精品解析：福建莆田哲理中学2026-2027学年上学期九年级数学第一次阶段训练试卷

2026-2027学年上学期九年级数学第一次阶段训练试卷 一、选择题（共10小题，每题4分，总分40分） 1. 当前我国人工智能产业快速发展，多款国产AI大模型亮相数字产业展会，下列四个AI产品图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 衡南向阳桥香瓜（又称梨瓜）是湘南地区的特色农产品，种植历史超百年．衡南某香瓜种植基地有甲、乙两块试验田，近6年的亩产量（单位：）如下： 甲：4800，5000，5200，5000，4900，5100． 乙：4700，5300，5000，4900，5100，5000． 若要判断哪块田的产量更稳定，应比较两组数据的（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 3. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 7. 如图，将绕点C顺时针旋转得，若，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 与的夹角是 8. 在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率与做功所用的时间成反比例函数关系，图象如图所示．当时，P的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 在一次物理实验中，两个班的学生需用弹簧测力计测量一个钩码的重力（理论重力为），两个班测量数据的箱线图如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 班和班均有学生的测量值超过了理论值 B. 班的测量值比班的测量值波动更大 C. 班测量值的第三四分位数与班测量值的中位数相同 D. 班的平均测量值比班的平均测量值更高 10. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，下列结论中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则 二．填空题 11. 已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是___． 12. 如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上且，时，的长为_____． 13. 已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 14. 如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点A，点B，连接．若轴，则的面积是______． 15. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 16. 已知抛物线经过点，，若，则的取值范围为________． 三．解答题 17. 解方程： 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度）． （1）将平移，使点移动到点，请画出； （2）作出关于点成中心对称的． 19. 已知 与x成反比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当时，，求代数式的值． 20. 如图，中，，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好在边上，边交边于点F． （1）求证：； （2）若，求点C到直线的距离． 21. 某中学准备从预赛的甲、乙两名学生中选出一名参加市里举办的比赛，10位评委老师对这两名学生的表现进行了打分（最高分为10分），同时结合学生意见，进行了学生民主测评． a．评委老师打分的折线统计图： b．甲、乙两名学生成绩统计表： 评委老师打分中位数 评委老师打分众数 评委老师打分总分 民主测评总分 甲 m 7 82 90 乙 9 n 88 87 （1）______，______，______（选填“”“”或“”）． （2）按评委老师打分总分与民主测评总分6∶4的权重比，计算甲、乙两名学生的综合得分． 22. 在等边三角形中，，垂足为，点为上一点，由绕点按顺时针方向旋转得到，且点的对应点恰好落在的延长线上，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求菱形的面积． 23. 已知整数a，b，m，n满足． （1）求证：为非负数； （2）若m，n为两个连续的正整数，且，求证：c一定是奇数． 24. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为N，M． （1）如图1，当点落在的延长线上，且，，，求的长； （2）如图2，绕点顺时针旋得到，延长交于点，连接并延长至点，使得，连接，连接交于点，且，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想； 25. 已知抛物线 的顶点为，与x轴交于A，B两点（A在B左边） ． （1）直接写出抛物线解析式； （2）如图（1），点E是抛物线上的动点，连接，直线交直线于点F．设点E的横坐标为m． ①求直线的解析式（用含m的代数式表示）； ②若的面积等于2时，求m的值． （3）如图（2），P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线，分别与抛物线交于M，N两点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期九年级数学第一次阶段训练试卷 一、选择题（共10小题，每题4分，总分40分） 1. 当前我国人工智能产业快速发展，多款国产AI大模型亮相数字产业展会，下列四个AI产品图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形． 【详解】根据中心对称图形的定义，选项A，C，D不符合要求，只有选项B图形绕中心点旋转，图形能够与原图形重合，符合要求． 2. 衡南向阳桥香瓜（又称梨瓜）是湘南地区的特色农产品，种植历史超百年．衡南某香瓜种植基地有甲、乙两块试验田，近6年的亩产量（单位：）如下： 甲：4800，5000，5200，5000，4900，5100． 乙：4700，5300，5000，4900，5100，5000． 若要判断哪块田的产量更稳定，应比较两组数据的（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 【答案】B 【解析】 【详解】解：若要判断哪块田的产量更稳定，即需要比较数据的波动大小， ∴应比较两组数据的方差． 3. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理后得， 故选择D． 4. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 5. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式的关系列方程求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即，解得． 6. 在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数，一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题． 分别将，两点的横坐标代入，由图像知，时，，当时，，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：将代入中时，得 ， 将代入中时，得 ， 根据图像可知，时，，当时，， 则有： ， 解得：， ∴只有满足， 故选D． 7. 如图，将绕点C顺时针旋转得，若，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 与的夹角是 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转的性质得出，，，与的夹角是．再由直角三角形两个锐角互余得出，进而可得出，即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可知：，，，与的夹角是． ∵， ∴， ∴， ∴， 故选项B，C，D正确， ∵，的大小未知， ∴不一定等于． 8. 在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率与做功所用的时间成反比例函数关系，图象如图所示．当时，P的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数法可求出，再求出时，P的值即可得到答案． 【详解】解：设， 把代入得， ∴， ∴， ∵， ∴当时，P随t的增大而减小， 当时，， ∴当时，． 9. 在一次物理实验中，两个班的学生需用弹簧测力计测量一个钩码的重力（理论重力为），两个班测量数据的箱线图如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 班和班均有学生的测量值超过了理论值 B. 班的测量值比班的测量值波动更大 C. 班测量值的第三四分位数与班测量值的中位数相同 D. 班的平均测量值比班的平均测量值更高 【答案】D 【解析】 【分析】根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：A选项：由箱线图可知，两班最大测量数据都超过理论重力，故本选项正确，不符合题意； B选项：A班的测量值箱体比B班的测量值的箱体更大，所以A班的测量值比B班的测量值波动更大，故本选项正确，不符合题意； C选项：A班的上四分位数与B班的中位数相同都是，故本选项正确，不符合题意； D选项：仅通过箱线图的上四分位数、下四分位数、中位数的大小关系无法直接推断两组数据平均值的大小关系，故此选项错误，符合题意． 10. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，下列结论中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由点在双曲线上得，将两点代入直线方程推得，再结合逐一判断选项． 【详解】解：∵在双曲线上， ∴，即；故选项A错误． ∵，在直线上， ∴，，两式相加得，即； 两式相减得，即； ∵b恒为0，与的取值无关，故选项B错误． ， ∵，， ∴， 即，故选项C正确． 由，得，则， 故在第二象限，在第四象限， ∴直线过原点且经过二、四象限， 观察函数图象，直线在双曲线上方时，x的取值范围是或，故选项D错误． 二．填空题 11. 已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标规律，横纵坐标均互为原坐标的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵点的坐标是，关于原点对称的点的横、纵坐标分别是原横、纵坐标的相反数， ∴点关于原点的对称点的坐标是． 12. 如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上且，时，的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转一定的角度得到， ，， ． 13. 已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】将点，两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应的函数值，即可比较大小． 【详解】解：∵点，都在二次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴． 14. 如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点A，点B，连接．若轴，则的面积是______． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，，设交y轴于D，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，，进而求解即可． 【详解】解：连接，，设交y轴于D， ∵，轴， ∴，轴， ∵点A，点B在函数，的图象上， ∴，， ∴， ∴． 15. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子通分变形后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∵， ∴将代入得． 16. 已知抛物线经过点，，若，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据二次函数的性质，开口向下时抛物线上点到对称轴的距离越大，函数值越小，结合得到关于的不等式，再代入点坐标求出，结合得到另一个关于的不等式，解不等式后取交集得到的取值范围． 【详解】解：抛物线中，，开口向下， 对称轴为， 开口向下的抛物线，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， ，，， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 点横坐标为，到对称轴的距离为， 点横坐标为，到对称轴的距离为， 化简得， 去绝对值得， 解得， 将代入抛物线解析式得， 由得， 即， 解得或， 取与或的交集，可得， 故答案为：． 三．解答题 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】先移项，再利用因式分解法解方程，即可求解． 【详解】解： 移项得： 因式分解得： 即：或 解得：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度）． （1）将平移，使点移动到点，请画出； （2）作出关于点成中心对称的． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）由点移动到点找出平移坐标变化规律，按此规律得出、坐标，在平面直角坐标系中描点顺次连线即可得到； （2）根据关于原点对称的点的坐标变化规律求出点、、坐标，在平面直角坐标系中描点顺次连线即可得到． 【小问1详解】 解：∵点移动到点，横坐标，纵坐标， ∴点的对应点， 点的对应点， 在平面直角坐标系中描点顺次连线，即为所求,如图略； 【小问2详解】 解：∵点关于原点对称的点为， ∴点关于原点对称的点为； 点关于原点对称的点为； 点关于原点对称的点为； 在平面直角坐标系中描点顺次连线，即为所求，如图略． 19. 已知 与x成反比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当时，，求代数式的值． 【答案】（1） （2）23 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的性质，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据与x成反比例，设，再代入，进行计算，即可作答． （2）由（1）得，整理得，再代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵与x成反比例， ∴设， ∵当时， ∴， 解得； ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴当时，， 则， ∴， 则， ∴， 20. 如图，中，，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好在边上，边交边于点F． （1）求证：； （2）若，求点C到直线的距离． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，可得到，进而得到，可得到，即可； （2）过点C作于点G，则，根据旋转的性质可得，可得到，从而得到，再由直角三角形的性质，可得，再由勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 证明：根据题意得∶，． ∴． ∴． ∴， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点C作于点G，则． 由旋转的性质得：． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴中，． ∴． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质，熟练掌握图形旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质是解题的关键． 21. 某中学准备从预赛的甲、乙两名学生中选出一名参加市里举办的比赛，10位评委老师对这两名学生的表现进行了打分（最高分为10分），同时结合学生意见，进行了学生民主测评． a．评委老师打分的折线统计图： b．甲、乙两名学生成绩统计表： 评委老师打分中位数 评委老师打分众数 评委老师打分总分 民主测评总分 甲 m 7 82 90 乙 9 n 88 87 （1）______，______，______（选填“”“”或“”）． （2）按评委老师打分总分与民主测评总分6∶4的权重比，计算甲、乙两名学生的综合得分． 【答案】（1）8，9， （2）甲的综合得分为85.2分，乙的综合得分为87.6分 【解析】 【分析】（1）把甲学生的得分按高低排列，中间两个分数都是8分，即可求得中位数；乙学生得分中9分最多，即可得众数，根据折线统计图中两学生得分的波动情况可判断两人的方差大小； （2）利用加权平均数的计算方法计算出两人的综合得分即可. 【小问1详解】 解：甲学生得分有4个7分，8分、9分、10分各两个，中间两个数是8分，则中位数是8分，即；乙学生得分中，9分最多，即；由折线统计图知，乙学生的得分位于8分到10分之间，甲学生的得分位于7分到10分之间，则甲学生得分的波动性大于乙学生的波动性，即； 【小问2详解】 解：甲的综合得分：， 乙的综合得分：， 即：甲的综合得分为85.2分，乙的综合得分为87.6分. 22. 在等边三角形中，，垂足为，点为上一点，由绕点按顺时针方向旋转得到，且点的对应点恰好落在的延长线上，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵是由绕点按顺时针方向旋转得到的， ∴， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，即可证明是等边三角形，再根据等腰三角形的性质可证，进而可证四边形为菱形． （2）根据等边三角形的性质可得，再根据菱形的性质可得，代入，即可求得的值，进而求得菱形的面积． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 23. 已知整数a，b，m，n满足． （1）求证：为非负数； （2）若m，n为两个连续的正整数，且，求证：c一定是奇数． 【答案】（1） 证明：因为， 所以， 所以 = = ， 因为， 所以， 所以为非负数． （2） 证明：因为， 且m，n为两个连续的正整数，且， 所以，， 所以 = = = ， 因为m，n为两个连续的正整数， 所以是奇数， 所以c一定是奇数． 【解析】 【分析】（1）因为，所以，将这个式子代入到中，可得原式，据此证明以为非负数； （2）因为m，n为两个连续的正整数，且，所以，，所以，因为m，n为两个连续的正整数，所以是奇数，据此得证． 本题考查了整式的混合运算、非负数的性质：偶次方、非负数的性质：算术平方根，解决本题的关键是先将要计算的式子进行化简． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为N，M． （1）如图1，当点落在的延长线上，且，，，求的长； （2）如图2，绕点顺时针旋得到，延长交于点，连接并延长至点，使得，连接，连接交于点，且，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想； 【答案】（1） （2）线段，，之间存在的数量关系：； 证明： 由旋转可知，，旋转角， 如图，将绕点顺时针旋转，可使与重合，得到． ，即， 三点共线， 由旋转可知：，旋转角， 是等边三角形， ． 由旋转可知，旋转角，，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，即， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理分别在和中求出和的长，最后根据线段的和差关系求出的长． （2）将绕点顺时针旋转，得到，利用旋转得出是等边三角形，进而证明且；最后通过证明，将转化为，再结合得出最终结论． 【小问1详解】 解：∵将绕点顺时针旋转得到， ， ∵，点落在的延长线上， ， ∵， ，， ； 即的长为； 【小问2详解】 略 25. 已知抛物线 的顶点为，与x轴交于A，B两点（A在B左边） ． （1）直接写出抛物线解析式； （2）如图（1），点E是抛物线上的动点，连接，直线交直线于点F．设点E的横坐标为m． ①求直线的解析式（用含m的代数式表示）； ②若的面积等于2时，求m的值． （3）如图（2），P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线，分别与抛物线交于M，N两点，求的值． 【答案】（1） （2）①；②m值为0和3 （3） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的顶点坐标设出顶点式方程，化为一般式比较求出系数、，最后验证条件即可； （2）①先令  求出点  的坐标，再设出点  的坐标，利用待定系数法列出关于 、 的方程组，消元求解即可得到直线  的解析式； ②引入直线  并求出其与直线  的交点，将 的面积转化为  与 的面积之和或之差，结合三角形面积公式列出关于  的绝对值方程，最后分类讨论解方程即可． （3）通过设出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而联立抛物线方程，借助韦达定理求出交点的坐标．再表示出和的长度，作比即可求出定值． 【小问1详解】 解：抛物线 的顶点为， 抛物线的顶点式为， 化简得， 则,，符合题意， 抛物线解析式为 【小问2详解】 解：令，可得， 解得或， 抛物线与x轴交于A，B两点，且A在B左边， ， ①点E的横坐标为m，点E是抛物线上的动点， 点坐标为， 设直线解析式为， 将，代入， 可得， 两式相减得， 由于E不与A重合，， ． 直线的解析式为． ②如图，直线与直线交点，与直线交于点， 将代入直线：， 可得， 点坐标为， 设直线解析式为， 将，代入， 可得， 两式相减得， 由于E不与D重合，， ． 直线的解析式为． 点坐标为， 如图，当在右侧时， , 如图，当在左侧时， ， ， 化简可得，即， 当时，，解得或， 当时，，此时方程无实数解， 综上，若的面积等于2时，m值为0和3． 【小问3详解】 设点，由P、Q关于原点对称得，， 设直线解析式为， 将，代入， 可得， ． 直线的解析式为． 联立抛物线解析式，， 可得， 由韦达定理得， M点的横坐标为， 将代入，． M点的坐标为， 同理可得，直线的解析式为， 点的坐标为． ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $