精品解析：河南省南阳市第一中学校2025-2026学年高二上学期第二次（10月）月考数学试题

南阳一中高二年级2025年秋期第二次月考 数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若椭圆的离心率为，则k的值是（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 4或 2. 中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的，它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美，现有椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 设直线与圆相交于两点，且，则为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 已知为椭圆的左右焦点，，点在椭圆上，是椭圆上的动点，则的最大值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6. 已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别为为右支上的一点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知动点在圆：上，若以点为圆心的圆经过点，且与圆交于两点，记点到直线的距离为，且的最小值为，最大值为，则（ ） A B. C. D. 8. 坐标平面上的点，将点绕原点逆时针旋转后得到点.这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线：绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 点为抛物线上一点，点F是抛物线焦点，O为坐标原点，A为C上一点，且，则（ ） A. B. C. 直线AF的斜率为 D. 的面积为16 10. 已知为椭圆()的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，，则椭圆的离心率的取值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知曲线：，若直线与的交点的可能个数的集合记为，则（ ） A. 关于轴对称 B. C. D. “”充要条件是“” 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知点，是直线上的两点，若，则______ 13. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为，．若点A，B在E的左支上，且，，则E的离心率为______． 14. 在平面直角坐标系中，已知圆和圆，设P为平面上的点，若满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，则所有满足条件的点P的坐标是________ 四、解答题（共77分） 15. 已知直线，试求： （1）直线关于直线对称直线方程； （2）直线关于对称的直线方程． 16. 已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． （1）求圆的标准方程； （2）已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率． 17. 在平面直角坐标系中，已知，直线与相交于点，且两直线斜率之积为． （1）设点的轨迹为，求曲线的方程； （2）设一组斜率为的平行直线与均有两个交点，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上． 18. 已知椭圆，双曲线，设椭圆与双曲线有相同的焦点，点，分别为椭圆与双曲线在第一、二象限的交点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与轴相交于点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于，），求证：直线与直线的交点在一定直线上运动，并求出该直线的方程． 19. 已知，既是双曲线：的两条渐近线，也是双曲线：的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍. （1）任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线，交于点，，，求的值； （2）如图，为双曲线上任意一点，过点分别作，的平行线交于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳一中高二年级2025年秋期第二次月考 数学试题 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若椭圆的离心率为，则k的值是（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 4或 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用离心率列式求出k的值. 【详解】当即时，离心率，解得符合题意，. 当即时，离心率，解得，符合题意. 综上，k的值是4或. 故选：C 2. 中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的，它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美，现有椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的性质，求出a，b然后求解c，即可得到椭圆的离心率． 【详解】由题意椭圆长轴长为8，短轴长为4， 可知，，则， 所以椭圆的离心率为：. 故选：B． 3. 已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先求出已知圆圆心和半径，再根据圆和圆的位置关系求解即可. 【详解】由，圆心为，半径为4， 设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则， 即； 若动圆与已知圆内切，则， 即. 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是或. 故选：D. 4. 设直线与圆相交于两点，且，则为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图象，求出和长，利用勾股定理即可求出的值. 【详解】由题意， 在中， 在中，，半径为， 直线与圆相交于两点，且， 设中点为C，连接，， 由几何知识得，，， 在Rt中，， 由勾股定理得，，即，解得， 故选：B. 5. 已知为椭圆的左右焦点，，点在椭圆上，是椭圆上的动点，则的最大值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可求出椭圆的标准方程，设，求出的表达式，结合二次函数的最值，即可求得答案. 【详解】由题意可知，则，， 点在椭圆上，则，结合， 解得，故， 设，则， 则 ， 当且仅当时，取最大值， 即的最大值为， 故选：B 6. 已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别为为右支上的一点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由离心率得，利用双曲线定义可得，由勾股定理逆定理可知为直角三角形进而得面积. 【详解】由题意可知，所以， 由双曲线定义可得，则， 则， 所以为直角三角形， 所以． 故选：B. 7. 已知动点在圆：上，若以点为圆心的圆经过点，且与圆交于两点，记点到直线的距离为，且的最小值为，最大值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的轴对称的性质，当且仅当圆心与点及点三点共线时，点到两圆的公共弦的距离取得最大（小）值 ,通过求出点坐标及圆的方程，与圆联立求得直线的方程，利用点到直线距离公式即得. 详解】 如图过点作一条直径交圆于点，以点为圆心，经过点的圆交圆于， 以点为圆心，经过点的圆交圆于，因到直线的距离为，当点与点重合时，取得最小值， 当与点重合时，取得最大值.下面分别求这两个值. 由图知直线的方程为，代入，可解得：， 易知圆的半径即,故得圆， 将圆与圆方程左右分别相减即得直线的方程：，于是. 同法可得：圆的半径即,故圆， 将圆与圆方程左右分别相减即得直线的方程：， 于是. 故有： 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查相交两圆的公共弦方程，点到直线的距离公式，以及已知一点和圆心求圆的方程等知识点.解题关键在于能利用圆的对称性特征，判断出两个距离最值取得时点的位置是与点三点共线时，然后分别计算即得. 8. 坐标平面上的点，将点绕原点逆时针旋转后得到点.这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线：绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设曲线上一点，其绕原点顺时针旋转后对应的曲线上的点为，然后根据旋转变换公式列方程组表示出，代入曲线的方程化简可得结果. 【详解】设曲线上一点，其绕原点顺时针旋转后对应的曲线上的点为， 则，即， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即. 所以曲线的方程为. 故选：B 二、多选题（每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 点为抛物线上一点，点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A为C上一点，且，则（ ） A. B. C. 直线AF的斜率为 D. 的面积为16 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先求抛物线方程，再根据焦半径公式求点的坐标，即可判断选项. 【详解】由题意可知，，则，则，焦点，故AB正确； 设点，则，则， ，则， 即或，所以直线的斜率为0，故C错误； 的面积为，故D正确. 故选：ABD 10. 已知为椭圆()的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，，则椭圆的离心率的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据椭圆定义，用数量积的定义表示出，这样已知不等关系可表示为关于离心率的不等式，解之可得． 【详解】由椭圆的定义可知： ，则， ∴， ∵，即， ∴，又，∴. 故选：ABC. 11. 已知曲线：，若直线与的交点的可能个数的集合记为，则（ ） A. 关于轴对称 B. C. D. “”的充要条件是“” 【答案】ABD 【解析】 【分析】画出曲线的图象，利用点对称可判断A；结合图象可判断B；直线恒过点，求出上半圆与直线相切时的值，结合图象可判断C；直线恒过定点，求出曲线与直线相切时的值，结合图象可判断D. 【详解】当时，曲线的方程为，表示为圆心在原点、半径为1的上半圆； 当时，曲线的方程为，表示为焦点在轴、对称中心在原点的双曲 线的轴下方的部分，其渐近线方程为； 对于A，设点在曲线上，点关于轴对称的点为， 因为，所以曲线关于轴对称，故A正确； 对于B，时，直线恒过定点，如图， 当，或时，曲线与直线只有1个交点， 当，曲线与直线有2个交点，所以，故B正确； 对于C，当时，直线恒过定点点， 当曲线与直线相切时， 圆心到直线的距离为，解得， 当，或，或时，曲线与直线只有1个交点， 当时，曲线与直线没有交点； 当时，曲线与直线有2个交点； 所以，故C错误； 对于D， 时，直线恒过定点点， 当曲线与直线相切时， 圆心到直线的距离为，解得， 当直线过时，得， 当直线过时，得， 若曲线与直线有2个交点时， 则，或， 若曲线与直线有1个交点时， 则，或 ，或， 当时，曲线与直线没有交点； 当直线与曲线相切时，联立方程 得， 可得，解得， 当，或时， 直线与曲线有2个交点， 当，或时， 直线与曲线有1个交点， 当时，曲线与直线没有交点； 所以当直线与曲线与有2个交点、与 有1个交点时，，或； 当直线与曲线有1个交点、与 有2个交点时，，或， 综上所述，时，曲线：与直线交点个数为3个， 故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是结合图象解题. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知点，是直线上的两点，若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由两点间的距离公式可求解. 【详解】因为，是直线上的两点， 所以，． 根据两点间的距离公式，得 ， 解得. 故答案为： 13. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为，．若点A，B在E的左支上，且，，则E的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】假设点在第二象限，设，则,结合双曲线定义、勾股定理得，再由勾股定理得，结合离心率公式解方程即可得解. 【详解】假设点在第二象限，如图，设，则． 由双曲线的定义得，． 因为，所以在中，， 即，整理得， 所以，， 故在中，，即， 整理得，所以．又，所以． 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系中，已知圆和圆，设P为平面上的点，若满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，则所有满足条件的点P的坐标是________ 【答案】或 【解析】 【分析】设出点P的坐标、直线的方程，根据垂径定理，结合点到直线距离公式，得到两个等式，根据方程有无穷多个实数解，得到两个方程组，最后解方程即可. 【详解】设点坐标为，由题可知存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和， 所以一定有无穷多对直线和斜率存在满足题意，故可设直线的方程分别为： ， 即：， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等， 由垂径定理，得圆心到直线与圆心到直线的距离相等， ∴， 化简，得，或， 关于的方程有无穷多解，有或， 解方程组，得点坐标为或， 经检验以上两点满足题意. 故答案为：或. 四、解答题（共77分） 15. 已知直线，试求： （1）直线关于直线对称的直线方程； （2）直线关于对称的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求直线与的交点，再求直线上关于的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可； （2）分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【小问1详解】 由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得，即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为，化简为． 【小问2详解】 在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为，则所求直线方程为，即． 16. 已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． （1）求圆的标准方程； （2）已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）需要先求出圆心坐标和半径.可通过设圆心坐标，利用圆上点到圆心距离等于半径列方程求解. （2）判断两圆的位置关系，求出两圆的公切线，结合图形，得到满足条件的切线斜率. 【小问1详解】 设圆的圆心坐标为，半径为. 因为圆过点和，根据圆的标准方程. 对于点有，即 ①. 对于点有，即 ② 将②代入①可得：. 展开得. 移项化简得，即，解得. 把代入②得. 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 如图所示，两圆外离，公切线有四条，由于第二象限内的点在圆上显然满足题意的是.下面求公切线斜率.显然斜率存在，设切线. 圆心到切线（即）的距离（∗）， 圆心到切线（即）的距离（∗∗）， 两个式子比，得到由 .化简得到， 则或者即或者. 当时，代入方程（∗），得到，两边平方整理得，解得或. 当时，代入方程（∗），同样得到，解得. 由于且由图知道，因此，. 故满足题意的的斜率为. 17. 在平面直角坐标系中，已知，直线与相交于点，且两直线的斜率之积为． （1）设点的轨迹为，求曲线的方程； （2）设一组斜率为的平行直线与均有两个交点，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用斜率之积即可求动点轨迹方程； （2）利用直线与椭圆联立方程组，即可求中点坐标，从而可证明在直线上. 【小问1详解】 设交点，则根据直线与两直线的斜率之积为可得， ，整理得：， 由于直线与两直线的斜率一定存在，则， 所以点的轨迹为的方程为：. 【小问2详解】 设斜率为的直线与曲线相交于两个交点， 则由直线方程与椭圆方程联立方程组可得： ， 由韦达定理可得：， 而， 设中点，则， 从而有，即可证明这些平行直线的中点一定在直线上. 18. 已知椭圆，双曲线，设椭圆与双曲线有相同的焦点，点，分别为椭圆与双曲线在第一、二象限的交点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线与轴相交于点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于，），求证：直线与直线的交点在一定直线上运动，并求出该直线的方程． 【答案】（1）；（2）证明见解析，. 【解析】 【分析】(1)利用椭圆E，双曲线F有相同焦点及它们的交点，列出关于a，b的两个方程，再联立求解即得； (2)由给定条件设出点及直线的方程，联立直线与椭圆E的方程，借助韦达定理及点A，P，N共线、A，Q，N共线列式并化简整理即可作答. 【详解】（1）因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以， 将点代入椭圆方程得， 联立两式解得，，，所以椭圆的标准方程为：． （2）依题意，直线AB：，则点坐标为，直线与直线不重合，于是得直线的斜率不为0， 设直线的方程为，由得， 设，，，则，， 由，，共线得：，即：， 同理，由，，共线得：， 两式相减并整理得，，从而得，解得， 综上所述，直线与直线的交点在定直线上运动． 19. 已知，既是双曲线：的两条渐近线，也是双曲线：的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍. （1）任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线，交于点，，，求的值； （2）如图，为双曲线上任意一点，过点分别作，平行线交于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）求出双曲线的方程，设：，：，分别联立与、联立与、联立与的方程可得、、，由可得答案； （2）延长、分别交渐近线于、两点，设，求出、的方程与的方程联立解得、，可得，设的倾斜角为，利用正切的二倍角公式和三角形面积公式可得答案. 【小问1详解】 依题意，根据双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍，可得， 即，故双曲线：， 不妨设：，则设：， 联立，可得，联立可得， 联立可得， 从而,所以 【小问2详解】 如图，延长，分别交渐近线于，两点， 由（1）可知，则， 设，则：，联立， 解得， 而：，联立，解得， 从而， 设的倾斜角为，则，而，故， 则，因此. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $