精品解析：河南南阳市第一中学校2026-2027学年高二上学期教学检测数学试题

2026年秋期高二第一次教学检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 2. 已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，利用直线斜率的计算公式，结合直线与线段的位置关系分析求解即可. 【详解】如图所示， 要使过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率满足：或， 又， 所以的取值范围为：， 由，所以直线的斜率可以是. 3. 已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（    ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】设直线，根据已知有，再应用基本不等式求得，即可得面积最小值，确定等号成立条件即可得. 【详解】设直线，其中， 因为直线过点， 所以， 而，解得， 当且仅当，即时等号成立， 故，此时直线的纵截距为14. 4. 已知直线与圆相交于点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得圆心，半径. 过点作，垂足为，如图所示： 由题意可得. ，，，，得； 即圆心到直线的距离. ，解得. 5. 已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】设出点，利用两点距离公式将转化为圆的方程，则条件等价为两圆有交点，再根据两圆相交求解即可. 【详解】设，由，得，化简整理，得. 由题意得，圆（）与有公共点，故， ，，解得，所以实数的最小值是3. 6. 已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】将圆配方得， 因此圆心为，半径； 若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离需满足； 当时，圆上恰好有3个点到直线距离为1； 当时，圆上有4个点到直线距离为1，均满足要求； 由此可得圆心到直线的距离 ， 解得，即. 7. 在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标， 和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程， 由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标， 即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】 建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 8. 如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点，（在的上方），且．过点且倾斜角为的直线与圆相交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可求得圆的方程，可求得，的坐标，进而利用阿波罗尼斯圆，逐项计算可判断每个选项的正误. 【详解】圆与轴相切于点，所以设圆的圆心为，圆的半径为， 因为，所以，解得， 所以圆的方程为， 令，得，所以，， 由，可得圆与轴正半轴交于点， 所以，，所以， 设平面内一点，且，所以， 化简整理得，所以点的轨迹方程为； 又因为为圆上的点，所以，， 所以，， 所以，故A，B错误； 所以，故C正确，D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，下列说法正确的是：（ ） A. 点关于的对称点的坐标是； B. 直线关于的对称直线的方程是； C. 直线关于点的对称直线的方程是； D. 过点，垂直于直线的直线的方程是 【答案】ABC 【解析】 【分析】A：利用两点连线与对称轴垂直、中点在对称轴上两个条件联立求解对称点坐标；B：先求出两条直线交点，再在已知直线上任取一点算出其对称点，通过两点求出对称直线方程； C：直线关于定点对称后斜率不变，求出原直线上一点的对称点，代入斜截式得到对应直线方程；D：根据垂直直线斜率关系写出垂线点斜式，代入已知点验证. 【详解】A：设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得， 所以点的坐标为，A正确. B：解方程组得，则点在所求直线上. 在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，则点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，化简得，故所求直线的方程，B正确. C：在直线上取两点、， 则、关于点的对称点分别为、. 因为点、在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为，即C正确. D：直线斜率为3，故垂直于的直线斜率为，过点的垂线正确方程为， 整理得，故过点垂直于直线的直线的方程是，故D错误. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 直线（）恒过定点 B. 直线的倾斜角为 C. 圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 D. 圆被直线截得的弦长为2，则或 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，分离参数联立方程求定点判断对错； 选项B，化斜截式求斜率再算出倾斜角； 选项C求圆心到直线距离，结合半径分析平行线与圆交点个数； 选项D利用弦长公式求出圆心到直线距离，再由点到直线距离公式解方程得值． 【详解】对于A，由，， 联立，解得，， 所以定点为，不是，A错误； 对于B，由，得， 斜率，倾斜角，，得，B正确； 对于C，圆，圆心，半径， 圆心到直线距离， 到直线距离为的点，即与已知直线平行、距离1的两条平行线与圆交点： 一条在圆心外侧，距圆心，无交点； 一条朝向圆心，距圆心，过圆心，与圆交于个点； 因此圆上只有2个点满足条件，C正确； 对于D，圆，圆心，半径，弦长， 弦长公式：，即， 圆心到直线距离， 解得或， D正确． 11. 已知点，动点满足，动点的轨迹为曲线，为直线上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点，则的最小值为 B. 过作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 C. 若点是上一点，则的最大值为 D. 若点是上一点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出曲线的方程并确定曲线形状，利用两点间线段最短求解判断A；求出直线的方程判断B；利用三角代换求出最大值判断C；利用向量数量积的意义求出最大值判断D. 【详解】由，得，整理得， 即，因此曲线是以点为圆心，1为半径的圆， 对于A，， 当且仅当是线段与圆的交点时取等号，A正确； 对于B，由H为直线上一点，设点，以线段为直径的圆 ，即， 因此直线MN的方程，即， 令，解得，因此直线MN过定点，B正确； 对于C，由点是上一点，令， 因此，其中锐角由确定， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，，表示圆上点到点的距离， 取，，，则 ， 当直线与圆相切于第一象限内的点时，最小，最大， 而，则，， ，因此，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过圆上的点的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【详解】法1：圆心坐标为， 因为点在圆上，故圆心与该点连线的斜率不存在， 故切线的斜率为零，故切线方程为. 法2：过圆上的点的切线方程为： ，即. 13. 设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意知：直线MN与圆O有公共点即可，即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可，如图， 过OA⊥MN，垂足为A，在中，因为∠OMN=45，所以=， 解得，因为点M（,1），所以，解得，故的取值范围是 . 考点：本小题主要考查考查直线与圆的位置关系，考查数形结合能力和逻辑思维能力，考查同学们分析问题和解决问题的能力，有一定的区分度. 14. 在平面直角坐标系中，已知圆和圆．若过定点存在无数条直线，被圆和圆截得的弦长之比为，则该定点的坐标是______． 【答案】和 【解析】 【分析】先判断直线的斜率存在，再设直线方程为，由条件根据弦长公式列方程得，求解方程即可. 【详解】由已知圆的圆心的坐标为，半径， 圆的圆心的坐标为，半径， 过且斜率不存在的直线与两圆不同时相交， 设直线方程为，即， 圆被直线截得的弦长为， 圆被直线截得的弦长为， 令，化简可得， 即， 由已知或， 所以直线的方程为或， 所以定点的坐标为或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与直线的交点为P， （1）直线经过P，且与直线l：垂直，求直线的方程； （2）直线经过P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】(1)先求出两直线的交点，再根据垂直关系得到的斜率，最后用点斜式写出直线方程. (2)先确定交点，再分截距为和不为两种情况，分别求出满足条件的直线的方程. 【小问1详解】 联立，解得，即， 由与直线l：垂直可得其斜率为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为，则，得， 故此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. 16. 已知圆经过，，三点. （1）求圆的一般方程； （2）求直线被圆截得的弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设圆的一般方程，再应用待定系数法求出待定参数即得答案； （2）先求圆心到直线的距离，再利用弦长公式计算即可. 【小问1详解】 设圆的一般方程为，， 将各点坐标代入，可得，解得， 所以圆的一般方程为； 【小问2详解】 由（1）可得圆的方程为，则圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 17. 已知圆，直线过原点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程. 【答案】（1）或. （2）或. 【解析】 【分析】（1）先检验直线斜率不存在时是否满足条件，当直线斜率存在时设直线的方程，根据点到直线的距离等于半径，求出斜率，由此可得结论； （2）先说明直线的斜率存在，再设其方程为，由点到直线的距离公式及直线与圆相交时的弦长公式，求出面积的表达式，利用二次函数的性质即得. 【小问1详解】 圆的圆心的坐标为，半径， ①当直线的斜率不存在时，直线为， 圆心到直线的距离， 直线为圆的切线， ②当斜率存在时，设直线为， 圆心到直线的距离， 由题知直线与圆相切， 则，解得， 所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 直线的斜率不存在时，直线为与圆相切，不符合题意，故直线斜率必存在， 设直线的方程为， 圆心到直线的距离，弦长， 所以， 当时，面积最大， 此时，整理得， 解得， 所以直线的方程或. 18. 