接触条件；若将脱离，求首次脱离的位置和速率。 解答　接触阶段两者共同振动，。取相对于共同平衡位置的向上位移，物块受力，故。支持力不能为负，全程接触要求。 若，第一次向上运动至时支持力降为零，此时速率。之后物块自由飞行，振动台独自受弹簧作用，二者方程不同，原共同振动解须停止使用。恰好等于阈值时，最高点瞬时，不必出现有限时长的脱离。 图12 接触模型必须满足支持力非负 到达边界后重新建模 进阶专题与解题方法 专题一 广义坐标与变惯性小振动 若系统只有一个独立坐标，可写、势能。由能量守恒对时间求导并延拓到转折点，或由拉格朗日方程，得到 设平衡满足，并令。在一阶小量近似下，是二阶，也是二阶，故。于是 方法　先写精确几何约束，再在同一个坐标下计算惯性和势能曲率。若改用，惯性系数和势能二阶导数都会除以，二者之比不变。用角坐标时分母常为转动惯量，用长度坐标时常为质量；不能把不同坐标下的两个系数拼接。 应用　例如小车上的摆、可滑动支点摆、带滑轮的弹簧系统，可先消去循环坐标或使用守恒量，再求剩余自由度的小振动。若仍有多个独立坐标，单个“有效质量”一般不够，应建立耦合方程。 专题二 有限振幅单摆的周期修正 从最大角位移静止释放，机械能守恒给出。四倍从平衡到端点的时间就是周期。作代换可消去端点的平方根奇性： 该式适用于的理想摆动。展开被积函数并积分，得到 角度必须用弧度。时，前两项修正给出周期增大约。当，接近最高不稳定平衡点，周期发散，不能继续使用截断的低阶展开。对于轻绳单摆，还须检验张紧条件；大角讨论通常应明确改为刚性轻杆约束或取能保持张紧的摆动范围。 解题价值　遇到“周期是否与振幅无关”的问题，先识别是否只在小振幅下成立；需要更精确结果时用能量积分，而不是强行保留正弦时间函数。 专题三 弱非线性振动与幅频关系 考虑，令。当时，试用。利用，匹配基频项得 三倍频项意味着实际波形并非严格正弦；此法给出领先阶频率修正。为硬化型，振幅越大频率越高；为软化型，频率降低。后者势能只在局部形成势阱，不能将小振幅结论推广到任意位移。 进阶练法　先判断非线性项的无量纲强度，再决定是否可做微扰。量纲正确但没有小参数的“近似公式”，通常缺少适用依据。 专题四 缓慢改变参数与绝热不变量 无阻尼谐振子质量固定，劲度随时间缓慢变化。若，一个周期内参数几乎不变。瞬时能量变化为；周期平均，从而。于是 若缓慢增加到原来的四倍，则加倍，能量约加倍，振幅变为原来的。能量增加来自改变弹簧参数的外界做功，并不违反能量守恒。 若瞬间改变且不额外给冲量，和连续，能量突变量为。在过平衡点时突然把增至四倍，能量不变、新振幅减半；若在端点改变，则振幅保持不变、能量变为四倍。慢变与突变不可混用。 专题五 参数共振 与加性周期驱动力不同，参数激励直接调制劲度。例如 在、且调制频率恰好接近的主共振区，用缓变振幅法可得最有利相位的领先阶增长率，阈值约为。偏离精确调制频率时还存在失谐限制，不能只用该阈值判断整个频率范围。 直观理解　外界在物体远离平衡、弹簧形变较大时增加劲度，在接近平衡时减小劲度，可每周期净输入能量。秋千通过有节奏改变身体姿态或有效长度，包含此类机制，但真实动作还可能直接施力。 严格条件　齐次方程从严格出发仍保持零解；增长需要初始扰动。参数共振的驱动参数主要在约两倍固有频率变化，而加性力共振主要在约一倍固有频率，不应混为一谈。 