精品解析：广西贵港市2025-2026学年高三上学期9月教学质量诊断检测数学试卷

2026届高三年级9月教学质量诊断检测 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则A的真子集的个数是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先计算集合，再根据子集计算公式计算求解. 【详解】，因为集合A中有3个元素，所以真子集个数为． 2. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 所以的虚部为． 3. 已知随机变量，，则值为（ ） A. 4 B. 5 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求的值. 【详解】因为随机变量，所以正态分布的曲线的对称轴为． 又因为，所以，解得． 4. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】对曲线求导，结合已知求切点横坐标，进而得到，再应用“1”的代换及基本不等式求目标式的最小值． 【详解】由于直线与曲线相切，设切点为，且，所以， 所以切点的横坐标，将其代入直线方程和曲线方程，则有，即， 又，所以， 即，当且仅当时取等号，所以的最小值为2． 5. 三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由乙开始传，经过4次传递后，球又被传回给乙，则不同的传球方式共有（ ） A. 6种 B. 10种 C. 11种 D. 12种 【答案】A 【解析】 【分析】设在第次传球后有种情况球在乙手中，则由题意可得，再借助即可得. 【详解】设在第次传球后有种情况球在乙手中，即经过n次传球后球又被传回给乙， 在前n次传球中，每次传球都有2种可能，故在前n次传球中共有种传球方法， 故在第n次传球后，球不在乙手中的情况有种，即球在甲或丙手中， 只有在这些情况时，在第次传球后，球才会被传回给乙，即， 由题意可得，，，即不同的传球方式共有种. 6. 已知圆，过直线上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】连接，则有，当最小时，最小， 则为圆心到直线的距离，从而得到的最小值． 【详解】连接，则， 当最小时，最小，又圆的圆心为，半径为， 则，故的最小值为． 故选：B． 7. 在中，点在边上，且，是边上任意一点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据三点共线的结论得到，然后利用线性运算得到，，然后计算即可. 【详解】 A、P、E三点共线，设，且， 又，所以，，即． 8. 已知定义在上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】因为函数的图象关于点对称，所以， 又，， 令，则，则，故函数是偶函数， 又，则，所以，故函数的周期为3， 所以，． 又，故． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记为等比数列的前n项和，q为的公比，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式求解. 【详解】对A，，， ， 又，，，故A正确； 对B，则，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，， ， 则不恒等于8，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为3 B. 存在，使为图象的一个对称中心 C. 若直线是图象的一条渐近线，则 D. 若在区间内单调，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据正切函数的性质判断；B选项，根据最小正周期得到，然后根据点为图象的对称中心计算，最后判断即可；C选项，根据为渐近线得到，然后计算即可；D选项，根据单调性列不等式，然后即可得到的范围. 【详解】对于A，因为无最大值，A错； 对于B，的最小正周期为，故，， 若点为图象的对称中心，则，，即，，当时，，B对； 对于C，令，，解得，， 因为，所以，C错； 对于D，由可得， 所以，，即， 又，所以的取值范围，D对． 11. 设A，B两点的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为，则下列说法正确的是（ ） A. M的轨迹方程为 B. M的轨迹与椭圆共焦点 C. M的轨迹的渐近线与圆相切 D. 过能作4条直线与M的轨迹有且只有一个公共点 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知求出点M的轨迹方程，结合各项的描述判断各项的正误. 【详解】设点，则，， 所以，化简得， 所以点M的轨迹方程为，A对； 由A知，点M的轨迹的焦点为，与椭圆共焦点，B对； 联立渐近线和圆的方程，可得， 因为，则方程只有一解，故M的轨迹的渐近线与该圆相切，C对； 点在轴上，，，则直线，与渐近线平行， 但点A，B不在点M的轨迹上，故过点只能作点M轨迹的两条切线， 如图所示，故过只能作2条直线与M的轨迹有且只有一个公共点，D错． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列中，，，则其公差______． 【答案】4 【解析】 【详解】． 13. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性和定义域求的取值范围. 【详解】因为在上单调递减，所以在上单调递增，则必然， 又在上有定义，所以，即. 综上的取值范围是． 14. 不透明的盒子中装有大小质地相同的2个红球、2个白球、4个黄球，若采取不放回的方式每次从盒子中随机摸出一个小球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量，则______． 【答案】 【解析】 【详解】从8个球中随机不放回摸出5个球的试验共种， 的事件有：①第5次摸到的球是黄球，则前4次摸到的球均为白球和红球种； ②第5次摸到的球是白球，则前4次摸到的球可能为2红2黄或1红3黄种； ③第5次摸到的球是红球，则前4次摸到的球可能为2白2黄或1白3黄种， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若D为的中点，，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、三角形内角关系、两角和的正余弦公式化简已知等式求出，进而求出； （2）利用正弦定理求出，结合已知条件求出，利用正弦定理求出，进而利用余弦定理求解． 【小问1详解】 由和正弦定理，得， ， ， ， 即， 又， ，故， ，． 【小问2详解】 ，为锐角，； 在中，由正弦定理得，即，解得； D为中点，， ， 由正弦定理得，解得， ， ． 16. 为了研究某校高二年级学生的性别与身高是否大于的关联性，调查了该校所有高二年级的学生，整理得到如下列联表一；然后从该校所有高二年级学生中随机抽取名学生，对性别和身高是否大于进行统计，得到如下列联表二，其中女生占，身高低于的学生占． 表一： 性别 身高 合计 低于 不低于 女 男 合计 表二： 性别 身高 合计 低于 不低于 女 男 合计 （1）从表一中随机抽取一人，分别用、表示抽到男生、女生，用B表示抽到学生身高不低于，计算，； （2）请完成列联表二，并依据的独立性检验，能否认为该校高二年级学生的性别与身高有关联？ 附：其中． 【答案】（1）， （2）填表见解析；该中学高二年级学生的身高与性别无关 【解析】 【分析】（1）利用列联表中数据，根据条件概率公式，用频率估计概率； （2）利用已知条件补全列联表，再通过卡方独立性检验，比较计算得到的统计量与临界值，从而判断性别与身高是否存在关联． 【小问1详解】 由表格中的数据可得， ． 【小问2详解】 由题意，女生人数为， 身高低于的学生人数为， 则列联表如下： 性别 身高 合计 低于 不低于 女 男 合计 零假设：该中学高二年级学生的身高与性别无关，， 依据的独立性检验，没有充分的证据说明不成立， 即该中学高二年级学生的身高与性别无关． 17. 如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 在图1的中，， 所以，，且，， 因为，所以，，则，， 在中，，，，则， 在图2的中，，，， 满足，所以， 因为，，，、平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成角的余弦值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，， 设平面一个的法向量，则， 取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面与平面所成角为， 则， 因此，平面与平面所成角的余弦值为. 18. 设函数． （1）若，求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若，求证：在时，． 【答案】（1） （2）当时，在上为减函数； 当时，在上为减函数，在上为增函数； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导得到斜率表达式，代入和计算斜率与切点坐标，再用点斜式整理切线方程； （2）对导数，根据参数的符号分类，分析导数在定义域内的正负，从而确定单调区间； （3）先将化简为等价的，构造辅助函数，通过求导分析单调性，找到最小值点，利用与代换，证明最小值大于. 【小问1详解】 由题意得，所以； 则，又； 所以切线方程，即； 【小问2详解】 ， 当时，，则在上为减函数； 当时，令，解得； 当时，，则在上为减函数， 当时，，则在上为增函数； 综上：当时，在上为减函数； 当时，在上为减函数，在上为增函数； 【小问3详解】 设， 则； 令，所以在恒成立， 所以在为增函数； 又， 所以存在，使，即（*）； 在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为； 将（*）代入得； 所以在恒成立， 即在时，． 19. 已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆C的两个焦点分别为，，O为坐标原点，点在椭圆C上． （1）求C的标准方程； （2）已知直线l与C交于A，B两点（不是椭圆顶点），且，求面积的最小值； （3）过C的蒙日圆上一点M，作C的一条切线，与蒙日圆交于另一点N，若直线，的斜率存在，设与的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由焦点坐标及椭圆所过点计算即可得； （2）设出直线方程，联立曲线可解出，即可得，结合，同理可得，再利用三角形面积公式表示出面积后利用基本不等式计算即可得解； （3）由题意可得蒙日圆的方程为：，再分直线斜率存在于不存在进行讨论，当斜率不存在时，可直接计算出，当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立曲线方程，可得与交点横坐标有关一元二次方程，利用切线性质可得其，再联立直线的方程与蒙日圆的方程，可得与交点横坐标有关一元二次方程，则可得相应韦达定理，再借助韦达定理计算即可得解. 【小问1详解】 依题意，，解得，， 所以C的标准方程是； 【小问2详解】 因为A、B不是椭圆C的顶点时，由， 设直线方程为，，则直线方程为， 由可得， ，同理， ， 而，因此，当且仅当时取等号， 所以面积的最小值为； 【小问3详解】 依题意，蒙日圆的方程为：， 当直线斜率不存在时，直线的方程为：或， 直线与的交点为或， 则； 当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 由消去并整理得：， 与椭圆相切，，即， 设，，， 由消去得：， ，，， 要保证直线，斜率存在，则，从而，； 则 ， 所以为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级9月教学质量诊断检测 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则A的真子集的个数是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 2. 若复数满足，则的虚部是（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知随机变量，，则值为（ ） A. 4 B. 5 C. 3 D. 4. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由乙开始传，经过4次传递后，球又被传回给乙，则不同的传球方式共有（ ） A. 6种 B. 10种 C. 11种 D. 12种 6. 已知圆，过直线上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3 7. 在中，点在边上，且，是边上任意一点，与交于点，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 8. 已知定义在上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记为等比数列的前n项和，q为的公比，，若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为3 B. 存在，使为图象的一个对称中心 C. 若直线是图象的一条渐近线，则 D. 若在区间内单调，则的取值范围是 11. 设A，B两点的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为，则下列说法正确的是（ ） A. M的轨迹方程为 B. M的轨迹与椭圆共焦点 C. M的轨迹的渐近线与圆相切 D. 过能作4条直线与M的轨迹有且只有一个公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列中，，，则其公差______． 13. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是______． 14. 不透明的盒子中装有大小质地相同的2个红球、2个白球、4个黄球，若采取不放回的方式每次从盒子中随机摸出一个小球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若D为的中点，，，求． 16. 为了研究某校高二年级学生的性别与身高是否大于的关联性，调查了该校所有高二年级的学生，整理得到如下列联表一；然后从该校所有高二年级学生中随机抽取名学生，对性别和身高是否大于进行统计，得到如下列联表二，其中女生占，身高低于的学生占． 表一： 性别 身高 合计 低于 不低于 女 男 合计 表二： 性别 身高 合计 低于 不低于 女 男 合计 （1）从表一中随机抽取一人，分别用、表示抽到男生、女生，用B表示抽到学生身高不低于，计算，； （2）请完成列联表二，并依据的独立性检验，能否认为该校高二年级学生的性别与身高有关联？ 附：其中． 17. 如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 18. 设函数． （1）若，求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若，求证：在时，． 19. 已知椭圆的任意两条相互垂直的切线交点的轨迹是圆，称为椭圆的蒙日圆，其方程为．已知椭圆C的两个焦点分别为，，O为坐标原点，点在椭圆C上． （1）求C的标准方程； （2）已知直线l与C交于A，B两点（不是椭圆顶点），且，求面积的最小值； （3）过C的蒙日圆上一点M，作C的一条切线，与蒙日圆交于另一点N，若直线，的斜率存在，设与的斜率分别为，，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $