第7章 2 认识证明-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

86 7.2认识证明 第1课时 定义与命题 01基础达标 02能力提升 知识点定义与命题 6.下列命题中，是真命题的是 1.下列语句属于定义的是 A.若a·b>0,则a>0,b>0 A.两点确定一条直线 B.若a·b<0,则a<0,b<0 B.两直线平行，同位角相等 C.若a·b=0,则a=0,且b=0 C.等角的补角相等 D.若a·b=0,则a=0,或b=0 7.下列选项中，可以用来证明命题“若a>1,则 D.线段是直线上的两点和两点间的部分 a>1”是假命题的反例是 2.下列四个句子中，是命题的是 ( A.a=-2 B.a=-1 A.相等的角是对顶角 C.a=1 D.a=2 B.对顶角相等吗 8.用一组a,b,c的值说明命题“若a<b,则ac<bc” C.利用三角板画70°角 是错误的，这组值可以是a= ,b= ,C D.轴对称与轴对称图形是同一概念吗 3.命题“邻补角的和为180°”的条件是 ( ）9.如图所示，在四边形ABCD中， A.两角的和为1809 AC是对角线.下列三个条件： B.邻补角的和为180 ①∠BAC=∠DAC;②BC= C.和为180°的两角为邻补角 DC;③AB=AD.请将其中的两 D.两个角是邻补角 个作为已知条件，另一个作为结论构成一个真 4.命题“内错角相等，两直线平行”的条件是 命题：如果 ,那么 .(填序号) 10.把下列命题改写成“如果…，那么…”的形式， 结论是 并判断其是真命题还是假命题， (1)全等三角形的对应角相等； 5.下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果 (2)非负数的绝对值等于它本身； …,那么…”的形式。 (3)两个锐角的和是钝角； (1)一个角的补角比这个角的余角大多少度？ (4)若a>b,则a2>b2. (2)垂线段最短，对吗？ (3)等角的补角相等； (4)邻补角的角平分线互相垂直. 187 第2课时 定理、公理与证明 01 基础达标 是 知识点一 公理、定理 A.垂线段最短 1.有下列命题：①真命题都是定理；②定理都是 B.经过一点有无数条直线 真命题；③假命题不是命题；④公理都是命题. C.经过两点，有且仅有一条 其中真命题有 ( 直线 A.2个 B.3个 C.4个 D.1个 D.两点之间，线段最短 2.“内错角相等，两直线平行”是 8.下列说法不正确的是 A.定义 B.定理 A.若∠1=∠2，则∠1，∠2是对顶角 C.公理 D.需要判断的命题 B.若∠1，∠2都是直角，则∠1=∠2 3.在证明过程中可以作为推理根据的是( C.若∠1=∠2，则∠1+∠3=∠2+∠3 A.命题、定义、公理 D.若∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，则∠1=∠2 B.定理、定义、公理 9.如图所示，在直线AC上取一点O,作射线 C.命题 OB,射线OE,OF分别平分∠AOB和∠BOC. D.真命题 求证：OE⊥OF. 4.下列语句中，属于定理的是 A.在直线AB上取一点E B.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C.同位角相等 D.同角的补角相等 5.下列命题不是公理（基本事实）的是 A.两点确定一条直线 B.同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直 于已知直线 C.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 D.三边分别相等的两个三角形全等 02能力提升 知识点二证明 10.根据题意，把下列推理所依据的命题写出来， 6.下列说法错误的是 并指出其是公理还是定理， A.命题是判断一件事情的句子 (1)如图所示，若∠1=∠2，则a∥b: B.基本事实的正确性必须得到证明 (2)在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B',AC C.证明假命题举一个反例即可 =A'C',∠A=∠A',则△ABC≌△A'B'C' D.演绎推理的过程叫做证明 7.如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树 叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶 的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识 88 11.如图所示，已知直线AB和CD相交于点O,13.