全国中学生物理竞赛-动量与质心 学习讲义

全国中学生物理竞赛 动量与质心 全国中学生物理竞赛 动量与质心学习讲义 学生自学与教师备课用书 从质点组动量定理到质心系与质量流动 概念推导 经典例题 方法总结 分层训练 28 道经典例题　8 个进阶专题　36 道分层练习 每道例题给出分析与解答，独立练习另附完整解析。 覆盖冲量、质点组、质心、碰撞、反冲与变质量体系。 2026年9月 目录 学习目标与使用说明 3 动量与冲量 4 质点组动量定理与系统选取 6 质心的位置与计算 7 质心运动与反冲位移 9 质心参考系与能量分解 11 碰撞模型与分阶段分析 13 爆炸与离散反冲 16 变质量体系的基本方程 17 变质量体系经典例题 18 进阶专题 21 解题方法与易错剖析 24 分层练习 27 分层练习完整解析 30 公式速查与学习自检 36 参考资料与内容说明 37 学习目标与使用说明 本讲义面向已学过牛顿运动定律、运动学和功与能基础的竞赛学生，也可供教师查阅推导和选题。核心目标是把复杂物体间的相互作用，化为对系统总动量、质心运动和相对运动的分析。读完后应能独立说明每个守恒式的系统、参考系、方向及时间区间，并能从微小时间内的质量交换重新建立变质量方程。 全书包括28道经典例题、8个进阶专题和36道分层练习。例题侧重完整建模，练习先集中给出题目，再给出逐题解析，便于独立训练。进阶部分含微积分，基础读者可先完成冲量、系统选取、质心与一维碰撞，再学习质量流动。 适用范围　本讲义采用非相对论经典力学；质量可相加，速度远小于光速。除题目另有说明，地面作为近似惯性系，重力场均匀，绳、弹簧和滑轮均按题设理想化。所谓“质量守恒”是经典模型中的质量核算，不讨论核反应质量亏损。 阅读路径　第一遍掌握各章定义、适用条件和例题；第二遍遮住答案完成B组与M组；第三遍学习进阶专题并完成C组。每道题都应先写一句“选取……为系统，在……系中，考察……阶段”，然后列式。若写不出这句话，先不要代数计算。 符号和参考系约定 符号 含义 使用提醒 单体动量、系统总动量、冲量 均为矢量；一维分量可正可负 系统总质量、质心位置、质心速度 定质量系统才可直接用 实验室系速度、质心系速度 约化质量、恢复系数 本讲义不用作摩擦系数；摩擦系数写 流入、流出质量流率 均取非负；物体质量变化率为 流入、流出物质在实验室系的速度 相对物体的速度还要减去 火箭向后排气的相对速率 ；一维排气速度为 本书题目均为围绕经典模型设计的教学题或改编式训练题，不标称为某届竞赛真题。文末列出范围核对和拓展阅读来源；各例题的数值、推导和解题安排均按本讲义的假设独立给出。 动量与冲量 动量是描述平动状态的矢量 质点的动量为。它同时反映质量与速度，单位是kg·m·s⁻¹，也等于N·s。两个物体动量大小相同，不意味着动能相同；同一物体速率不变而运动方向改变，其动量也改变。 对质量不变的质点，牛顿第二定律可写成： 这里的力是所有外力的矢量和。冲量描述力在一段时间内的累积作用；应先对力的分量积分，再合成冲量。某个力的冲量不一定等于物体的总动量变化，除非其余力的冲量和为零。 在一维中，力随时间图线与时间轴围成的有向面积是冲量。时间轴上方面积为正，下方面积为负。平均力是时间平均值，一般不等于初末两时刻力的算术平均；只有力随时间线性变化时才可这样计算。 冲量与功不能混用 功为力对位移的积分，冲量为力对时间的积分。向心力可以始终不做功，却使动量方向改变；静止的支架对物体可持续提供冲量，但其作用点无位移时不做功。冲量为零只保证初末动量相同，过程中的动量仍可变化。 定质量质点有，但不是。若初动量为、合冲量为，直接展开可得： 冲量没有独立于施力对象和时间区间的“储存量”。动量是状态量，冲量是过程量。讨论接触力平均值时还必须区分“接触力”与“合力”。 例题1 分段变力与运动反向 题目　质量2 kg的小车在光滑直线上以1 m·s⁻¹向右运动。合力在前2 s内从0均匀增到4 N，接着1 s内恒为−6 N。求3 s末速度、全过程冲量，并判断何时开始向左运动。 分析　取向右为正。两段冲量分别由三角形和负矩形面积求出；判断反向要看动量是否经过零，不能根据力向左就断言速度已向左。 解答　第一段 N·s，初动量为2 kg·m·s⁻¹，故2 s末动量为6 kg·m·s⁻¹，速度为3 m·s⁻¹。第二段 N·s，所以总冲量−2 N·s，末动量0，末速度0。 在时，。它只在 s变为零；题设时间内从未向左。若−6 N继续作用，才会在3 s之后向左。平均合力为 N，不能用初末力平均代替。 方法总结　先求有向面积，再逐段累计动量。合力换向、加速度换向和速度换向是三个不同事件。 图1 分段力的有向面积与例题1的动量变化 例题2 小球斜撞光滑墙 题目　质量的小球以速率撞向静止光滑竖直墙，入射方向与墙法线夹角为。法向恢复系数为，碰撞时间极短，忽略重力冲量。求墙对球的冲量和动能损失。 分析　取法线指向墙内为正向，墙切线为方向。墙的接触冲量仅沿法线，所以切向动量不变；恢复系数约束的是法向相对速度。 解答　碰前、，碰后、。于是： 当时动能守恒且反射角等于入射角；当时只消除法向速度，球仍可沿墙滑行。把整个末速度写成会错误地改变切向分量。 例题3 反弹时接触力和合力的区别 题目　0.20 kg小球竖直向下以5.0 m·s⁻¹碰地，以3.0 m·s⁻¹向上反弹，接触时间0.040 s。取 m·s⁻²，求地面对球的冲量和平均支持力。 解答　取向上为正， N·s。接触阶段重力冲量为−0.080 N·s，故，得到 N·s， N。平均合力为40 N，而不是42 N。 检验　相对误差尺度为，此题若省去重力会使接触力结果低估约4.8%。在要求精确数值时应保留它；“碰撞时间很短”是一项可估计的近似，并非自动删除重力的口令。 质点组动量定理与系统选取 内力为什么能够消去 选定同一批质量不变的粒子为系统，第个粒子满足。在本书的牛顿力学相互作用模型中，，对全部粒子求和时，每对内力相消，得到： 内力相消是关于总动量的结论，不是关于每个粒子的结论。内力仍可改变相对速度、产生形变或改变内能；内力总功一般不为零。对存在显著电磁场动量的系统，不能只把物质粒子的机械动量当作完整总动量，本书不涉及这种情形。 系统边界由研究者选取。同一个摩擦力，对“木块”是外力，对“木块加木板”可成为内力。选大系统常能消去未知内力，但也可能引入地面摩擦、固定轴支持力等新的外力；不是系统越大越方便。 三种不同的守恒陈述 瞬时合外力始终为零，系统总动量在整个过程中保持不变。若只知道某段合外冲量为零，只能断言该段初末总动量相等，不能断言中间每时刻都相同。若只有某方向合外力为零，只能保证该方向动量守恒。 近似守恒须比较冲量：相对题目关心的典型动量变化足够小，才可忽略。不要用初总动量为零作为分母来估计误差；应选单体碰撞动量变化或其他非零特征尺度。 条件 可以得到的结论 不能据此断言 整个过程 总动量始终不变 各物体动量或机械能分别不变 整个过程 始终不变 也不变 某时间段 该段初末总动量相同 过程中的总动量恒定 短时外冲量可忽略 该短时段近似守恒 后续长时间运动仍守恒 例题4 内力未知也能求总动量 题目　光滑水平面上两个物体质量分别为2 kg、3 kg，由任意轻弹簧连接，开始都静止。对2 kg物体施加向右恒力10 N，持续0.50 s。求这段时间末的总动量和质心速度。能否求两物体各自速度？ 解答　把两物体和轻弹簧作为系统，水平外冲量为5.0 N·s，所以 kg·m·s⁻¹， m·s⁻¹。单体速度还取决于弹簧劲度、初始形变及振动相位；仅有一个总动量方程不足以确定两个速度。 方法总结　动量定理消去了内部细节，给出的也只是整体信息。若未知量仍有多个，应补充相对运动、几何约束或能量关系，不能把所有速度擅自设为质心速度。 例题5 木块与木板间的摩擦 题目　质量的木块以速度滑上静止质量的长木板，地面光滑，板足够长，最终二者共速。求共同速度和机械能损失，并说明摩擦力做功的特点。 解答　选木块与木板整体，地面无水平外冲量，故。得到： 木块受到的摩擦力向后，对木块做负功；木板受到的摩擦力向前，对木板做正功。两力虽等大反向，但两作用点位移不同，总功为负，数值等于−。若动摩擦系数为，相对滑动距离满足，从而。这可用来检验“木板足够长”的条件。 例题6 小球沿可动斜面下滑 题目　质量的楔块可在光滑水平地面上平移，斜面倾角、表面光滑。质量小球从相对斜面静止开始下滑，下降竖直高度。设斜面向右下倾斜，求此时楔块水平速度和球相对斜面的速率。 分析　整体有竖直地面支持力，不能用二维动量守恒，但水平动量守恒。地面支持力不做功，整个系统机械能守恒。球的实验室系速度为。 解答　水平动量给出。总动能展开后消去，得到： 检验　趋于很大时，趋于零且趋于；时无水平反冲。把球的动能直接写成相当于把相对速度错当成实验室系速度。 质心的位置与计算 质心是质量加权的几何中心 对定质量质点组，，质心定义为： 质心不必落在物体材料内部，例如圆环质心在环心。对于均匀重力场，重心与质心重合；重力场明显不均匀时二者一般不能直接等同。坐标原点任意选取，但所有位置必须相对同一原点。 两质点连线上的质心满足，其中是各自到质心的距离，所以质心靠近较重的一端。多个物体可先各自求质心，再把每个物体的全部质量集中到其质心，分层合并计算。 连续分布时把求和改为质量积分： 细杆取，薄片取，体分布取。先写质量元再积分，能避免把密度变化遗漏。具有对称性的均匀物体，质心在相应对称轴或对称面上；这可减少未知坐标。 例题7 线密度渐增的细杆 题目　长细杆沿轴从0延伸到，线密度。求总质量和质心位置。 解答　取小段。总质量和一阶质量矩分别为： 结果大于而小于，符合右侧较重的直觉。若把线密度取两端平均值，虽可恰好算对本题总质量，却会错误地把质心算到中点；质量分布的一阶矩不能由平均密度替代。 例题8 挖孔薄板的质心 题目　均匀半径圆盘中挖去半径的小圆孔，小孔圆心在大圆心右方处。求剩余部分质心。 分析　把剩余板理解为“大圆盘减去小圆盘”，负质量只是计算质量矩的记账方法，不是实际负质量物体。 解答　设完整圆盘质量为，孔对应质量为。以大圆心为原点，，横坐标为： 剩余质心向孔的反方向移动。检验时分母必须用剩余质量，不能仍除以原盘质量。 例题9 半圆弧与半圆片不能混淆 题目　求均匀细半圆环的质心位置，半径为，弧位于轴上方。并说明它为什么不同于均匀半圆薄片。 解答　对称性给。令弧上点坐标为，，质量元，总质量，于是： 对于半圆薄片，应再对半径积分。将半径、宽的半圆细环作为质量元，其质量为、质心高。代入加权平均得到。薄片有较多质量靠近直径，所以质心更低。不能把不同维数分布的结论互换。 图2 两质点质心与挖孔薄板的质量矩计算 质心运动与反冲位移 质心运动定理的推导 对同一批质量恒定的粒子，把质心定义对时间求导，质量可移出导数： 质心的加速度只由合外力决定，仿佛系统全部质量集中在质心并承受合外力。但这只决定平动部分，不说明各粒子怎样绕质心运动，更不保证质心位置处实际有一个受力点。 若，则。只有再加上，才有保持不变。很多“人船模型”求位移不需知道走路的受力和用时，就是因为初始静止且水平质心固定。 对任意两个时刻有。此式中都是地面系位移；若题目给的是相对板或船的位移，必须先做位移合成。 例题10 人从船尾走到船头 题目　质量、长的船静止在平静水面上，质量的人由船尾走到船头，忽略水的水平阻力。求人和船相对岸的位移。 分析　水平初总动量为零且无水平外力，所以系统水平质心不动。人相对船走了，并非相对岸走了。 解答　取人行走方向为正，设船位移为，则人位移为。由，得： 人的步速可随时间变化，也可中途停下；只要初末相对位置相同，以上位移结论不变。人停下相对船静止时，由总动量为零可知二者均相对岸静止。 扩展　若船、人初始共同向右匀速，经过时间完成行走，两位移分别在上述结果上加。此时质心并未静止，而是匀速运动。 例题11 空中爆炸与质心轨迹 题目　抛射物从水平地面发射，原射程为，在轨迹最高点爆炸成等质量两块。其中一块爆炸后瞬间相对地面静止。忽略空气阻力，爆炸作用时间可忽略。求两块落地点。 分析　爆炸后两块竖直初速度均为零，且从相同高度自由落下，所以落地时间相同。在此共同时间之前，系统所受合外力仍为总重力，质心继续沿原抛物线运动。 解答　最高点横坐标为。静止块竖直下落，落点。两块落地的共同瞬间，质心横坐标仍为原落点，所以： 也可由爆炸瞬间水平动量守恒得另一块水平速度为原水平速度的2倍，再算剩余飞行距离。