21.2 一元二次方程的解法（第5课时 一元二次方程的根与系数的关系）（教学课件）数学新教材华东师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的根与系数的关系，通过复习根的判别式导入，引导学生先求解具体方程观察根与系数联系，再从二次项系数为1的方程推广到一般形式，构建从特殊到一般的知识支架。 其亮点在于采用探究式教学，通过“试一试”“思考”等环节培养学生数学思维中的推理能力，结合分层练习与步骤归纳（一化二找三判四算）强化数学语言的模型意识，帮助学生提升抽象能力与应用能力，也为教师提供清晰教学流程与实用实例。

【新教材】华东师大版·九年级上册 第21章 一元二次方程 21.2 一元二次方程的解法 第5课时 一元二次方程的根与系数的关系 章节导读 21.1认识一元二次方程 21.2一元二次方程的解法 公式法 因式分解法 一元二次方程在利润等问题中应用 一元二次方程的认识 配方法 21.3实践与探索 直接开平方法 一元二次方程根的判别式 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程在几何等问题中的应用 2 学 习 目 标 1 2 3 探索一元二次方程的根与系数的关系； 理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系； 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单的问题. 复习回顾 一元二次方程的根的判别式： 根的判别式：式子叫做一元二次方程 根的判别式. 通常用符号“”来表示，用它可以直接判断一元二次方程的实数根的情况： 的大小 方程 的根的情况 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根 新知探究 一元二次方程的根与系数的关系 求一元二次方程 的两根 和. 试一试 解：因式分解， 解得，. 你用的哪种方法求解？ 观察方程的两根和，与方程的系数有什么关系？ 思考 , , x2 + 3x – 4 = 0 相反数 相等 二次项系数为1 一次项系数 常数项 对于任意一个二次项系数为1的一元二次方程，是否都有这样的结果呢？和同桌一起列几个方程试试吧。 新知探究 从特殊到一般，我们来考察方程 ，是否与我们的结论一致。 分析：由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为 一元二次方程的根与系数的关系 探索 ＝ ， ＝ . 请你进行总结描述。 二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系： 设一元二次方程 的两根为， 那么. 文字描述：在二次项系数为1的一元二次方程中，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 归纳总结 归纳总结 一元二次方程的根与系数的关系 与二次项系数无关！ 典例分析 例1 不解方程，求出方程的两根之和和两根之积： （1）； （2）. 一元二次方程的根与系数的关系 解：（1）设两根为 ，由上述二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得 二次项系数不为1，应该怎么办呢？ 典例分析 例1 不解方程，求出方程的两根之和和两根之积： （1）； （2）. 一元二次方程的根与系数的关系 （2）方程两边同除以 2 ，得 设两根为，可得 先将方程化为二次项系数为1的形式. 新知探究 你能运用题（2）的方法，探索一元二次方程一般形式的根与系数的关系吗？ 一般形式下一元二次方程的根与系数的关系 探索 解：方程两边同除以 ，得 由二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得 一元二次方程的根与系数的关系： 设一元二次方程的两根为，那么. 文字描述：在一元二次方程中，两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得商的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数所得商。 归纳总结 归纳总结 适用于所有一元二次方程，也叫韦达定理（P36读一读） 一般形式下一元二次方程的根与系数的关系 典例分析 例2 不解方程，判断下列方程的根的情况： 你能总结求一元二次方程两根之和与两根之积的步骤吗？ 一般形式下一元二次方程的根与系数的关系 解：方程化为一般形式为 ， 则 . 