专题六 不同质量的正常模 两个物块质量为与，左右墙与中间的三根弹簧劲度都为。设正常模、，代入耦合方程得、。 非零振幅要求系数行列式为零，即，所以 低频模用上方符号，两个物块同相但振幅不等；高频模用下方符号，两者反相。质量不同使简单的通常不再直接解耦，不能把相同质量的模形照搬过来。 方法　一般多自由度小振动可写为惯性系数矩阵和刚度矩阵的广义特征值问题。竞赛中两自由度通常只需联立两式、令消元条件成立，再用一个方程求振幅比。求完根要检验均为正、代回原式、检查对称极限。 专题七 冲量响应与有限时长驱动 无阻尼振子受任意外力，由每一小段冲量贡献的自由响应叠加，可得 每个使速度改变，随后以固有频率振动，因此有正弦核及系数。这提供了理解卷积公式的物理来源，避免只记形式。 应用　初态静止于平衡，从到施恒力，随后撤去。加载期间、。撤力后相对原平衡点的自由振幅为 当加载时长为整数个固有周期，撤力后振幅为零；为奇数个半周期时振幅最大。虽然恒力冲量可非零，但加载期间还有弹簧冲量，不能忽略它来计算最终速度。 专题八 匀加速参考系中的摆 支点所在参考系作平动，且相对惯性系加速度为恒定矢量。在该非转动系中加入惯性力，可将重力替换成均匀有效重力。摆的平衡方向沿有效重力，小振动频率为。 若支点水平向右加速，平衡摆线向左倾斜，，并有 若支点向上加速，则有效重力大小；自由落体时有效重力为零，不再有普通重力回复的小振动。若参考系旋转，要额外考虑离心力、科里奥利力等；若支点加速度随时间变化，平衡方向或有效重力也可变化，不能直接套恒定频率。 解题方法与易错剖析 建模与求解的七步流程 第一步　明确系统与阶段。画出弹簧、质点、滑轮、摆的约束关系，确定是否有碰撞、撤力、松绳、滑动或脱离。一个过程可能包含几个不同方程。 第二步　选独立坐标并规定正方向。优先相对于实际平衡位置计位移；若用弹簧自然长度作原点，要保留常力项，求完平衡再平移。 第三步　先求静态平衡，再求回复增量。把恒定力与随位移变化的力区分开；小振动要在正确平衡点展开。 第四步　写动力学或能量。动力学直接观察回复力系数；能量法适合存在多个从动件、转动和几何倍率的系统。所有速度均用同一个广义速度表示。 第五步　判定方程类型。只有线性常系数无阻尼齐次方程才是严格简谐；有阻尼、驱动力、非线性、分段系数时应使用对应模型。 第六步　代入初始条件并检查相位。先写通常最稳妥，需要合成相位时再变换。 第七步　检验量纲、极限和约束。让摩擦、附加惯性、耦合或驱动趋零，核对是否回到已知模型；验证张力、支持力和静摩擦范围。 按问题选择方法 已知条件 优先方法 必须注意 某时刻位移与速度 初值解或能量椭圆 初相位由两条三角关系共同确定 过指定位置所需时间 相位区间或旋转矢量 指定速度方向并列出首次到达 复杂弹簧与刚体约束 有效惯性和有效劲度 几何倍率在能量中要平方 势能函数已知 平衡点与二阶导数 零曲率需看高阶项 碰撞后开始振动 冲量过程加连续运动 碰撞阶段通常不能守恒机械能 阻尼或受迫响应 特征根或稳态系数匹配 分清暂态 稳态 以及所测输出量 两个以上耦合坐标 正常模与初态分解 一般坐标通常含多个模频率 十二类典型错误 误区一　“回复力就是弹簧力”。竖直振子回复力是合力相对平衡的增量；单摆回复作用是切向重力分量；浮体回复力是浮力和重力的差。 误区二　“加速度向平衡位置，所以一定简谐”。还必须正比于位移且比例系数为正常量；同样指向原点，却不是线性回复力。 误区三　“过平衡点没有力，所以速度为零”。此时加速度为零而速率通常最大；端点速度为零而加速度大小最大。 误区四　“路程占总路程多少，时间就占多少”。速度不均匀，端点附近耗时更长；必须通过相位或时间积分求比例。 误区五　“同位移就是同状态”。同一位置通常有两个相反速度；状态由位置与速度共同确定。 误区六　“在任意原点都可写”。只有以弹簧自然长度定义伸长，或把全部保守力合并并移到平衡点时，才可对应地使用该形式；两种势能的物理含义须分清。 误区七　“保守系统能量恒定，所以每种能量都恒定”。动能与势能周期交换；能量曲线的周期为位移周期的一半。 误区八　“阻尼只改变振幅，不改变频率”。线性欠阻尼自由频率为；只有弱阻尼时才近似不变。 误区九　“所有共振都发生在同一个频率”。位移、速度、平均功率的峰值，以及地基激励的输出峰值，定义和条件不同。 误区十　“位移相消就是能量消失”。合成函数与独立系统能量不是同一对象，交叉项或空间分布不能忽略。 误区十一　“振幅越小，任何稳定系统都严格简谐”。一般只是近似；二次势能项为零时，即使振幅很小也可能由四次势主导。 误区十二　“求得一个周期，就无需再管约束”。支持力变负、静摩擦超限、绳变松等都说明模型已失效，应在首次达到边界时切换方程。 分层练习 作答要求与建议 共42题，每组14题。B组巩固定义和计算，M组训练建模与分阶段，C组强调推导、近似和条件。未特别说明时，弹簧质量、空气阻力、支点摩擦均忽略，运动范围满足几何约束，角度用弧度。请先独立作答，再查后面的完整解析；记录错误属于概念、建模、代数、相位还是条件遗漏。 B组 基础巩固 B1　物体。求周期、初速度、初加速度及最大速率。 B2　、，初位移、初速度。求振幅及初值形式的运动方程。 B3　物体从静止开始简谐振动，首次到需多长时间？从该处首次回到又需多久？ B4　求简谐运动一个周期内的时间比例，并求此时势能占总能量的范围。 B5　振幅加倍，频率和质量不变，最大速率、最大加速度、总能量分别如何变化？ B6　竖直弹簧振子质量、劲度，从弹簧自然长度处静止释放。求相对平衡位置的振幅和最低点弹簧伸长量。 B7　质量夹在两个固定端弹簧之间，两根劲度分别、，沿共同轴线运动且均可拉压。求频率。 B8　两弹簧劲度、串联，中间接头无质量。末端连质量水平振动。求频率，并与B7比较周期。 B9　理想小角单摆长度变为原来的四倍、摆球质量变为两倍，周期如何变化？ B10　合成和，求合振幅和按余弦形式表示的初相位。 B11　两个等振幅近频振动频率为、。求拍频、拍周期及快振动频率。 B12　欠阻尼振动相邻正峰值之比，周期为，求和。 B13　线性受迫振子达到稳态，驱动力频率从低于固有频率缓慢变至高于固有频率。稳态位移频率由什么决定？在时位移与力的相位差为多少？ B14　势能，，质量。求平衡点、频率，并说明的影响。 M组 综合应用 M1　竖直弹簧下挂质量并静止平衡。另一质量轻放其上并与之一起运动，放置瞬间不给初速度。求相对新平衡的振幅和运动周期。 M2　水平振子原处平衡且静止。施加恒力持续半个原固有周期后撤去。求撤力后的振幅；若只持续四分之一周期，结果如何？ M3　均匀实心球质量、半径，中心连接水平弹簧，在水平面纯滚动。求频率及给定振幅时所需的最小静摩擦系数。 M4　均匀细杆长，固定悬点到质心距离为，质心位于下方。求小摆周期和等效摆长。 M5　U形管两竖直臂截面分别为和，平衡时相应液柱长度为，底部连接段长度可忽略。忽略耗散，用细臂上升量为坐标，求微振频率。 M6　两自由物体质量、，以劲度弹簧连接。质心静止，相对伸长振幅。求频率、各自振幅、最大速率及总振动能量。 M7　水平面内，对称锚点到中点距离，两根弹簧自然长度、劲度均为，中间质量只沿垂直锚点连线的方向移动。求微振频率，并说明为何不是。 M8　欠阻尼振子、。初态、。求完整自由响应，不能把初始相位直接设零。 M9　、、，力幅。求位移共振频率、功率共振频率及在时的稳态振幅和平均功率。 M10　水平弹簧振子在、速度时受到沿正方向冲量。求新振幅；若希望此后恰好在当前位置静止为端点，应如何选择？冲量可正可负。 M11　两个质量均为的耦合振子外侧弹簧劲度、中间劲度，平衡时中间弹簧为自然长度。初始且均静止。求运动和中间弹簧的能量。 M12　平台质量，上放未粘连物块，由竖直弹簧支持，共同小振动振幅。求支持力最大和最小值，以及接触有效的振幅上限。 M13　左右分段回复力的劲度为、。由正端点释放，求负端点位置和周期，并判断是否简谐。 M14　水平弹簧受干摩擦，滑动摩擦力和最大静摩擦力都为。由静止释放，求最终位置、总路程和停止时刻。 C组 竞赛进阶 C1　质量在势能中运动，。求稳定点局部频率及每个势阱相对于最低点的势垒高度；总能量略低于零时能否跨阱？ C2　均匀杆长度，可在杆上任一点悬挂作小摆。用不等式求最小等效摆长，并解释为何悬点不能取质心。 C3　对于的振子，，用能量积分推导周期与振幅的比例关系，给出无量纲积分形式。 C4　对弱非线性方程，若，求领先阶相对频率修正。若振幅变为两倍，近似修正如何变化？说明适用性。 C5　初振幅的谐振子，质量固定，劲度由增至。分别求缓慢改变、过平衡点突然改变、在端点突然改变三种情况下的新振幅和新旧能量比。 C6　证明恒定力幅激励下半功率频率满足，并说明它们的算术平均是否严格等于。 C7　质量、由三根相同劲度的弹簧连于两墙之间。求两个正常模的频率及振幅比，并判别相位关系。 C8　无阻尼振子原处平衡静止，受力。推导共振响应，并求时的位移、速度和能量，其中为正整数。 C9　支点水平匀加速，单摆长度。求平衡倾角和小摆周期，并与静止支点比较。 C10　用能量周期平均说明慢变振子的近似守恒。若，给出振幅演化和慢变条件。 C11　双振子外侧劲度、中间劲度，质量均为，初始仅第一物块位移。推导能量交换的特征时间近似式，并说明它是否保证第一物块瞬时严格静止于原点。 C12　对参数方程，取。用领先阶判据比较与；后者的最快增长时间尺度约为多少？ C13　两弹簧以对称预拉伸方式提供横向回复力，锚点距中点，自然长度、劲度。将精确力展开到项，并判断有限小振幅时频率是上升还是下降。 C14　广义坐标的动能为，势能为。求平衡点附近频率，并写出精确运动方程。为正常量。 分层练习完整解析 B组解析 B1　角频率，周期。由得；由得。最大速率为。频率，不要把角频率直接报成赫兹。 B2　。。初值式为，长度单位为米。若写余弦合成式，、，初相位应在第四象限。 B3　从正端点出发，。首次到对应相位，用时。此时仍向负方向走，先到负端点，再返回原点，对应相位；第二段用时。不能直接取两位置间最短相位差而忽略当前速度方向。 B4　，一个相位区间内满足条件的总长度为，时间占。势能比例，范围为。端点单独一个瞬间的零速不影响时间比例。 B5　、，故分别变为两倍和两倍。变为四倍。此结论以频率不随振幅变化为前提，不能直接推广到非线性振子。 B6　平衡伸长。初态相对平衡位移为、速度为零，因此。最低点伸长为。最低点仍有向上的加速度，不能把该点当静力平衡来令。 B7　向右偏移时两侧弹簧回复作用相加，合力。因此。即使一侧伸长另一侧压缩，二者对位移的回复增量仍同向。 B8　串联弹簧力相等，总伸长为，等效劲度，故。B7的频率为，所以串联周期与B7周期之比为。串联中间接头若有质量，该等效静力公式不足以决定全部振动频率。 B9　小角周期与摆球质量无关。长度变四倍，周期变两倍；质量改变不影响结果。重力场、支点运动状态及小角条件需保持相同。 B10　，故振幅、初相位。代入检验：位移、速度，与原式一致。 B11　拍频，拍周期；快振动频率为平均值。带符号慢因子的频率为，其绝对值每秒出现两个最大值。 B12　对数减量为，。阻尼周期给出。若需无阻尼固有频率，则为。 B13　稳态位移频率等于驱动力频率，不是自由阻尼频率。在时，位移落后驱动力，速度与驱动力同相。扫频必须足够慢且等待暂态衰减后测量，才可把观测曲线当稳态幅频响应。 B14　，平衡在，，故。只改变能量参考零点，不改变力、频率或能量差。最常见错误是把误当劲度而漏掉系数2。 M组解析 M1　放上第二物体前伸长，新平衡伸长。放置瞬间位置不变且速度为零，故相对新平衡位移、振幅。新运动质量为，周期。外来物体被轻放这一条件排除了额外冲量；重力常量项只改变平衡，质量变化才改变频率。 M2　加载期间新平衡在，由初态得、。半周期撤力时、，后续振幅。四分之一周期撤力时、，后续振幅为。撤力瞬间无冲量，位移速度连续，但相对平衡坐标发生重新定义。 M3　实心球，所以有效质量，。平动和转动联立得静摩擦，最大值。故最小静摩擦系数。纯滚动静摩擦不做功，但有力矩，是转动速度随时间改变所必需的。 M4　转动惯量，重力力矩系数。因此等效摆长，周期。量纲检查：惯量除以质量与距离确实得到长度。 M5　体积守恒使粗臂液面下降，两臂速度大小分别、。取平衡处的惯性系数，二阶动能；两臂重力势能增量为。故 本题连接段长度忽略是关键条件；若连接段有显著长度，需要把其流速和动能一并计入，而非只改势能。 M6　约化质量，相对频率。质心静止给出，而相对位移，故、。振幅分别为和，最大速率分别为和，总振动能量。两物体的最大速率同时达到，但方向相反。 M7　代入，取得到，所以。横向位移不是弹簧轴向伸长；回复作用来自已有张力方向的一阶变化，因此不能直接把两根劲度相加当横向劲度。 M8　。写。初位移给，初速度给，因此。若直接写，其初速度为，不符合题意。合成后的包络系数为，它并不等于初始位移。 M9　、。位移共振频率，功率峰频率。驱动在后者时，平均功率。也可用交叉检验。 M10　冲量只使速度跃变为，位移保持。因此。若要当前位置恰为端点，须，故，振幅。这里“在端点静止”仅指瞬时速度为零；若，随后仍受回复力而运动。 M11　初态只有同相模，、，故。中间弹簧伸长增量始终为零，若平衡时无预伸长，它的弹性势能始终为零。不能由于中间弹簧存在就一律使用较高频率。 M12　共同频率。，因此、。接触要求。如果形式上算出负的最小支持力，物理含义是共同运动假设提前失效，并非台面对物块产生向下拉力。 M13　能量给出，负端点为。总周期。两侧回复系数不同，整体不是单频简谐。过原点时速度连续，左右运动应在同一速度处衔接。 M14　记。从向左的端点为，再向右的端点为。此时弹簧力恰好可由最大静摩擦平衡，物体停止。总路程，停止时刻为。初始能量，最终弹性势能，差为，等于摩擦功的绝对值。 C组解析 C1　，稳定点为，因，局部频率为。阱底能量，中央势垒能量为零，故势垒高度。总能量略低于零时，原点仍不可达，不能跨阱；接近势垒会拉长周期，但不会自动突破能量禁区。 C2　等效摆长，由正数算术平均不小于几何平均，。等号在时成立，且该位置在杆上可取。若，重力力矩恒为零，不能形成普通物理摆的小振动；周期公式的分母为零也表明这一点。 C3　转折点处能量，因此。利用四分之一周期积分并令，得 无量纲积分为固定常数，所以、频率正比于。原点虽然稳定，但曲率为零，小振幅周期反而变得很长；这与谐振子等时性不同。积分在端点的奇性可积。 C4　领先阶相对修正，即约增大。振幅变两倍后无量纲参数变为，领先阶修正为，即约。但小参数也放大四倍，截断近似的精度降低；不能把当无误差的精确值。若要求高精度，应保留高阶项或直接计算能量积分。 C5　新频率为。缓慢改变时，由得。过平衡点突然改变时、速度连续，，。端点突然改变时、位置连续，、。三种结果不同是因为外界改变参数时做功不同。 C6　，相乘得。因此几何平均严格为；算术平均为。只有弱阻尼时两者近似相等。半功率点在普通频率坐标中并非严格关于对称。 C7　正常模的代数方程为、。消元得。低频，对应，同相；高频，对应，反相。把每个根代回两个方程可检验符号配对。 C8　试探，代入得到，且此解满足零初态。因此。当，、，能量为。位移恰好为零的时刻仍可具有不断增大的动能。 C9　有效重力大小为，平衡摆线向加速反方向倾斜，，故偏离竖直向下方向。围绕该平衡方向作小角振动的周期，为静止支点周期的。小角指相对于倾斜平衡方向的扰动角，而不是相对于原竖直方向的总角。 C10　，周期平均，所以，积分即常量。由得。慢变条件为；若频率不断减小，该条件可能在后期失效。这里省略的是快速周期内的小幅修正。 C11　，，故频差。第一物块的位移包络首次到零约在 它表示弱耦合时第一次显著能量转移的时间尺度。准确表达式在包络为零时，其导数仍含慢包络的导数项，通常不为零，所以不能保证严格全部能量转移。 C12　主参数共振阈值约为。低于阈值，微扰在该领先阶模型下衰减；高于阈值，最快增长率。相应振幅增至倍的时间约，即约个固有周期。该结果要求精确附近的调谐及适当增长模分量，严格零初态仍为零。 C13　精确回复力为。利用，得到 等效线性劲度，三次回复系数，故是硬化型，领先阶频率随振幅增大而上升。使用微扰还须；当预拉伸趋零时，线性项很小，仅有还不足以保证这一条件。 C14　平衡点，惯性系数在该点为，势能曲率，故 精确方程为。直接写会遗漏变惯性产生的速度平方项；小振动线性化时该项才属于二阶小量而可忽略。 实验探究 实验一 测弹簧劲度与有效质量 器材可用弹簧、若干砝码、标尺和计时或视频装置。先用静态伸长测：对多组质量记录平衡位置，以对伸长作图，斜率给出劲度。动态测量时采用小振幅，每次记录20个完整周期的总时间，重复三次。 对不同挂载质量作对图。若弹簧质量不可忽略且沿长度速度近似线性分布，弹簧动能为，相当于附加质量，因此。截距还可能包含挂钩等附件质量。该三分之一结果依赖低频准静态形变假设，不是任意弹簧高阶模的通式。 误差讨论　固定幅度、避免横摆；从同方向经过同一位置开始和停止计数；区分计了20次过平衡与20个周期。拟合比只取单次比值更容易识别零点误差。弹簧不得超过弹性限度。 实验二 用视频检查相位与能量 在振动方向旁放刻度尺，固定相机，记录小振幅水平或竖直振动。逐帧读取位置，先拟合，再由拟合函数求速度，避免直接对噪声很大的位置数据连续差分。 同时绘制、、和。要求学生解释：为何时速率最大；为何位移与加速度反相；为何动能势能以两倍频率变化。竖直装置应使用相对平衡坐标建立总有效势能，不能只取弹簧势能来与动能比较。 实验三 从衰减曲线判断阻尼类型 以相近初始振幅重复释放，记录同向峰值与峰时。若对近似直线，支持线性黏滞阻尼的指数包络；若峰值对峰序号近似线性下降，则可提示干摩擦模型。真实装置可能同时存在两种机制，不能只凭两三个峰强行归类。 对于指数包络，拟合斜率给，相邻峰间距给，再求。弱阻尼时频率差很小，实验误差可能大于修正量，应报告测量精度而非给出过多小数位。 实验四 绘制共振曲线 驱动系统在每个频率都应等待数个衰减时间，直到暂态足够小。分别记录位移振幅、相位差和驱动力幅值。若力幅随频率变化，原始幅频曲线不再直接对应恒定力幅理论，应校准输入后再比较。 安全的小型装置可用电机或扬声器带动低能量机械振子。避免把演示共振理解成无限制增加振幅；设置机械行程和驱动上限。若观察地基激励，必须同时测地基位移，区分质量块绝对运动与弹簧相对变形。 讨论任务　解释位移峰和功率峰为何不必重合；说明阻尼增大如何降低峰值并改变带宽；分析扫频过快带来的滞后现象是否属于稳态相位。 公式速查与学习自检 常用公式及其适用条件 对象或任务 核心表达式 使用条件 简谐运动 ， 常系数 线性回复 无阻尼无驱动 初值确定振幅 位移以平衡点为原点 能量 ，， 有效二次势能 零点取平衡 有效惯性法 所有系数基于同一坐标 势能法 稳定点 二次项非零 小振幅 单摆 小角 固定支点 约束有效 物理摆 质心位于悬点下方 小角 双体相对振动 ， 无外部影响内部运动的力 同频合成 同方向 同频率 拍频 近频时具有清晰慢包络 欠阻尼频率 线性黏滞阻尼 对数减量 同向相邻峰值 稳态位移幅值 恒定力幅 暂态已衰减 位移峰频率 平均输入功率 线性阻尼稳态 功率峰与带宽 ， 恒定力幅 半功率定义 品质因数 本文线性阻尼参数定义 慢变不变量 常量 无耗散 学习完成标准 能不查表从牛顿第二定律推导水平弹簧、竖直弹簧和单摆的频率；能由任意初始位移和速度写方程，并用导数检验；能根据速度方向正确选取相位区间；能解释端点停留时间较长的原因。 能处理至少一种有转动惯量的振子和一种流体振动；能把势能函数转化为稳定性判断和小振动频率；能区分碰撞阶段与碰后振动阶段的守恒关系；能主动检查支持力、张力和摩擦条件。 能说清固有频率、阻尼自由频率、驱动频率和位移峰频率；能解释共振中的能量输入与耗散平衡；能用相量求合振幅和相位；能求简单双振子的正常模并理解拍与能量交换的近似。 进阶目标是能够明确小参数，区分精确式、线性化结果和领先阶近似；遇到非标准装置时，先构建动力学模型，再判断能否使用熟悉的振动公式。 。 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $