广西壮族自治区贵港市2026-2027学年高三上学期开学数学试题

高三数学参考答案 题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 C D A B D B C A AB ABD ACD 4 3 56 15．【解析】本题考查抛物线的方程与弦长，考查逻辑推理与数学运算的核心素养． 解：（1）将点的坐标代入，得， 1分 解得， 2分 所以的方程为． 4分 （2）由（1）得的焦点为， 5分 所以直线的方程为．设，． 7分 由得，恒成立， 8分 则， 9分 所以． 13分 【评分细则】 第（2）问还可以这样解答： 由（1）得的焦点为， 5分 所以直线的方程为．设，． 7分 由得，恒成立， 8分 则，， 10分 所以． 13分 16．【解析】本题考查线面垂直与线面角，考查逻辑推理与直观想象的核心素养． （1）证明：因为平面，平面，所以． 1分 因为，，，所以根据可得， 3分 则，所以． 5分 因为，所以平面． 6分 （2）解：因为平面平面，所以与平面所成的角即为与平面所成的角． 7分 如图，取上靠近点的三等分点，连接，，则，，所以四边形是平行四边形，所以． 9分 因为平面，所以平面，所以即为与平面所成的角． 11分 因为，，，13分 所以，即与平面所成角的正切值为． 15分 【评分细则】 第（2）问还可以这样解答： 由（1）可得，，两两垂直，所以以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示． 依题意得，，，，则，． 8分 因为平面，平面平面，所以是平面的一个法向量． 9分 设与平面所成的角为， 则 11分 所以，13分 则，即与平面所成角的正切值为． 15分 17．【解析】本题考查频率分布直方图、离散型随机变量的分布列与期望，考查逻辑推理与数学运算的核心素养． 解：（1）根据题意可得1个订单采用算法A准时送达的频率为， 1分 所以1个订单采用算法A准时送达的概率为0.5． 2分 （2）同（1）可得1个订单采用算法B准时送达的概率． 3分 记采用算法A的2个订单中准时送达的个数为，采用算法B的1个订单中准时送达的个数为，则，，． 的所有可能取值为0，1，2，3． 4分 5分 ， 6分 ， 7分 8分 所以的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.35 0.4 0.15 9分 （3）方案一中，的所有可能取值为0，1，2． 10分 11分 12分 所以． 13分 方案二中，． 14分 因为，所以题中观点不正确． 15分 【评分细则】 【1】第（2）问中，未说明，，，不扣分． 【2】第（3）问中直接由，说明1个订单采用算法B准时送达的概率大于采用算法A准时送达的概率，从而得到，扣2分． 18．【解析】本题考查等差数列、数列求和、数列的新定义及对数的运算，考查逻辑推理与数学运算的核心素养． （1）解：因为， 2分 所以存在对数系，其对数系数为． 3分 （2）（ⅰ）解：设．因为存在对数系，所以． 设，则，，， 4分 所以是以2为首项，3为公差的等差数列，， 5分 所以当时，， 7分 即．因为，所以．8分 又满足，所以． 9分 （ⅱ）证明：由（ⅰ）得， 10分 因为，所以． 11分 （ⅲ）证明：由（ⅱ）得． 12分 设，则， 13分 所以， 15分 所以． 16分 因为，所以，即． 17分 【评分细则】 【1】第（1）问中，写为，不扣分． 【2】第（2）（ⅰ）问还可以这样解答： 因为存在对数系，所以，即． 4分 因为，，，所以．设，则，， 5分 所以是以为首项，为公比的等比数列，． 6分 当时，， 8分 即．因为，所以．又满足，所以 9分 19．【解析】本题考查导数在研究函数中的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养及化归与转化的数学思想． （1）证明：当时，，则． 1分 令，得，在上单调递减，令，得，在上单调递增， 2分 所以，即． 3分 （2）（ⅰ）解：由，得或， 5分 因为有三个极值点，所以有三个异号零点， 所以关于的方程有两个不等于1的解．6分 易知不是方程的解，设，则． 令，得或，在，上单调递减，令，得，在上单调递增． 7分 当时，，若，则，若，则． 8分 当时，，若，则，若，则． 9分 所以，即的取值范围是． 10分 （ⅱ）证明：不妨设． 由（ⅰ）知，当时，有三个极值点，且1为其中一个极值点，则， 11分 且，，等式两边取对数并整理得，，． 设，则， 12分 则，则在上单调递减，在上单调递增， 先证，即证，因为，且在上单调递增，所以只需证，即证． 13分 令，， 则， 则在上单调递减，所以，则，则，则． 14分 再证，即证，因为，且在上单调递减，所以只需证，即证． 15分 令，，则，则在上单调递增，所以，则，则，所以． 16分 故． 17分 【评分细则】 【1】第（1）问中，求导得，不扣分． 【2】第（2）问中，得到“”，但未写“的取值范围是”，不扣分． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则中的元素个数为 A．0 B．1 C．2 D．4 2．若向量，，则 A． B． C． D． 3．曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D． 4．若球的表面积为，则该球球面上两点间距离的最大值为 A．2 B．4 C．6 D．8 5．随机从某花圃内选取一盆花卉，它处于水肥适宜土壤的概率为0.8，处于干旱缺水土壤的概率为0.2，两种土壤状态不可能同时出现，且不存在其他土壤环境．已知花卉处在水肥适宜土壤中，正常开花的概率为0.9；处在干旱缺水土壤中，正常开花的概率为0.5．现从该花圃内随机选取一盆花卉，则该盆花卉能够正常开花的概率为 A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.82 6．已知直线与圆：相切，则 A． B． C．或 D．或 7．已知是奇函数，则的单调递增区间为 A．， B．， C．， D．， 8．定义变换：（），；变换：，记，代表三次复合变换．若角，满足，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，则 A． B． C． D． 10．已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，，点在上，且，，则 A．的焦距为6 B．的面积为 C．的渐近线方程为 D．双曲线是等轴双曲线 11．如图，在长方体中，，，，分别为，的中点，，分别为底面与底面的中心，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．设集合，集合，记为中所有点构成的几何体，则 A． B．是圆锥 C．的体积大于 D．， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数（）与的最小正周期相等，则 ▲ ． 13．设椭圆：与：的离心率相等，则 ▲ 14．某海滨旅游路线全线共设有14个标准化驿站，起点和终点这2个核心站点永久保留．为降低运营成本，计划对5个中途驿站予以关停，要求任意2个关停的驿站之间至少保留1个驿站正常运营，则不同的站点关停方案共有 ▲ 种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知点在抛物线：上． （1）求的方程； （2）过的焦点作斜率为1的直线，且与交于，两点，求． 16．（15分） 如图，在三棱台中，平面，，，． （1）证明：平面． （2）若为的中点，求与平面所成角的正切值． 17．（15分） 某物流园区使用无人配送车完成园区内的末端配送，为比较算法A与算法B的运行效果，技术人员分别随机抽取采用这两种算法完成的200个订单，记录从无人车出发到订单送达所用的时间（单位：分钟）．将配送时长分为，，，，，，共六组，得到如下频率分布直方图．园区规定：配送时长少于25分钟的订单为准时订单．以配送时长位于各区间的频率代替配送时长位于该区间的概率，假设每个订单是否准时送达相互独立． （1）求采用算法A时，1个订单准时送达的概率． （2）从总体中随机选取3个订单，其中2个采用算法A，1个采用算法B．设这3个订单中准时订单的个数为，求的分布列． （3）为兼顾算法测试与配送效率，调度中心提出两个方案：方案一为“动态调度方案”，即第1个订单采用算法A，若该订单准时送达，则第2个订单仍采用算法A，否则第2个订单改用算法B；方案二为这2个订单均采用算法B．设方案一中这2个订单中准时送达的个数为，方案二中这2个订单中准时送达的个数为．有人认为，，判断这一观点是否正确，并说明理由． 18．（17分） 定义：在数列中，若（为非零常数），则称存在对数系，常数为的对数系数． （1）判断数列是否存在对数系．若存在，求出对数系数；若不存在，请说明理由． （2）已知数列存在对数系，且，，，． （ⅰ）求的通项公式． （ⅱ）证明：． （ⅲ）证明：． 19．（17分） 已知函数． （1）当时，证明：． （2）已知有三个极值点，记为，，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明： 学科网（北京）股份有限公司 $