14.3 角的平分线 教学设计 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦“角的平分线”核心内容，涵盖尺规作图方法、性质及判定。课堂导入通过集贸市场选址的现实情境，复习角平分线定义，引出“到角两边距离相等的点”的问题，搭建从实际到数学的学习支架。 该资料以探究法为主线，结合尺规作图与合作学习，体现数学眼光（从平分角仪器抽象作图原理）、数学思维（性质与判定的推理证明）、数学语言（例1选址问题解决实际问题）。如通过仪器SSS全等原理导入作图，性质判定互逆探究培养推理意识，助力学生发展抽象能力与创新意识，为教师提供结构化教学流程，提升课堂效率。

14.3　角的平分线　教学设计 课题 14.3　角的平分线 学科 数学 年级 八年级 教材版本 人教版（2024） 课时 14.3 角的平分线 课型 新授课 教学目标 1. 掌握作已知角的平分线的方法，会用尺规作图的方法画已知角的平分线； 2. 掌握角平分线的性质和判定方法，能用角平分线的性质和判定解决问题； 3. 经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法。 教学重点 作已知角的平分线的方法；用角平分线的性质和判定解决问题。 教学难点 用尺规作图的方法画已知角的平分线；用角平分线的性质和判定解决问题。 教学方法 讲授法、探究法、尺规作图、合作学习 教学准备 多媒体课件、直尺、圆规 课后练习 教科书P52习题14.3第2、3题 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情境 导入新课 1. 复习回顾 什么是角平分线？（从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线。） 2. 情境导入 如图，要在A区建一个集贸市场，使它到公路和铁路的距离相等，且离公路和铁路的交叉处500米，该集贸市场应建在何处？（比例尺1∶20000）你能确定吗？ 这节课我们就一起来探究这类问题。 回顾角平分线的定义，思考建集贸市场如何使得到公路铁路距离相等且离交叉处500米。 用集贸市场选址的现实情境引出“到角两边距离相等的点”问题，引发探究角平分线的兴趣。 二、探究归纳 活动一 仪器原理 活动一：探究角的平分线仪器原理 问题1：如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC。将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线。你能说明它的道理吗？ 要说明AC是∠DAB的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB。∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了。看看条件够不够。 在△ABC和△ADC中，AB=AD，BC=DC，AC=AC，所以(SSS)，所以∠CAD=∠CAB，即射线AC就是∠DAB的平分线。 问题2：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN？ 学生独立思考，然后让学生说出自己的方法。 当OM=ON时，PM=PN。 因为OC平分∠AOB，∠AOC=∠BOC，又OP=OP、OM=ON，所以△MOP≌△NOP(SAS)，所以PM=PN。 【点拨】问题1、2都依托“SSS、SAS”全等得到角相等或线段相等，为尺规作角平分线和角平分线性质的探究提供依据。 说明平分角仪器全等原理，探究OM=ON时PM=PN，口述推理过程。 借助仪器原理利用SSS、SAS导入角平分线作图的可行性，为后续尺规作图作铺垫。 二、探究归纳 活动二 作角平分线 活动二：作已知角的平分线的方法 1. 已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线。 作法： (1)以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N； (2)分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C； (3)作射线OC，射线OC即为所求。 2. 议一议： 问题1：在上面作法的第二步中，去掉“大于 ½MN 的长”这个条件行吗？ 问题2：第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？（也不一定。） 3. 总结： (1)去掉“大于 ½MN 的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线。 (2)若分别以M、N为圆心，大于½MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了。 (3)角的平分线是一条射线，它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可。 (4)这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明。 4. 练一练：任意画一角∠AOB，作它的平分线。 【点拨】作角的平分线分三步：画弧截取、两弧交交点、连射线。第二步中“适当的半径”须大于½MN且两弧交于内部，这是作为一条射线而非线段的保证。 学习尺规作角平分线的三步作法，讨论两弧交点位置与半径限制，完成练一练并作图。 通过尺规作角平分线把仪器原理落到操作，用议一议辨析“大于½MN”的两次限制，突破作图难点。 二、探究归纳 活动三 性质探索 活动三：探索角的平分线的性质 问题1：如图，OC是∠AOB的平分线，点P₁是OC上一点，作P₁D₁⊥OA，P₁E₁⊥OB，垂足分别为点D₁、E₁，则P₁D₁与P₁E₁有什么关系？再找P₂、P₃、P₄、…、Pₙ是否也有上述结论。 猜想：P₁D₁=P₁E₁，… 问题2：怎样用文字语言叙述得到的结论？ 猜想：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 问题3：如何证明这个结论？ 师生分析：已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足。由已知事项推出的事项：PD=PE。 已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，如图所示。求证：PD=PE。 问题4：如何证明？ 证明：因为PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO=∠PEO=90°。在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，所以(AAS)，所以PD=PE。 2.【归纳】角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何语言：因为OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE。 按“猜想到各边距离相等”探索角平分线性质，结合图形写已知求证并证明PD=PE，归纳性质。 从具体到一般引导学生猜想并证明角平分线的性质，规范“写已知求证、几何语言”的推理过程。 二、探究归纳 活动四 判定探索 活动四：探索角平分线的判定 问题1：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表。 已知事项：PD⊥OB，PE⊥OA，垂足为D、E，PD=PE。由已知事项推出的事项：？ [学生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌Rt△PDO(HL)，于是可得∠POE=∠POD。 由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上。 问题2：你能用文字语言叙述你得到的结论吗？ 定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 问题3：这两个定理有什么关系？ 学生：题设和结论互相交换，并且都是经过推理证明正确的。从而我们得到用集合的观点给角平分线下定义：角平分线可以看成到角两边距离相等的所有点的集合。 结合表格猜想判定，讨论Rt△PEO≌Rt△PDO(HL)得出点在平分线上，叙述判定定理并辨析互逆关系。 由性质逆向探究判定，用HL证明判定定理，明确性质与判定的互逆关系及角平分线的集合定义。 二、探究归纳 活动五 应用举例 活动五：应用举例 例1（回到引入的题）：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500 m，这个集贸市场应建于何处？（在图上标出它的位置，比例尺为1∶20000） 问题：1.集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2.比例尺为1∶20000是什么意思？ 结论： 1.应该是用第二个性质（判定）。这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处。 2.在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了。1 m=100 cm，所以比例尺为1∶20000，其实就是图中1 cm表示实际距离200 m的意思。 作图如下： 第一步：用尺规作图法作出∠AOB的平分线OP； 第二步：在射线OP上截取OC=2.5 cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了。 总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化。所以若遇到有关角平分线、又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题。 例2：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。 分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF。而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题。 【答案】 证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F。因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，所以PD=PE。同理PE=PF，所以PD=PE=PF，即点P到三边AB、BC、CA的距离相等。 【讲评要点】 借助角平分线的性质直接得两条垂线段相等，利用等式的传递性把PD=PE、PE=PF联结，从而把“到三边距离相等”化归为角平分线的性质，简化证明步骤。 【追问】 例2中，若只过点P作PF⊥AC，其他条件不变，也能得到点P到三边距离相等吗？（不能，需分别作三条垂线段，依据角平分线性质逐一得相等。） 分析例1集贸市场选址用判定定理解决，学习例2用性质与传递性证三边距离相等，参与追问。 通过例1~例2把性质与判定用在生活实际与几何推理中，让学生体会“省去证全等”的简便。 三、交流反思 课堂小结 1. 知识梳理 通过探索学习明确角平分线性质及其逆定理，以及它们的区别。三角形三条角平分线相交于一点，这一点是三角形的内切圆的圆心（以后学习）。 2. 方法总结 角平分线性质与判定互为逆定理；应用角平分线性质可直接证线段相等，判定可用来证点在角平分线上，体会转化思想与集合观点。 回顾角平分线性质与判定的区别与联系，梳理三角形三条角平分线交于内切圆圆心的结论。 系统明确性质与判定互逆、角平分线的集合定义，为后续学习三角形内心埋下伏笔。 四、检测反馈 1. 工人师傅常用角尺平分一个任意角。作法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合。过角尺顶点C作射线OC。由作法得△MOC≌△NOC的依据是（　　） A.AAS　　B.SAS　　C.ASA　　D.SSS 答案：B（由作图知OM=ON，MC=NC（角尺刻度相同），OC=OC（公共边），三组对应边相等，故依据是SSS。）。 补充说明：本题按作图实际，三边对应相等用SSS；原课件选项含SAS，据题意选D（SSS）最贴合角尺作法。 2. 如图，直线l₁、l₂、l₃表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A.一处　B.两处　C.三处　D.四处 答案：D（到三条两两相交的直线距离相等的点，是各个内角平分线的交点（内心）以及三个外角平分线的交点，共四个。） 3. 如图，点P在∠AOB的平分线上，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，若PE=3，则PF=________。 答案：3（由角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，故PF=PE=3。） 4. 如图，点P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，请补充一个条件，使点P一定在∠AOB的平分线上，你补充的条件是________。 答案：PD=PE（由角平分线的判定，点到角两边的距离相等，则点在角的平分线上。） 5. 如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E。若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为________。 答案：4（由角平分线性质，点P到AD、AB、BC的距离都等于PE=2，故AD与BC间的距离是其两倍，为4。） 6. 如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。求证：DE=DF。 答案： 证明：在△ABD和△ACD中，AB=AC，BD=CD，AD=AD（公共边），所以△ABD≌△ACD(SSS)，所以∠BAD=∠CAD。又DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分线性质得DE=DF。 7. 如图，已知BD=CD，BF⊥AC，CE⊥AB。求证：D在∠BAC的平分线上。 答案： 证明：因为BF⊥AC，CE⊥AB，所以∠BED=∠CFD=90°。在△BDE和△CDF中，BD=CD，∠BED=∠CFD，∠BDE=∠CDF（对顶角），所以△BDE≌△CDF(AAS)，所以DE=DF。又DE⊥AC、DF⊥AB（垂足E、F在BA、CA上），所以点D到∠BAC两边距离相等，由角平分线的判定，点D在∠BAC的平分线上。 【点拨】第6、7题分别利用“先证全等得角相等或距离相等”，再结合角平分线性质与判定完成证明，体会全等与其他判定的综合。 自主完成三道选择与前四道填空，独立完成第6、7题证明并口述推理依据。 即时反馈检测对角平分线性质与判定的理解及综合应用，落实“做中学”。 五、布置作业 布置作业： 教科书P52习题14.3第2、3题。 记录作业内容。 围绕角平分线性质与判定的巩固练习，巩固尺规作图与推理书写。 板书设计 14.3　角的平分线 1.用尺规作角的平分线 作法：画弧、两弧交C、连射线OC 2.角平分线的性质 角的平分线上的点到角两边的距离相等 (PD⊥OA，PE⊥OB，OC平分∠AOB ⟹ PD=PE) 3.角平分线的判定 到角两边距离相等的点在角的平分线上 例题板演　学生板演 学生板演区 教学反思 本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规作图，并进一步探究到角平分线的性质。 本节课学习了关于角平分线的性质与判定：(1)角的平分线上的点到角两边的距离相等；(2)角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了。像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等。 学科网（北京）股份有限公司 $