设两根为，可得 求一元二次方程两根之和与两根之积的步骤： 归纳总结 归纳总结 (1) 一化：把方程化为一般形式； (2) 二找：确定系数的值； (3) 三判：计算的值，判断方程是否有实数根； (4) 四算：若方程有实数根，则根据根与系数的关系计算. 一般形式下一元二次方程的根与系数的关系 随堂练习 1.试由一元二次方程的求根公式，直接推导方程 的根与系数的关系. 基础过关(P36) 解: 因为 x = ， 所以 x1 + x2 = + ， x1 · x2 = · . 随堂练习 2.不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根的话，那么求出方程的两根之和与两根之积： （1）；（2）； （3）2； （4） = . 基础过关(P36) 解: （1）因为Δ ＝ 42 －4×1×(－3)＝ 28 > 0， 所以方程有两个不相等的实数根. 设两根分别为 x1、x2 ， 则 x1 + x2 ＝－4，x1 · x2 ＝－3. 随堂练习 2.不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根的话，那么求出方程的两根之和与两根之积： （1）；（2）； （3）2； （4） = . 基础过关(P36) （2）因为 Δ ＝(－4)2 －4×3×0 ＝ 16 > 0， 所以方程有两个不相等的实数根. 设两根分别为 x1 、x2 ， 则 x1 + x2 ＝，x1 · x2 ＝ 0. 随堂练习 2.不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根的话，那么求出方程的两根之和与两根之积： （1）；（2）； （3）2； （4） = . 基础过关(P36) （3）原方程可变形为 x2 + 4 ＝ 0. 因为 Δ ＝02 －4×1×4 ＝－16 < 0，所以方程没有实数根. 随堂练习 2.不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根的话，那么求出方程的两根之和与两根之积： （1）；（2）； （3）2； （4） = . 基础过关(P36) （4）原方程可变形为 3x2 + 9x－2 ＝ 0. 因为Δ ＝92 －4×3×(－2)＝ 105 > 0， 所以方程有两个不相等的实数根. 设两根分别为 x1、x2， 则 x1 + x2 ＝－，x1 · x2 ＝－. 随堂练习 3.试解答下列问题，并和同学讨论一下，有哪些不同的解法: （1）已知关于的方程 的两个根是1和－3， 求 和 的值； （2）已知关于 的方程 的一个根是 －4， 求它的另一个根和 的值. 基础过关(P37) 解：（1）方法一：韦达定理 对于一元二次方程 ， ​ ∴ ​ ∴​ 解:（1）解法二: 代入法 将 x＝ 1 和 x ＝ －3 分别代入方程， 得 ， ， 解得 ， . 随堂练习 3.试解答下列问题，并和同学讨论一下，有哪些不同的解法: （1）已知关于的方程 的两个根是1和－3， 求 和 的值； （2）已知关于 的方程 的一个根是 －4， 求它的另一个根和 的值. 基础过关(P37) （2）解法一: 代入法。将 x ＝－4 代入方程，得 16－4m－20 ＝ 0， 解得 m ＝－1. 将 m ＝－1 代回原方程，得 x2－x－20＝0，解得 x1 ＝ 5， x2 ＝－4，所以另一个根是 5. 解法二: 韦达定理，设另一个根为 a， 则有－4 + a ＝－m，－4×a ＝－20，所以 a ＝ 5，m ＝－1， 即另一个根为 5，m 的值为 －1. 随堂练习 4.若方程的两根为，求的值。 能力提升 随堂练习 能力提升 5.已知关于的一元二次方程有两个实数根， （1）求实数的取值范围；（2）当时，求的值。 解：（1）由题意,得； 解得，即实数的取值范围是. （2）由，得, 若,即,解得 因为，所以不合题意，舍去. 若,即,,由(1)知； 故当时，. 课堂小结 一元二次方 程根与系数 的关系 使用 条件 设二次项系数为 1 的一元二次方程 x2 + px + q ＝ 0 的 两根为 x1 、x2，那么 x1 + x2 ＝－p，x1x2 ＝ q ①方程是一元二次方程，且要化为一般形式； ②方程有实数根，即 Δ ≥ 0 对于一元二次方程 ax2 + bx + c ＝ 0 ( a ≠ 0)， 当 b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，设这两个实数根 分别为x1 、x2 ，这两个根与系数的关系是 x1 + x2 ＝－，x1 x2 ＝ . 感谢聆听! 【新教材】华东师大版·九年级上册 $