14.2 三角形全等的判定 第5课时 用HL判定直角三角形全等 教学设计 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“用HL判定直角三角形全等”核心知识点，通过复习SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，分类讨论直角三角形全等条件，自然引出“斜边和一条直角边分别相等”的探究，搭建从已知到未知的学习支架。 此资料以图形叠合法推导HL定理培养几何直观，通过排除法论证射线CA上点的唯一性发展推理能力，分类归纳建立直角三角形全等判定模型体系。讲练结合含针对训练与综合题，助学生灵活应用，教师教学更系统高效。

教案：14.2 全等三角形的判定 第5课时 用HL判定直角三角形全等 课题 14.2 全等三角形的判定 第5课时 用HL判定直角三角形全等 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 第十四章 教学方法 探究发现、讲练结合、启发引导 教学用具 多媒体课件、直尺、三角板 教材分析 本节课是人教版八年级上册第十四章"全等三角形"第二节"全等三角形的判定"第5课时。在前面四个课时中，学生已经系统学习了SSS、SAS、ASA、AAS四种三角形全等判定方法，并能运用这些方法解决尺规作图等问题。本节课聚焦直角三角形全等的特殊判定方法——HL（斜边、直角边）。HL定理是直角三角形全等判定的特有方法，它的引入丰富了全等三角形的判定体系，体现了从一般到特殊的数学思想。教材通过图形叠合法（证明三个顶点分别重合）来推导HL定理，这一过程不仅能让学生理解HL定理的正确性，更能培养学生的几何直观和逻辑推理能力。 学情分析 学生在本章前四个课时中已经系统学习了SSS、SAS、ASA、AAS四种全等判定方法，对全等三角形的判定有了较为完整的认识。学生已经知道"两边及其中一边的对角分别相等（SSA）"不能判定一般三角形全等，这为理解HL定理的特殊性（斜边和直角边——恰好是SSA在直角三角形中的特殊情形）提供了认知冲突和思维基础。学生具备了一定的几何推理能力，但图形叠合法的证明过程（通过排除法论证射线CA上到B连线长度等于AB的点唯一）对学生来说是全新的思维挑战，需要教师引导他们逐步理解。 一、核心素养目标 1. 几何直观 通过图形叠合法的探究过程，直观感受"斜边和一条直角边分别相等"如何确定直角三角形的形状和大小，发展空间观念和几何直观感知能力。在直角三角形全等判定的多种方法中，通过图形对比直观理解HL与其他判定方法的区别与联系。 2. 推理能力 经历HL定理的推导过程，通过假设、排除、归谬等推理方法，理解"射线CA上与点B连线长度等于AB的点唯一"这一关键结论，培养严谨的逻辑推理能力。能运用HL定理进行规范的几何证明书写，逐步形成言之有据的推理习惯。 3. 应用意识 能运用HL定理解决实际情境中的直角三角形全等问题，如测量距离、判断位置关系等。能根据已知条件灵活选择HL、SAS、ASA、AAS等判定方法，体会数学知识在解决问题中的应用价值。 4. 模型观念 建立直角三角形全等判定的完整模型体系：已知一锐角+一边时的判定思路（ASA/AAS），已知两边时的判定思路（SAS/HL）。理解"SSA在一般三角形中不成立，但在直角三角形中当对应边为斜边和直角边时即为HL"这一特殊关系，深化对全等判定条件的认识。 二、教学重难点 教学重点 1. 理解并掌握HL定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 2. 能用HL定理判定两个直角三角形全等，规范书写证明过程。 3. 掌握直角三角形全等的判定思路，能根据已知条件灵活选择判定方法。 教学难点 1. 理解HL定理的图形叠合证明过程，特别是"排除法"论证射线CA上到B连线长度等于AB的点唯一。 2. 在复杂图形中识别出可用HL判定的直角三角形，灵活运用HL定理解决综合证明问题。 3. 区分直角三角形全等判定的各种方法，在SSA不成立的一般情形与HL成立的特殊情形之间建立清晰认识。 三、教学过程 环节一：复习导入（3分钟） 【教师活动】同学们，在前面的学习中，我们已经系统学习了四种三角形全等的判定方法。请同学们回忆一下，这四种判定方法分别是什么？ 【学生活动】SSS：三边分别相等的两个三角形全等。SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 【教师活动】回答得非常完整！这四种判定方法适用于所有三角形，当然也包括直角三角形。那么对于直角三角形，除了直角本身相等的条件外，还需要几个条件就能判定全等呢？这节课我们就来研究直角三角形全等的特殊判定方法。 【知识点】四种全等判定方法回顾 SSS：三边分别相等 SAS：两边和它们的夹角分别相等 ASA：两角和它们的夹边分别相等 AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边相等 【设计意图】从已学的四种全等判定方法出发，自然引出直角三角形全等判定的特殊问题。通过回顾，让学生明确"直角三角形也是三角形，四种判定方法都适用"，同时引发思考"直角三角形是否有更简便的判定方法"，为HL定理的学习做好铺垫。 【过渡语】直角三角形中，除了直角相等，还需要几个条件就能判定全等呢？让我们一起来探究。 环节二：探究新知（15分钟） 一、问题引入：直角三角形还需几个条件？ 【教师活动】对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？请同学们思考并讨论。 【教师活动】我们分情况来讨论。首先，如果已知一条直角边和一个锐角分别相等，能否判定全等？ 【学生活动】已知一条直角边和一锐角分别相等。如果这个锐角是已知直角边的邻角，那就是ASA；如果这个锐角是已知直角边的对角，那就是AAS。所以两种情况都能判定全等。 【教师活动】分析得很好！那么如果已知斜边和一个锐角分别相等呢？ 【学生活动】已知斜边和一锐角分别相等。在直角三角形中，两个锐角互余，所以已知一个锐角就等于知道了两个锐角。再加上斜边，这就构成了AAS（两角及其中一角的对边——斜边），所以也能判定全等。 【教师活动】思路非常清晰！那么如果已知两条直角边分别相等呢？ 【学生活动】两条直角边分别相等，夹角是直角（90度），这就是SAS，能判定全等。 【教师活动】对！现在只剩下最后一种情况了：如果满足斜边和一条直角边分别相等，能判定这两个直角三角形全等吗？这就是我们今天要重点探究的问题。 【知识点】直角三角形全等判定的已解决情况 情况1：一条直角边和一锐角分别相等 → ASA或AAS（能判定） 情况2：斜边和一锐角分别相等 → AAS（能判定） 情况3：两条直角边分别相等 → SAS（能判定） 待探究：斜边和一条直角边分别相等 → ? 【设计意图】通过分类讨论，引导学生逐一排除已解决的情况，聚焦到"斜边和一条直角边分别相等"这一核心问题。这种从一般到特殊、从已知到未知的探究路径，符合学生的认知规律，同时也让学生体会到"SSA在一般三角形中不成立，但在直角三角形中呢？"这一认知冲突，激发探究欲望。 【过渡语】斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形是否全等？让我们通过图形叠合法来证明。 二、HL定理的推导（图形叠合法） 【教师活动】如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C = ∠C' = 90°，A'B' = AB，B'C' = BC。这两个三角形全等吗？我们尝试用图形叠合法来证明。 【教师活动】首先，由∠C = ∠C' = 90°可知：点C与点C'重合，射线C'A'与射线CA重合，射线C'B'与射线CB重合。由B'C' = BC，可知点B'与点B重合。 【教师活动】接下来，关键问题来了：点A'与点A是否重合？我们需要讨论射线CA上除点C、A外的点与点B的连线和边AB的大小关系。 【教师活动】设点M在直角边AC上（不包括端点），连接BM。由三角形外角的性质，∠BMA > ∠C = 90°，所以∠BMA是钝角。若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M'，由垂线段最短可知AB > BM' > BM。这说明：在点A下方（即靠近C的一侧），连线长度都小于AB。 【教师活动】再设点N在线段CA的延长线上，连接BN。同理，∠BNA < ∠BAC，∠BNA是锐角。若过点A且垂直于AB的直线与线段BN相交于点N'，则有AB < BN' < BN。这说明：在点A上方（延长线方向），连线长度都大于AB。 【教师活动】综合以上讨论：在射线CA上，与点B连线长度等于AB的点只有一个，那就是点A本身。再由点A'在射线CA上，且A'B' = AB，可知点A'与点A重合。 【教师活动】至此，△A'B'C'的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A'B'C'与△ABC能够完全重合，所以△A'B'C' ≌ △ABC。 【知识点】HL定理的图形叠合证明过程 步骤一：由∠C = ∠C' = 90° → C与C'重合，射线CA与C'A'重合，射线CB与C'B'重合 步骤二：由B'C' = BC → B'与B重合 步骤三：讨论射线CA上各点到B的连线长度： - 在AC上（不含端点A）：连线长度 < AB（钝角+垂线段最短） - 在CA延长线上：连线长度 > AB（锐角+垂线段最短） 结论：射线CA上到B连线长度等于AB的点唯一，即A本身 步骤四：由A'B' = AB且A'在射线CA上 → A'与A重合 最终结论：三个顶点分别重合 → △A'B'C' ≌ △ABC 【设计意图】图形叠合法的证明过程是本节课的难点，也是培养学生逻辑推理能力的关键环节。通过"排除法"——论证AC上各点连线都小于AB、延长线上各点连线都大于AB，从而得出唯一性结论——这种严密的推理方式对学生的思维是一次重要提升。教师在讲解时应放慢节奏，逐一分析每个推理步骤的依据。 【过渡语】通过图形叠合，我们证明了HL定理的正确性。现在来学习HL定理的几何语言表述。 三、HL定理的几何语言 【教师活动】HL定理的内容是：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简记为"HL"（或"斜边、直角边"）。我们来看看几何语言的书写格式。 【知识点】HL定理（斜边、直角边定理） 内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 几何语言： 如图，在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中， AB = A'B'（斜边相等）， BC = B'C'（或AC = A'C'）（一条直角边相等）， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△A'B'C'（HL） 【教师活动】请同学们注意HL定理的几个要点： 【知识要点】HL定理使用注意事项（1）"H"代表斜边（Hypotenuse），"L"代表直角边（Leg），顺序不要混淆。（2）"HL"是判定直角三角形全等的特有方法，不能用于一般三角形。（3）在两个"△"前必须加"Rt"，明确标注是直角三角形。（4）HL定理的前提条件是"在直角三角形中"，∠C = ∠C' = 90°是隐含条件。（5）HL定理本质上就是"SSA"在直角三角形中的特殊情形——斜边和直角边。理解关键：SSA在一般三角形中不成立，但在直角三角形中，当对应边为斜边和直角边时，它能唯一确定三角形的形状和大小。 【设计意图】HL定理的几何语言书写是学生必须掌握的基本技能。通过强调"Rt"前缀、"H"和"L"的含义、顺序不能混淆等细节，帮助学生建立规范的几何书写习惯。同时，点明HL是SSA在直角三角形中的特殊情形，帮助学生建立知识之间的联系。 【过渡语】掌握了HL定理，让我们通过一道针对训练来巩固。 环节三：例题精讲（10分钟） 一、针对训练：添加条件证明全等 【教师活动】请同学们看这道针对训练。如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证明△ABC ≌ △BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由。请同学们从四种不同的判定方法出发，写出四种不同的添加条件。 【学生活动】第（1）种：添加AB = CD，利用HL判定。因为在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB是公共斜边，再添加AB = CD这个条件...老师，AB = CD对于HL来说，AB是斜边，但CD不是直角边，这个条件好像不太对。 【教师活动】你观察得很仔细。我们仔细分析一下这道题的条件。AC⊥BC，说明∠C = 90°，所以△ABC是直角三角形，AB是斜边。BD⊥AD，说明∠D = 90°，所以△BAD也是直角三角形，AB也是斜边。两个直角三角形共享斜边AB。如果我们添加条件"BC = AD"，那么在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB = BA（公共边），BC = AD（添加条件），所以Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）。 【教师活动】请同学们继续思考，如果从SAS、ASA、AAS的角度添加条件呢？ 【学生活动】第（2）种：添加BC = AD，利用SAS判定。在△ABC和△BAD中，AB = BA（公共边），∠C = ∠D = 90°，BC = AD（添加条件），所以△ABC ≌ △BAD（SAS）。第（3）种：添加∠B = ∠D，利用ASA判定。第（4）种：添加∠BAC = ∠DCA（或AB // CD），利用AAS判定。 【教师活动】非常好！这道题让我们看到，同一个问题可以从不同角度、用不同的判定方法来解决。这体现了数学中"一题多解"的思想。 【知识点】针对训练：添加条件证明△ABC ≌ △BAD 已知：AC⊥BC，BD⊥AD（即∠C = ∠D = 90°），AB是公共边。 要求：添加一个条件，证明△ABC ≌ △BAD。 （1）添加BC = AD → HL（斜边AB公共，直角边BC = AD） （2）添加BC = AD → SAS（AB = BA，∠C = ∠D = 90°，BC = AD） （3）添加∠B = ∠D → ASA（∠C = ∠D = 90°，AB = BA，∠B = ∠D） （4）添加∠BAC = ∠DCA（或AB // CD）→ AAS 启示：一题多解，灵活选择判定方法。 【设计意图】针对训练以"添加条件"的开放形式，让学生从HL、SAS、ASA、AAS四个角度出发，为同一个问题添加不同的条件。这种设计既巩固了HL定理的应用，又帮助学生建立了直角三角形全等判定的完整方法体系，理解不同判定方法之间的关联。 【过渡语】HL定理的一个重要应用场景是证明线段相等，让我们来看教材例6。 二、例6（教材P42） 【教师活动】请同学们看教材P42例6。如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC = BD。求证：BC = AD。 【教师活动】请同学们先分析题目的已知条件和求证目标。已知AC⊥BC，BD⊥AD，所以∠C = ∠D = 90°。已知AC = BD。要求证BC = AD，也就是要证明两条线段相等。我们学过，证明线段相等的一个常用方法是证明它们所在的三角形全等。 【学生活动】在Rt△ABC和Rt△BAD中，∠C = ∠D = 90°，AB = BA（公共边），AC = BD（已知），所以Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）。由全等三角形的对应边相等，得BC = AD。 【教师活动】证明过程完全正确！请同学们注意书写格式的规范性。 【解答】证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，∴ ∠C = ∠D = 90°。在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB = BA（公共边），AC = BD（已知），∴ Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）。∴ BC = AD（全等三角形的对应边相等）。 【知识点】例6 解题要点 已知条件：AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD 关键思路：利用HL证明Rt△ABC ≌ Rt△BAD，利用公共边AB作为斜边 证明格式：先写垂直条件 → 得直角 → 在Rt△中 → 列条件 → 得全等 → 得结论 方法提炼：证明线段相等 → 证明所在三角形全等 → 利用对应边相等 【设计意图】例6是HL定理的典型应用，通过证明两个直角三角形全等来证明线段相等。题目中AB是公共边，恰好作为两个直角三角形的斜边，AC = BD作为一条直角边，完美契合HL定理的条件。教师在讲解时应强调"公共边"这一常见条件的运用。 【过渡语】通过例6我们看到，HL定理在证明线段相等时非常有用。接下来我们来系统归纳直角三角形全等的判定思路。 三、归纳：直角三角形全等的判定思路 【教师活动】通过前面的学习，我们一起来归纳直角三角形全等的判定思路。请同学们注意，直角三角形全等的判定可以从两个维度来思考：已知一锐角+一边，或者已知两边。 【规律总结】直角三角形全等的判定思路维度一：已知一锐角 + 一边 - 已知一锐角 + 该锐角的邻边（直角边）→ ASA - 已知一锐角 + 该锐角的对边（直角边）→ AAS - 已知一锐角 + 斜边 → AAS（已知一锐角即知两锐角，加上斜边构成AAS）维度二：已知两边 - 已知两直角边 → SAS - 已知一直角边 + 斜边 → HL - 已知一直角边 + 该边相邻的锐角 → ASA - 已知一直角边 + 该边所对的锐角 → AAS注意：已知一直角边 + 斜边 = SSA，在一般三角形中不成立，但在直角三角形中即为HL。 【设计意图】通过系统归纳，帮助学生建立直角三角形全等判定的完整知识框架。从"已知一锐角+一边"和"已知两边"两个维度展开，覆盖了所有可能的判定情形。特别强调了"SSA → HL"这一特殊对应关系，帮助学生理解HL定理在判定体系中的位置。 【过渡语】判定方法都掌握了，接下来通过练习来检验大家的学习效果。 环节四：课堂练习（14分钟） 一、随堂演练1 —— 选择题（不能判定全等） 【教师活动】第1题。如图，AB⊥CD，垂足为O，要得到△AOC ≌ △BOD，添加下列一组条件后，不能判定Rt△AOC ≌ Rt△BOD的是（ ）。 A. AC = BD，OA = OB B. OA = OD，∠A = ∠B C. AC = BD，OC = OD D. AC = BD，AC // BD 【学生活动】A选项：AC = BD，OA = OB。在Rt△AOC和Rt△BOD中，∠AOC = ∠BOD = 90°，AC = BD（斜边相等），OA = OB（一条直角边相等），满足HL，能判定全等。B选项：OA = OD，∠A = ∠B，这只有一条直角边和一个锐角相等，但OA和OD不一定是对应边，所以不能判定全等。C选项：AC = BD，OC = OD，满足HL，能判定。D选项：AC = BD，AC // BD，由AC // BD可得∠A = ∠B，再加上AC = BD（斜边）和∠AOC = ∠BOD = 90°，能判定全等。所以选B。 【教师活动】分析得非常到位！B选项不能判定全等的关键原因是OA和OD不是对应边，无法构成HL或ASA等任何判定条件。 【答案】正确答案：B。解析：A选项满足HL（斜边AC=BD，直角边OA=OB）；C选项满足HL（斜边AC=BD，直角边OC=OD）；D选项由AC // BD得∠A = ∠B，加上斜边AC=BD和直角条件，满足AAS。B选项OA=OD和∠A=∠B无法构成有效的判定条件。 【易错防范】判定直角三角形全等的常见错误错误一：忘记标注"Rt"前缀——书写HL时必须写"Rt△"。错误二：在非直角三角形中使用HL——HL只适用于直角三角形。错误三：混淆"斜边"和"直角边"——HL中H是斜边，L是直角边，顺序不能颠倒。错误四：条件不充分就下结论——必须确保已知条件是"斜边+一条直角边"或满足其他判定方法。错误五：在一般三角形中误将SSA当作HL——HL是SSA在直角三角形中的特殊情形，不可推广到一般三角形。 【设计意图】第1题通过"不能判定"的反向设问，考查了学生对HL定理及其他判定方法的辨析能力。每个选项都需要逐一分析，有助于培养学生的细致审题习惯和严谨的推理能力。 二、随堂演练2 —— 填空题（求角度） 【教师活动】第2题。如图，AE⊥BD，CD⊥BD，AB = BC，BE = CD，则∠ACB = _______。 【学生活动】由AE⊥BD，CD⊥BD，得∠AEB = ∠CDB = 90°。在Rt△ABE和Rt△BCD中，AB = BC（已知），BE = CD（已知），且∠AEB = ∠CDB = 90°，所以Rt△ABE ≌ Rt△BCD（HL）。由全等得∠ABE = ∠BCD。又因为∠ABE + ∠ABC = 90°（AE⊥BD），所以∠BCD + ∠ABC = 90°。在△ABC中，∠ACB = 180° - ∠ABC - ∠BAC，而由全等还可推得其他关系...实际上，由全等可得∠BAE = ∠CBD，结合∠ABE = ∠BCD，可以推出∠ACB = 90°。 【教师活动】思路正确！由Rt△ABE ≌ Rt△BCD（HL）可得对应角相等，进而推导出∠ACB = 90°。这道题的关键是先用HL证明两个直角三角形全等，再利用全等三角形的对应角相等进行角度推导。 【答案】正确答案：90°。解析：由AE⊥BD，CD⊥BD得∠AEB = ∠CDB = 90°。在Rt△ABE和Rt△BCD中，AB = BC，BE = CD，∴ Rt△ABE ≌ Rt△BCD（HL）。由全等得∠ABE = ∠BCD，∠BAE = ∠CBD。又∠AEB = 90°，∴ ∠ABE + ∠BAE = 90°，∴ ∠BCD + ∠CBD = 90°，即∠ACB = 90°。 【设计意图】第2题将HL定理与角度计算结合，要求学生在证明全等之后，利用全等三角形的对应角相等进行推理，最终求出∠ACB的度数。这道题体现了HL定理在角度推导中的应用价值。 三、随堂演练3 —— 教材P43练习第1题 【教师活动】第3题。如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，且DA⊥AB，EB⊥AB。D，E到路段AB的距离相等吗？为什么？ 【学生活动】D，E到路段AB的距离就是DA和EB的长度。因为C是AB的中点，所以AC = BC。两人同时同速出发同时到达，所以CD = CE。又DA⊥AB，EB⊥AB，所以∠A = ∠B = 90°。在Rt△ACD和Rt△BCE中，AC = BC，CD = CE，∠A = ∠B = 90°，所以Rt△ACD ≌ Rt△BCE（HL）。因此DA = EB，即D，E到路段AB的距离相等。 【教师活动】证明过程非常规范！这道题将HL定理应用于实际情境——两人行走问题，让我们看到数学知识在生活中的应用。 【解答】解：D，E到路段AB的距离相等。理由：∵ C是路段AB的中点，∴ AC = BC。又两人同时同速度出发，并同时到达D，E两地，∴ CD = CE。又DA⊥AB，EB⊥AB，∴ ∠A = ∠B = 90°。在Rt△ACD和Rt△BCE中，AC = BC，CD = CE，∴ Rt△ACD ≌ Rt△BCE（HL）。∴ DA = EB。即D，E到路段AB的距离相等。 【设计意图】教材P43练习第1题以实际情境为背景，考查了学生从实际问题中抽象出数学模型的能力。将"中点"转化为AC = BC、将"同时同速同时到达"转化为CD = CE，再将"垂直"转化为直角条件，最终用HL定理解决问题。 四、随堂演练4 —— 教材P43练习第2题 【教师活动】第4题。如图，AB = CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE = BF。求证：AE = DF。 【学生活动】由CE = BF，得CE - EF = BF - EF，即CF = BE。又AE⊥BC，DF⊥BC，所以∠DFC = ∠AEB = 90°。在Rt△DFC和Rt△AEB中，DC = AB（已知），CF = BE（已证），所以Rt△DFC ≌ Rt△AEB（HL）。因此AE = DF。 【教师活动】证明思路很清晰！这道题的关键一步是由CE = BF推出CF = BE，这需要用到等式的性质——等式两边同时减去EF。然后才能构成HL定理的条件。 【解答】证明：∵ CE = BF，∴ CE - EF = BF - EF，即CF = BE。又AE⊥BC，DF⊥BC，∴ ∠DFC = ∠AEB = 90°。在Rt△DFC和Rt△AEB中，DC = AB，CF = BE，∴ Rt△DFC ≌ Rt△AEB（HL）。∴ AE = DF。 【方法归纳】证明线段相等的常用方法方法一：全等三角形法——证明两条线段所在的三角形全等，利用对应边相等。方法二：HL定理法——当两条线段分别是直角三角形的直角边或斜边时，优先考虑HL。方法三：等式性质法——通过已知等式的加减变形，推出新的等量关系。方法四：综合法——将HL与等式性质结合，先推出所需条件，再证明全等。关键技巧：公共边是常见条件，要善于发现和利用。 【设计意图】教材P43练习第2题在第1题的基础上略有提升，增加了"等式变形"这一中间步骤。学生需要先由CE = BF推导出CF = BE，才能使用HL定理。这道题训练了学生的综合分析能力。 五、随堂演练5 —— 综合题 【教师活动】第5题。如图，AD，AF分别是两个钝角三角形ABC和ABE的高，AD = AF，AC = AE。求证：BC = BE。 【学生活动】由题意知，△ADC与△AFE均为直角三角形（AD⊥BC，AF⊥BE）。在Rt△ADC和Rt△AFE中，AC = AE（已知），AD = AF（已知），所以Rt△ADC ≌ Rt△AFE（HL）。因此CD = EF。再在Rt△ABD和Rt△ABF中，AB = AB（公共边），AD = AF（已知），所以Rt△ABD ≌ Rt△ABF（HL）。因此BD = BF。所以BD - CD = BF - EF，即BC = BE。 【教师活动】证明过程非常精彩！这道综合题用到了两次HL定理，第一次证明Rt△ADC ≌ Rt△AFE得到CD = EF，第二次证明Rt△ABD ≌ Rt△ABF得到BD = BF，最后通过等式的减法得到结论。 【解答】证明：由题意知，△ADC与△AFE均为直角三角形。在Rt△ADC和Rt△AFE中，AC = AE，AD = AF，∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE（HL）。∴ CD = EF。在Rt△ABD和Rt△ABF中，AB = AB，AD = AF，∴ Rt△ABD ≌ Rt△ABF（HL）。∴ BD = BF。∴ BD - CD = BF - EF，即BC = BE。 【设计意图】第5题是一道综合题，难度较高，需要学生两次运用HL定理，并配合等式性质完成证明。这道题考查了学生在复杂图形中识别可用HL判定的直角三角形的能力，以及将多个全等结论组合运用的综合能力。适合作为课堂拔高练习。 【过渡语】同学们通过五道练习题，已经很好地掌握了HL定理的应用。现在我们来回顾本节课的主要内容。 环节五：课堂小结（3分钟） 【教师活动】同学们，本节课我们学习了用HL判定直角三角形全等。请同学们回顾一下，本节课你有哪些收获？ 【学生活动】我学会了HL定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。知道了HL定理的几何语言书写格式，要在两个三角形前加"Rt"。 【学生活动】我理解了HL定理的图形叠合证明过程，通过讨论射线CA上各点到B的连线长度，得出唯一性结论，从而证明两个三角形全等。 【学生活动】我掌握了直角三角形全等的判定思路：已知一锐角+一边时用ASA/AAS，已知两边时用SAS/HL。HL是SSA在直角三角形中的特殊情形。 【学生活动】我学会了HL定理的注意事项：H代表斜边、L代表直角边，顺序不要混淆，HL只适用于直角三角形，不能用于一般三角形。 【学生活动】通过五道练习题，我学会了用HL定理证明线段相等，能够灵活运用HL、SAS、ASA、AAS等多种方法解决直角三角形全等问题。 【教师活动】同学们总结得非常全面！本节课的核心是HL定理——直角三角形全等的特有判定方法。请同学们课后完成以下作业： 1. 从课后习题中选取； 2. 完成练习册本课时的习题。 【知识点】课堂小结：HL定理核心内容 定理内容：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）。 前提条件：在直角三角形中（∠C = ∠C' = 90°）。 探索方法：图形叠合法——依次说明三角形的三个顶点重合。 判定思路：已知一锐角+一边→ASA/AAS；已知两边→SAS/HL。 【设计意图】课堂小结采用学生自主回顾的方式，从定理内容、证明过程、判定思路、注意事项、应用实践五个方面梳理本节课的知识体系。学生通过自主表述，将HL定理与已学的四种判定方法有机联系起来，形成完整的直角三角形全等判定知识网络。 四、板书设计 14.2 全等三角形的判定 第5课时 用HL判定直角三角形全等 一、HL定理 斜边和一条直角边分别相等的 两个直角三角形全等。 几何语言：在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中 AB=A'B', BC=B'C' → Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL) 二、HL定理的推导（图形叠合法） 三、注意事项 C,C'重合 → B,B'重合 → 射线CA上到B连线长度=AB 的点唯一 → A,A'重合 → △A'B'C'≌△ABC H=斜边 L=直角边 只适用于直角三角形 前加Rt 顺序不要混淆 四、直角三角形全等判定思路 五、例题与练习 已知一锐角+一边：ASA/AAS 已知两边：SAS/HL （HL是SSA在Rt△中的特殊情形） 例6：AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD → Rt△ABC≌Rt△BAD(HL) → BC=AD 六、课堂练习 七、课后作业 练1：不能判定→B 练2：∠ACB=90° 练3：教材P43练习1(HL) 练4：教材P43练习2(HL) 练5：综合题(两次HL) 教材课后习题 练习册本课时习题 五、教学反思 1. 复习导入环节，从SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法入手，通过分类讨论——"一条直角边+一锐角""斜边+一锐角""两直角边""斜边+一直角边"——逐一分析，自然聚焦到HL定理。这种分类讨论的引入方式是否激发了学生的探究欲望？学生是否能想到"斜边和一直角边"对应的是SSA在直角三角形中的特殊情形？ 2. HL定理的图形叠合证明是本节课的难点。在讲解"射线CA上到B连线长度等于AB的点唯一"这一关键结论时，是否每一步都讲清楚了？学生在理解"AC上任意点M的连线BM < AB"和"延长线上任意点N的连线BN > AB"这两个结论时，是否能够理解"外角性质"和"垂线段最短"这两个推理依据？教师在讲解时是否需要配以动态演示来辅助理解？ 3. HL定理的几何语言书写是否规范？学生是否记住了"Rt"前缀、"H"代表斜边、"L"代表直角边、顺序不能混淆等要点？在后续的练习中，学生是否出现了忘记加"Rt"、混淆H和L的顺序等错误？ 4. 针对训练以"添加条件"的开放形式，让学生从HL、SAS、ASA、AAS四个角度为同一问题添加条件。这种"一题多解"的设计是否帮助学生建立了直角三角形全等判定的完整方法体系？学生是否能灵活地在不同判定方法之间切换？ 5. 例6（教材P42）是HL定理的典型应用——利用公共边作为斜边，证明两个直角三角形全等。学生是否掌握了"公共边"这一常见条件的运用？证明过程的书写格式是否规范？ 6. "直角三角形全等的判定思路"归纳表是否帮助学生建立了系统的知识框架？学生是否能从"已知一锐角+一边"和"已知两边"两个维度出发，快速确定应该使用哪种判定方法？对"HL是SSA在直角三角形中的特殊情形"这一核心关系，学生理解是否到位？ 7. 五道随堂演练的难度梯度是否合理？第1题（选择题）考查判定方法的辨析，第2题（填空题）考查全等后的角度推导，第3、4题（教材习题）是HL定理的直接应用，第5题（综合题）需要两次运用HL定理。学生完成的情况如何？第5题是否对部分学生来说难度过大？ 8. 本节课的教学脉络是否清晰：复习导入→分类讨论→HL定理推导→几何语言→针对训练→例6→判定思路归纳→五道练习→课堂小结。板书设计是否清晰地呈现了HL定理的核心内容和判定思路？课后作业布置是否合理？ 学科网（北京）股份有限公司 $