专题12.1 命题、定义、定理与证明 （高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级上册

专题12.1 命题、定义、定理与证明 教学目标 教学目标 1.了解命题、定义、定理、基本事实的意义，能判断一个语句是否为命题。 2.会区分命题的条件和结论，能判断一个命题的真假，并会用反例说明假命题。 3.知道证明的意义和必要性，经历简单的证明过程，能正确表述证明步骤。 4.理解互逆命题与互逆定理，会写出一个命题的逆命题。 教学重难点 1.重点 （1）判断一个语句是否为命题，区分命题的条件与结论 （2）判断命题的真假，用反例说明假命题 （3）按要求写出已知、求证并进行简单证明 （4）写出一个命题的逆命题 2.难点 （1）区分命题、定义、基本事实、定理之间的关系 （2）文字命题转化为几何图形与数学语言进行证明 （3）正确表述完整的证明过程并注明依据 （4）判断一个定理是否有逆定理 知识点01：命题的概念与组成 1.判断某一件事情的语句叫作 。 2.命题的定义包含两层含义： （1）命题必须是一个 ，通常是 ； （2）命题必须对某件事情作出 或 的判断。 3.疑问句、感叹句、祈使句以及表示画图、连线的语句都不是命题。 4.许多命题由条件（题设）和结论两部分组成。条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。 5.命题通常可写成"如果……，那么……"的形式："如果"后接的部分是条件，"那么"后接的部分是结论。 6.改写成"如果……那么……"时，可对语序进行调整或适当增减词语，使句子通顺且不改变原意。 【即学即练】 1．下列句子中，不是命题的是（     ） A．三角形的内角和等于180度 B．过一点作已知直线的平行线 C．两点确定一条直线 D．两个互补的角一定是邻补角 知识点02：命题的分类与举反例 1.真命题：如果条件成立，那么结论一定 的命题。 2.假命题：条件成立时， 结论总成立的命题。 3.判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证；判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可。 4.举反例：举出一个符合命题条件但不满足命题结论的例子，这样的例子叫作反例，用一个反例即可推翻假命题。 【即学即练】 1．将“两个负数之差是负数”改写成“如果……那么……”的形式，再判断它是真命题，还是假命题？如果是真命题，请说明理由．如果是假命题，请举出反例来说明． 知识点03：定义、基本事实与定理 1.定义：对一个数学名词所包含的确切意义进行说明的语句，叫作这个名词的 。定义的形式常为"××是××""××称为××""××叫作××"。 2.基本事实：经过长期实践后公认的 ，可以作为判断其他命题真假的原始依据，其正确性不需证明。 3.定理：从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题 的依据，这样的真命题叫作定理。 4.基本事实与定理的联系：都是真命题，都可以作为推理论证的依据。 5.基本事实与定理的区别：基本事实正确性 ，定理的正确性 。 【即学即练】 1．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点04：证明及证明的一般步骤 1.证明：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的 过程叫作证明。 2.证明的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论，若与图形有关则根据题意画出图形并标出字母和符号； （2）根据条件、结论结合图形，写出已知、求证； （3）观察图形，分析证明思路，找出证明方法； （4）写出证明过程，并注明依据。 【即学即练】 1．完成下面的证明：如图，中，点在上，于点，点在上，与相交于点，且．求证：． 证明：（已知）， 又（平角的定义）， ________________，（______________） （________________）， ________（________________）． 又（已知）， （________________）， ________（等式的基本事实）， （________________）． 题型01 判断语句是否为命题 命题必须是能对事情作出肯定或否定判断的陈述句；疑问句、感叹句、祈使句和画图语句都不是命题。 【典例1】. （26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）下列说法：①作直线的平行线；②；③垂线段最短吗？④同角的余角相等，其中是命题的有______个． 【变式1】. （25-26七年级下·吉林·期末）下列语句是命题的是（     ） A．连接 B．相等的角是对顶角 C．小于90度的角是锐角吗？ D．画 【变式2】. （25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列语句中，不属于命题的是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．如果，那么，互为相反数 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．探究三角形的外角和 【变式3】. （25-26七年级下·湖南长沙·期末）下列语言叙述是命题的是（     ） A．《给阿嬷的情书》是一部非常感人的电影． B．你喜欢长沙吗？ C．赶紧去学习！ D．画一条端点为的射线． 题型02 写出命题的条件与结论 先把命题改写成"如果……那么……"的形式，"如果"后是条件，"那么"后是结论。 【典例2】. （26-27八年级上·浙江·单元测试）把命题“等角的余角相等”改写成：“如果____________，那么____________”． 【变式1】. （26-27八年级上·全国·课后作业）把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出该命题的条件和结论． 【变式2】. （25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）把命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果...那么...”的形式是_________． 