已知直线：. （1）求直线所过的定点A的坐标； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （3）已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的一般式方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将直线的方程变为，利用直线的点斜式得到直线恒过的定点； （2）由直线不经过第四象限，结合图像得到的范围； （3）由直线恒过的定点，结合图像可知，当时，d取得最大值，求出此时的直线的斜率，利用两直线垂直，在斜率存在的情况下，斜率之积为，求出直线的斜率，利用直线的点斜式得到直线的方程. 【小问1详解】 直线的方程为，则，因此直线恒过定点. 【小问2详解】 如图1，若直线不经过第四象限，则. 【小问3详解】 由（1）知直线恒过定点. 如图2，当时，d取得最大值，此时直线的斜率. 则直线的斜率. 所以直线的方程为，即. 所以直线的一般式方程为. 19. 已知圆，点是直线上的动点. （1）圆与圆交于，两点，求直线的方程； （2）过点有一条直线，它夹在直线与之间的线段恰好被点平分，证明的斜率为定值，并求出的斜率； （3）易知点，在圆上，设直线，与圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2），证明： 设过点的直线与：的交点为，与直线：的交点为. 因为为线段的中点， 所以. 所以直线的斜率为：. 所以直线的斜率为定值，且. （3）定点，证明： 设，因为，所以直线的方程为. 由. 因为是方程的一个根，所以另一根，也就是的横坐标为： ， 所以，即. 同理，直线的方程为，由可得. 所以， 设直线方程为，则. 所以直线的方程为. 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）先判断两圆相交，将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程. （2）先列出直线与，的交点，根据为交点的中点，可求直线的斜率. （3）写出直线，的方程，分别与圆方程联立，可得坐标，进而求直线的方程，可得直线经过定点. 【小问1详解】 因为两圆的圆心距为，且， 所以圆与圆相交. 所以两圆的公共弦所在的直线方程为：， 化简得：，即为直线的方程. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋期高二第一次教学检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 2. 已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（ ） A. B. C. D. 3. 已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（    ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 14 4. 已知直线与圆相交于点，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点，（在的上方），且．过点且倾斜角为的直线与圆相交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，下列说法正确的是：（ ） A. 点关于的对称点的坐标是； B. 直线关于的对称直线的方程是； C. 直线关于点的对称直线的方程是； D. 过点，垂直于直线的直线的方程是 10. 下列选项正确的是（ ） A. 直线（）恒过定点 B. 直线的倾斜角为 C. 圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于 D. 圆被直线截得的弦长为2，则或 11. 已知点，动点满足，动点的轨迹为曲线，为直线上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点，则的最小值为 B. 过作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 C. 若点是上一点，则的最大值为 D. 若点是上一点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过圆上的点的切线方程为______. 13. 设点M（,1），若在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45°，则的取值范围是________. 14. 在平面直角坐标系中，已知圆和圆．若过定点存在无数条直线，被圆和圆截得的弦长之比为，则该定点的坐标是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与直线的交点为P， （1）直线经过P，且与直线l：垂直，求直线的方程； （2）直线经过P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16. 已知圆经过，，三点. （1）求圆的一般方程； （2）求直线被圆截得的弦长. 17. 已知圆，直线过原点. （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线的方程. 18. 已知直线：. （1）求直线所过的定点A的坐标； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （3）已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的一般式方程. 19. 已知圆，点是直线上的动点. （1）圆与圆交于，两点，求直线的方程； （2）过点有一条直线，它夹在直线与之间的线段恰好被点平分，证明的斜率为定值，并求出的斜率； （3）易知点，在圆上，设直线，与圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $