14.2 三角形全等的判定 第5课时 用HL判定直角三角形全等 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

教案：14.2 全等三角形的判定 第5课时 用HL判定直角三角形全等

一、核心素养目标

1. 几何直观

通过图形叠合法的探究过程，直观感受"斜边和一条直角边分别相等"如何确定直角三角形的形状和大小，发展空间观念和几何直观感知能力。在直角三角形全等判定的多种方法中，通过图形对比直观理解HL与其他判定方法的区别与联系。

2. 推理能力

经历HL定理的推导过程，通过假设、排除、归谬等推理方法，理解"射线CA上与点B连线长度等于AB的点唯一"这一关键结论，培养严谨的逻辑推理能力。能运用HL定理进行规范的几何证明书写，逐步形成言之有据的推理习惯。

3. 应用意识

能运用HL定理解决实际情境中的直角三角形全等问题，如测量距离、判断位置关系等。能根据已知条件灵活选择HL、SAS、ASA、AAS等判定方法，体会数学知识在解决问题中的应用价值。

4. 模型观念

建立直角三角形全等判定的完整模型体系：已知一锐角+一边时的判定思路（ASA/AAS），已知两边时的判定思路（SAS/HL）。理解"SSA在一般三角形中不成立，但在直角三角形中当对应边为斜边和直角边时即为HL"这一特殊关系，深化对全等判定条件的认识。

二、教学重难点

教学重点

1. 理解并掌握HL定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

2. 能用HL定理判定两个直角三角形全等，规范书写证明过程。

3. 掌握直角三角形全等的判定思路，能根据已知条件灵活选择判定方法。

教学难点

1. 理解HL定理的图形叠合证明过程，特别是"排除法"论证射线CA上到B连线长度等于AB的点唯一。

2. 在复杂图形中识别出可用HL判定的直角三角形，灵活运用HL定理解决综合证明问题。

3. 区分直角三角形全等判定的各种方法，在SSA不成立的一般情形与HL成立的特殊情形之间建立清晰认识。

三、教学过程

环节一：复习导入（3分钟）

【教师活动】同学们，在前面的学习中，我们已经系统学习了四种三角形全等的判定方法。请同学们回忆一下，这四种判定方法分别是什么？

【学生活动】SSS：三边分别相等的两个三角形全等。SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。

【教师活动】回答得非常完整！这四种判定方法适用于所有三角形，当然也包括直角三角形。那么对于直角三角形，除了直角本身相等的条件外，还需要几个条件就能判定全等呢？这节课我们就来研究直角三角形全等的特殊判定方法。

【设计意图】从已学的四种全等判定方法出发，自然引出直角三角形全等判定的特殊问题。通过回顾，让学生明确"直角三角形也是三角形，四种判定方法都适用"，同时引发思考"直角三角形是否有更简便的判定方法"，为HL定理的学习做好铺垫。

【过渡语】直角三角形中，除了直角相等，还需要几个条件就能判定全等呢？让我们一起来探究。

环节二：探究新知（15分钟）

一、问题引入：直角三角形还需几个条件？

【教师活动】对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？请同学们思考并讨论。

【教师活动】我们分情况来讨论。首先，如果已知一条直角边和一个锐角分别相等，能否判定全等？

【学生活动】已知一条直角边和一锐角分别相等。如果这个锐角是已知直角边的邻角，那就是ASA；如果这个锐角是已知直角边的对角，那就是AAS。所以两种情况都能判定全等。

【教师活动】分析得很好！那么如果已知斜边和一个锐角分别相等呢？

【学生活动】已知斜边和一锐角分别相等。在直角三角形中，两个锐角互余，所以已知一个锐角就等于知道了两个锐角。再加上斜边，这就构成了AAS（两角及其中一角的对边——斜边），所以也能判定全等。

【教师活动】思路非常清晰！那么如果已知两条直角边分别相等呢？

【学生活动】两条直角边分别相等，夹角是直角（90度），这就是SAS，能判定全等。

【教师活动】对！现在只剩下最后一种情况了：如果满足斜边和一条直角边分别相等，能判定这两个直角三角形全等吗？这就是我们今天要重点探究的问题。

【设计意图】通过分类讨论，引导学生逐一排除已解决的情况，聚焦到"斜边和一条直角边分别相等"这一核心问题。这种从一般到特殊、从已知到未知的探究路径，符合学生的认知规律，同时也让学生体会到"SSA在一般三角形中不成立，但在直角三角形中呢？"这一认知冲突，激发探究欲望。