【变式3】. （26-27八年级上·全国·课后作业）把下列定理改写成“如果……，那么……”的形式，指出它们的条件和结论，并用演绎推理证明小题（1）所示的定理： (1)同旁内角互补，两直线平行； (2)三角形的外角和等于． 题型03 判断命题的真假 真命题需用演绎推理论证；假命题只需举一个符合条件但不满足结论的反例。 【典例3】. （26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）下列命题中，真命题是（     ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角相等，两直线平行 C．9的平方根是 D．是不等式的一个解 【变式1】. （25-26七年级下·陕西榆林·期末）下列命题中，是真命题的是（     ） A．负数没有立方根 B．同位角相等 C．若，，则 D．有公共顶点的两个角是对顶角 【变式2】. （26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）给出下列命题： ①实数与数轴上的点是一一对应的； ②对顶角相等； ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中真命题有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】. （26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）下列命题中，是真命题的是（     ） A．如果直线与相交，直线与相交，那么直线与相交 B．两个锐角互余 C．的算术平方根是 D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 题型04 举反例说明假命题 反例要同时满足"符合条件"且"不符合结论"，常取特殊数值代入验证。 【典例4】. （25-26七年级下·北京密云·期末）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数、的值为______，______． 【变式1】. （25-26七年级下·广东汕头·期末）要说明命题“两个数相加，和一定大于或等于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26七年级下·北京通州·期末）如果能说明命题“若，则”是一个假命题，那么c的值可以是______ ． 【变式3】. （25-26七年级下·山东滨州·期末）说明命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的________．（写出一个即可） 题型05 定义的理解与运用 抓住定义"对名词意义进行说明"的特征，形式为"××是××""××叫作××"，区分定义与性质判断。 【典例5】. （25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（   ） A．对顶角相等 B．锐角都小于钝角 C．同一平面内不相交的两条直线叫作平行线 D．任何一个三角形一定有直角 【变式1】. （25-26七年级下·全国·阶段检测）下列属于定义的是（    ） A．垂线段最短 B．你吃饭了 C．正方形的四条边相等 D．含有未知数的等式叫作方程 【变式2】. （26-27八年级上·山东聊城·开学考试）下列语句中，是定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间的所有连线中，线段最短 C．两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离 D．三角形中任意两边的和大于第三边 【变式3】. （25-26七年级下·江苏·单元测试）下面各个命题中，定义为（ ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在正数前加上符号“”的数叫作负数 D．今天的天气很好 题型06 写出一个命题的已知、求证并证明 先画图、标符号，再据条件写已知、据结论写求证，最后用定义、基本事实、定理推理并注明依据。 【典例6】. （2025八年级上·安徽滁州·专题练习）求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．） 【变式1】. （24-25七年级下·山东泰安·期中）证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 【变式2】. （25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，①，②，③，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题， (1)正确的命题有 个． (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【变式3】. （25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 题型07 补全证明过程、填写理论依据 结合已知与图形，先判断每一步所用定理（如平行线性质、角平分线定义、等量代换），再补全推理。 【典例7】. （26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）完成下面证明过程，并在括号内填写理由．如图，已知于，于，，求证：． 证明：延长，相交于点， ，（已知）， ，（垂线的定义）， （_______①__________）， （_______②___________）， __③_____（_________④________）． 又（已知）， ∴______⑤_______（等量代换）， （_______⑥__________）． 【变式1】. （25-26七年级下·北京海淀·期末）如图，，，三点在一条直线上，，，．试说明：． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：因为（已知）， 所以① （内错角相等，两直线平行）． 因为（已知）， 所以② （③ ）， 所以（④ ）， 所以 ， ． 又因为（已知）， 所以（⑤ ）． 【变式2】. （25-26七年级下·河北张家口·期末）补全下面证明过程． 如图，点在上，点在上，已知，，求证：． 证明：（已知）， （                    ）， （                    ）． ________（                    ）． ________（两直线平行，内错角相等）． （已知）， （                    ）． ________（同位角相等，两直线平行）． （                    ）． 