21.1 认识一元二次方程 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根，通过绿苑小区绿地面积、图书馆图书增长率等实际问题导入，回顾一元一次方程定义及解，引导学生对比新方程特点，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题驱动贯穿教学，通过实际情境培养数学眼光，对比归纳概念发展推理意识，典例与练习结合强化模型意识。如用矩形绿地问题抽象方程，通过辨析题巩固“三要素”，课堂小结系统梳理概念、形式及根。学生能深化理解并应用，教师可依托清晰流程提升教学效果。

华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 数学课件 教学设计 数学是锻炼思想的体操。 —— 加里宁 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 1 第21章　一元二次方程 21.1　认识一元二次方程 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 认识一元二次方程 新课导入 讲授新课 当堂练习 课堂小结 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 3 新课导入 教学目标 教学重点 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 4 学习目标 1.理解一元二次方程的概念.（重点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(难点） 新课导入 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 什么是方程的解？ 使方程左右两边相等的未知数的值，就叫做方程的解. 什么叫做一元一次方程？ 只含有一个未知数，并且未知数的次数为“1”的整式方程，叫做一元一次方程.它的一般形式是：ax﹢b﹦0(a，b为常数，a ≠ 0). 新课导入 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 6 讲授新课 典例精讲 归纳总结 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 问题1 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 我们可以通过列方程解决实际问题． 分析 设长方形绿地的宽为 x 米，可列出方程： x ( x + 10 ) = 900， 整理得 x2 + 10x – 900 = 0 .① 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 问题2 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 设这两年的年平均增长率为 x . 已知去年年底的图书数是 5 万册，则今年年底的图书数是 5(1 + x) 万册. 同样，明年年底的图书数又是今年年底图书数的 (1 + x) 倍，即 5(1 + x)(1 + x) = 5(1 + x)2 (万册). 可列得方程 5(1 + x)2 = 7.2， 整理可得 5x2 + 10x - 2.2 = 0.② 分析 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 思考 得到的这两个方程都不是一元一次方程 . 那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们又有什么共同特点呢？ x2 + 10x – 900 = 0① 5x2 + 10x - 2.2 = 0② 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 共同特点： （1）都是整式方程 （2）只含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2 x2 + 10x – 900 = 0① 5x2 + 10x - 2.2 = 0② 思考 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 一元二次方程的一般形式： ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 a ≠ 0 概括 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程 . 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 x2 + 10x – 900 = 0 ① 5x2 + 10x - 2.2 = 0 ② 指出方程①②的二次项系数、一次项系数和常数项. 10 – 900 1 10 – 2.2 5 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x2-3x+2=0 少了限制条件 a≠0 提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 例1 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋ ＝2；③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0； ⑤2x2－3x＝2(x2－2)，其中是一元二次方程的有(　　) A．1个　　B. 2个　　C．3个　　D．4个 导引： ①含有两个未知数； ②不是整式方程； ④未知数的最高次数不是2 ⑤整理后未知数的最高次数不是2 ③符合一元二次方程的“三要素” 练一练 A 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程. 方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． 例2 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 方程(2a-4)x2－2bx+a=0. （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解：（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程 （2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程 练一练 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 一元二次方程的一般形式 a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) 二次项系数 一次项系数 常数项 二次项 一次项 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10. 注意：系数和项均包含前面的符号. 例3 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，c的值分别是(　　) A．1，－3，10 B．1，7，－10 C．1，－5，12 D．1，3，2 A 练一练 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 23 已知a是方程 x2+3x－1=0 的一个实数根, 求 2a2+6a+2026的值. 解：由题意得 方法总结：已知解求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值． 例4 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 2.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得 32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9 1.已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则m的值为_______． 练一练 讲授新课 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 当堂练习 当堂反馈 即学即用 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 26 1. 下列哪些是一元二次方程？ 3x+2=5x-2 x2=0 (x+3)(2x-4)=x2 3y2=(3y+1)(y-2) x2=x3+x2-1 3x2=5x-1 当堂练习 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 2.填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 　　　时，是一元二次方程．当k 　　　时，是一元一次方程． ≠±1 ＝－1 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 4.（1）如图,有一块矩形铁皮,长19cm,宽15cm．在它的四个角分别切去一个正方形,然后将四周突出的部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是81 cm2 ,那么铁皮各角应切去多大的正方形？列出方程，并化为一般式. 解：设需要剪去的小正方形边长为x cm,则纸盒底面的长方形的长为(19 -2x)cm ,宽为(15 - 2x)cm. 依题意得： (19 - 2x) (15 - 2x) = 81. x2 - 17x + 51 = 0 (一般式). x cm x cm 当堂练习 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 (2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x 整理，得 根据题意有， 当堂练习 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 课堂小结 归纳总结 构建脉络 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 31 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是2. ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件； 使方程左右两边相等的未知数的值. 认识一元二次方程 概念 一般形式 根 课堂小结 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 32 感谢聆听 聪明在于勤奋，天才在于积累。 —— 华罗庚 THANKS FOR LISTENING 华师大版 · 初中数学 · 九年级上册 认识一元二次方程 33 $