如图，已知AB⊥BD于点B,ED⊥BD于点 且OE、OF分别平分∠BOD和∠AOC,求证： D,C为BD上一点，且AB=CD,BC=DE, E、O、F在同一条直线上. 那么AC与CE有什么关系？写出你的猜想， 并写出证明过程. 12.如图，点D、E在△ABC的边BC上，连接 AD,AE.①AB=AC;②AD=AE;③BD= 03思维拓展 CE.以以上三个等式中的两个作为命题的条 14.如图所示，已知∠AOC与∠BOD都是直角， 件，另一个作为命题的结论，构成三个命题： ∠BOC=65. ①②→③；①③→②；②③→①. (1)求∠AOD的度数； (1)以上三个命题是真命题的为 (2)求证：∠AOB=∠DOC; ;(直接作答) (3)若不知道∠BOC的具体度数，其他条件 (2)请选择一个真命题进行证明.（先写出所 不变，(2)中的关系仍成立吗？若成立，请说 选命题，然后证明) 明理由4.3.65.C6.A 6.D7.A8.12-1 ∠BOC,∴.∠AOB=∠DOC 7.(1)8: 9.①③② 7.3平行线的证明 (2)评委对乙同学的评价更一致； 10.(1)如果两个三角形全等，那么 第1课时平行线的判定 (3)甲被选中」 这两个三角形的对应角相等；真 1.C2.80 8.B9.D10.C 命题 3.909034同位角相等，两 .13:21:3) (2)如果一个数是非负数，那么它 直线平行 12.1 的绝对值等于它本身；真命题 4.D 13.(1)8890;(2)乙； (3)如果一个角是两个锐角的 5.BC ED 内错角相等，两直线 (3)甲种西瓜的品质较好些，理 和，那么这个角是钝角，是假命 平行 由为：甲种西瓜得分的众数比乙 题，例如，一个角是30°，另一个 6.证明略.7.D 种的高. 是40°，则这两个角的和是70°， 8.证∠B+∠DCB=180° 乙种西瓜的品质较好些，理由 70°不是钝角. 9~10.证明略.11.a∥b,理由略. 为：乙种西瓜得分的中位数比甲 (4)如果a>b,那么a2>b2,是假 12.(1):AELCE,∴.∠AEC=90°， 种的高。 命题，例如：a=-1,b=-2,a 即∠2+∠3=90°，∴.∠1+∠4 第七章 证明 =1,b=4,则a<b,∴.a>b, =180°-∠AEC=90°， 7.1为什么要证明 则a>b,是假命题. 又：EC平分∠DEF, 1.A2.C 第2课时定理、公理与证明 ∴∠3=∠4，∴.∠1+∠3=90°， 3.当n为正整数时，代数式n2-n十 1.A2.B3.B4.D5.C6.B .∠1=∠2. 5的值不一定都是质数，例如，当 7.D8.A (2)∠1=∠A,由(1)知∠1 n=5时，n2-n+5=52-5+5= 9.证明略 ∠2，∠2=∠A,∴.AB∥EF, 25,25不是质数 10.(1)依据：内错角相等，两直线平 同理∠3=∠C,CD∥EF, 4.D5.B 行，是定理； .AB∥CD. 6.2号，3号，6号7.C (2)依据：两边及其夹角分别相 13.同位角相等，两直线平行内错 8.(1)979-(9+7+9)=954=9× 等的两个三角形全等，是公理」 角相等，两直线平行图略 106,故将“对称数”减去其各位数 11.证明略. 第2课时平行线的性质 字之和，所得结果能够被9整除； 12.(1)①②→③；①③→②：②③→① 1.B2.C3.20°4.132°5.90. (2)(100a+10b+a)-(a+b+a) (2)答案不唯一，如选择①③→ 6.对顶角相等ACBE同位角 =99a+9b=9(11a+b), ②，证明略 相等，两直线平行两直线平行， a,b为整数，.9(11a十b)能被 13.AC与CE垂直且相等.证明如 同位角相等45内错角相 9整除， 下：：AB⊥BD,ED⊥BD, 等，两直线平行 ·.“对称数”减去其各位数字之 ∠B=∠D=90°，又AB= 7.AE∥BF.理由略， 和，所得结果能够被9整除. CD,BC=DE, 8.C9.①②④ 7.2认识证明 .△ABC≌△CDE(SAS), 10.AD平分∠BAC,理由略. 第1课时定义与命题 .AC=CE,∠A=∠DCE, 11.(1)证明略；(2)∠1=20°， 1.D2.A3.D .∠A+∠B+∠ACB=180°， 12.(1):AD∥BC,OF∥BC, 4.两直线被第三条直线所截，如果 .∠A+∠ACB=90° .AD∥OF, 内错角相等两直线平行 ∴.∠ACB+∠DCE=90°， .∠FOB=∠B,∠A=∠AOF 5.(1)(2)是问句，所以(1)(2)不是 ∴.∠ACE=90°，即AC⊥CE,故 ∠AOB=∠AOF+∠FOB, 命题，其余2个都是命题： AC与CE垂直且相等， ∴.∠AOB=∠A+∠B: (3)如果两个角是相等的角的补 14.(1)∠AOD=115°；(2)证明略： (2)设∠ADB=x,则∠DAO= 角，那么这两个角相等； (3)成立.理由：∠AOB= ∠ADB+20°=x+20°， (4)如果两条射线是邻补角的角 ∠AOC-∠BOC=90°-∠BOC, :AD∥BC, 平分线，那么它们互相垂直. ∠DO℃=∠BOD-∠BOC=90° .∠DBC=∠ADB=x. 64 由(1)知∠AOB=∠DAO+ .DE∥BC, ∴.HF∥AB.MF⊥FN, ∠DBC=x+20°+x=2x+20°. ∴.∠AED=∠C=40°， ∴.∠MFN=90°，∴.∠HFN= ∠AOB=∠DOC=70°， :DG∥AC, ∠MFN-∠MFH=40°，.∠1 ∴.2x+20°=70°，∴.x=25°， .∠EDG=∠AED=40°； =140°，..∠1+∠HFN=180°， ∠DBC=x=25°. (2)DE∥BC, .HF∥CD..AB∥CD. 第3课时平行线的性质和判定的 .∠AED=∠C=a, 专题十一与平行线有关的计算 综合运用 .∠DEC=180°-a, 1.∠C=∠3，.BC∥EF,.∠1 1.C2.B3.82°4.35 ,∠FEC=2∠DEF, +∠2=180°，，∠2=80°，.∠1 5.:EF∥AB,.∠DEF=∠BDE. :∠DEF=∠A, ∴∠DEF=子∠DEC-0-3a 1 =100°，：∠1+∠3=140°，.∠3 =40°，∠C=∠3，∴.∠C=40°， ∴∠BDE=∠A, :DG∥AC, ∠A=∠D,.AB∥CD, ∴.DE∥AC, ∴.∠DGE=∠CEF=2∠DEF ∴.∠B=∠C=40° ∴.∠ACB=∠BED=60°. =120°-2 a,:DE∥BC, 2.AC∥BH,∴.∠ABH=∠MAC 6.B7.D =30°，AB∥CD,.∠MBD+ 8.(1)证明：AB∥DG, ∴∠EFC-∠DEF=6O°- 3a, ∠BDC=180°，∴.∠MBD=1809 ∴∠BAD=∠1， ∴.∠DGF=180°-∠DGE=60 -75°=105°，：BE平分∠DBA, ∠1+∠2=180°， ∴.∠BAD+∠2=180°， +&,∠BFG=180°-∠EFC ∠MBE=2∠MBD=52.5, .AD∥EF; =120°+3a, .∠EBH=∠EBA-∠HBA= (2)懈：：∠1+∠2=180°，∠2= 52.5°-30°=22.5° 142°， :∠GF=子∠BPG,60+号a3.(山)证阴：∠1+∠DFE=18, 2 .∠1=38°， ∠1+∠2=180°，∴.∠2=∠DFE, 3 ,DG是∠ADC的平分线， ×120°+ 3a)a=72 AB∥EF,∠3=∠ADE, ∴.∠CDG=∠1=38°， 专题十证明平行 DE∥BC,.∠ADE=∠B, AB∥DG, 1.∠1=∠2，∴.AD∥BE,.∠D ∠3=∠B; ∴∠B=∠CDG=38 =∠DBE,又∠3=∠D,.∠3 (2):DE平分∠ADC,∴.∠ADE 9.(1):∠A=∠ADE, =∠DBE,.BD∥CE =∠EDC,,DE∥BC,.∠ADE ∴.AC∥DE, 2.,CDLAB(已知)， =∠B=∠EDC,由(1)知∠3= ∴∠EDC+∠C=180°， ∴.∠ADC=90°（垂直的定义）. ∠B,∴.∠ADE=∠3，.AD∥ 又：∠EDC=3∠C, ∴.∠1+∠CDE=90°， EF,∴.∠1=∠ADC=2∠B. .4∠C=180°，即∠C=45°； ∠1+∠2=90°（已知）， :∠2=3∠B,∠2+∠ADE+ (2)BE∥CD,理由如下： ∴.∠CDE=∠2（同角的余角相等）. ∠EDC=180°，.5∠B=180°， 由(1)知AC∥DE, ∴.DE∥BC(内错角相等，两直线 ∴.∠B=36°，∴.∠1=2∠B=72° ∠E=∠ABE, 平行). 4.(1)证明：：EC平分∠DEF,∴∠3 又∠C=∠E, 3.∠A+∠B=180°，AD∥BC =∠4.∠4=∠C,∴∠3=∠C, ∴∠C=∠ABE,∴.BE∥CD. ,∠EFC=∠DCG,∴.EF∥BC, ∴.EF∥CD.又：AB∥CD,∴AB∥ 10.(1)过点O作l∥m.:m∥n, .AD∥EF. EF: .l∥m∥n. 4.CD∥EF.理由如下：AB⊥BD, (2)设∠3=∠4=∠C=a,则∠2= m∥1，.∠4=∠1=100°. CD⊥BD,.∠B+∠D=180°， 90°-∠3=90°-a,EF∥CD,.∠1 :l∥n,∴∠3=∠4+∠2=100 .AB∥CD,又：∠1+∠2= =180°-∠2-∠3-∠4=90°-， +30°=130°； 180°，.AB∥EF,∴.EF∥CD. ∴.∠A=90°-a,∠A=∠2， (2)∠3=∠1+∠2. 5.AB∥CD.理由如下：：∠2=50°， ..AB∥EF, 11.(1)∠B=∠ADE=60°， ∠MFH=50°，∴.∠2=∠MFH, ∴.ABCD.∴.∠B+∠D=180°. 66