【变式3】. （25-26七年级下·宁夏·期中）构造平行线是初中数学常见的一种作辅助线的方法，平行线的本质作用是“移角（改变角的位置，不改变角的大小）”，具体来说，要转移角的位置，可以通过“过一点作已知直线的平行线”实现： 已知：如图1，直线，点在直线之间，试探究三者的数量关系． 分析：我们过点作的平行线．可以实现“移角”的功能． 解答过程： 解：过点作， ________．（依据是____________________________________） ， （依据是____________________________________）． _______．（依据是__________________________________） 又， _________． 一、单选题 1．命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 2．能说明命题“如果，那么”是假命题的一个的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 3．下列命题中，真命题是（     ） A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是 B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数 C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和 D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、 二、填空题 4．定理可以作为证明后续命题的_______，根据_______，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的_______的和． 5．将命题“在三角形中，等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式是：___________． 6．下列命题：①对顶角相等；②如果，那么；③若，，则；④两个锐角拼在一起一定是钝角．其中是真命题的有__________．（填序号） 三、解答题 7．判断命题“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是真命题还是假命题，并说明理由． 8．指出下列命题中的真命题和假命题，若是假命题，请举出反例： (1)两个锐角的和等于； (2)当时，一定成立． 9．如图，已知：，．求证：． 将下面证明过程补充完整： 证明：（已知）， ∴____________________________（__________________）． 又∵（已知）， ∴____________________________（__________________）． （__________________）． 1．下列命题：①同位角相等；②在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条直线；③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；④相等的角是对顶角．其中真命题的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数 ， 的值为____________，____________． 3．素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为________时，不是一个素数． 4．已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行．” (1)写出这个命题的题设和结论； (2)画出符合这个命题的几何图形； (3)用几何语言叙述这个命题； (4)判断这个命题的真假，并说明理由． 5．设都是实数，考虑如下3个命题：①若，且，则；②若，且，则；③若，且，则．试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；对你认为不正确的命题，用反例予以否定． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.1 命题、定义、定理与证明 教学目标 教学目标 1.了解命题、定义、定理、基本事实的意义，能判断一个语句是否为命题。 2.会区分命题的条件和结论，能判断一个命题的真假，并会用反例说明假命题。 3.知道证明的意义和必要性，经历简单的证明过程，能正确表述证明步骤。 4.理解互逆命题与互逆定理，会写出一个命题的逆命题。 教学重难点 1.重点 （1）判断一个语句是否为命题，区分命题的条件与结论 （2）判断命题的真假，用反例说明假命题 （3）按要求写出已知、求证并进行简单证明 （4）写出一个命题的逆命题 2.难点 （1）区分命题、定义、基本事实、定理之间的关系 （2）文字命题转化为几何图形与数学语言进行证明 （3）正确表述完整的证明过程并注明依据 （4）判断一个定理是否有逆定理 知识点01：命题的概念与组成 1.判断某一件事情的语句叫作命题。 2.命题的定义包含两层含义： （1）命题必须是一个完整的句子，通常是陈述句； （2）命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断。 3.疑问句、感叹句、祈使句以及表示画图、连线的语句都不是命题。 4.许多命题由条件（题设）和结论两部分组成。条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。 5.命题通常可写成"如果……，那么……"的形式："如果"后接的部分是条件，"那么"后接的部分是结论。 6.改写成"如果……那么……"时，可对语序进行调整或适当增减词语，使句子通顺且不改变原意。 【即学即练】 1．下列句子中，不是命题的是（     ） A．三角形的内角和等于180度 B．过一点作已知直线的平行线 C．两点确定一条直线 D．两个互补的角一定是邻补角 【答案】B 【分析】命题的定义是：能对一件事情作出判断的语句叫作命题． 【详解】解：A、C、D选项都对事件作出了判断，都是命题； B选项只是描述作图操作，没有对事件作出判断，不是命题． 知识点02：命题的分类与举反例 1.真命题：如果条件成立，那么结论一定成立的命题。 2.假命题：条件成立时，不能保证结论总成立的命题。 3.判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证；判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可。 4.举反例：举出一个符合命题条件但不满足命题结论的例子，这样的例子叫作反例，用一个反例即可推翻假命题。 【即学即练】 1．将“两个负数之差是负数”改写成“如果……那么……”的形式，再判断它是真命题，还是假命题？如果是真命题，请说明理由．如果是假命题，请举出反例来说明． 【答案】解：改写为：如果两个数都是负数，那么这两个数的差是负数，该命题是假命题，反例如下： 当时，满足a、b都是负数，但是，即与的差是正数， ∴原命题是假命题． 【分析】先拆分原命题得到题设和结论，改写成要求的形式，再通过举反例判断命题真假即可． 【详解】略 知识点03：定义、基本事实与定理 1.定义：对一个数学名词所包含的确切意义进行说明的语句，叫作这个名词的定义。定义的形式常为"××是××""××称为××""××叫作××"。 2.基本事实：经过长期实践后公认的真命题，可以作为判断其他命题真假的原始依据，其正确性不需证明。 3.定理：从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫作定理。 4.基本事实与定理的联系：都是真命题，都可以作为推理论证的依据。 5.基本事实与定理的区别：基本事实正确性不需证明，定理的正确性需经过逻辑推理论证。 【即学即练】 1．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据命题、定理、基本事实的概念，逐一判断四个说法的正误即可解答． 【详解】解：∵基本事实是经过实践检验公认的真命题， ∴①正确； ∵定理是依据基本事实、定义等，经过推理证明得到的真命题， ∴②正确； ∵并不是所有真命题都是基本事实，只有公认的作为推理依据的真命题才是基本事实， ∴③错误； ∵只有经过证明，可作为推理依据的真命题才是定理，并非所有真命题都是定理， ∴④错误； 综上，正确的说法有2个． 知识点04：证明及证明的一般步骤 1.证明：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫作证明。 2.证明的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论，若与图形有关则根据题意画出图形并标出字母和符号； （2）根据条件、结论结合图形，写出已知、求证； （3）观察图形，分析证明思路，找出证明方法； （4）写出证明过程，并注明依据。 【即学即练】 1．完成下面的证明：如图，中，点在上，于点，点在上，与相交于点，且．求证：． 证明：（已知）， 又（平角的定义）， ________________，（______________） （________________）， ________（________________）． 又（已知）， （________________）， ________（等式的基本事实）， （________________）． 【答案】；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；垂直的定义；；垂直的定义 【详解】略 题型01 判断语句是否为命题 命题必须是能对事情作出肯定或否定判断的陈述句；疑问句、感叹句、祈使句和画图语句都不是命题。 【典例1】. （26-27八年级上·黑龙江绥化·开学考试）下列说法：①作直线的平行线；②；③垂线段最短吗？④同角的余角相等，其中是命题的有______个． 【答案】 【分析】根据“判断一件事情的语句叫作命题”，逐一判断每个说法即可． 【详解】解：①“作直线的平行线”是作图指令，没有对事情作出判断，不是命题； ②“”对两个数的大小关系作出了判断，是命题； ③“垂线段最短吗？”是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题； ④“同角的余角相等”对余角的关系作出了判断，是命题； 因此是命题的共有个． 【变式1】. （25-26七年级下·吉林·期末）下列语句是命题的是（     ） A．连接 B．相等的角是对顶角 C．小于90度的角是锐角吗？ D．画 【答案】B 【分析】根据命题的定义判断即可． 【详解】解：A、连接是作图，不是命题； B、相等的角是对顶角是命题； C、小于90度的角是锐角吗？是疑问句，不是命题； D、画是作图，不是命题． 【变式2】. （25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列语句中，不属于命题的是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．如果，那么，互为相反数 C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．探究三角形的外角和 【答案】D 【分析】根据命题的定义，判断一件事情的语句叫作命题，据此对各选项进行判断即可得到答案. 【详解】解：A. “两直线平行，内错角相等”，对位置关系和角的关系做出判断，属于命题； B. “如果，那么，互为相反数”，对，的关系做出判断，属于命题； C. “平行于同一条直线的两条直线互相平行”，对两条直线的位置关系做出判断，属于命题； D. “探究三角形的外角和”只是描述操作，没有对任何事情做出判断，不属于命题． 【变式3】. （25-26七年级下·湖南长沙·期末）下列语言叙述是命题的是（     ） A．《给阿嬷的情书》是一部非常感人的电影． B．你喜欢长沙吗？ C．赶紧去学习！ D．画一条端点为的射线． 【答案】A 【分析】命题是对一件事情作出判断的语句，根据该定义判断各选项即可得到答案． 【详解】A选项对《给阿嬷的情书》的作品性质作出了判断，是完整的陈述句，符合命题的定义； B选项是疑问句，没有对事情作出判断，不符合命题定义； C选项是祈使句，没有对事情作出判断，不符合命题定义； D选项是作图指令，没有对事情作出判断，不符合命题定义． 题型02 写出命题的条件与结论 先把命题改写成"如果……那么……"的形式，"如果"后是条件，"那么"后是结论。 【典例2】. （26-27八年级上·浙江·单元测试）把命题“等角的余角相等”改写成：“如果____________，那么____________”． 【答案】 两个角是相等的角的余角 这两个角相等 【详解】解：命题“等角的余角相等”中，“等角的余角”是题设；“相等”是结论．因此改写成“如果两个角是相等的角的余角，那么这两个角相等”． 【变式1】. （26-27八年级上·全国·课后作业）把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出该命题的条件和结论． 【答案】 解：如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形； 条件：一个三角形的三个角都相等； 结论：这个三角形是等边三角形. 【详解】略 【变式2】. （25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）把命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果...那么...”的形式是_________． 【答案】如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 【分析】将原命题拆分为题设和结论两部分，将题设放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可完成改写． 【详解】解：原命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”中， 题设为：两条直线垂直于同一条直线，结论为：这两条直线互相平行， 因此改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 【变式3】. （26-27八年级上·全国·课后作业）把下列定理改写成“如果……，那么……”的形式，指出它们的条件和结论，并用演绎推理证明小题（1）所示的定理： (1)同旁内角互补，两直线平行； (2)三角形的外角和等于． 【答案】(1)改写：如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行， 条件：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补， 结论：这两条直线平行． 证明：如图，直线，被直线所截，与是同旁内角，， 求证：． ∵与互为邻补角， ∴（平角的定义）， ∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）． (2)改写：如果三个角是同一个三角形的三个外角，那么这三个角的和等于， 条件：三个角是同一个三角形的三个外角， 结论：这三个角的和等于． 【分析】（1）找到命题的条件和结论，写成“如果……，那么……”的形式即可，根据邻补角的定义得出，进而得出，根据同位角相等，两直线平行即可得出结论； （2）找到命题的条件和结论，写成“如果……，那么……”的形式即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 题型03 判断命题的真假 真命题需用演绎推理论证；假命题只需举一个符合条件但不满足结论的反例。 【典例3】. （26-27八年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）下列命题中，真命题是（     ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角相等，两直线平行 C．9的平方根是 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了真假命题的判断，对顶角相等，平行线的判定，平方根的定义，不等式的解，根据相关知识点逐个判断即可． 【详解】解：A. 相等的角不一定是对顶角，是假命题； B. 同旁内角互补，两直线平行，原命题是假命题； C. 9的平方根是，原命题是假命题； D. 将代入，得，故是该不等式的一个解，是真命题． 【变式1】. （25-26七年级下·陕西榆林·期末）下列命题中，是真命题的是（     ） A．负数没有立方根 B．同位角相等 C．若，，则 D．有公共顶点的两个角是对顶角 【答案】C 【详解】解：对于选项A：负数有立方根，如的立方根为，本选项的命题是假命题； 对于选项B：只有两直线平行时同位角才相等，缺少前提，本选项的命题是假命题； 对于选项C：若，，则，本选项的命题是真命题； 对于选项D：对顶角需有公共顶点且两边互为反向延长线，仅有公共顶点不能判定，本选项的命题是假命题． 【变式2】. （26-27八年级上·辽宁鞍山·开学考试）给出下列命题： ①实数与数轴上的点是一一对应的； ②对顶角相等； ③两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中真命题有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①实数与数轴上的点是一一对应的，是真命题； ②对顶角相等，是真命题； ③两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等；原说法缺少前提，是假命题； ④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法缺少前提，是假命题； 即真命题有2个． 【变式3】. （26-27八年级上·甘肃张掖·开学考试）下列命题中，是真命题的是（     ） A．如果直线与相交，直线与相交，那么直线与相交 B．两个锐角互余 C．的算术平方根是 D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 【答案】D 【分析】通过举反例排除假命题，再验证剩余选项的正确性． 【详解】解：A选项： 若直线，直线与、均相交，满足题设但与不相交，故A为假命题； B选项：例如和均为锐角，和为，不互余，直角三角形中的两个锐角才互余，故B为假命题； C选项： 64的算术平方根是，不是，故C为假命题； D选项：如果两个实数相等，那么它们的平方相等，是真命题． 题型04 举反例说明假命题 反例要同时满足"符合条件"且"不符合结论"，常取特殊数值代入验证。 【典例4】. （25-26七年级下·北京密云·期末）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数、的值为______，______． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只需找到满足，但不满足的一组实数即可． 【详解】解：当，时，满足条件，此时，，可得，不满足，因此可以说明原命题是假命题． 【变式1】. （25-26七年级下·广东汕头·期末）要说明命题“两个数相加，和一定大于或等于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要说明一个命题是假命题，只需找出满足命题条件但不满足命题结论的反例即可，本题只需判断哪个选项中两个数相加的和小于两个加数，即可得到答案. 【详解】解：∵命题的条件是“两个数相加”，结论是“和一定大于或等于其中一个加数”， ∴反例需要满足“两个数相加，和小于任意一个加数”， 逐个判断选项： 选项A ：，且，满足命题结论，不是反例. 选项B ：，，满足命题结论，不是反例. 选项C ：，且，满足命题结论，不是反例. 选项D ：，且，不满足命题结论，可以作为反例. 【变式2】. （25-26七年级下·北京通州·期末）如果能说明命题“若，则”是一个假命题，那么c的值可以是______ ． 【答案】（答案不唯一，任意负数均可） 【分析】要说明该命题是假命题，只需举出满足但不满足的反例，当为负数时，原命题结论不成立。 【详解】解：， ，不满足原命题的结论， 因此任取一个负数作为即可，如． 【变式3】. （25-26七年级下·山东滨州·期末）说明命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】要说明该命题是假命题，只需举出满足条件，但不满足结论的反例，即找出满足且的即可． 【详解】解：当时，，满足命题的条件， 此时，不满足命题的结论， 因此可以作为该命题的反例．故答案为． 题型05 定义的理解与运用 抓住定义"对名词意义进行说明"的特征，形式为"××是××""××叫作××"，区分定义与性质判断。 【典例5】. （25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（   ） A．对顶角相等 B．锐角都小于钝角 C．同一平面内不相交的两条直线叫作平行线 D．任何一个三角形一定有直角 【答案】C 【分析】本题考查了定义与性质、公理的异同，根据课本中的定义进行判断即可，解题的关键是需熟记课本中的定义． 【详解】解：A、对顶角相等是性质，不是定义，故A不符合题意； B、锐角都小于钝角是性质，不是定义，故B不符合题意； C、同一平面内不相交的两条直线叫作平行线，是定义，故C符合题意； D、任何一个三角形一定有直角，说法错误，不是定义，故D不符合题意； 故选：C ． 【变式1】. （25-26七年级下·全国·阶段检测）下列属于定义的是（    ） A．垂线段最短 B．你吃饭了 C．正方形的四条边相等 D．含有未知数的等式叫作方程 【答案】D 【分析】定义是对数学概念或术语的精确描述，选项D符合方程的定义，其他选项均为性质或非数学语句． 本题考查了定义的特性，熟练掌握定义的特性是解题的关键． 【详解】解：已知定义是描述概念本质的语句， A、是垂线段的性质，不符合题意； B、不是数学语句，不符合题意； C、是正方形的性质，不符合题意； D、是方程的定义，符合题意； 故选：D． 【变式2】. （26-27八年级上·山东聊城·开学考试）下列语句中，是定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间的所有连线中，线段最短 C．两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离 D．三角形中任意两边的和大于第三边 【答案】C 【分析】明确定义是对概念含义的描述规定，需与事实、性质类命题区分． 【详解】解：A、两点确定一条直线，是基本事实，不属于定义； B、两点之间的所有连线中，线段最短，是基本事实，不属于定义； C、对“两点之间的距离”的含义作出明确规定，属于定义； D、三角形中任意两边的和大于第三边，是三角形的性质定理，不属于定义． 【变式3】. （25-26七年级下·江苏·单元测试）下面各个命题中，定义为（ ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在正数前加上符号“”的数叫作负数 D．今天的天气很好 【答案】C 【详解】解：A、两点之间，线段最短，是性质不是定义，不符合题意； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是性质不是定义，且原说法错误，不符合题意； C、在正数前加上符号“”的数叫作负数，是定义，符合题意； D、今天的天气很好，不是定义，不符合题意． 题型06 写出一个命题的已知、求证并证明 先画图、标符号，再据条件写已知、据结论写求证，最后用定义、基本事实、定理推理并注明依据。 【典例6】. （2025八年级上·安徽滁州·专题练习）求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．） 【答案】 已知：． 求证：． 证明：过点作的平行线， ， ，， ， ． 【分析】过点作的平行线，根据平行线的性质得到，，再根据平角的定义，即可得到三角形三个内角的和等于． 【详解】略 【变式1】. （24-25七年级下·山东泰安·期中）证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明． 【答案】 已知：如图，， 求证：； 证明：过点作，如图， ∵， ， ， ， 三角形内角和． 【分析】本题主要考查了三角形内角和的证明，平行线的性质，利用平行线的性质，将三角形的三个内角集中到同一个顶点，再由平角为，证明即可． 【详解】略 【变式2】. （25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，①，②，③，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题， (1)正确的命题有 个． (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】(1)3 (2)解：如图： 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．（三选一即可） 【分析】（1）利用平行线的判定和性质，进行判定即可； （2）利用平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】（1）解：从①，②，③请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题，共可组成三个命题，均为真命题， 即正确的命题有3个； （2）略 【变式3】. （25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】(1)， (2) 证明：平分 平分， ， ， ； (3)真 【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）根据题意，直接写出结论． 【详解】（1）解：已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． （2）略 （3）通过（2）的推理证明，此命题是真命题． 题型07 补全证明过程、填写理论依据 结合已知与图形，先判断每一步所用定理（如平行线性质、角平分线定义、等量代换），再补全推理。 【典例7】. （26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）完成下面证明过程，并在括号内填写理由．如图，已知于，于，，求证：． 证明：延长，相交于点， ，（已知）， ，（垂线的定义）， （_______①__________）， （_______②___________）， __③_____（_________④________）． 又（已知）， ∴______⑤_______（等量代换）， （_______⑥__________）． 【答案】①等量代换， ②同位角相等，两直线平行， ③， ④两直线平行，同位角相等， ⑤， ⑥内错角相等，两直线平行． 【分析】根据题意得到，由平行线的判定得，由平行线的性质得，等量代换得到，由此即可得解． 【详解】略 【变式1】. （25-26七年级下·北京海淀·期末）如图，，，三点在一条直线上，，，．试说明：． 请将下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 解：因为（已知）， 所以① （内错角相等，两直线平行）． 因为（已知）， 所以② （③ ）， 所以（④ ）， 所以 ， ． 又因为（已知）， 所以（⑤ ）． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；等量代换． 【分析】先由三个已知角关系证出两组平行，即，；再用平行传递得到；最后用等量代换证得即可． 【详解】略 【变式2】. （25-26七年级下·河北张家口·期末）补全下面证明过程． 如图，点在上，点在上，已知，，求证：． 证明：（已知）， （                    ）， （                    ）． ________（                    ）． ________（两直线平行，内错角相等）． （已知）， （                    ）． ________（同位角相等，两直线平行）． （                    ）． 【答案】邻补角定义；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；；等量代换；；两直线平行，同位角相等 【分析】根据平行线的性质和判定方法求解即可． 【详解】略． 【变式3】. （25-26七年级下·宁夏·期中）构造平行线是初中数学常见的一种作辅助线的方法，平行线的本质作用是“移角（改变角的位置，不改变角的大小）”，具体来说，要转移角的位置，可以通过“过一点作已知直线的平行线”实现： 已知：如图1，直线，点在直线之间，试探究三者的数量关系． 分析：我们过点作的平行线．可以实现“移角”的功能． 解答过程： 解：过点作， ________．（依据是____________________________________） ， （依据是____________________________________）． _______．（依据是__________________________________） 又， _________． 【答案】；两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ；两直线平行，内错角相等；； 【分析】根据平行线的性质得到，再推得，由此，据此可得； 【详解】略 一、单选题 1．命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 【答案】D 【分析】先将原命题改写为“如果…那么…”的形式，区分出完整题设和结论，再判断“内错角”的属性 【详解】解：将原命题改写为“如果两直线平行，那么内错角相等”， 命题中，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论， ∵ 完整题设为“两直线平行”，完整结论为“内错角相等”， ∴ “内错角”只是结论中的部分名词，既不是完整题设，也不是完整结论， 因此选D 2．能说明命题“如果，那么”是假命题的一个的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】找出满足但的的值即可． 【详解】解：A、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； B、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； C、，满足，且，符合命题结论，不能说明命题是假命题； D、，满足，且，不满足，可以说明该命题是假命题． 3．下列命题中，真命题是（     ） A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是 B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数 C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和 D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、 【答案】D 【详解】解：A选项，，即1的立方等于本身，故A为假命题； B选项，，即0的绝对值等于本身，故B为假命题； C选项，的平方根是，不等于本身，故C为假命题； D选项，，，的立方根均等于本身，故D为真命题． 二、填空题 4．定理可以作为证明后续命题的_______，根据_______，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的_______的和． 【答案】 依据 三角形内角和定理及平角的定义 两个内角 【分析】本题考查定理和命题，根据三角形的内角和定理以及平角的定义推出三角形的外角的性质，作答即可． 【详解】解：定理可以作为证明后续命题的依据，根据三角形内角和定理及平角的定义，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 故答案为：依据，三角形内角和定理及平角的定义，两个内角 5．将命题“在三角形中，等边对等角”改写成“如果……，那么……”的形式是：___________． 【答案】如果在一个三角形中有两条边相等，那么这两条边所对的角相等 【详解】略 6．下列命题：①对顶角相等；②如果，那么；③若，，则；④两个锐角拼在一起一定是钝角．其中是真命题的有__________．（填序号） 【答案】①② 【详解】①由对顶角的性质可知，对顶角相等，故①是真命题； ②根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不改变，已知，，可得，故②是真命题； ③同一平面内，若，，则，故原命题是假命题； ④举例：两个锐角分别为和，和为，仍为锐角，不是钝角，故原命题是假命题． 三、解答题 7．判断命题“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是真命题还是假命题，并说明理由． 【答案】 该命题是假命题 理由：∵只有两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等， 又∵原命题未限定两条被截直线平行， ∴存在反例：如图，两条不平行的直线、被直线所截，内错角与不相等， ∴ 该命题是假命题． 【分析】内错角相等的前提是两直线平行，对比原命题条件，结合反例即可判断真假． 【详解】略 8．指出下列命题中的真命题和假命题，若是假命题，请举出反例： (1)两个锐角的和等于； (2)当时，一定成立． 【答案】(1)假命题． 反例：两个锐角分别为和，它们的和为，不等于（反例不唯一）． (2)真命题 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴． 9．如图，已知：，．求证：． 将下面证明过程补充完整： 证明：（已知）， ∴____________________________（__________________）． 又∵（已知）， ∴____________________________（__________________）． （__________________）． 【答案】；； 同位角相等，两直线平行；；；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】先由，利用同位角相等，两直线平行得到；再结合已知，根据平行公理的推论得到；最后由两直线平行，内错角相等证得． 【详解】证明：（已知）， （同位角相等，两直线平行）． 又（已知）， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）． （两直线平行，内错角相等）． 1．下列命题：①同位角相等；②在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条直线；③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；④相等的角是对顶角．其中真命题的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】明确同位角、垂直定义、平行线的性质、平行公理以及对顶角的定义和性质，再逐一分析每个命题是否正确即可． 【详解】解：①只有两直线平行时同位角才相等，故①是假命题； ②在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条，则它也垂直于另一条直线，故②是真命题； ③根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故③是真命题； ④对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故④是假命题， ∴真命题共有2个． 2．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数 ， 的值为____________，____________． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【详解】解：取，满足，但， 故能说明该命题是假命题．（答案不唯一，满足 且即可） 3．素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为________时，不是一个素数． 【答案】 【分析】本题主要考查素数的定义，熟练掌握素数的定义（只能被和它自身整除的自然数）是解题的关键．通过代入不同的自然数（）到中，计算结果并判断是否为素数，找到反例． 【详解】解：当时，，是素数； 当时，，，不是素数． 故答案为： 4．已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行．” (1)写出这个命题的题设和结论； (2)画出符合这个命题的几何图形； (3)用几何语言叙述这个命题； (4)判断这个命题的真假，并说明理由． 【答案】(1)题设：两条平行线被第三条直线所截；结论：一对内错角的平分线互相平行 (2) 如图即为所求． (3)已知分别平分和，则． (4) 这个命题是真命题．理由如下： ， ， 又分别平分和， ， ， ， ∴这个命题是真命题． 【分析】本题主要考查了命题、几何语言、平行线的判定与性质等知识点，掌握平行线的判定与性质成为解题的关键． （1）直接确定题设和结论即可； （2）直接根据题意画图即可； （3）将该命题写出几何语言即可； （4）由两直线平行、内错角相等可得，再根据角平分线的定义可得，即，然后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）解：题设：两条平行线被第三条直线所截；结论：一对内错角的平分线互相平行． （2）略 （3）略 （4）略 5．设都是实数，考虑如下3个命题：①若，且，则；②若，且，则；③若，且，则．试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；对你认为不正确的命题，用反例予以否定． 【答案】②正确，①③不正确； 令，，则，则命题①不正确； 令，，则，则命题③不正确； 由，，得，则，， 故，则命题②正确． 【分析】本题主要考查了命题真假的判断，通过分析举例判断是做题的一种常见方法． 利用举反例的方法证明①和②，根据已知条件得到，化简，即可得证． 【详解】略 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $