全国中学生物理竞赛-碰撞 学习讲义

全国中学生物理竞赛 碰撞 全国中学生物理竞赛 碰撞学习讲义 学生自学与教师备课用书 从接触冲量到多体碰撞与能量分配 概念推导 经典例题 方法总结 分层训练 32 道经典例题　8 个进阶专题　42 道分层练习 每道例题给出分析与解答，独立练习另附完整解析。 覆盖恢复系数、一维与二维碰撞、刚体与连续碰撞。 2026年9月 目录 学习目标与使用说明 3 碰撞过程与守恒条件 4 一维碰撞的统一解法 5 质心系与动能分配 7 恢复系数的测量与边界 9 二维碰撞与接触几何 11 动量与能量的分阶段联合应用 13 连续碰撞与事件顺序 15 粗糙接触与自旋 17 刚体偏心碰撞 18 有限接触过程与物理可实现性 20 进阶专题 22 解题流程 方法总结与易错剖析 26 分层练习 28 分层练习完整解析 31 公式速查与学习自检 36 拓展阅读与来源说明 37 学习目标与使用说明 碰撞题的核心，是在很短的接触过程中辨认哪些冲量可以忽略、哪些约束仍在起作用，以及哪些能量能够恢复为宏观运动。解题不应从“碰撞必然动量守恒”或“弹性就交换速度”出发，而应从系统、方向、接触几何与时间阶段出发。 本讲义覆盖高中物理竞赛中常用的质点碰撞模型，并向二维斜碰、粗糙接触、刚体偏心碰撞、连续碰撞和有限接触时间拓展。默认经典低速力学、物体质量不变；若题目涉及材料破坏、黏附、多个同时接触点等，必须补充相应模型。公式后标明的限制条件也是结论的一部分。 建议先掌握冲量与动量、动能与势能、质心运动、圆周运动；涉及刚体的部分还需知道角动量、转动惯量和平行轴定理。微积分主要用于接触过程、冲量积分及进阶推导，基础题可以用代数完成。 使用顺序是先读概念与例题，再遮住解析独立完成 B 组，随后做 M 组综合题，最后选择 C 组和进阶专题。每道题都应记录研究系统、守恒方向、接触法线、碰撞前后状态及适用条件。教师可按学生程度删选专题，不必把所有高阶模型一次讲完。 符号与统一约定 一维中，为碰撞前速度，为碰撞后速度，均为同一正方向下的代数量。物体 1 初始在左，物体 2 在右；进入碰撞要求。以表示总质量，表示质心速度，表示约化质量。本文用表示摩擦系数，以免与混淆。 二维接触法线单位向量由物体 1 指向物体 2，切向单位向量为。定义碰前法向接近速率。碰撞对物体 2 的法向冲量为，其中；物体 1 受相反冲量。刚体题中应使用接触点速度，而不能一概使用质心速度。 以表示碰撞前后总宏观动能；表示该动能的减少量。只有在没有其他储能变化和能量流出时，才能把全部等同于内能增量。常用恢复系数为；纯被动的一维正碰通常有。 符号 含义 使用提醒 系统质心速度 总外冲量为零时不变 碰前接触点法向接近速率 必须为正才有正在接近的碰撞 法向接触冲量大小 单侧排斥接触要求非负 法向分离速率与接近速率之比 不是单体末速与初速之比 碰撞前后宏观动能差 不等于总能量消失 碰撞过程与守恒条件 短时近似究竟忽略什么 对一批质量不变的物体，总动量的严格关系是： 碰撞内力即使巨大，在系统总动量式中仍成对相消。判断动量近似守恒，要比较外冲量与需要描述的动量变化尺度，而不是只看碰撞时间是否短。重力这类有限外力的冲量随接触时间缩短而趋小；墙、铰链、固定轨道等约束却可能产生同样很大的冲量，不能因“时间短”就删去。 若只有某方向外冲量可忽略，则仅该方向动量守恒。固定光滑水平面上的碰撞常可守恒水平动量，却不能把竖直方向的支持冲量遗漏。固定铰链处的外冲量力矩对铰点为零，因此常用对铰点的角动量守恒，而非线动量守恒。 碰撞前后的状态应选在接触开始前与接触结束后。压缩最深时，法向相对速度可以为零，但这只是中间状态；弹性正碰随后会释放形变能，使物体重新分离。“瞬时共速”和“最终黏在一起”必须区分。 图 1 接近 压缩 恢复与分离是不同阶段 动量 能量与角动量分别检查 动量是矢量，必须按方向列式；动能是标量，弹性碰撞指碰前碰后的总动能相同，并不指接触过程中动能始终不变。压缩期间动能可先变为弹性势能，恢复期间再返还。 对被动非弹性碰撞，部分有序运动转入形变、振动、内能或声音。总能量仍守恒，但只写宏观机械能时需列入损失项。若碰撞触发预压弹簧或化学能释放，末态宏观动能可能更大，这属于超弹性或释能碰撞，不能按普通被动模型排除。 对有转动的物体，动能还要包括；无外冲量矩时系统角动量守恒。偏心黏连会形成整体转动，不能仅凭“黏住”就把所有物体速度设成同一个平动速度。 例题 1 碰撞平均力与重力冲量 题目　质量的球以竖直向下撞地，以竖直向上弹起，接触时间，取。求地面对球的冲量及平均作用力，并评价忽略重力的误差。 分析　球不是孤立系统；上为正，动量变化为。这个数是合外冲量，不是精确的地面冲量。 解答　设地面冲量为，则，所以，。若忽略重力会得，相对误差约。 规律　先列严格冲量式再做小量估计。不能由平均力推断峰值力；峰值还取决于力随时间变化的曲线。 例题 2 固定铰链为什么破坏线动量守恒 题目　均匀细杆质量、长，一端固定于无摩擦铰链，初静止。质量的质点以速度垂直杆撞上另一端并黏住，碰撞时间极短。求碰后角速度。 解答　铰链可给予有限冲量，杆与质点总线动量不守恒；关于铰点的外冲量矩为零，重力冲量矩可忽略。设碰后角速度为： 碰后质点速度为，杆质心速度为，不能把二者设成一个共速。若错误地写再用能量，便忽略了铰链冲量和转动几何。 检验　当，角速度趋于；当，杆端速度远小于入射速度。角动量守恒本身不保证动能守恒，黏连碰撞一般有损失。 一维碰撞的统一解法 动量方程与恢复系数 在一维孤立碰撞中，总动量守恒只提供一个方程，两个末速度还需一条接触规律。牛顿恢复系数规定： 第二式中右边是碰前接近速率，左边是碰后分离速率。它依赖碰撞类型，并非由动量守恒推导出来。对有限物体，接触法线上的对应关系才是一般定义；这里恰好与运动方向重合。 联立得到统一速度公式： 公式输入必须是带正负号的速度。追碰时两初速可能同号，对撞时异号；不要先把它们改成速率。若算出的末态仍满足，就没有符合已完成碰撞的分离条件，应重新检查符号或模型。 从冲量推导与求力的入口 设物体 2 受向右冲量，则，。代入恢复系数得到： 冲量法把“谁受到哪一方向的冲量”写得很清楚，也便于推广到移动墙、斜碰和刚体。若已知接触时间，可求平均接触力；若不知道时间，冲量仍可确定，但平均力与峰值力不能仅凭末速度求出。 分类与特殊质量比 模型 恢复关系 能量特征与限制 弹性正碰 总动能恢复，等质量时交换速度 部分非弹性正碰 相对运动部分衰减，碰后可分离 完全非弹性正碰 一维末态共速，相对平动动能全部消失 超弹性正碰 需要内部储能释放，普通被动模型不适用 对靶物初静止的弹性碰撞，，。轻球撞重靶会反弹；等质量时入射球停止，靶球接走速度；重球撞轻靶时两者都向前，轻靶速度可接近。速度翻倍并不意味着能量无中生有，因为轻靶质量也小。 例题 3 对撞时必须保留速度符号 题目　物体 1 质量、速度向右；物体 2 质量、速度向左。正碰恢复系数。求末速度、冲量和动能损失。 解答　取右为正，，动量为，接近速率为。方程与给出，单位均为。冲量。 初动能，末动能，所以。两者碰后都向右，但物体 2 更快，能够分离。若把左行的填成正数，动量、接近速率和损失都会错误。 例题 4 追碰与碰撞是否发生 题目　光滑直线上等质量两球，左球速度，右球速度，间距，球半径可忽略，。求首次相遇时间和末速度。 解答　相对接近速率，故。质心速度为，末速度差为。得到。两者继续向右且间距增大。 方法提炼　碰撞方程只描述一次已经发生的接触，不能替代相遇条件。若把两初速度互换，左球追不上右球，不能无故套用一次碰撞公式。 例题 5 使入射物体恰好停止 题目　质量的球以速度正碰静止质量的球，恢复系数为。何种质量比使入射球碰后恰好停止？靶球获得多少动能？ 解答　给出。恢复关系给出，靶球动能为： 其余转入非宏观平动能。弹性时要求等质量，且全部初动能传给靶球。时，有限正质量靶球不能使初始总动量非零的系统整体停住；不能把直接代入零。 例题 6 从实验末速度反求恢复系数 题目　质量的球以速率撞静止靶球，碰后入射球以反弹，靶球以前进。求靶球质量及恢复系数，并检验能量。 解答　动量式给出。分离速率为，故。末动能与初动能之比为，损失比例。 检验　利用约化质量，，除以仍得。这是速度、动量和能量三条互相独立的核对路径。 质心系与动能分配 动能分解与损失公式的推导 定义，，则，。代入总动能并展开，交叉项相消： 第一项是整个系统质心平动的动能；第二项是两物体相对运动的动能。若无外冲量，不变；恢复关系给出末相对速度，所以： 这说明是“一维相对动能保留比例”，通常不是实验室系总动能保留比例。实验室系可能含很大的质心动能，而碰撞不能在动量守恒的同时把这部分任意消掉。 在质心系中，碰前两速度相向，且；碰后，。弹性碰撞就是各质心系速度反向而大小不变。实验室系结果再加回即可。 图 2 同一次正碰在实验室系与质心系中的速度 最大损失和参考系 在质量和总动量固定的一维系统中，末动能的下限为，当两物体共速时取到。最大可能损失是全部相对动能；初总动量不为零时，绝不能把所有动能都损失掉。 若惯性系以速度平移，。动量守恒使初末变换中的附加项相消，故。单体的动能变化一般不是不变量；若系统有外冲量，则，不能仍宣称宏观动能差总是不变。 例题 7 相向等动量的完全非弹性碰撞 题目　两物体质量与，速度分别为向右和向左，碰后黏合。求最终速度和损失，并解释为什么可损失全部动能。 解答　总动量，质心系恰为实验室系，末共速为零。初动能，全部转入其他能量形式。也可用、相对速率得到。 辨析　“完全非弹性损失全部动能”只在初始总动量为零且没有必须保留的转动等自由度时成立。它不是所有黏连碰撞的普遍性质。 例题 8 同向高速运动掩盖相对耗散 题目　等质量两物体的速度为与，后者在前，碰后黏住。求损失占初动能的比例；在质心系再解释结果。 解答　共速。初总动能为，末总动能为，损失，比例为。但质心系中初速度为，初动能就是，末动能为零，损失比例为。 规律　损失量在这两个惯性系中相同，损失比例却不同，因为初总动能的数值不同。描述碰撞耗散强弱时，相对运动和恢复系数更直接。 例题 9 最大能量传递与质量匹配 题目　质量的球以速度弹性正碰静止质量的球。求靶球获得初动能的比例，并求该比例最大时的质量比。 解答　靶球速度，因此： 不等式来自，等号要求。质量相差越大，单次碰撞的传能比例越低；重球撞极轻球虽能使轻球速度接近，传去的能量占比仍趋于零。 拓展　给定恢复系数时，比例为，仍在等质量处最大，但最大值只有。这与“使入射球停止”要求不同，两种优化目标不能混同。 恢复系数的测量与边界 反弹高度法与速度法 球自静止从球心下降高度处落下，在静止水平地面上反弹，忽略空气阻力且接触期间重力冲量可忽略。碰前速率为，碰后速率为，故： 高度应取球心从接触位置到顶点的高度差，不能混用球底高度与球心高度。是能量比例，而不是恢复系数本身。若地面运动、空气阻力不可忽略，或球明显旋转并发生切向耦合，高度法需相应修正。 真实恢复系数可能随材料、温度、入射速度和接触历史变化。把视为常数是一种题设模型。二维中法向仅表示碰后法向相对速度为零，不代表切向速度也相同，更不代表两物体永久黏合。 例题 10 多次反弹的总路程与总时间 题目　球从高度静止落到水平硬地面，恒定恢复系数，忽略接触时间和空气阻力。求所有反弹的总路程与总飞行时间。 解答　第一次落地前速率，第一次反弹高度，此后为。因此： 初次下落时间；第次反弹上升再下降时间为。于是： 模型边界　数学上无限次反弹可在有限时间内积累，称为非弹性塌缩的一种理想情形。真实接触有持续时间，低速恢复规律和黏附也会改变，不能把这个结果理解为真实球具有无限多次可分辨的瞬时撞击。 例题 11 移动地板上的反弹 题目　小球碰前竖直向下速度为，地板瞬时以速度向上运动，碰撞期间近似不变，恢复系数。求球碰后速度，并说明动能能否增加。 解答　上为正，相对地板碰前速度为，接近要求。恢复关系给出： 固定地板时恢复熟悉结果。若足够大，球的动能可增加，来源是地板及其驱动装置的能量，而不是。恢复系数仍须用相对地板的法向速度定义。由于系统只取球，球的动量不守恒。 例题 12 从有限质量靶的位移反求入射速度 题目　光滑水平面上静止靶块质量，右侧连接原长轻弹簧，劲度系数。质量的球从左正碰靶块后立即分离；碰撞时间远小于弹簧振动周期，恢复系数。碰后靶块使弹簧第一次最大压缩量为。求入射速率。 分析　碰撞期间弹簧冲量可忽略，先求碰后靶块速度；压缩期间再用靶块与弹簧机械能守恒。还需假定达到第一次最大压缩前无再次碰撞。 解答　靶块碰后速度，又，所以： 易错点　弹簧压缩能只等于靶块的碰后动能，不能等于入射球的初动能。若入射球追上正在减速的靶块，则需按下一次接触时刻重新分段，这个单碰撞反演式就不能直接使用。 二维碰撞与接触几何 光滑球的法向冲量法 两光滑球接触时，冲量沿两球心连线，称为接触法线。各球沿接触切线的速度分量保持不变；法向分量满足一维动量和恢复关系。球心连线一般既不与入射方向重合，也不与实验室坐标轴重合，应先画出接触几何。 令，冲量和末速度为： 两个动量分量自动守恒。由于切向相对动能未变，损失只来自法向相对运动： 该式针对光滑球、无耦合自旋的瞬时碰撞。若只知道入射速度、两质量和，却没有法线方向或等价的偏心距信息，通常不能唯一确定二维末速度。两个动量分量加一个能量方程，也不一定足以确定四个末速度分量。 图 3 光滑斜碰只改变接触法向速度分量 例题 13 光滑固定墙的斜碰 题目　球以速率斜撞光滑固定墙，入射方向与墙面法线夹角为，恢复系数。求反弹速率及反弹方向与外法线的夹角。 解答　法向入射速率为，反弹法向速率为，切向速度仍为。因此： 能量损失。只有时入射角等于反射角。若，碰后法向速度为零，球可能沿墙切向运动；这不能叫作反弹方向与法线成某个通常意义下的镜面反射角。 例题 14 已知法线的两球斜碰 题目　质量的球 1 以速度运动，质量的球 2 初静止。碰撞法线，两球光滑且。求两末速度及损失。 解答　，，所以。代入矢量式： 检验　总横向动量；纵向动量仍为。法向分离速率为，正好等于。损失为。 规律　直接写矢量冲量常比联立四个分量更短；但最后应至少检验动量和法向分离条件，避免把方向取反。 例题 15 等质量弹性斜碰的直角定理 题目　光滑等质量球 1 以撞静止球 2，碰撞弹性。证明碰后两非零速度互相垂直，并说明结论的退化情形。 解答　动量式为；动能式为。对动量式平方，比较可得。当两速度都不为零时，夹角为。 正碰时入射球停止，零向量没有方向，不能说两条出射轨迹仍有可测的直角；掠碰极限下靶球速度趋于零，也属退化。若质量不等、靶球原来在动或碰撞非弹性，不能继续照搬直角结论。 进一步，若接触法线与入射方向夹角为，靶球速度为沿法线，入射球剩余速度为沿接触切线。直角关系正是法向交换、切向保留的几何结果。 例题 16 偏心距与出射速度 题目　半径分别为的等质量光滑球，球 2 静止，球 1 沿水平直线以速率入射。入射直线到靶球心的垂距为，其中，碰撞弹性。求两球碰后速率。 解答　首次接触时球心距为。法线与水平线的锐角满足。因此： 两方向互相垂直，靶球沿球心连线离开。是正碰，球 1 停止；是掠碰，法向接近速度趋零，冲量趋零。若，球根本没有接触，不能把根式的负数解释为某种碰撞速度。 图 4 偏心距决定首次接触时的球心连线 例题 17 两个垂直来向物体的黏连 题目　可视为质点的两物体在光滑水平面同一点相遇并黏合，质量为与，初速度分别为与。求共速、运动方向和动能损失。 解答　总动量为，总质量，故共速，速率，方向与轴夹角满足。初动能，末动能，损失。 另一核对　初相对速度的平方为，，完全消除相对平动时损失。这里“质点在同一点黏合”排除了偏心导致的整体转动；有限物体偏心黏连必须另加角动量分析。 动量与能量的分阶段联合应用 碰撞前 碰撞瞬间 碰撞后分别列式 典型过程分为三类阶段：碰撞前的加速或下落；短时接触中的冲量交换；碰后的上升、压缩、滑动或圆周运动。每一段的系统和守恒量可能不同。碰撞时可用动量与恢复系数，碰后无耗散时可用机械能；碰后有摩擦则必须加入耗散。 重力势能随高度，弹簧势能随形变；碰撞前后极短时间内位置常可视为不变，但速度可以突变。把某一阶段的速度作为下一阶段初值，是联用两类方程的接口。若碰后发生第二次接触，必须再划分新的阶段。 图 5 碰撞损失与后续重力势能增加必须分段计算 例题 18 弹道摆测子弹速度 题目　质量的子弹水平射入最低点处静止的摆球并留在其中，摆球质量，悬线长，黏连后可视为质点。随后摆至最大偏角。求子弹初速及碰撞损失。 解答　最低点碰撞的水平外冲量可忽略，故。摆动阶段张力不做功，机械能守恒，。于是： 易错点　不能用子弹初动能直接等于摆体最后增加的重力势能，因为碰撞已损失动能。水平动量守恒也只用于短时碰撞，不能用于摆球整个上升过程。 例题 19 穿透木块后的弹簧压缩 题目　光滑水平面上质量的木块靠着原长弹簧，劲度系数。质量的子弹以速率水平穿过木块，以同向速率射出。穿透时间很短，忽略弹簧在此间的冲量。求木块最大压缩量及穿透阶段宏观动能损失。 解答　穿透阶段，所以。随后的木块与弹簧满足，得： 检验　若题设要求被动穿透，必须；同时射出后子弹应能离开木块，不能继续被后方木块追及。本题至少要检查的末态分离要求，严格分离取。任意指定一个小未必对应可实现的单次被动穿透。 例题 20 沿斜面方向的短时碰撞 题目　光滑固定斜面倾角。两可视为质点的滑块沿斜面同一直线运动，质量均为，上方块以速率下滑，另一块瞬时静止。碰撞恢复系数，碰后两块分离。求两速度，并判断两块之后会不会再次相撞。 解答　取沿斜面向下为正，短时重力冲量可忽略，支持冲量垂直斜面，不影响切向动量。得，。碰后两块加速度同为，相对加速度为零。 因此时下方块一直比上方块快，不会再次相撞。时瞬时共速，若理想模型还给相同加速度，则二者可持续相邻运动；这并不由恢复系数自动赋予永久黏附。若两块受到不同摩擦、连接不同弹簧，必须重新计算相对运动。 例题 21 黏连后完成竖直圆周 题目　质量的摆球位于长轻绳的最低点且静止，质量的子弹水平射入并黏住。球和子弹可视为质点，碰后要完成整圆且绳始终不松弛。求子弹最小速率。 解答　碰撞后共速。到圆顶升高，。圆顶张力非负要求。所以： 检验　轻绳模型的临界顶点速度非零，等号可实现有限时间完成整圈。若换成可承受拉压的轻杆，速度阈值的下确界为，精确取等号时趋近顶点所需时间发散，不能把它称为有限时间完成整圈的已取得最小值。 连续碰撞与事件顺序 每次接触都重新编号状态 连续碰撞应按时间顺序建立事件表，逐次更新所有物体速度，再检查哪一对正在接近。总动量和总能量只约束整个过程，不能代替事件顺序。可能发生相邻两物体二次碰撞、与墙反弹后再碰、碰撞中途第三物体加入等不同过程。 “两两瞬时碰撞”要求各次接触时间远小于相邻碰撞间隔。若三球原本紧密接触或接触持续时间重叠，简单地把同一时刻强行排成先后两次碰撞，结果可能依赖人为排序，必须用多接触模型。 例题 22 等质量三球的速度接力 题目　三个等质量光滑小球在直线上从左到右依次排列，相互间有空隙。最左球以速率向右，另两球静止，所有碰撞弹性。忽略球与地面的作用。求最终速度。 解答　第一、二球首次碰撞交换速度，得到。第二、三球随后交换速度，得到。第三球向右远离，另两球静止，不再接触，故这是最终状态。 规律　这里的结论来自等质量两体弹性正碰和非重叠的接触顺序。牛顿摆多个球原本接触时，接触变形和波传播参与过程，不能把任意多接触问题都归结为此两次交换的证明。 例题 23 中间球使传能最大 题目　质量的球以速率先弹性正碰静止中间球，后者质量为；中间球随后弹性正碰静止质量的末球。只考察这两次碰撞后末球获得的动能。何时最大？ 解答　中间球第一次碰后速度为，末球第二次碰后速度为。传能比例为： 令，其导数符号由决定，因此时取最大值。代入得到： 适用条件　此处优化的是指定的两次传递；若后续物体回头发生再次碰撞，长期最终能量还需继续追踪。对于相差很大的质量，用几何平均质量作过渡比直接单次碰撞有利，但不能默认所有碰后物体已停止相互作用。 例题 24 等质量两球与固定墙的连续碰撞 题目　光滑直线上等质量球 A、B，B 在 A 与右侧固定墙之间，B 初静止，A 以速率向右。球间和球墙均弹性，初间隔非零。求全部碰撞后的状态。 解答　A 碰 B 后速度；B 碰墙后；B 再碰 A 后。A 向左远离，B 静止，过程结束。对两球而言，墙给了向左冲量，所以两球最终动量与初始不同；两球总动能仍相同。 易错点　不能因为每次球间碰撞动量守恒，就宣称“包括撞墙在内的两球全过程动量守恒”。若把墙和地球也纳入系统，总动量可守恒，但其速度变化极小而冲量并不小。 图 6 连续碰撞应逐次更新状态并检查下一次接触 粗糙接触与自旋 切向冲量不能由法向恢复系数决定 光滑球碰撞只有法向冲量，不改变自旋。粗糙碰撞还存在切向冲量，接触点的切向速度同时受质心平动和自旋影响。此时只给法向通常不够，还需摩擦冲量规律、接触是否全程滑动或切向恢复条件。 以球撞固定水平地面为例，取右为正向、上为正向，角速度逆时针为正。球半径，转动惯量。最低接触点切向速度。切向冲量为有符号量，法向冲量，其中碰前竖直速度为。 若始终滑动，乘以初始滑动方向的符号。若该冲量会使滑动速度越过零，则不能无条件继续用同一方向的滑动摩擦；在法向、切向互不耦合的球平面模型下，可先达到零滑动后保持零切向接触速度。使其恰好消失所需冲量为： 若，采用零滑动末态；否则保持滑动，采用摩擦饱和值。这里假设简化库仑模型、无切向弹性回弹，且接触几何在碰撞期间不变。一般刚体多接触中不能直接套用这一截断规则。 例题 25 无初始自旋球的粗糙反弹 题目　均匀实心球碰前速度，，无初始自旋。固定水平粗糙地面法向恢复系数，摩擦系数；取，采用上述简化冲量模型。求碰后平动、自旋及两种分支的条件。 解答　，需要消除切向滑动。若，碰后，，，接触点切向速度为零。 若，则，从而，，碰后仍向右滑动。两个分支在临界处连续。 能量核对　在零滑动分支，初切向平动动能降为平动与自旋总和，损失；法向另损失。若碰后球离地，“切向接触速度为零”只是离地瞬间条件，不等同于之后始终在地面纯滚动。 图 7 接触点切向速度由平动和自旋共同决定 刚体偏心碰撞 刚体冲量方程与接触点恢复关系 平面刚体受接触冲量时，质心速度变化由给出；绕质心的角速度变化由给出。接触点速度为。恢复系数必须作用于两个接触点的法向相对速度。 当冲量法线不经过质心时，碰撞会同时产生平动与转动。即使接触光滑，也不能只用两物体质心速度之差代替恢复关系。固定铰链约束还会提供额外冲量，此时要使用关于铰点的角冲量方程。 例题 26 小球撞自由杆的偏心碰撞 题目　质量的球以速度沿方向运动，撞静止自由细杆。杆质量，长，位于光滑水平面并沿方向，碰撞点距杆中心为。冲量沿方向，恢复系数，球可视为质点。求球末速、杆质心速度和角速度大小。 解答　令杆受冲量，则球末速，杆质心速度，杆角速度大小，。接触点沿冲量方向速度为。恢复关系为该速度减球末速等于，因此： 损失可写，其中。时退化为普通两质点正碰；偏心越大，接触点更容易通过转动退让，有效质量越小。角速度正负应由力矩方向判断，不能仅看的绝对值。 例题 27 小球撞铰接杆 题目　质量的小球以速度垂直撞向初静止细杆，杆一端铰接固定，撞击点距铰点。杆关于铰点转动惯量为，碰撞恢复系数。求接触冲量与碰后角速度。 解答　球末速；杆角冲量式；接触点法向速度为。于是，得： 这相当于碰撞点面对一个等效质量。不是把杆总质量直接代入正碰公式。铰链可以改变系统线动量，但因自身不动而不做实际接触功；若且无其他耗散，球与杆的总动能仍守恒。 例题 28 打击中心与铰链冲量为零 题目　均匀细杆质量、长，一端铰接，初静止。距铰点处受到垂直于杆的冲量。求铰链在这一方向的冲量，并求的打击位置。 解答　关于铰点，其中。杆质心速度。线动量式，得到： 因此时铰链横向冲量为零，称为打击中心。这个位置由质心距离和惯量共同决定；一般刚体若质心距铰点为，则。它不等于杆质心，也不说明任意打击方向或有限持续受力都不会使铰链受力。 图 8 自由杆与铰接杆使用不同的动量方程 例题 29 偏心黏连后仍有内部转动 题目　质量、长的均匀细杆在光滑水平面静止，沿方向放置。质量的质点沿方向以速率撞杆端并黏住。求组合体质心速度、绕新质心的角速度大小和碰后动能。 解答　设，总质量，新质心相对原杆中心沿杆移过。整体质心速度。相对新质心的初角动量大小为。组合转动惯量为： 因此，末动能为： 损失为。黏连后各点做共同刚体运动，但速度因到质心的位置而不同。把末动能只写成第一项，会漏掉由初角动量要求保留的转动能。 有限接触过程与物理可实现性 例题 30 弹簧模型中的最大压缩 题目　光滑水平面上两物体质量，初速度。二者之间通过初始原长轻弹簧发生一次无耗散接触，劲度系数，恢复原长后脱离。求最大压缩量、接触时间，并说明压缩最深时的状态。 解答　质心速度恒定，压缩坐标满足，初值，。令，则。第一次恢复原长是。 最大压缩在，两物体共速，全部相对动能转为弹簧势能；但随后形变恢复，末态相对速度为，所以。这就是“中间共速不等于完全非弹性”的定量例子。实际接触若不是线性弹簧，接触时间一般会随入射速率改变。 例题 31 判断一组末速度是否可能 题目　质量均为的两球正碰，初速度为和，后球在左。有人给出两种末态：甲为和，乙为和。逐一检查动量、分离条件和被动碰撞能量要求。 解答　两种末态总动量都为，且右球速度大于左球，均满足分离。甲的恢复系数为，初动能，末动能，多出；若无内部释能，甲不可实现。乙的恢复系数为，总动能不变，是等质量弹性碰撞。 规律　动量守恒与分离条件都满足，也不够保证是被动碰撞。还要检查或明确的内部释能来源。反过来，末动能较小但两球仍互相接近，也不能称为一次碰撞结束后的合法末态。 例题 32 二维数据不足时如何补条件 题目　已知两光滑等质量球，一球速度为、另一球静止，碰撞弹性，但没有给接触法线。能否唯一求两末速度？写出一族可能解。 解答　不能。令接触法线，其中，则： 不同给出不同出射轨迹，但都满足两分量动量、能量守恒和直角关系。可以补充偏心距、碰撞瞬间两球心的位置、靶球出射方向等几何信息来确定。竞赛解答应明确指出欠定条件，而不是凭画图选一个未经给定的碰撞角。 进阶专题 专题一 冲量空间中的压缩与恢复 固定法线、单一正碰中，把已经积累的接触冲量当作过程变量，比直接猜接触力更方便。相对速度随冲量线性变化：。由两物体冲量方程展开总动能得： 压缩最深时，故。此时相对动能降为零，系统宏观动能最小。碰撞结束总冲量，恢复阶段追加冲量，从而。 这里冲量恢复比等于牛顿速度恢复系数，是由固定法线、单一相对自由度和无额外耦合得到的。对于多接触、粗糙刚体或显著变动的几何，不宜不加验证地把各种恢复系数定义视为同一个量。 方法应用　已知接触力随时间的曲线，只要积分得，就能判断何时达到最大压缩，并求每一时刻的速度。若只知道冲量，不知道接触力曲线，仍能求末速度与能量差，但不能还原峰值力或接触时间。 示例　两等质量物体，初速度。压缩阶段需冲量，弹性碰撞总冲量。压缩最深时两速度都为，总动能从降为；这部分暂存于形变中，恢复后返还，并非永久损失。 图 9 动能随累积冲量先降低 后恢复 专题二 质量加权速度图与碰撞映射 定义，。动能为，等能线在平面中是圆；动量为，等动量线是直线。弹性碰撞的碰前、碰后点，是同一条等动量直线与同一个能量圆的两个交点。 沿方向的分量代表质心运动，碰撞时保持；垂直于它的分量代表相对运动。弹性碰撞将该垂直分量反射，非弹性碰撞则反向并缩短到原来的倍。 这一几何图说明：弹性两体一维碰撞变换做两次会返回原速度；的映射数学上可逆，但逆过程会放大相对速度，要求内部供能，不能当作同样耗散材料的自然逆碰撞。时相对速度信息全部丢失，映射不可逆。 连续碰撞技巧　对多物体，可给每次接触写一个只修改相邻两速度的线性变换，再按真实事件顺序相乘。不同接触的变换通常不可交换，所以“A 先碰 B”与“B 先碰 C”不能随意换序。矩阵只负责速度更新，接触时刻仍需位置与相对运动决定。 专题三 不等质量弹性散射的速度圆 质量的入射粒子以速度碰静止质量的靶粒子。若相互作用为无耗散两体作用且散射后势能回到同一基准，质心速度，入射粒子在质心系的速率保持为。 因此在实验室速度平面，入射粒子末速度端点落在以为圆心、以为半径的圆上。具体落点由碰撞几何或相互作用规律决定。 若，原点在圆外，入射粒子不能倒退，最大偏转角由切线给出： 若，圆经过原点，非零出射速度只能朝前半平面，最大偏角以为极限，同时速率趋零。若，原点在圆内，允许入射粒子反向散射。不能把重粒子的偏转限制直接套到轻粒子撞重靶的情形。 示例　质量的球撞静止质量的球，弹性散射时原入射球最大偏转角为。这不要求先求偏心距，适合先判断实验数据是否可能；但若要找到实现该角度的实际碰撞位置，还需接触几何。 图 10 速度圆的切线给出重入射粒子的最大偏转角 专题四 两刚体法向碰撞的有效质量 两个自由平面刚体只受一对法向冲量。令物体的接触点相对质心矢量为，转动惯量为。定义有符号力臂。法向冲量改变接触点相对速度的能力为： 设初接近速率为两个接触点速度差在方向的投影，恢复关系给出： 推导要点　各质心动能的线性变化加上各转动动能的线性变化，恰好合成；二次变化合成，所以。代入得到损失式。角速度和法向速度中出现的力臂符号会相互配合，使二次项只含。 模型限制　若有铰链或固定轨道，必须用满足约束的速度响应替换自由刚体的；若有切向冲量，通常还会出现法向与切向耦合，单一标量有效质量不再足够。切向初动能也可能转入法向，使按局部速度比定义的法向恢复系数表现得异常，不能机械套用“法向等于总能量不增”的判断。 专题五 上下两球落地的速度放大 将大球质量放在下、小球质量放在上，二者一起下落。在理想分离接触模型中，大球先与地面完成碰撞，然后才与仍在下落的小球碰撞。设落地前两速率均为，地面恢复系数为，球间恢复系数为。 上为正，大球碰地后速度为，小球仍为。代入一维两体公式，小球碰后速度为： 若两次都弹性，则。当时趋于，小球从球间碰撞点起的上升高度趋于。大球的重力势能提供额外能量，不存在能量增殖。 关键限制　球间必须留出足够使两次接触不重叠、又足够小使其间重力速度变化可忽略的间隙。若两球最初紧贴、碰地和球间压缩同时发生，只是特定极限模型的结果，不能直接当作所有叠球实验的精确值。小球速度若不为正，也不能拿称为“向上反弹高度”。 专题六 多接触碰撞为什么需要额外模型 三球同时接触时，各接触点的冲量相互影响；仅给各材料两体实验测出的恢复系数，并不自动规定如何分配整个多体接触过程。可以建立弹簧或阻尼接触模型，或明确一个全局冲量与恢复约束模型；不同模型可能产生不同末态。 一个诊断例子是三个等质量球瞬时相接，初速度为。若只做一次“左接触完全非弹性合速”，再做一次“右接触完全非弹性合速”，得到；若先右后左，则得。两种人为排序都留下尚在接近的相邻物体，并不是整个碰撞已完成的末态。 若题目明确“三球立即永久黏成一个整体”，由总动量为零可得末态全静止。若接触完全弹性且两侧接触结构完全对称，可以用对称性、能量和真实接触演化研究末态；但不能从上述两次局部平均中推出答案。 解题原则　遇到“同时”“紧贴”“多处接触”时，先检查是否有足够的接触模型。数据不足时，应给出需要补充的条件，而不是任意确定接触顺序。对数值模拟，越小的时间步也不能修正一个本来就欠定或不一致的碰撞规则。 专题七 接触时间与非线性弹性接触 在线性弹簧模型中，接触时间与入射相对速率无关；这个性质来自简谐运动，并非所有弹性碰撞通用。设无耗散接触力随压缩量为，其中，初相对速率，则接触势能为。 由压缩与恢复对称，设，接触总时间为： 积分为只依赖的无量纲数，故随的幂次为。例如的理想赫兹型模型给出，最大压缩量随变化。这里仅使用给定幂律模型；真实材料出现塑性或黏弹性后，不能继续把它视为完全弹性。 估算用途　瞬时碰撞近似要求接触时间远小于外部运动的时间尺度，例如摆动周期、重力改变速度所需时间或相邻碰撞间隔。若这些尺度相近，就要解有限接触过程，而不仅用速度跳变公式。 专题八 黏连碰撞中的最小动能与角动量约束 固定总动量时，所有粒子共速给出最小平动动能。但对有限尺寸系统，若还必须保留非零质心系角动量，全部粒子共速会使相对角动量变零，因而可能不合法。 在给定瞬时构型、平面运动中，设关于质心的转动惯量为、角动量为。将质心系各速度分解，或使用柯西不等式，可得： 等号对应整体平动加绕质心的共同刚体转动，没有额外振动和变形速度。偏心黏连碰撞常正是以这种方式留下转动动能。因此“完全非弹性最大损失”必须说明允许的自由度和守恒约束，不能把质点共速公式用于任意有限物体。 推导提示　对每个粒子，把速度写成，选，并使残余速度的总线动量与角动量为零。展开动能后交叉项消失，余下非负项，即得到下界。若构型可以继续改变，也变，该下界随状态变化。 解题流程 方法总结与易错剖析 六步解题流程 第一步，画碰撞发生的几何状态，标出质量、初速度、接触法线和可能的约束。先判断是否接近，必要时先求相遇时间。第二步，选择系统并估计外冲量；线动量不守恒时检查是否某分量守恒或关于某点角动量守恒。 第三步，按接触类型补充规律：光滑还是粗糙，弹性还是给定恢复系数，瞬时碰撞还是有限接触，是否永久黏连。第四步，求末速度并检查法向分离、非负接触冲量、能量变化和约束有效性。 第五步，把碰后状态作为下一阶段初值，再用能量、牛顿定律或相对运动分析。第六步，做质量极限、恢复系数极限、量纲和动量能量的交叉检查；连续碰撞还必须确认没有未处理的下一次接触。 已知条件 优先方法 额外检查 一维速度与恢复系数 质心速度加相对速度 或冲量法 带符号速度及碰后分离 碰撞后上升或压弹簧 碰撞动量与后续机械能分段 中间再碰撞和耗散 二维光滑球与法线 法向冲量矢量更新 几何法线和接近条件 固定铰链与偏心打击 对铰点角动量 接触点恢复 铰链冲量与等效惯量 粗糙接触伴随自旋 法切向冲量与角冲量 滑动是否停止 接触模型 多次或同时碰撞 事件表 或多接触动力学 时间次序是否真实可分离 十二类常见错误 错误一　把碰撞直接等同于总动量守恒。修正：写明系统与外冲量；固定墙或铰链可能给予大冲量。 错误二　用速率代替带正负号的速度。修正：先统一正方向，接近与分离速度由代数差计算。 错误三　认为是某一个物体的末速除以初速。修正：用接触点的法向相对速度定义，只有固定墙正碰才简化成单球速率比。 错误四　把当作实验室系总动能保留率。修正：一维孤立碰撞中，它只对应相对动能部分。 错误五　把瞬时最大压缩的共速状态作为碰撞结束。修正：还可能有弹性恢复阶段；需要比较接触是否真正结束。 错误六　认为完全非弹性一定损失全部初动能。修正：质心动能以及角动量要求的转动动能可能必须保留。 错误七　在二维中沿入射方向定义恢复系数。修正：恢复关系沿接触法线；法线需由接触几何确定。 错误八　把等质量速度交换用于任意斜碰。修正：光滑斜碰只交换法向分量，切向分量各自保留。 错误九　有自旋却只检查平动动能。修正：加入转动能，并用接触点速度判断滑动方向。 错误十　先后发生的弹性碰撞可随意换序。修正：速度变换不可随意交换，相遇时刻由位置与速度共同决定。 错误十一　对子弹入块再上升的全过程使用机械能守恒。修正：碰撞损失先处理，后续无耗散阶段才使用机械能守恒。 错误十二　以为能量与动量都满足就一定有唯一解。修正：还需碰撞几何、接触模型、分离条件及事件顺序，特别是二维和多接触问题。 分层练习 本部分共 42 题，每题均在后文给出解析。B 组训练定义、符号和标准模型；M 组要求分阶段与几何分析；C 组涉及参数优化、刚体、接触模型及逆问题。除特别说明外，均忽略空气阻力，球间碰撞为短时接触，质量为正，使用同一惯性系。 B组 基础巩固 B1　质量的球以向右，弹性正碰静止质量的球。求两末速度和靶球所受冲量。 B2　等质量两物体以向右和向左对撞后黏住。求共速及宏观动能损失。 B3　质量的球以撞静止质量的球，恢复系数。求两末速度及损失。 B4　球心从接触位置上方处静止落下，反弹至接触位置上方。求恢复系数及该次碰撞法向动能损失比例。 B5　质量的球以水平正撞固定竖直墙，反向速率为，接触时间。求墙的平均水平作用力大小、恢复系数和动能损失。 B6　质量的球以碰静止质量的球，无外冲量。若只允许被动一维碰撞，最大能量损失占初动能多少？此时末速度是多少？ B7　质量的球以正碰静止靶球后恰好停止，靶球速度为。求靶球质量和恢复系数。 B8　等质量球正碰，一球初速，另一球静止，。求末速度，以及靶球获得的动能占初动能的比例。 B9　质量的球弹性正碰静止靶球。若靶球获得初动能的，求靶球质量的全部可能值。 B10　质量的球以速率正撞固定光滑墙，恢复系数，接触时间。接触力大小为 ，。求与平均力。 B11　球碰前相对固定光滑墙的切向速度为，指向墙的法向速率为，。求碰后速率及动能损失比例。是否能说球黏在墙上？ B12　说明为什么孤立定质量系统碰撞的总动能损失在不同平移惯性系中相同，而“损失占初总动能的比例”一般不同。 B13　球从高度静止落下，地面恢复系数。求第三次反弹后的最高高度，以及全部反弹的总路程。忽略每次接触时间。 B14　质量与的两物体初速度分别为和零。求质心速度、质心动能和相对动能；完全非弹性正碰会损失哪一部分？ M组 综合应用 M1　质量的子弹水平射入静止质量的摆球并留在其中，碰后共同质心上升，取，黏连体可视为质点。求子弹初速和碰撞损失。 M2　光滑水平面上质量的木块与原长弹簧相连，劲度系数。质量的子弹以速度射入并留在木块中，碰撞期间弹簧冲量可忽略。求随后最大压缩量与碰撞损失。 M3　光滑等质量球，一球初速度，另一球静止。接触法线，。求两末速度及损失，检查法向恢复关系。 M4　等质量光滑球弹性斜碰，靶球初静止。已知靶球出射方向与入射方向成。求两末速及入射球出射方向。 M5　球斜撞固定光滑墙，碰前法向速率与切向速率相等。已知反弹方向与外法线夹角的正切为。求及动能损失比例。 M6　质量的入射球以先弹性正碰静止质量球，后者再弹性正碰静止质量球。三球有充分间隙，不发生同时接触。求这两次碰撞后的速度，并检查是否还会再碰。 M7　上下两球质量分别为与，，落地前速率均为。在两次接触可分离的极限中，大球先与地面弹性碰撞，再与小球弹性碰撞。求小球碰后速度；当时，大球碰后速度是多少？ M8　质量的子弹以速度水平穿过质量的静止木块，射出速率为。木块随后在水平粗糙面上滑行距离停止，动摩擦系数。穿透阶段地面摩擦冲量可忽略。求与穿透阶段动能损失的表达式，并列出末态分离条件。 M9　球 1 质量、速度，球 2 质量、速度，二者在同一点黏连并可视为质点。求共同速度与损失。若改为有限物体偏心黏连，还需要哪条守恒关系？ M10　长轻绳最低点的质量小球静止，质量子弹水平嵌入。要使黏连体恰好到达与悬点同高位置且绳在上升至该处之前不松，求子弹最小速率。到达同高处后会发生什么？ M11　质量球以正碰静止质量球。求碰后入射球反弹、停止、继续向前分别对应的范围；普通被动碰撞取。 M12　均匀细杆质量、长，一端铰接。质量小球以垂直撞杆的中点，接触光滑且弹性。求杆等效质量、冲量和角速度。 M13　均匀实心球以速度撞水平粗糙地面，无初始自旋。，，采用简化库仑冲量模型。求碰后速度、自旋，并判断是否消除了切向滑动。 M14　两物体以相对接近速率通过劲度系数的轻弹簧发生无耗散接触，约化质量为。求总冲量、最大接触力和接触时间；接触平均力与峰值力之比是多少？ C组 竞赛进阶 C1　质量球以正碰静止质量靶球，恢复系数固定为。分别求“使靶球获得动能最大”和“使入射球恰好停止”的质量条件。两种条件何时一致？ C2　质量的球将动能经静止中间球传给静止质量的末球，两次均弹性正碰。只比较指定两次接触后的传能。求最佳中间球质量、最大传能比例，并与直接碰末球比较。 C3　质量的球以速率弹性斜碰静止质量的球。求原入射球的最大偏转角，以及达到最大偏转时它的速率。 C4　质量的球以沿方向撞静止自由均匀杆，杆质量也为、长，沿方向放置。接触点距杆中心，恢复系数。求球末速、杆质心速度、角速度大小和各部分动能。 C5　质量的球以垂直撞均匀细杆端点并黏住，杆质量、长，自由置于光滑水平面且初静止。求组合体质心速度、绕新质心的角速度和损失占初动能的比例。 C6　均匀细杆一端铰接，质量、长。质量球以垂直打在距铰点处，恢复系数。求何处使碰撞期间铰链垂直于杆的冲量为零，并求该位置的球杆接触冲量。 C7　均匀实心球以速度撞水平粗糙地面，初角速度为，逆时针为正。给定，按简化库仑冲量模型写出全部切向冲量分支。说明初自旋如何使质心水平速度增加。 C8　质量的球以速率在光滑平面内弹性撞静止等质量球，二者半径和为。若要求靶球至少获得初动能的，偏心距应满足什么条件？写出对应的入射球偏转角范围，排除零速度的退化点。 C9　两接触物体的法向有效质量为，法向接近速率为。只存在法向冲量且。由直接推导允许的被动冲量区间，并结合碰后非接近条件缩小区间。 C10　三个等质量球从左至右排列，初速度，所有相邻碰撞恢复系数同为，。先发生 1–2 碰撞，再发生 2–3 碰撞。求这两次后的速度，并证明此时 1、2 仍在接近；为什么不能就此宣布最终状态？ C11　两物体无耗散正碰，接触力，约化质量，初相对速率。求最大压缩量与最大力对的幂次，并给出接触时间的定积分表达式。 C12　球从高度静止落下，地面恒定恢复系数。在忽略接触时间的模型中，求所有碰撞中地面对球的总冲量大小。为什么它不等于球初末动量差？ C13　已知质量的球以正碰静止质量的球，观测到系统动能损失为，外冲量可忽略且碰撞被动。求由数据反演的公式，给出的合法范围。如果没有观测碰后分离条件，仅由动量和能量方程还有什么歧义？ C14　质量、长的自由均匀杆初静止，小球质量以垂直撞杆，接触位置距中心，恢复系数。求使小球碰后恰好停止的，并给出该碰点确实位于杆上的质量与恢复系数条件。 分层练习完整解析 B组解析 B1　取右为正，，，单位均为。靶球冲量。总动量为，总动能为，碰前后均一致。 B2　共速。初动能，末动能，损失。初总动量不为零，所以黏住后仍留下质心动能。 B3　动量与恢复关系为、，故，。约化质量，损失。 B4　。法向动能保留，损失。若误取，便混淆了速度比和能量比。 B5　取入射方向为正，球动量变化，平均力大小。，损失。平均力方向与入射方向相反。 B6　最大损失在，共速。初动能，末动能，损失占。等价地，。 B7　动量给出，故。分离速率，接近速率，所以。入射球停止不等于碰撞一定弹性。 B8　末速度为和。靶球动能比例为，系统总动能比例为。两种比例不同，也都不等于。 B9　令，，化简得，故或。所以靶球质量为或。传能比例对与对称，但入射球碰后方向不同。 B10　冲量等于，又，故，。峰值是平均值的倍。 B11　法向末速度为零，切向仍为，末速率。初速率，损失比例。没有切向约束或黏附条件，球并未被证明黏在墙上。 B12　惯性系变换。初末总动量相同，使。但随参考系变化，因此用它作分母的损失比例一般变化。不能把“损失不变”扩展成单个物体动能变化也不变。 B13　第三次反弹高度。总路程。这里第一次反弹高度为，不是。 B14　，质心动能；总动能，相对动能。完全非弹性正碰消除后者，保留前者。 M组解析 M1　黏连体质量，碰后速率。碰撞动量式给出。子弹初动能，碰后动能，损失。后续势能只增加。 M2　共速，压缩过程中，得。碰撞损失。末压缩能与碰撞损失相加恰等于子弹初动能。 M3　，，冲量。因此： 两速度之差在上的投影为，符合。损失。总动能损失比例为。 M4　靶球沿法线离开，故法线角。靶球速率为，入射球速率。若靶球向入射方向上方离开，则入射球向下方离开；上下镜像均可。二者夹角。 M5　，题中、，故。初法向与切向动能各占一半，损失比例为。 M6　第一次得到。第二次中质量球以撞质量球，得到最终三速度。从左到右速度严格递增，且接触后位置保持此顺序，所以不再相撞。总动量、总动能均保持。 M7　小球碰后；大球碰后。当时，小球速度为。这个“瞬时静止”只指两球碰撞结束时，之后大球仍受重力，可能再次碰地。 M8　木块离开碰撞阶段速率。由得。穿透损失。单次穿透后向前离开要求，被动模型还需。 M9　共同速度，速率；初动能，末动能，损失。有限物体偏心黏连还需总角动量守恒，并计算组合体惯量，不能保证所有点只有共同平动。 M10　碰后从最低点升高，恰好到同高处要求，故。沿上升段令角度从最低点计，张力为。同高处速度与张力同时为零；随后在重力作用下反向沿圆弧下摆，张力重新变正。它不会继续上升，也不必出现一段松绳自由落体。 M11　入射球末速。反弹，停止，继续向前。停止的条件来自法向相对速度与动量共同作用，不能仅凭质量较小判定一定反弹。 M12　，撞击距离，杆在该点的等效质量。弹性冲量，角速度。固定铰链冲量不能从总线动量式中删除。 M13　，摩擦饱和冲量大小，小于消除滑动所需，故全程仍向右滑动。，，。末接触点切向速度，与分支假设一致。 M14　弹性总冲量，峰值力，接触时间。平均力为，故。线性接触力呈半个正弦脉冲，与 B10 的积分核对一致。 C组解析 C1　靶球动能比例，对在时最大；最大值为。入射球停止则需，即，要求。两者只有时一致；时有限靶质量不能使入射球完全停止。 C2　最优中间质量为。两次传能最大比例。直接撞质量靶时比例为。中间球改善两次传递的质量匹配；如继续考虑后续重碰，需重新追踪。 C3　速度圆圆心距原点，半径。最大偏转角。切点对应速率为直角三角形另一边： 此时靶球速度不能只靠同方向动量相减，必须使用矢量关系。该速率小于，符合被动弹性碰撞的能量分配。 C4　杆惯量，，有效质量倒数，故。球末速，杆质心速度，角速度大小。球平动能为，杆平动能，杆转动能，三者之和为。 C5　总质量，质心速度。新质心距杆中心；组合惯量。初质心系角动量大小，角速度大小。末平动能，转动能，末总动能，损失，占初动能。 C6　杆的铰链横向冲量，故零冲量位置，与无关。此处有效倒质量为，所以： 这不意味着铰链在碰撞前后都没有静态受力，也不意味着沿杆方向任意冲量都会消失；结论仅针对所给垂直打击。 C7　初切向接触速度。若，此简化无切向耦合模型可取。若，需要消滑冲量。当时取，否则取大小、方向与相反的冲量。 得到，。若初自旋使，摩擦冲量向右，质心水平速度增加；能量来自初自旋的一部分，不能只看平动能增加就认定总能量不守恒。 C8　靶球获得比例，要求至少，故。对非零偏心距，入射球速率为，其偏转角大小为，于是。时入射球停住，方向无定义，不属于一个真正的出射方向。 C9　单侧接触。被动要求，所以。碰后相对接近速度为，非接近要求。合并得： 两端分别对应和；可描述尚未完成的压缩过程，却不应作为分离后的末态。 C10　首次碰后。第二次碰后： 此时。只要前两球之间仍有间距，1 将追上 2；若接触间隔太小，则甚至可能在第二次接触过程中就形成多接触。题目给定先后瞬时事件的前提下，至少还需处理一次 1–2 碰撞，不能把这组速度直接叫最终速度。 C11　相对能量式为，所以，随变化。最大力，随变化。总接触时间： 因此随变化，入射越快，接触时间稍短；该幂次结论只在所给无耗散幂律模型中成立。 C12　令首次入射速率。第次地面冲量为，均向上；求和得。初始静止、最终静止，整个运动的净动量变化为零；所有飞行期间的重力总冲量为，而，恰与地面总冲量抵消。不能遗漏碰撞之间的长时间外力作用。 C13　，其中。因此： 若只由动量和给定末动能求解，会得到相对末速度的正负两个根：一个仍接近，一个分离。恢复系数选择分离根；两根合并。若测量损失超出上限，说明数据误差、外冲量、转动或其他模型条件需重新检查。 C14　要使小球停止，需要。由冲量式，得到。以代入： 碰点在杆上要求，等价于。中心和端点分别对应两个等号。若该条件不满足，不能靠任意选择杆上偏心位置使球恰好停止；需要改质量、恢复系数或约束方式。 公式速查与学习自检 以下公式不是脱离条件的记忆表。使用前先确认系统外冲量、接触法线、切向模型和是否存在转动。 模型或任务 关键关系 前提 总动量 固定的一批质量不变物体 一维质心分解 为两体相对速度 恢复关系 一维接近后分离 光滑两球冲量 单次法向接触 无外冲量 光滑碰撞损失 切向不变 无自旋耦合 静止地面反弹高度 高度取球心下降和上升量 刚体角冲量 关于质心的平面转动 固定铰链等效质量 接触冲量垂直于铰点至接触点连线 自由两刚体有效质量 只有单一法向冲量 弹簧正碰 线性弹性 无耗散 学习自检一　能否不背末速度公式，仅由质心速度保持与相对速度反向缩短，在一分钟内重新推导两体碰后速度？ 学习自检二　能否解释为什么“碰撞弹性”“系统动量守恒”“墙不做功”是三种不同条件，不能互相替代？ 学习自检三　遇到二维碰撞，能否立即指出哪一分量改变、哪一分量保留，以及缺少哪些几何信息？ 学习自检四　碰后速度求出后，能否独立检查分离条件、能量损失符号、后续接触和必要的转动能？ 学习自检五　能否对一个看似标准的碰撞题给出至少一种使标准公式失效的情形，例如移动墙、偏心刚体、同时接触或接触时间不再短？ 拓展阅读 进阶阅读时，可继续研究接触弹性、黏弹性恢复规律、刚体冲击的摩擦耦合、非弹性塌缩与多体碰撞数值方法。超出本讲义理想模型的问题，应重新明确材料规律和约束条件，不宜把某个常数恢复系数推广到所有速度、所有几何和所有接触历史。 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $