14.2 三角形全等的判定 第5课时 教学设计 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦直角三角形全等的HL判定，通过舞台背景直角三角形被遮直角边的情境导入，引导学生思考仅测斜边和另一直角边能否判定全等，衔接已学的SAS、ASA等判定方法，构建完整知识体系。 以情境驱动探究，用叠合法结合反证法推理HL判定原理，培养推理意识。通过例题变式训练规范符号语言表达，提升数学表达能力。探究法与合作学习结合，助学生理解HL适用条件，教师可借助清晰流程和分层练习高效教学。

14.2　三角形全等的判定（第5课时）　教学设计 课题 14.2　三角形全等的判定（第5课时·直角三角形全等的HL判定） 学科 数学 年级 八年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第5课时 课型 新授课 教学目标 1. 经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程； 2. 掌握直角三角形全等的条件（斜边、直角边），并能运用其解决一些实际问题； 3. 在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理； 4. 经历探索直角三角形全等判定的过程，掌握数学方法，提高合情推理的能力。 教学重点 理解利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等的方法。 教学难点 熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。 教学方法 讲授法、探究法、合作学习 教学准备 多媒体课件、直尺、三角板 课后练习 课本P43练习第1、2题 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情境 导入新课 1. 情境导入 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量。 (1)你能帮他想个办法吗？ 方法一：测量斜边和一个对应的锐角。（AAS） 方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角。（ASA或AAS） (2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？ 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”。你相信他的结论吗？ 学完本节课后，相信同学们会找到答案。 观察舞台背景，探讨测量斜边与锐角判定全等的方法，思考只带卷尺能否完成任务。 用花盆遮直角边的真实情境引发思考，自然暴露只用直角边与斜边判定直角三角形全等的问题。 二、探究归纳 活动一 HL判定 活动一：探究归纳“HL”判定方法 1. 出示问题 在△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，BC=B'C'。这两个三角形全等吗？ 学生先独立思考，然后交流，利用前面学习的叠合法证明。 因为∠C=∠C'=90°，所以让点C与点C'重合，射线C'B'与射线CB重合。那么射线C'A'与射线CA重合。由B'C'=BC，则点B与B'重合。 教师追问：A点和A'A重合吗？ 学生答：若点A不与A'重合，则有两种情况，一是点A落在边AC上，记为点M，则∠BMA>∠C。这时BA>BM(A')而AB≠A'B'；若点A'落在射线CA的延长线上的点为N，由刚才的分析可知BN(A')>BA，从而点A与A'重合。 2. 总结规律 直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL）。 (1)内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 (2)书写格式：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中。 因为AB=A'B'，BC=B'C'，所以Rt(HL)。 3. 注意：“HL”适用的前提条件 “HL”只适合直角三角形全等的判定，不适合一般三角形全等的判定。 4. 总结：到现在为止我们学习的直角三角形全等的判定方法有：SAS、AAS、ASA、SSS、HL。 5. 我们再来看一下一开始的问题(2)中的方法能行吗？ 答案是肯定的，用的就是“HL”判定两个三角形全等。 【点拨】HL是直角三角形特有的判定方法，即“斜边和一条直角边对应相等”，从而把直角作为隐含的夹角或第三组角，达到用较少条件判定全等的目的。 用叠合法证明斜边直角边相等判断全等，归纳HL内容、书写格式与使用前提，总结五种判定法。 通过叠合法与反证追问理解HL的合理性，明确HL只适用于直角三角形，形成完整的判定方法体系。 三、探究归纳 活动二 例题精讲 活动二：应用举例 【典例精讲】 例1　如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证：BC=AD。 分析：欲证BC=AD，首先应寻找和这两条线段有关的三角形，这里有△ABD和△BAC、△ADO和△BCO，O为DB、AC的交点。经过条件的分析，△ABD和△BAC具备全等的条件。 【答案】 证明：因为AC⊥BC，BD⊥AD，所以∠C与∠D都是直角。在Rt△ABC和Rt△BAD中，AC=BD，AB=BA，所以Rt(HL)，所以BC=AD。 【变式】如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由。 (1)AD=BC（HL）　(2)AC=BD（HL）　(3)∠DAB=∠CBA（AAS）　(4)∠DBA=∠CAB（AAS） 【讲评要点】 在直角三角形中，已知一条直角边与公共斜边相等，可直接用HL判定全等；若添加的是一对角相等，则利用AAS判定。要注意根据HL的“直角+斜边+直角边”三种元素来选择添加。 例2　如图，AD⊥CD，AB⊥CB，垂足分别是D、B，且AD=AB，求证：AC平分∠DCB。 【答案】 证明：因为AD⊥CD，AB⊥CB，所以∠D与∠B都是直角。在Rt△ADC和Rt△ABC中，AD=AB，AC=AC（公共斜边），所以Rt(HL)，所以∠ACD=∠ACB，即AC平分∠DCB。 【讲评要点】 证明“AC平分∠DCB”可转化为证∠ACD=∠ACB，而这两个角分别在Rt△ADC与Rt△ABC中，利用公共斜边AC和一组直角边AD=AB，用HL判定全等后由对应角相等得证，体现“证角”与“证平分”的转化。 【追问】 例2中，若把条件“AD=AB”改为“AC平分∠DAB”，还能证明AC平分∠DCB吗？（不能直接证明，需结合“角平分线+全等”另行分析，HL不适用。） 分析例1寻找全等三角形、例2转化证角平分，经历变式添加条件并口述依据，参与追问。 通过例1~例2及其变式，训练用HL判定直角三角形全等并解决证明问题，渗透转化思想。 四、交流反思 课堂小结 1. 知识梳理 明确“HL”判定全等的条件，规范符号语言表达形式，学会运用HL公理，掌握HL公理证题的规范格式。 2. 方法总结 直角三角形全等的判定方法有SAS、AAS、ASA、SSS、HL共五种；通过各类变换加强应用能力，活跃思维。 回顾HL判定条件与符号语言，梳理直角三角形五种判定方法，体会证题规范格式。 明确HL的使用条件与书写规范，把直角三角形判定纳入完整方法体系，强化应用意识。 五、检测反馈 1. 使两个直角三角形全等的条件是（　　） A.一个锐角对应相等　　B.两个锐角对应相等　　C.一条边对应相等　　D.斜边与直角边对应相等 答案：D（斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即HL。） 2. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC________（填“全等”或“不全等”）。 答案：全等（AD是高得∠ADB=∠ADC=90°，AB=AC，AD=AD（公共斜边），由HL得Rt△ADB≌Rt△ADC。） 3. 如图，已知∠1=∠2=90°，AD=AE，那么图中有________对全等三角形。 答案：3对（Rt△ABF≌Rt△DCE、Rt△ABC≌Rt△DEF、以及由交点构成的另一对三角形全等。） 4. 如图，已知∠B=∠E=90°，AC=DF，BF=EC，AB=7，则DE的长度为________。 答案：7（因为BF=EC，所以BF+FC=EC+FC，即BC=EF；在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC=DF、BC=EF，由HL得Rt△ABC≌Rt△DEF，所以DE=AB=7。） 5. 如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F。求证：BE=CF。 答案： 证明：因为BE⊥AD、CF⊥AD，所以∠BED=∠CFD=90°。因为AD是中线，所以BD=CD。又∠BDE=∠CDF（对顶角），在△BDE和△CDF中，∠BED=∠CFD=90°、∠BDE=∠CDF、BD=CD，所以△BDE≌△CDF(AAS)，所以BE=CF。 6. 已知：如图，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE，求证：DE=BD+CE。 答案： 证明：因为∠BAC=90°，所以∠BAD+∠CAE=90°。又BD⊥DE，所以∠BDA=90°，∠BAD+∠ABD=90°，故∠ABD=∠CAE（同角的余角相等）。在Rt△ABD和Rt△ACE中，∠BDA=∠AEC=90°、∠ABD=∠CAE、AB=AC，所以△ABD≌△CAE(AAS)，所以BD=AE、AD=CE，且BD=AE=AD+DE=CE+DE，因此DE=BD+CE。 【点拨】第6题先用“同角的余角相等”得∠ABD=∠CAE，再用AAS证△ABD≌△CAE，最后把BD、CE分别转化为AE、AD，利用AE=AD+DE求和，体会线段转化的思想。 自主完成两道选择与前四道填空判断，独立完成第5、6题证明并口答依据。 即时反馈检测对HL判定条件的辨析与直角三角形全等的综合应用，落实“做中学”。 六、布置作业 布置作业： 课本P43练习第1、2题。 记录作业内容。 围绕HL判定方法的巩固练习，巩固直角三角形全等判定的书写规范。 板书设计 14.2　三角形全等的判定（第5课时） 1.直角三角形全等的判定定理 斜边、直角边(HL)： 斜边和一条直角边对应相等 的两个直角三角形全等 2.例题板演　例1、例2 3.总结：六种判定全等的方法 定义、SSS、SAS、ASA、AAS HL（仅用于直角三角形） 学生板演区 教学反思 本节课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解。在教学过程中，教师让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力。 整节课从“问题情境出发，建立模型、寻求结论、解决问题”，让学生从这一过程中抽象出几何图形、建立模型、研究具体问题，起到了较好的作用，学生也体会到数学与现实的联系以及学习处理此类问题的方法。作为八年级的学生，他们的抽象思维已有一定程度的发展，具有初步的推理能力，因此，教学中教师除了注重情境的运用外，更多地运用符号语言，在比较抽象的水平上提出数学问题，加深和扩展了学生对数学的理解。 学科网（北京）股份有限公司 $