第一章 特殊平行四边形 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册特殊平行四边形同步练习，通过基础概念辨析、性质应用到综合探究的三层设计，强化几何直观与推理能力，适配新授课知识巩固与思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|菱形、矩形、正方形的性质与判定|单选1-3直接考查定义辨析，填空11-13基础计算，夯实概念理解| |进阶层|中点性质、互余角、折叠初步|单选4-6结合图形中点应用，解答17(1)(2)分步探究菱形旋转，培养推理意识| |拓展层|动态几何、最值问题、综合证明|单选7-10涉及折叠与动态点，解答18-21融合函数与几何、算两次原理，发展空间观念与创新意识|

第一章特殊平行四边形同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题（本大题共10小题） 1．下列性质中菱形有而矩形没有的是（   ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 2．下列说法中，不正确的是（　　） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 C．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形 3．下列命题是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 菱形的四条边相等 C. 正五边形的其中一个内角是 D. 单项式的次数是4 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 5．如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（    ）    A． B． C．12 D．16 6．如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在边长为的正方形中，，分别是边，的中点，连接，，，分别是，的中点，连接，则的长为（ ） A．2.4 B．2.5 C． D．2 9．如图，在正方形中，，点，分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（    ） A．1 B． C． D．2 10．如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题（本大题共6小题） 11．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，为上一点，连接，，则的最小值等于_____． 12．如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为______． 13．如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是______． 14．如图，正方形的边长是3，点E是边上一点，，F是边上一点，，连接，点G是的中点，连接，于点H，则的长为______． 15．如图，在正方形中，连接，E，F为上两点，连接，，延长至点G，使得E为的中点，连接、，若，，则的值为_____． 16．如图，点B坐标为，点A为x正半轴上一动点，，且面积为20，则最大值为_______． 三、解答题（本大题共5小题） 17．综合与探究 问题背景：如图，在菱形中，是一条对角线，点为直线上一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是中点，连接． 【初步探究】 （1）如图1，当点在线段BC的中垂线上，则________． 【深入分析】 （2）如图 2，若点与点重合，连接交于点，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）若点在点右侧，如图 3，连接，若，请直接写出的长． 18．如图,四边形ABCD是矩形,AB=6 cm,BC=8 cm.点E以每秒1 cm的速度沿B→C方向运动,点F在直线AB上运动,且满足S△BEF=2 cm2.点G与点E同时出发,以每秒2 cm的速度沿折线D→C→A方向运动.设运动时间为x秒(0<x<8),点F与点B的距离为y1,点G与点C的距离为y2. (1)请直接写出y1,y2关于x的函数解析式,并分别写出自变量x的取值范围. (2)请在给定的平面直角坐标系中画出函数y1,y2的图象;结合函数图象,直接写出y1<y2时x的取值范围(近似值保留小数点后一位,误差不超过0.2). 19．阅读与思考 “算两次”原理 富比尼原理（），也称为“算两次”原理，是数学中一种重要的思想方法，其核心在于通过两种不同的方式计算同一量，从而建立等量关系． 例1：计算图1所示图形的面积，既可以将其看成一个大正方形，也可以将其看成是由2个长方形和2个小正方形组成的，通过不同的方法计算这个图形的面积可以得到一个乘法公式． 例2：如图2，有一块锐角三角形余料，，高．现把它加工成正方形零件，其中正方形的一边在上，它的两个顶点，分别在，上，高与交于点，求加工成的正方形的边长是多少厘米． 思路：我们可以利用“算两次”原理用两种方式计算的面积来求解． 方式一：． 方式二：． 解：设正方形的边长为，则． ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． …… 任务： （1）例1中得到的乘法公式是 （用含，的式子表示）． （2）请将例2中的剩余过程补充完整． （3）请尝试使用“算两次”原理解决下面的问题．如图3，在纸片中，对角线，相交于点，，，将纸片沿折叠，点的对应点为点，连接．若，则点到的距离为 ． 20．综合与探究 问题情境： 综合与探究课上，同学们以直角三角形纸片的平移、旋转变化开展数学活动探究，其中． 操作探究： 如图1，将三角形纸片沿方向平移得到，点A，B，C的对应点分别为D，E，F，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）当时，停止平移，然后将绕点顺时针旋转得到，其中点E，F的对应点分别为G，H． ①如图2，当点C在线段上时，延长交边于点P，试猜想与之间的数量关系，并加以证明； ②若，，当直线与垂直时，连接，请直接写出的长． 21．如图,已知四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形,点K在BC上,延长CD到点H,使DH=BK=CE,连接AK,KF,HF,AH． (1)求证:AK=AH; (2)求证:四边形AKFH是正方形; (3)若四边形AKFH的面积为10,CE=1,求点A,E之间的距离． 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C B C B C D D D B 11．3 12． 13．/ 14． 15．/ 16． 17．（1）在菱形中，，且， 是等边三角形 ， 已知点在线段的中垂线上， ， ， 由旋转的性质可知：， ， . （2）四边形是矩形． 理由∶由旋转可得，，， 在菱形中，，，， ，， 为等边三角形， ，， 点是中点， ， 又，，， ， ， ， 又， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形为矩形． （3）的长为或． 理由：①当时，如图， ， ， 点为的中点， 为的中位线， 点为中点， ， ， ， ∴． ①当时，如图， 取中点为，连接， ∵点为中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 设，则，，， ∵为中点， ∴ 即， 解得：， ∴． 综上所述，的长为或． 18．(1)y1=(0<x<8). y2= ∵四边形ABCD是矩形,AB=6 cm,BC=8 cm,∴∠B=90°,DC=AB=6 cm,∴AC==10 cm.∵点E以每秒1 cm的速度沿B→C方向运动,点F在直线AB上运动,且满足S△BEF=2 cm2,运动时间为x秒,∴BE=x cm,∴S△BEF=BE·BF=xy1=2,∴y1=(0<x<8). ∵点G以每秒2 cm的速度沿折线D→C→A方向运动,DC=AB=6 cm, ∴当0<x≤3时,y2=6-2x; 当3<x<8时,y2=2x-6. 综上,y2= (2)列表: x 0 1 2 3 4 5 6 8 y1 — 8 4 2 1 y2 6 5 4 2 0 2 4 6 10 以表中每对x,y1的值和x,y2的值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点,用顺滑的线依次连接各点,得到y1和y2的图象,如图所示. 当y1<y2时,1<x<2或3.6<x<8. 19．（1）解：将其看成一个大正方形则面积为， 将其看成是由2个长方形和2个小正方形组成的，面积为， . （2）解：， ， ， ， ， ， 解得， 正方形的边长为． （3）解：作于点，作于点，如图所示， 四边形是平行四边形，，， ，， 将纸片沿折叠，点的对应点为点， ，， ， 为等腰三角形，， ， ， ， 在中，， ， ， 又在中，， ， ， 又，， ，， 四边形为矩形， ，， ， 在中，， 设点到的距离为， ， ． 20．（1）四边形为矩形． 理由如下： 由平移的性质，得，， 四边形是平行四边形． 又， ∴平行四边形是矩形． （2）①． 证明：由平移的性质，得， ． 由（1）得，四边形为矩形． ． 又， ，   ， ． 由旋转的性质，得，，， ，， ， ， ． ②或． 21．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD=DC=BC,∠ABC=∠ADH=90°． 在△ADH和△ABK中, ∴△ADH≌△ABK(SAS),∴AK=AH． (2)证明：∵△ADH≌△ABK,∴∠HAD=∠BAK, ∴∠HAK=∠BAD=90°． ∵四边形CEFG是正方形,∴CG=EC=FG=EF． ∵DH=CE=BK,∴HG=EK=BC=AD=AB． 同(1)可得△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH, ∴AH=AK=HF=FK,∴四边形AKFH是正方形． (3)连接AE． ∵四边形AKFH的面积为10,∴KF=． ∵EF=CE=1,∴KE===3, ∴AB=KE=3． ∵BK=EF=1,∴BE=BK+KE=4． 在Rt△ABE中,AE===5, 故点A,E之间的距离为5． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $