12.1 命题、定义、定理与证明-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

第12章全等三角形 12.1命题、定 12.1.1 01基础达标 知识点命题 1.下列句子不是命题的是 A.若|x=|y,则x=y B.等角的余角相等 C.两直线平行，同位角相等 D.直线AB与CD相交吗？ 2.“两条直线相交只有一个交点”的条件是 A.两条直线 B.相交 C.两条直线相交 D.只有一个交点 3.下列命题是真命题的是 A.两个锐角之和为钝角 B.两个锐角之和为锐角 C.钝角大于它的补角 D.锐角小于它的余角 4.命题“对顶角相等”的题设是 ,结论是 5.将命题“同位角相等”改为“如果…那么…”的 形式为 02能力提升 6.能说明命题“若a≥b,则a>0”是假命题的反 例是 ( A.a=-2,b=-3 B.a=-2,b=1 C.a=-2,b=-1 D.a=2,b=1 7.已知三条不同的直线a,b,c在同一平面内，下 列四个命题：①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c; ②如果b∥a,c∥a,那么b∥c;③如果b⊥a,cL a,那么b⊥c;④如果b⊥a,c⊥a,那么b∥c.其 38 义、定理与证明 命题 中是真命题的是 .(填写所有真命 题的序号) 8.判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命 题，请举出反例、 (1)两个锐角的和是锐角； (2)经过直线外一点，有且只有一条直线与这 条直线平行； (3)如果a2=b,那么a=b. 9.把下列命题改写成“如果…那么…”的形式 (1)在同一个三角形中，等角对等边； (2)两个无理数的积仍是无理数. 03思维拓展 10.如图，现有以下三个条件：①AB∥CD,②∠B= ∠C,③∠E=∠F.请你以其中两个作为条 件，另一个作为结论组成一个真命题.请你写 出所有的真命题， 39 12.1.2 定义 01基础达标 知识点定义、定理与证明 1.以下关于角的定义，正确的是 A.由两条射线组成的图形叫作角 B.角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的 C.角的边是两条线段 D.以上说法都不对 2.下列说法错误的是 A.所有的命题都是定理 B.定理是真命题 C.基本事实可以作为证明定理的依据 D.证实命题正确与否的推理过程叫证明 3.下列命题中能作为推理依据的是 A.相等的角是对顶角 B.两直线被第三条直线所截，内错角相等 C.若m2=n,则m=n D.等角的余角相等 4.如图，下列推理中正确的是 A.因为∠1=∠2，所以c∥d B.因为∠4=∠6，所以a∥b b C.因为∠3+∠4=180°，所 以a∥b D.因为∠4+∠5=180°，所以c∥d 5.如图所示，用直尺和三角尺作直线AB,CD,从 图中可知，直线AB与CD的位置关系为 ,根据是 第5题图 第6题图 6.将两个能完全重合的三角尺如图放置（即两个 直角顶点重合)，如果∠3=40°，那么∠α=40°， 理由是 、定理与证明 02能力提升 7.完成下列证明，并在括号内填上理由 如图，BC∥AD,∠1=∠E, 求证：∠A=∠C 证明：.∠1=∠E(已知)， D .AB∥ .∠A+∠ADC=180°( .BC∥AD(已知)， .∠ADC+∠ =180°( ), .∠A=∠C( 8.如图，AB∥CD,∠B=∠D.求证：BC∥AD 03思维拓展 9.如图，有下列三个条件：①DE∥BC;②∠1= ∠2；③∠B=∠C (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另 一个作为结论，请写出一个真命题； (2)请你就写的真命题给出推理过程.(2)1+2+22+23+…+27+2811.(1)一2x:(2)(-2)-x" +2°+210=(2-1)×(20+2°+ 11.4.2多项式除以单项式 28+2+2+2+2+23+22+1.B2.B3.C4.C5.B 2+1)=21-1； 6.-3x+2y-6 1 原式×3-)×(1+37.1)3z2:22a +32+33+…+397十38十389) (3)-2x2+3x-1; =3-1 (4)-3y3+2xy2+4. 21 8.A9.D10.6 11.3.2两数和（差）的平方 1.A2.C3.D 1.1123228 4.(1)16m2-8mn+n 12.这个多项式是6a3+9a2-7a+9. (2)4x2+4xy+y 13.(1)B=- 3x2+2y: (3)a2-2ab+b2 (4)a2+2ab+b (2)A=-3xy2+18x2y3. 5.(1)9a2b-24ab+16: 14.需要（合A+2H）个这样的小 杯子 (3)-x2y+2xy-1. 重点强化专题整式的化简与求值 6.D7.D8.7cm 1.(1)-6a3b+10a3b3: 9.1或-110.C11.C (2)n2-9m2;(3)x2+5xy: 12.(1)49(2)2 (4).x2+3: 13.(1)4a+1: (5)4x2+11xy-10y2: (2)x-18x2+81: (6)x-8.x2y2+16y (3)x2-2xy+y2-2x+2y+1. 2.(1)2x-1:(2)-2m+2m+1: 14.原式=a2一4b2-a2+4ab一4b +8b2=4ab, (3)-12a2b+20a3. 3.(1)二；(2)a2b+2b2 当a=-2,b=2时，原式=-4. 4.(1)3;(2) 3(3)2. 15.【方法运用】ab=12. 5.(1)m=1,n=-2;(2)0. 【拓展延伸)号. 6.原式=一1，该式子的值与a的取 微课堂完全平方公式的变形 值无关 1.282.123.3或-34.6 7.(1)(-1)2-(-3)2的结果是4 方法技巧专题乘法公式的运算技巧 的（一2）倍； 1.9x2-4y2.2.9-x2. (2)略. 3.1-a2b.4.x16-2x8+1. 11.5因式分解 5.m2-n2+4n-4. 第1课时因式分解及提公因式法 6.4mn+4mn.7.-1.345. 1.①④②③ 可逆 86 2.A3.A 9.m-1. 4.(1)2y(2x-3);(2)(b+c)(2a 10.x4-2.x2+1.11.-1. 3);(3)(a-1). 12.7. 13.29.14.-6. 5.C6.A 11.4整式的除法 7.(1)3x(2x2-6x+1): 11.4.1 单项式除以单项式 (2)(b-a)(a+2b): 1.B2.C3.(1)3ab:(2)3ab. (3)4(x-y)(2ax-2ay+b): 4.3ab (4)x(x+4). 8.(1)9900;(2)0 5.(1)-号xy(2)-4x 9.△ABC为等腰三角形， 6.A7.B 第2课时运用平方差公式分解因式 1.C2.D3.C4.C &.)25b:(2)-3a6c3 5.(1)(9+4m)(9-4m) (3)-24a. (2)(x+2)(x-6) 9.-.10.1 (3)(4x2+1)(2x+1)(2x-1) 6.±6-6 40 7.a2-b=(a+b)(a-b) 两个数的积仍是无理数， 8.(1)(ab+m)(ab-m); 10.①如果AB∥CD,∠B=∠C,那 (2)(m-a+n+b)(m-a-n-b); 么∠E=/F: (3)(x+a+b-c)(x-a-b+c): ②如果AB∥CD,∠E=∠F,那 (4)(3y+2x)(3y-2x)(9y2+ 么∠B=∠C; 4x2). ③如果∠B=∠C,∠E=∠F, 9.:x2-y2=(x+y)(x-y)=12, 那么AB∥CD. x+y=3①， 12.1.2定义、定理与证明 ∴.x-y=4②，①+②得2x=7, 1.B2.A3.D4.C .2x2一2xy=2x(x一y)=7×45.平行同位角相等，两直线平行 =28. 6.同角的余角相等 10.(n+3)2-n=3(2n+3) 7.CE内错角相等，两直线平行 第3课时运用完全平方公 两直线平行，同旁内角互补C 式分解因式 两直线平行，同旁内角互补同 1.C2.B3.A4.A 角的补角相等 5.(1)(2a-1)2;(2)(2x-3)2: 8.证明：.AB∥CD, (3)(xy-2)2;(4)a(a-b)2: .∠B+∠BCD=180°， (5)(a-2b)2 ∠B=∠D, 6.13或-117.4x+8 .∠D+∠BCD=180°， 8.(1)(2x+5)2 .AD∥BC. (2)(x+3)2(x-3)2; 9.(1)如果DE∥BC,∠1=∠2，那 (3)(x-y十z)2 么∠B=∠C: 9.(1)4:(2)1000. (2)证明：DE∥BC,.∠1= 10.△ABC的形状是等腰三角形. ∠B,∠2=∠C. 11.(a+b)(a-3b). 又∠1=∠2，∴∠B=∠C. 章末核心考点整合与素养提升 12.2三角形全等的判定 1.C2.D3.A4.D 12.2.1全等三角形的判定条件 5.(1)18x;(2)9a2-5b. 1.C2.A3.B4.2cm. 6.(1)4x3;(2)2x-4. 5.B6.37.309 8.14. 8.(1)△AED≌△A'ED,其中∠EAD =∠EA'D,∠AED=∠A'ED, 9.-2.10.C ∠ADE=∠A'DE; 11.(1)xy=10;(2)x-y=±3. (2),∠1+∠2=360°-2（∠AED 12.当a=一2时，原式=7. +∠ADE)=360°-2(180°-∠A) 13.C14.(xy-1)215.20 =2∠A. 16.917.-6或0 .∠1+∠2=2∠A. 18.(1)161220或162012： 12.2.2边角边 (2)m=11,n=6. 1.D2.∠DCE=∠ACB 第12章全等三角形 12.1命题、定义、定理与证明 3宁AB合AC AF AE AB 12.1.1命题 AC AA AE AF SAS 1.D2.C3.C 4.证明：DE⊥AC,DF⊥AB, 4.两个角是对顶角这两个角相等 .∠BFD=∠CED=90°， 5.如果两个角是同位角，那么这两 在△BDF和△CDE中， 个角相等. DF=DE 6.A7.①②④ ∠BFD=∠CED 8.(1)假命题，如∠1=50°，∠2=70°， BF-CE 但∠1+∠2=120°，不是锐角； ∴.△BDF≌△CDE(SAS), (2)真命题； .∠B=∠C (3)假命题，如a=2,b=-2,有5.证明：：AE=BF, a2=b,但a≠b. ..AE+EF=BF+EF, 9.(1)在同一个三角形中，如果两个 即AF=BE, 角相等，那么它们所对的边相等； AC∥BD, (2)如果两个数是无理数，那么这 ∴∠CAF=∠DBE, 在△ACF和△BDE中， ∠A=∠F (AC-BD ∠ACB=∠FEC, ∠CAF=∠DBE, BC=CE AF-BE ∴.△ABC≌△FCE(AAS), ∴.△ACF≌△BDE(SAS) ..AB=FC. ∴.CF=DE. 13.(1).·∠BAD+∠EAC=∠BAC 6.略. =90°， 7.D8.D9.D CE⊥AE, 10.AC=BD11.4 ∴∠ACE+∠EAC=90°， 12.(1)证明：D是BC中点， ∠BAD=∠ACE, ..BD=CD, .BD⊥AE,CE⊥AE, 在△ABD与△ECD中 ∴.∠BDA=∠AEC=90°， BD=CD 又AB=AC, ..△ABD≌△CAE(AAS), ∠ADB=∠EDC, ..AE=BD,AD=CE, AD-ED .BD-AE-AD+DE-DE .∴.△ABD≌△ECD(SAS); +CE; (2)10 (2)线段BD,DE,CE之间关系 13.(1)(12-2t)cm; 为：DE=BD十CE.理由如下： (2)当t=2时，BP=CQ=2×2 同(1)可证△ABD≌△CAE, =4cm, .BD-AE.AD-CE. BD=8cm,BC=12cm, .DE=AE+AD, .PC=BC-BP=12-4=8cm, .DE-BD+CE. ..PC=BD, 12.2.4边边边 AB=AC,.∠B=∠C, 1.D2.C 在△BPD和△CQP中， 3.CE SSS△ABF △CDE BD=PC, 4.证明：：AE=BF, ∠B=∠C, ∴.AE+EF=BF+EF, BP=CQ, 即AF=BE. .△BPD≌△CQP(SAS); 在△ADF和△BCE中， (3)由题意，得BP≠CQ, (AD-BC △BPD≌△CPQ,∠B=∠C, AF=BE, .'BP=PC=6cm,CQ=BD=8cm, DF=CE ∴.△ADF≌△BCE(SSS) ·点P,Q运动的时间1= PB 2 3, 5.∠A=∠D,提示：连接BC,证 点Q运动的速度为9Q-8, △ABC≌△DCB. 3 cn/s. 6.C 7.C 8.D 9.BD=AC 12.2.3角边角 10.140 1.A2.125°3.C4.6 11.(3,-3)或(-1,3)或(-1，-3) 5.证明：：BE∥DF, 12.∠BAD=∠CAD.理由： .∠EBA=∠D. :AB=AC,AE=号AB,AF ∠A=∠F,EB=CD, ∴.△ABE≌△FDC(AAS), 号ACAE=AE, ∴.AE=FC. 在△AOE和△AOF中， 6.A7.C8.D (AO-AO 9.∠ACB=∠DFE ∠A=∠D AE=AF, 10.①③④11.16 OE-OF 12.证明：FE⊥AC, ..△AOE≌△AOF(SSS), ∠ACB=90°， ∴.∠EAO=∠FAO,即∠BAD .∠FEC=∠ACB=90°， =∠CAD. ∴.∠F+∠ECF=90°. 13.证明：连接AC, 又CDIAB, 在△ADC和△CBA中， ∴.∠A+∠ECF=90°， (DC=AB ∴.∠A=∠F AD=BC, 在△ABC和△FCE中， AC=CA 42