若两块爆炸后竖直速度不同，它们落地时间一般不同，便不能把两块各自落地点直接代入“同一时刻的质心公式”。第一块落地后还会受到地面冲量，整个系统质心不再按自由抛体轨迹运动。 例题12 两人在船上交换位置 题目　质量的船长，两端分别站质量和的人。二人交换位置，初始整个系统静止，忽略水平水阻。设向右走。求船位移，并判断是否依赖谁先走。 解答　设船位移，两人相对岸的位移分别为、。质心不变给出： 结果只与初末相对位置有关，在给定假设下与行走先后无关。若两人质量相等，船最终回到原位置，但行走途中仍可能移动。此结论不能照搬到“先后跳离船”的问题：跳离后的人不再随船一起发生后续位移，系统几何关系已经改变。 图3 人船位移要先由相对船位移换算到岸系 质心参考系与能量分解 质心系的速度关系 选取原点跟随质心、坐标轴保持与实验室系平行的参考系，定义、。由质心定义立即得到： 因此质心系中总动量为零。这是坐标变换的恒等式，并不自动说明该系是惯性系。质心若有加速度，质心系也是加速系；要在其中使用牛顿方程，必须加上每个粒子的惯性力。 定质量系统无合外力时，为常量，质心系是惯性系。碰撞问题中若只忽略短暂碰撞期间外冲量，则该阶段可近似把质心系看作惯性系；前后较长运动仍需另行检查。 柯尼希动能分解 把代入总动能，展开后中间交叉项为，从而： 第一项为整体平动动能，第二项为相对质心的运动动能。两者均非负。即使实验室系动能很大，可在内部碰撞中转化的也不是全部动能；总动量固定时，至少保留整体平动部分。 对两质点，令，约化质量，由零总动量条件可得： 约化质量不是系统总质量，而是把两体相对运动能量写成“单个等效质点”形式时出现的系数。牢记相对速度属于两物体之差，而非某物体相对地面的速度。 例题13 总动量为零不等于没有动能 题目　2 kg物体以3 m·s⁻¹向右运动，1 kg物体以6 m·s⁻¹向左运动。求系统动量、质心速度和动能，并用约化质量核验。 解答　取右为正，，故。总动能 J。约化质量 kg，相对速率 m·s⁻¹，故 J，与直接计算相同。 若两物体完全黏合，最终可以静止，27 J全部成为形变、热等非宏观平动能量。由“动量为零”推出“每个物体静止”是把矢量和为零误解为每项为零。 例题14 在质心系中做弹性碰撞 题目　质量的小球以速度与静止质量的小球一维正碰，碰撞完全弹性。用质心系求碰后速度。 解答　质心速度。碰前质心系速度分别为与。对于一维非平凡弹性碰撞，零总动量与相对动能守恒意味着两质心系速度分别反向，因此碰后为、。变回实验室系得到： 检验　碰后总动量；总动能。在二维弹性碰撞中，质心系速度大小不变，但方向未必都反向180°，不能套用本题的一维反向规则。 例题15 给定总动量时的最小动能 题目　若干质量不变的物体总质量为，总动量为，证明总动能的下界，并指出达到下界的条件。 解答　由动能分解，，而，故： 等号成立当且仅当所有物体的质心系速度均为零，即它们在实验室系中具有相同速度。在无外冲量且总质量固定的完全非弹性并合中，可损失的最大宏观动能就是碰前。若系统还有不能消除的转动、几何约束或角动量限制，仅靠平动动量得到的下界未必实际可达，需要额外约束。 图4 两体运动可分为质心平动与相对运动 碰撞模型与分阶段分析 动量守恒还不足以确定碰后速度 碰撞是相互作用集中于较短时间的过程。对两个物体可把接触力作为内力消去，但碰后两个速度一般仍有两个未知量，需要碰撞性质补充第二个关系。弹性碰撞宏观动能守恒；完全非弹性碰撞后结合为一体；一般非弹性碰撞须有恢复系数或其他能量信息。 一维碰撞取向右为正，物体1在左、物体2在右，碰前接近条件为。恢复系数定义为： 普通被动碰撞模型中。仅表示分离法向相对速度为零，在一维无其他自由度模型中常对应共同速度；在二维有切向运动时并不意味着两物体完全黏住。存在内能释放的超弹性碰撞可有，此时不能称动能“损失”为正。 联立动量方程，可得： 因质心平动不变、相对速度大小变为原来的倍，所以： 物体2所受冲量为，物体1所受冲量相反。这些式子适用于一维短时碰撞且合外冲量可忽略的情形；需要先核实系统、接近方向及所给速度的参考系。 例题16 已知恢复系数的正碰 题目　质量2 kg和3 kg的两物体一维运动，碰前速度分别为5 m·s⁻¹、−1 m·s⁻¹，恢复系数。求碰后速度、碰撞冲量和动能损失。 解答　动量方程为，恢复系数给。解得 m·s⁻¹、 m·s⁻¹。物体2的冲量 N·s，物体1冲量−10.8 N·s。 约化质量 kg，故 J。直接计算碰前动能26.5 J、碰后10.3 J也得到16.2 J。末相对速度为正，符合接触后分离的要求。 例题17 弹道摆为什么必须分两阶段 题目　质量的子弹水平射入悬挂的质量木块并嵌入，木块原来静止，碰后共同上升高度。碰撞发生在最低点且极短，求子弹初速，忽略空气阻力和摆动损耗。 分析　碰撞瞬间绳的冲量沿竖直方向，水平动量近似守恒；子弹嵌入过程中宏观机械能不守恒。碰后上升过程中机械能守恒，但水平动量不再守恒，因为绳力具有水平分量。 解答　设碰后瞬间共速为，碰撞阶段。上升阶段，因此： 碰撞损失的动能为，不可把子弹初动能直接等于最终重力势能。若碰撞不在最低点，绳的冲量可能有水平分量，应重新选守恒方向，或在适当条件下使用关于悬点的角动量。 例题18 等质量小球的斜碰 题目　两个光滑、无自转效应的相同小球，球1以速度入射，球2静止。碰撞完全弹性，接触法线与入射方向夹角为，其中。求碰后速度并说明两速度为何垂直。 分析　接触冲量沿两球心连线。分别把速度投影到接触法线和切线，法向是等质量一维弹性碰撞，交换法向速度；切向各自不变。 解答　球1碰前法向速度、切向速度，球2各分量为零。碰后球1只有切向速度，球2只有法向速度，所以、，二者方向垂直。 另一证法由和，平方相减得。该垂直结论要求等质量、靶球原来静止且弹性碰撞；若某末速度为零，谈两速度夹角没有意义。 图5 光滑小球斜碰时法向冲量改变法向速度 例题19 两物体之间弹簧的最大压缩 题目　光滑水平面上两物体质量为，物体1向右以接近静止物体2，两者之间的轻弹簧劲度系数为且开始无形变。求最大压缩量。 分析　最大压缩时弹簧长度变化率为零，即两物体瞬时共速，而不是二者都静止。无外力，质心平动动能始终保留；碰前相对动能全部转化为弹性势能。 解答　最大压缩时共同速度，由能量关系： 若只把物体1作为系统，弹簧对它做功且物体2在移动，不能直接把其全部初动能转成弹簧势能。此模型也说明恢复系数所描述的碰撞，可以在可逆弹性储能和释放的极限下出现。 例题20 三球依次碰撞与后续检查 题目　光滑直线上三球从左到右质量为，彼此相隔。第一球初速，其余静止，所有碰撞一维且完全弹性。求各次碰撞后速度，并判断是否还有后续碰撞。 解答　第一球与第二球碰撞后，由一维弹性公式得、。第二球继续撞第三球，碰后、，第一球速度保持。 此时位置从左到右仍为1、2、3，速度依次为，它们从左到右严格递增，相邻间距均增大，故没有后续碰撞。总动量为，总动能为，可核对两项守恒。 方法总结　多次碰撞须逐次更新初值；最后用“位置顺序加相对速度”判断是否结束。只算题目中看起来明显的两次接触，却不检查再碰撞，容易漏解。 爆炸与离散反冲 动量和能量分别告诉我们什么 爆炸、弹簧释放、发射等过程常在短时间内发生，若外冲量可忽略，系统总动量近似不变。但内部储能转化为宏观动能，故不能把爆炸前后动能写成相等。题给“释放能量”应说明多少成为所研究物体的宏观动能；若有声音、热、形变等支出，需另列能量项。 一个初总动量为零的两体系统，分离后动量等大反向。若全部可用能量为，则相对运动满足。两块动能之比为质量的反比，较轻者速度较大且分得较多动能。 枪弹模型中“子弹速度”可能相对地面、枪口或枪身。题目未说明参考系时不能随意混用。若子弹相对枪的末速度为，则实验室系中，还须和总动量方程联立。 例题21 不等质量爆炸碎片的能量分配 题目　质量的物体在无外力空间中以沿方向运动，瞬间分为质量和的两块。释放能量全部变为额外平动动能，碎片沿方向分离，轻块相对质心向右。求两块速度。 解答　质心速度仍为。令相对质心的动量大小为，则两块速度为和。释放能量满足： 在质心系中两块动能分别为与。在地面系中各自增加的动能还含交叉项，不能普遍说每块相对地面的动能增量也按2∶1分配。两块在地面系中也可能都向右，动量反向指的是质心系。 例题22 同时和依次抛出物体 题目　质量的小车上有两个质量均为的小包，整体原来静止且无水平外力。每次把小包向后抛出，使其相对该次抛出后剩余小车系统的速率为。比较同时抛出两包与先后抛出两包的小车末速度。 分析　每次所说的相对速度都相对该次抛出后的小车速度，必须逐次核算剩余质量。先抛出的包在第二次抛出时不再随车运动。 解答　同时抛出时，两包相对地面速度都是。由，得。 依次抛出第一包时，剩余车加一包的质量为，有，故。第二次仅对“车加第二包”这一当时的系统应用动量守恒： 因此。依次抛出的末速更大，但本比较固定的是各次相对抛出速率，并未固定抛掷做功或总能量；不能据此声称无代价地提高效率。 变质量体系的基本方程 先识别物质系统和开放物体 “同一批粒子”构成物质系统，组成固定，经典力学中总质量不变。火箭本体加尚未排出的燃料、正在接雨的车、不断积雪的车，都是组成随时间变化的开放物体。对这些对象，动量的变化既来自外力，也来自质量携带动量穿过边界。 因此不能把开放物体的直接等于普通合外力。错误往往不在微积分，而在前后时刻比较了不同的一批物质，却遗漏了跨界动量。 以下先把开放物体视为内部一起平动的集中质量，其速度为。来流在并入前速度为，流出物质在分离后速度为，两者均在同一惯性系中测量。质量流率是单位时间真正穿过移动边界的质量，不一定等于某固定喷口的供给率。 吸收质量的微元推导 在时刻把“现有物体和即将在内并入的小团”一起选为固定物质系统。初动量是，末动量是。外冲量为。保留一阶小量，略去，得到： 若，便有。来流带入的是实验室系动量，推动物体加速的项却是相对速度乘质量流率；两种写法是展开导数前后的同一关系。 排出质量的微元推导 令为内排出质量。选取“排出前的全部物体”为固定系统，末态包含剩余物体及刚排出的物质。初末动量关系为： 保留一阶项得。因此向后喷出物质可以产生向前的反冲。火箭无须借助空气或地面“蹬踏”，真空中也可通过排出动量推进。 图6 微小时间内用固定的一批物质建立质量交换方程 多股来流和出流的统一写法 对每一股流分别求和，有： 三条式子应配合使用，不能只记最后一条的正负号。所有流率都定义为非负，而流向由速度矢量体现；若改用有正负的，必须重新声明约定。 公式边界　上式针对内部可用同一速度代表的物体。若控制区域内部的流体速度分布明显不同，应使用区域内总动量的积分形式，不能直接以替代。喷口压强不等于环境压强时，压强作用也须正确计入外力或等效推力，不能重复计算。 质量交换项不一定对应一个另外可画在受力图上的独立接触力；它来自跨边界动量核算。特别不要在已使用动量流项后，再把同一作用以“反冲力”名义额外加一次。 变质量体系经典例题 例题23 理想火箭方程与重力修正 题目　火箭初质量，末质量，相对火箭向后排气速率恒为。先求无外力直线飞行的速度增量；再求以恒定耗质量速率竖直上升、重力加速度恒为、忽略空气阻力时，在燃烧时间内的速度变化。 解答　取向前为正，，。无外力时，分离变量并按初末质量积分： 因此理想速度增量。火箭末质量必须包含结构和载荷，不能把质量积分到零。 竖直上升时，且，所以： 适用时间不超过燃料烧尽时刻。若从地面发射，离开发射台还需推力超过当时重力；未离台时支持力不能忽略。给定质量比并不能单独确定有重力损失的末速度，还需燃烧用时。这里是相对排气速率，不是排气相对地面的速度。 例题24 落雨小车为何减速 题目　空车及原有载荷总质量，在光滑水平轨道上以运动。雨水竖直落入车中，全部收集，流入质量速率为常量。忽略水的水平溅出，求车速及水平方向宏观动能。 解答　来流水平速度，水平外力为零，故。由得，所以： 车与收集水的水平动量恰好不变，是因为流入物质不带水平动量；开放物体并非一概不能出现动量不变，而是必须检查流量项。水平动能下降对应水被加速到车速时的非弹性混合损耗，竖直雨速涉及的能量是另一部分。 若来流水平速度为常量，则方程变为，解得。车速逐渐接近，而不一定趋于零。 例题25 传送带接沙的力与功率 题目　沙以质量流率竖直落到水平匀速传送带上，落带前水平速度为零，最后随带以速度运动。求为保持带速所需的额外水平驱动力、额外驱动功率、沙获得的水平动能率及对应耗散率。 解答　每秒有质量的沙从水平速度0变到，所以带对沙的水平力为，沙对带有反向力。保持带速需额外驱动力，驱动功率。 沙获得水平动能的速率是，所以另有变为水平滑动摩擦等耗散。剩余一半不是“能量不守恒”，而是驱动力作用点始终以带速运动，而沙在加速滑动中速度较小。此处只核算水平输运的额外能量，竖直碰撞损耗另计。 例题26 漏沙车不会凭空加速 题目　装沙小车在光滑水平面以速度运动，沙经车底小孔漏出，离开瞬间沙相对车没有水平速度。求漏沙过程中车速；若车另受水平恒力，漏沙速率为常量，再求车速。 解答　沙的水平流出速度，故反冲项。无水平外力时，所以。车及车内沙的动量不断减小，减少部分由漏出沙带走；全体车沙的总水平动量仍守恒。 有恒力时，，积分得： 只适用于持续漏沙阶段，且剩余质量不能小于车本身质量。将无外力时写成会虚构加速，因为漏沙带走的动量被漏算了。 例题27 推雪车的流率由相对运动决定 题目　质量的小车以初速沿光滑直线进入静止、线密度为的松散物料区，前进时把遇到的物料全部收集。无水平驱动力和阻力，求前进距离时的速度及。 分析　每前进吸收质量，故流率为，不是常量。来料初始水平动量为零，因此车与已收集物料的水平动量不变。 解答　，有。于是： 把代入并积分得，选择满足的根： 短时间展开得，长时间按增长。这一模型把物料理想化为可无其他阻力捕获的散粒，实际推土中的挤压、地面摩擦等不能由此忽略。 例题28 射流冲击移动平板 题目　密度、截面积的水平连续水束以地面速率射向平板，平板以恒速同向运动，。撞击后水沿板面流走，法向速度变为。忽略压强附加项和重力对短时碰撞的影响，求水对板的水平力。 分析　平板在后退，单位时间真正追上平板的水柱长度为，故被截获的质量流率为。每单位质量水失去的水平速度也是。 解答　水对平板的水平力向前，大小： 若错误地用固定喷口流量乘，会多算单位时间撞到运动平板的水量。检验得；趋近时，水已难以追上平板，力趋于零。当时本“连续追赶撞击”模型失效，不能继续使用平方公式给出非零推力。 图7 移动平板截获水流的速率由相对速度决定 进阶专题 专题1 约化质量把两体相对运动变成一体问题 设两物体只沿同一直线运动，位置为，相互作用只由距离决定，势能为，其中，外力均为零。令。由牛顿方程相减可得： 这说明质心作匀速运动，而相对坐标像质量为的粒子在势能中运动。两个原坐标可由、还原。 若两物体由轻弹簧连接，取为相对平衡距离的有向偏移，则，相对振动角频率，周期。把频率写成会把整体平动质量与相对振动质量混淆。 进阶题　两质量分别的物体由弹簧连接，初始总动量零、弹簧压缩后释放。求两者最大速率及周期。 解答　，最大相对速率。于是，，方向相反；。速率最大在弹簧原长处，而最大加速度在最大形变处。 专题2 用中间质量提高首次碰撞的能量传递 质量的入射球以速率依次通过质量的静止中间球，把运动传给质量的静止目标球。只考察“球1撞中间球，再由中间球首次撞目标球”这两次一维弹性碰撞后的目标速度，不预设整个多球过程到此结束。 第一次碰撞中间球获得速度；第二次目标球得到： 目标球所获初始能量比例为。最大化等价于最小化。由正数的均值不等式，后两项最小为，在： 时达到。也可对速度表达式求导得到同样结论。若要求所有可能再碰撞之后的最终能量分配，必须再追踪相邻相对速度；这里的最优结论只针对上述首次传递链条，不能省去这一限定。 专题3 从分批吸收到连续吸收 质量的小车原速，无水平外力，依次黏住个初始水平静止、质量均为的小团。每次碰撞后质量增大，逐次有，因此乘积望远镜式消去，得到： 若总吸收质量固定，不论分成多少批，只要每批来料初始水平速度均为零且最终全部共速，最终速度与总水平动能损失相同。损失为。 对一次微小吸收，来料速度为、质量为，用两体完全非弹性碰撞的能量损失式，可得一阶耗散。于是： 该式描述并入过程相对运动的不可逆损耗，不等于开放车体动能的全部变化率，因为外力还可做功、来流还可带入动能。它与例题25的传送带功率核算一致。 专题4 火箭高度与两级质量核算 竖直火箭在恒定下燃烧，耗质量速率为，，相对排气速率恒定。已知，对时间再积分得： 可通过求导核验：方括号导数正好为。燃烧结束后若仍向上运动，后续无动力上升高度为，前提是继续采用恒定重力和无阻力模型。 两级理想火箭在无外力空间飞行，设第一级点火前质量，第一级燃烧结束、尚未抛壳质量，抛去空壳后第二级点火质量，第二级燃烧后质量。若两级相对排气速率分别为，且抛壳无相对速度、无额外分离冲量，则： 抛壳瞬间无速度跃变，但减少了后续需要加速的无用质量。不能在第一级对数分母中提前去掉尚未抛出的空壳，也不能把抛壳本身当作喷气产生的速度增量。本式只是质量核算框架，最优分级还需给出结构质量、推进剂质量等约束。 专题5 恒力驱动的连续收集 质量的小车由静止出发，在恒定水平力作用下吸收沿路静止、线密度的物料，无其他水平外力。令为前进距离，则、。 动量方程配初值给，故。积分得到： 长时间极限。并不是“有恒力就一直匀加速”，因为来料需要不断获得动量。直接展开也得，末态恰为驱动力与质量流动项平衡。短时间，与初始牛顿定律相符。 专题6 射流驱动功率的最优速度 沿用例题28，移动平板所获机械功率为，其中。在喷流参数固定时，对求导： 所以最大功率出现在，其值。静止平板虽受力最大，却因位移为零而不获得平动机械功率；这再次说明冲量与功不同。 若以喷口总动能流率作分母，最大功率比例是。若以平板每秒实际截获水的入射动能率作分母，在同一点比例是。两者分母不同，不能把效率数值混写。此处没有断言该速度也最大化后一种比例。 专题7 连续落料时秤为什么显示更大 设容器固定在秤上，空容器质量，颗粒以恒定质量流率竖直落入并立即停止竖直运动，碰前向下速率为。时刻已有颗粒堆积。忽略反弹、漏料和冲击区储存的动量，求准稳态平均秤读数。 取向上为正，进入颗粒速度，容器和已停止颗粒的竖直动量为零。动量流平衡为，所以： 第一项是已在秤上的重量，第二项是不断制止落料所需的动量变化率。若颗粒从距接料面高处静止下落，且可近似恒定，则。停止供料后，要等最后一批在途颗粒落下，冲击项才消失。 此结果不应直接套到所有落链问题。连续链条可能通过张力耦合运动段与静止段，决定碰前速度和接触力；若另假设自由落下、瞬时停住、无额外链张力，必须明确这些理想化条件。看到“质量流动”应先确定局部速度和流率，而不是记一个普适倍数。 专题8 加速质心系中的方程与能量 定质量系统的质心加速度为。在不转动的质心系中，每个粒子满足： 全体惯性力之和为，恰好抵消合外力；所以质心系总动量始终为零，与该系可能非惯性并不矛盾。惯性力对内部运动的总功率为，因此： 若所有内力都可由内部势能描述，便有。合外力为零并不意味着外力对内部运动做功为零：两端等大反向的拉力可使系统总动量不变，却拉伸弹簧并增加内部机械能。 进阶题　两等质量小球由轻弹簧连接，在两端分别施加等大反向向外的力。说明质心和内部能量变化。 解答　合外力为零，质心保持原有匀速运动；若初静止则始终静止。若两球分离速率为，两外力的总功率为，故内部机械能以此速率增加。总动量守恒与机械能增加完全可以同时成立。 解题方法与易错剖析 一套可以检查的建模顺序 第一步，画出系统边界。标明是固定的一批物体，还是随时吸收或排出物质的对象。碰撞中可把两碰撞体合并；变质量问题可在微元时间内临时扩大成固定物质系统。 第二步，选择惯性系和正方向。把“相对船”“相对枪”“相对火箭”给出的速度转成同一惯性系速度。矢量题先分方向，斜碰先分法线与切线。 第三步，明确过程和近似。把碰撞、滑动、摆动、喷气、抛壳等阶段分开，估计能否忽略外冲量，确认接触是否持续和物质是否真正被收集。 第四步，先写总动量或动量定理，再补充约束。补充式可能是恢复系数、机械能、弹性势能、几何关系、质量随位置关系，不能为了凑方程随意假定共同速度。 第五步，核对解的物理分支。检验碰前在接近、碰后能分离，所求时间未超过燃烧或漏沙结束时刻，流率非负，速度未越过模型允许的边界。 第六步，用量纲、极限和独立方法复核。优先检查质量趋大、质量比趋一、趋0或1、无来流、无喷气等极限；有数值时再代回动量和能量。 常见错误及其修正 常见错误 问题所在 正确处理 见碰撞就写机械能守恒 碰撞可能产生不可逆损耗 动量与碰撞性质分开判断 总动量为零就说所有物体静止 矢量和为零不代表各项为零 分析质心运动与相对运动 内力相消就说内力不做功 作用点位移不同 分别算功或用能量分解 有外力就完全不用动量守恒 可能只有某分量外冲量为零 按方向、按阶段检查 把船上行走距离当作岸系位移 混合了参考系 先加上船位移 质心系总动量为零就说它必为惯性系 零总动量是定义带来的恒等式 检查质心加速度 把两个不同落地时刻的位置平均 质心定义要求同一时刻 统一时刻并计入落地外冲量 把来流速度直接当作相对速度 动量流与加速度式采用的量不同 显式写 漏沙车无外力就令车内守恒 漏出质量带走动量 保留流出动量项 喷气速度恒定就令实验室系排气速度恒定 题目常给相对火箭的速率 写成 用喷口流量算移动板的截获量 移动边界改变相遇速率 用 只检验守恒式不检验可实现性 代数解可能对应穿透或继续碰撞 检查相对速度和接触顺序 冲量近似和答案精度 若碰撞时长为、被忽略的外力特征值为，外冲量量级为。例如以作为碰撞动量变化尺度，可考察是否足够小。所要求精度越高，保留外冲量的必要性越强。 “平均接触力”等于接触冲量除以接触时间，不等于峰值力。由动量变化与接触时间只能得到平均值；若要峰值，还需力时曲线的形状。三角形脉冲的峰值是平均值的2倍，但这不是所有碰撞都成立的关系。 知识之间的联系 动量法对短时作用、内力未知和反冲问题尤其有效；能量法适合联系速度、位置与形变；质心法把整体平动和相对运动拆开；变质量方程把动量守恒落实到跨边界的物质。它们是互相补充的工具，遇到综合题通常需要按阶段组合使用。 对于刚体的偏心碰撞，线动量通常不足以求解，还需要角动量及转动能量；对于受固定支点约束的碰撞，支点可能提供显著外冲量；对于有电磁作用的系统，机械动量可能与场交换。本模块建立的是相应后续专题的平动基础，不能把这里的简化模型无条件外推。 分层练习 题目默认采用地面惯性系；除另有说明，物体间碰撞时间足够短、外冲量可忽略，所写速度为有正负的地面系一维分量。B组用于检查概念和单步建模，M组要求组合两类方法，C组涉及参数分析、微积分或模型辨析。建议先完成题目再阅读下一章解析。 B组 基础巩固 B1　质量质点原来静止，在内受到同一直线上的合力。求冲量、末速度和平均合力。 B2　质量0.10 kg小球以4.0 m·s⁻¹竖直向下碰地，以2.0 m·s⁻¹向上反弹，接触时间0.020 s， m·s⁻²。求平均支持力。 B3　质量1 kg和3 kg的两质点位于和 m，求质心坐标及各自到质心的距离比。 B4　长细杆从延伸到，线密度，其中。求质量和质心。 B5　2 kg、3 kg物体的速度分别为4 m·s⁻¹、−1 m·s⁻¹，求总动量、质心速度、总动能和质心系动能。 B6　质量小块以速度撞上静止质量的小块并黏合。求共同速度及损失动能。 B7　质量1 kg的球以5 m·s⁻¹撞向静止质量2 kg球，碰后速度分别为−1 m·s⁻¹和3 m·s⁻¹。求恢复系数、两球冲量和动能损失。 B8　质量80 kg的船上，40 kg的人向右相对船走3 m。初始静止，忽略水阻。求人与船相对岸的位移。 B9　质量的枪发射质量子弹，初始静止，发射方向为正，子弹相对发射后枪身的速率为。求枪和子弹对地速度。 B10　无外力理想火箭相对排气速率恒定。若，求速度增量；它是否取决于耗质量速率的时间分布？ B11　无水平外力漏沙车总质量从降为，沙流出时相对车的水平速度为零。初车速，求末车速和末车内动量。 B12　水平无外力小车收集原本无水平速度的雨水，总质量由增为。求车速及水平方向动能相对初值的比例。 M组 综合应用 M1　质量质点初速，前时间合力为，后时间合力为，其中。求末速度和总位移，并说明“合外冲量为零”是否意味着全程匀速。 M2　均匀边长正方形薄片的右上角挖去边长的正方形。以原大正方形左下角为原点，求余下薄片质心。 M3　光滑水平面上质量、两块之间有压缩轻弹簧，整体静止，弹簧储能为。全部储能释放后，两块分离。求各块速率、相对速率和各自动能。 M4　质量木块以向右滑上静止质量长木板，地面光滑，块板动摩擦系数为。求共速时间、相对滑动距离以及木板在此期间的位移。 M5　原射程为的抛射物在最高点爆炸为质量和两块，轻块爆炸后瞬间静止。忽略空气阻力。求重块落地点横坐标，并说明两块落地时间的关系。 M6　质量0.010 kg子弹射入质量0.990 kg的静止弹道摆木块并留在其中，碰后升高0.20 m，取 m·s⁻²。求子弹初速和碰撞阶段损失动能。 M7　质量的球以速率与静止质量的球一维弹性碰撞。求两球末速度，并求重球获得初动能的比例。 M8　两质点质量为，速度分别为、，其中。求质心速度矢量、约化质量及质心系总动能。 M9　质量的小车原速，以恒定质量流率吸收地面系水平速度为常量的散粒，无水平外力。求及当时车的加速度符号。 M10　漏沙车受向右恒力，质量按减少，流出沙无相对水平速度，初速零。求质量降为时的速度，并写出适用条件。 M11　固定容器收集颗粒，流率为0.20 kg·s⁻¹，颗粒撞击前向下速率5.0 m·s⁻¹，全部停止并留在容器内。空容器1.0 kg，接料3.0 s后平均秤读数是多少？取 m·s⁻²。 M12　光滑水平面上质量楔块与质量小球初始静止，斜面向右下倾角，球相对斜面移动路程。求楔块的水平位移和球的水平位移，无须求时间。 C组 竞赛进阶 C1　两物体质量为，给定总动量和一维总动能。求所有可能的速度组合，说明存在实数解的条件，并区分两分支的物理意义。 C2　质量入射球通过静止中间球，再首次撞击静止目标球，两次一维碰撞的恢复系数分别为且为与质量无关的常数。求首次传给目标的速度，并判断最优中间质量是否仍为几何平均值。 C3　无外力火箭用恒定相对排气速率，从静止开始，把总质量由降到。已排出气体作为整体的地面系总动量是多少？它的平均速度是多少？说明为何不能把所有气体速度都写成末速度减。 C4　恒定相对排气速率、恒定耗质量速率的火箭，在恒定重力场中竖直运动，初质量、初速。推导燃烧阶段位移，并验证其时间导数为火箭速度。 C5　质量的静止小车受恒力驱动，沿光滑直线收集线密度为的静止物料。求及极限速度，解释出现有限极限速度的原因。 C6　水流密度、截面积、速率固定，冲击以恒速同向运动的平板，，水离板时法向速度为。求板得到的最大机械功率，并分别求该点相对于喷口功率、相对于被截获水入射动能率的比例。 C7　无外力小车质量，载有个质量的小包，初始静止。每次向后抛出一个，使小包相对该次抛出后剩余车体的速率为。求全部抛出后车速；在总载荷固定、趋于无穷时求极限。 C8　质量小球以速度沿直线撞向静止质量球，恢复系数。什么条件下入射球反弹、停住或继续前进？靶球获得的动能占初动能的比例何时对最大？ C9　光滑水平面上两质量小块由劲度系数的轻弹簧连接，初始静止且弹簧原长。对左块施加向左恒力，同时对右块施加向右恒力。求弹簧最大伸长量，说明为何不是静力平衡伸长量。 C10　两质量的物体初速度为，两者在一维碰撞中损失初动能的比例为。在被动碰撞模型中，的范围是什么？由求恢复系数及碰后速度。 C11　质量的小车初速，同时以相同恒定流率接入和排出物料，因此车内总质量保持。来料地面系水平速度为零，出料离开时水平速度等于车速，无水平外力。求车速，并解释为何“质量不变”仍不意味着车的动量守恒。 C12　质量的小车初速，持续收集地面系水平速度为常量的物料，总收集质量为，无水平外力。求最终速度和总耗散能，并证明耗散能在不同惯性系中相同。 分层练习完整解析 B组解析 B1　冲量应积分而非取峰值乘时间。，故、。所得平均力小于峰值，符合正半波形状。 B2　向上为正， N·s。，故 N。若误把合力平均值当作支持力，会得到30 N。 B3　 m。轻者距质心3 m，重者距质心1 m，距离比3∶1，与质量比互为倒数。 B4　。质量矩，因此。量纲检查：的单位为质量除以长度三次方。 B5　 kg·m·s⁻¹， m·s⁻¹。 J，质心平动动能 J，所以 J。也可由 kg、相对速率5 m·s⁻¹直接求出15 J。 B6　由得。末动能，损失。损失占初动能的四分之三，保留的四分之一为质心平动动能。 B7　。第一球冲量为 N·s，第二球冲量 N·s。 J。总动量前后均为5 kg·m·s⁻¹。 B8　船位移为时，人位移为。由得 m，所以船向左1 m、人向右2 m。不能把题给3 m直接作为人的岸系位移。 B9　设枪速、弹速。由与，得、。若题给子弹对地速度，则方程不同，不应再减去枪速。 B10　理想火箭方程给。在无外力、恒定、规定初末质量且无其他排放条件下，速度增量不依赖燃烧的快慢安排。有重力或阻力时则一般会受时间历程影响。 B11　因，方程为，末速度仍为。车内末动量；其余水平动量由已经漏出的沙携带。 B12　来流水平动量为零，故，末速度为。末水平动能为，是初值的二分之一。减少的动能成为非弹性并入的耗散。 M组解析 M1　两段冲量分别为和，故。第一段位移；第二段初速度、加速度，位移。总位移为，比全程匀速多，说明初末动量相同不代表全程匀速。 M2　设完整薄片质量为，被挖小方片质量，其质心为。于是，相同。质心向左下移动，与右上方缺失质量相符。 M3　质心初静止，分离后动量相反。设轻块速率、重块速率，有，。解得、；相对速率为两者之和。动能分别为、。 M4　木块加速度为，木板加速度，相对加速度为。相对速度由减到零所需时间： 相对滑距为平均相对速度乘时间，。木板位移。这些结果只适用于木块在共速前未滑离板的情形；所需板上可用长度至少为。 M5　最高点两块爆炸后的竖直速度均为零：轻块静止，竖直动量守恒又要求重块竖直速度为零，因此二者同时落地。轻块落点，重块落点满足，故。关键是先确认同一落地时刻，再用质心关系。 M6　碰后共速 m·s⁻¹。碰撞水平动量守恒，，所以 m·s⁻¹。碰前动能200 J，碰后2 J，损失198 J。不能把最终2 J重力势能当作子弹全部初动能。 M7　一维弹性碰撞给、。重球动能占初动能比例为。反弹轻球保留比例，二者相加为1。 M8　总动量为，总质量，故。，相对速度为，平方为，所以。总动能减去质心平动动能也得到同一结果。 M9　开放系统方程为，质量。积分得到： 所以。当时减速并趋向；若则加速。吸收质量本身并不必然减速。 M10　因流出相对水平速度零，。把代入，得，质量减半时。要求车体干质量不大于，漏沙尚未停止，流率恒定且恒力确实一直作用。 M11　已接收质量为0.60 kg，静重量为 N。冲击附加项 N，秤读数为17 N。把全部“后来会落下”的在途颗粒重量也算进秤上，会混淆系统边界。 M12　设楔块水平位移为，球相对斜面的水平位移为，故球岸系水平位移为。水平质心不变给，于是： 此结果不依赖斜面作用力大小和运动用时。位移可以用质心直接求，而速率通常还需能量关系。 C组解析 C1　令总质量、、。动能分解给，因此必须有。若满足条件，则： 两分支对应相反的相对运动方向。如果再给定物体左右位置和正在接近还是分离，就能进一步筛选符号。当等号成立时只有共速的一支。仅列动量、动能方程而不注明分支，可能把碰前态又作为碰后答案。 C2　第一次中间球速度为，第二次目标速度为： 在与质量无关时，前面的恢复系数因子对优化不产生影响，仍应最小化，故最优。若恢复系数随材料、速度或质量改变，这一结论需重新判断。仍需注意题目只问首次传递，不问可能再碰撞后的最终状态。 C3　把火箭和全部排气作为固定物质系统，其总动量初始为零且始终为零。火箭末速度，故全部气体总动量为： 气体总质量为，质量加权平均速度为。每一小团气体在排出时的地面速度是“当时火箭速度减”，不等于“末火箭速度减”。可独立核验：将火箭当时剩余质量记为，该团气体速度，对从到的气体质量微元积分，得到相同。 C4　由火箭方程、出发。用积分对数项，得到： 求导检验时，，所以方括号导数，正好恢复速度式。初值时位移为零。适用时段仅为恒定排气速率、恒定流率的燃烧阶段。 C5　捕获流率，。由及初静止，得。又，积分： 于是。随车速增大，每秒吸入更多静止物料，同时每单位质量需获得更大动量，使质量流动项按增长，最终与外力平衡。这里极限不是由常规空气阻力造成的。 C6　受力，机械功率。求导得，结合端点功率为零，可知内点给全局最大值。 喷口功率为，比例。该点实际截获质量流率，其入射动能率，比例为。两个比例的物理口径不同。若专门优化，最大值会出现在，说明效率最优与绝对功率最优不必相同。 C7　某次抛出前剩余包，总质量，原速为。抛出后车速、小包速率分量为。动量守恒给，故。全部抛出后： 固定并令趋零，此和为积分的黎曼和，所以： 这与初质量、末质量的理想火箭方程一致。有限包数求和采用抛出前总质量作分母，这是由题设“相对抛出后的车体速度”直接推出的，不应凭印象改变分母。 C8　碰后入射球速度。因分母为正，时反弹，时停住，时继续向前。时有限正质量的入射球不可能反弹或停住。 靶球速度，所获能量比例： 令，有，等号在时成立。因此对固定，最优靶质量，最大比例。质量匹配最优不意味着所有碰撞都会传递全部能量，只有时最大比例才等于1。 C9　合外力为零，质心固定。若弹簧伸长，两个小块各向外移动，两外力总功为。在首次最大伸长处，两块相对速度为零且质心静止，故都瞬时静止。由功与能关系，除去初始根，得到： 静力平衡伸长为，系统无耗散时会越过该位置，因当时仍有动能。由约化质量可写相对方程，初始，同样得到绕振动、振幅。 C10　两等质量物体，初动能。损失，故。被动碰撞，因此。 反求，碰后、。若测得，说明题设的孤立两体、质量或速度条件有误，或还有未计入的运动和外冲量，不能继续取复数恢复系数。 C11　虽然车内总质量恒为，但物质组成不断变化。动量流方程，所以： 来料没有水平动量，出料却带走水平动量，车因而减速。质量数值不变与固定物质系统是两个不同概念；这道题可检验是否真正理解开放系统，而不只是识别“质量变大或变小”的表面特征。 C12　把车及将被吸收的全部物料作为固定物质系统，总动量为，最终质量，故。比较初末宏观动能： 改到以常速运动的另一惯性系，和都减去，相对速度不变，所以不变。也可从变换式说明：同一固定系统初末总质量和总动量都相同，能量差中的变换项相消。必须同时计入来料初动能，仅计算车体自身动能减少一般不等于耗散。 公式速查与学习自检 核心公式及其条件 内容 公式 关键条件 质点动量定理 同一质点；使用合外冲量 质点组动量定理 固定的一批粒子，惯性系 质心与总动量 定质量物质系统 质心运动定理 同一物质系统，惯性系 质心位移关系 位移均在同一参考系 两体动能分解 ，为相对速率 一维恢复系数 物体1在左且正在接近；短时碰撞 碰撞损失 一维且外冲量可忽略 单股流入 ，为惯性系来流速度 单股流出 ，为惯性系出流速度 理想火箭 无外力，恒定相对排气速率 移动板受射流力 ，离板法向速度为 概念自检及答案线索 自检1　总动量为零，动能能否非零？能，例题13给出反例。自检2　合外力为零，内能或弹性势能能否改变？能，内部相互作用仍可做功。自检3　质心静止是否意味着所有部分静止？否，还可能有相对运动。 自检4　碰撞过程很短，是否所有方向都可以忽略外冲量？否，固定支点、墙和约束可能给出很大冲量。自检5　恢复系数等于零是否总意味着黏合？否，二维碰撞还可能有切向相对运动。 自检6　某方向总动量守恒是否意味着该方向质心位置固定？否，还需要初质心速度在该方向为零。自检7　开放对象质量不随时间变是否就是闭合物质系统？否，C11的等流量进出提供反例。 自检8　火箭排气相对地面速度可否向前？可以，当火箭速度超过相对排气速率时，气体对地仍向前，但它相对火箭向后，仍产生向前反冲。自检9　无相对水平速度的漏沙是否产生水平反冲？否，但漏出的沙带走水平动量。 自检10　所有变质量题都能用一个总动量守恒式解完吗？不能，有外力、非恒定来流或需要时间历程时通常要列微分方程。自检11　已知碰前总动量与总能量能否唯一确定多体末态？一般不能，还需碰撞性质、几何和更多约束。 解答书写的最低完整性 一份完整解答至少应说明系统、参考系、时间段、外冲量判断、基本方程、补充条件、求解和结果检验。对变质量题还需给出质量函数或流率与运动的关系，以及速度属于哪个参考系。只写最终公式虽可能碰巧得到数值，却难以发现适用条件错误。 复习时可把做错的题归为概念、系统边界、参考系、阶段划分、代数计算和物理分支六类。先修正建模错误，再练计算速度。能够从微小固定物质系统重新推导变质量方程，比背下多种看似不同的专用公式更可靠。 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $