福建莆田哲理中学2026-2027学年上学期九年级数学第一次阶段训练试卷

**基本信息** 以AI产品图标、莆田龙眼产量等真实情境为载体，融合旋转、函数、统计等知识，考查抽象能力、数据意识和推理能力，适配九年级月考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|中心对称、方差、函数平移|第2题以龙眼产量稳定性考查方差应用，体现数据意识| |填空题|6/24|旋转计算、二次函数性质|第14题结合反比例函数图象求面积，考查几何直观| |解答题|9/36|统计综合、二次函数综合|第21题评委打分数据分析，第25题动点与面积问题，考查模型意识与推理能力|

2026-2027学年上学期九年级数学第一次阶段训练试卷 一、选择题（共10小题，每题4分，总分40分） 1．当前我国人工智能产业快速发展，多款国产AI大模型亮相数字产业展会，下列四个AI产品图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2. 龙眼是莆田地区的特色农产品，种植历史超百年。某村有甲乙两处山头，近6年的产量（单位：kg）如下： 甲：4800，5000，5200，5000，4900，5100。 乙：4700，5300，5000，4900，5100，5000。 若要判断哪处山头的产量更稳定，应比较两组数据的（） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 3. 用配方法解一元二次方程x²+4x−5=0的过程中，配方正确的是（） A. (x+5)(x−1)=0 B. (x+2)²=−1 C. (x+2)²=1 D. (x+2)²=9 4. 在平面直角坐标系中，将函数y=(x−1)²+4的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（） A. y=(x+1)²+5 B. y=(x+1)²+3 C. y=(x−3)²+3 D. y=(x−3)²+5 5．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ） A．3 B．2 C．— D． 7. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转40°得△A'B'C'，若AC⊥A'B'，则下列说法不一定正确的是（） A. ∠B'CA=40° B. ∠A=50° C. BC=B’C’ D. AB与A’B’的夹角是40° 8．在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率与做功所用的时间成反比例函数关系，图象如图所示．当时，P的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．在一次物理实验中，A，B两个班学生需用弹簧测力计测量一个钩码的重力（理论重力为），两个班测量数据的箱线图如图所示，则下列说法错误的是（     ） A．A班和B班均有同学的测量值超过了理论值 B．A班的测量值比B班的测量值波动更大 C．B班的平均测量值比A班的平均测量值更高 D．A班的上四分位数与B班的中位数相同 10．在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，下列结论中正确的是（     ） A． B．若，则 C． D．若，则 二．填空题 11．已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是 ． 12．如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，当点在边上且，时，的长为_____． 13．已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 14．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点A，点B，连接．若轴，则的面积是______． 15．若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 16．已知抛物线经过点，，若，则的取值范围为________． 三．解答题 17．解方程：+= -2 18． 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度）． (1)将平移，使点移动到点，请画出； (2)作出关于点成中心对称的． 19．已知 与x成反比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，，求代数式的值． 20．如图，中，，，将绕点A逆时针旋转得到，点D恰好在边上，边交边于点F． (1)求证：； (2)若，求点C到直线的距离． 21．某中学准备从预赛的甲、乙两名学生中选出一名参加市里举办的比赛，10位评委老师对这两名学生的表现进行了打分（最高分为10分），同时结合学生意见，进行了学生民主测评． a．评委老师打分折线统计图： b．甲、乙两名学生成绩统计表： 评委老师打分中位数 评委老师打分众数 评委老师打分总分 民主测评总分 甲 m 7 82 90 乙 9 n 88 87 (1)m=______，n=______，______（选填“＞”“=”或“＜”）． (2)按评委老师打分总分与民主测评总分6∶4的权重比，计算甲、乙两名学生的综合得分． 22．在等边三角形中，，垂足为，点为上一点，由绕点按顺时针方向旋转得到，且点的对应点恰好落在的延长线上，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求菱形的面积． 23．已知整数a，b，m，n满足． (1)求证：为非负数； (2)若m，n为两个连续的正整数，且，求证：c一定是奇数． 24．如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为N，M． (1)如图1，当点落在的延长线上时，且，，，求的长； (2)如图2，绕点顺时针旋转得到，延长交于点，连接并延长至点，使得，连接，连接交于点，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想； 25．已知抛物线y=−x²+bx+c(bc≠0)的顶点为D(1,4)，与x轴交于A，B两点（A在B左边）。 (1) 直接写出抛物线解析式； (2) 如图(1)，点E是抛物线上的动点，连接AE，直线AE交直线x=2于点F。设点E的横坐标为m。 ① 求直线AE的解析式（用含m的代数式表示）； ② 若△DEF的面积等于2，求m的值。 (3) 如图(2)，P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线BP，BQ分别与抛物线交于M，N两点，求MN/PQ的值。 1 学科网（北京）股份有限公司 2026-2027学年上学期九年级数学第一次阶段训练试卷 答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B A D A B C C 10．C 解：∵在双曲线上， ∴，即；故选项A错误． ∵，在直线上， ∴，，两式相加得，即； 两式相减得，即； ∵b恒为0，与的取值无关，故选项B错误． ， ∵，， ∴， 即，故选项C正确． 由，得，则， 故在第二象限，在第四象限， ∴直线过原点且经过二、四象限， 观察函数图象，直线在双曲线上方时，x的取值范围是或，故选项D错误 故选：C． 二．填空题 11． 12．5 13．或 14．3 15．-2 16． 解：抛物线中，，开口向下， 对称轴为， 开口向下的抛物线，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， ，，， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 点横坐标为，到对称轴的距离为， 点横坐标为，到对称轴的距离为， 化简得， 去绝对值得， 解得， 将代入抛物线解析式得， 由得， 即， 解得或， 取与或的交集，可得， 故答案为：． 三．解答题 17．x=-2，x=-3 18.(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求． （1）解：∵点移动到点，横坐标，纵坐标， ∴点的对应点， 点的对应点， 在平面直角坐标系中描点顺次连线，即为所求,如图略； （2）解：∵点关于原点对称的点为， ∴点关于原点对称的点为； 点关于原点对称的点为； 点关于原点对称的点为； 在平面直角坐标系中描点顺次连线，即为所求，如图略 19．（1）解：∵与x成反比例， ∴设， ∵当时， ∴， 解得； ∴； （2）解：由（1）得， ∴当时，， 则， ∴， 则， ∴， 20．（1）证明：根据题意得∶，． ∴． ∴． ∴， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图，过点C作于点G，则． 由旋转的性质得：． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴中，． ∴． 21．(1)8，9， (2)（1）解：甲学生得分有4个7分，8分、9分、10分各两个，中间两个数是8分，则中位数是8分，即；乙学生得分中，9分最多，即；由折线统计图知，乙学生的得分位于8分到10分间，甲学生的得分位于7分到10间，则甲学生得分的波动性小于乙学生的波动性，即； 故答案为：8，9，； （2）解：甲的综合得分：， 乙的综合得分：， 即：甲的综合得分为85.2分，乙的综合得分为87.6分； 22．(1) 证明：∵是由绕点按顺时针方向旋转得到的， ∴， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形． （2）解：∵是等边三角形，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为： 23．(1) 证明：因为， 所以， 所以 = = ， 因为， 所以， 所以为非负数． (2) 证明：因为， 且m，n为两个连续的正整数，且， 所以，， 所以 = = = ， 因为m，n为两个连续的正整数， 所以是奇数， 所以c一定是奇数． 【分析】（1）因为，所以，将这个式子代入到中，可得原式，据此证明以为非负数； （2）因为m，n为两个连续的正整数，且，所以，，所以，因为m，n为两个连续的正整数，所以是奇数，据此得证． 本题考查了整式的混合运算、非负数的性质：偶次方、非负数的性质：算术平方根，解决本题的关键是先将要计算的式子进行化简． 24.（1）解：(1)将绕点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ，； 即的长为； （2）略 25．(1)： y=-(x-1)²+4 展开整理得： y=-x²+2x+3 验证条件 bc=2×3=6≠0，符合题目要求。 (2）首先令抛物线 y=0，解得 -x^2+2x+3=0 的根为 x=-1 和 x=3，结合A在B左侧，得 A(-1,0)，B(3,0)。 ① 求直线AE的解析式 已知点E的横坐标为 m，代入抛物线得E点坐标为 E(m,-m²+2m+3)。 设直线AE解析式为 y=kx+b，将 A(-1,0)、E(m,-m²+2m+3) 代入： 两式相减得 k(m+1)=-(m²-2m-3)=-(m-3)(m+1) 由于E不与A重合，m≠-1，因此 k=3−m，b=3−m。 最终直线AE解析式为： y=(3−m)x+3−m ② 求m的值 将 x=2 代入直线AE解析式，得F点坐标为 F(2,9−3m)。 使用三点坐标面积公式：对于三点 (x₁,y₁),(x₂,y₂),(x₃,y₃)，面积 S=|x₁(y₂−y₃)+x₂(y₃−y₁)+x₃(y₁−y₂)| 代入 D(1,4)、E(m,-m²+2m+3)、F(2,9−3m)： S△DEF = |1·(-m²+2m+3−9+3m)+m·(9−3m−4)+2·(4−(-m²+2m+3))| = |−m²+3m−2| 由题意 S△DEF=2，即 |m²−3m+2|=2： • 当 m²−3m+2=2 时，解得 m=0 或 m=3 • 当 m²−3m+2=−2 时，判别式 Δ=9−16<0，无实根 因此符合条件的m值为 0 和 3。 第(3)问解析： 设点 P(0,t)，由P、Q关于原点对称得 Q(0,−t)，t≠0： 1. 求直线BP解析式：过 B(3,0) 和 P(0,t)，得 y=(- )x + t，联立抛物线方程，由韦达定理得M点坐标为 ( −1, + )。 2. 求直线BQ解析式：过 B(3,0) 和 Q(0,−t)，得 y=( ) x − t，联立抛物线方程，由韦达定理得N点坐标为 ( −1, + )。 3. 计算两点距离： Δx = xM − xN = ，Δy = yM − yN = MN = = PQ是y轴上两点距离：PQ = |t − (−t)| = 2|t| 4. 求比值： = $