广西南宁市银海三雅学校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

银海三雅学校2027届高三秋季学期开学考 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，且满足，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 正四棱台中，上下底面边长之比为，高为，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 首届“闽超”联赛期间，三明赛区为了给球迷提供更好的服务，派5名志愿者到A，B，C三个公交接驳点进行服务，若每人只能去一个接驳点，每个接驳点至少派一人，其中志愿者甲只能去接驳点A，则不同选派方案的种数为（ ） A. 20 B. 42 C. 44 D. 50 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知圆与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若圆与轴相切，则 B. 若，则圆C1与圆C2相离 C. 若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为 D. 直线与圆C1始终有两个交点 10. 等比数列的公比，，，记前项和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线上两点，为拋物线的焦点，则下列说法正确的是（ ） A. 拋物线的准线方程为 B. 若直线过，且轴，则 C. 若直线过，则 D. 若，则的中点到轴距离的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设是等差数列的前n项和，若，，则______． 13. 已知函数有两个零点，则的取值范围是_________. 14. 已知，，，是球的球面上不共面的四个动点，是边长为的正三角形，，，和平面所成角相等，，分别是，的中点，且，则球的体积为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校学生会积极组织该校学生参与“日行万步”的活动，界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于8千步的人为“超健康生活方式者”，其余为“一般生活方式者”.该校学生会随机抽取了本校50名学生，统计他们的日行步数，已知步数均没超过14千步，按步数分为、、、、、、（单位：千步）七组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求这50名学生日行步数的第80百分位数； （2）学生会准备从样本的“不健康生活方式者”和“超健康生活方式者”中采取分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行日常生活方式交流座谈会，记抽取的4人中“超健康生活方式者”的人数为X，求X的分布列和数学期望. 16. 如图，三棱锥的侧面是等边三角形，底面是直角三角形，斜边的中点为． （1）证明：； （2）若，求与平面所成角的正弦值． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知， （1）证明：为钝角三角形； （2）若的面积为，求的值. 18. 已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点． （1）求椭圆方程； （2）设椭圆的左顶点为A，下顶点为，线段交轴于点，线段交轴于点，若的面积是的6倍，求点的坐标； （3）点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点S，当最大时，求直线方程． 19. 已知函数，直线与曲线相切. （1）求的值； （2）若对任意，存在，使得不等式成立，求的最大值； （3）若，求证：对任意，有. 银海三雅学校2027届高三秋季学期开学考 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：取的中点，连接，由是中点，得， 依题意，，则，由是等边三角形，得， 又平面，因此平面，而平面， 所以. （2）． 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析；（2）4. 【18题答案】 【答案】（1） （2）或 （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 由已知可得， 则， 令，则， 所以在上单调递增， 又函数在上单调递增且恒为正， 所以在上单调递增且恒为正， 所以在单调递增， 令，，则， 因为，所以，在单调递增， 所以对任意有， 因为时， ， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $