第7章 1 为什么要证明-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

85 第七章 证明 7.1为什么要证明 01基础达标 6.某汽车的变速箱有1~6号齿轮受电脑程序控 知识点推理论证 制，自动啮合传动，这些齿轮在工作中的程序 是：如果1号转动，那么2号转，但是5号停； 1.下列问题用到推理的是 如果2号或者5号转动，则4号停；3号和4号 A.根据x=1,y=1得x=y B.观察得到四边形有四个内角 可以同时转，不能同时停；5号和6号必有一个 在转动.若1号齿轮转动，则同时转动的另外 C.老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘 三个齿轮是 D.由公理知道过两点有且只有一条直线 7.编号为A,B,C,D,E的五台收割机，若同时启 2.下列推理正确的是 动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需 A.如果a>b,那么a2+1>b+1 B.若a>b,则ac>bc 时间如表： 收割机编号 A,B B,CC,DD,E A.E C.若a>b,b>c,则a>c 所需时间（小时） 23 19 20 2218 D.因为两个角的和为180°，所以这两个角互 为邻补角 则收割最快的一台收割机编号是 3.当n=1,2,3,4时，代数式n2一n十5的值都是 03思维拓展 质数，那么当n为正整数时，代数式n2一n十58.一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相 的值一定都是质数吗？ 等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”， 如101,232,555等都是“对称数” 观察：101-(1+0+1)=99=9×11；232-(2+3+ 2)=225=9×25;555-(5+5+5)=540=9×60…. 02能力提升 猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得 结果能够被整除。 4.下列说法正确的是 验证：(1)若这个“对称数”是979，请通过计算 A.小明今年13岁，爸爸的年龄是他的3倍，两 验证小红的猜想； 年后，小明15岁，爸爸45岁 (2)设一个对称数的百位数字与个位数字均为 B.对于自然数n,n2+n十37一定是质数 a,十位数字均为b,请你通过推理说明小红的 C.因为对顶角必然相等，所以相等的角也必是 猜想是正确的. 对顶角 D.有10个苹果，将它放在9个筐里，则至少有 一个框中的苹果不少于2个 5.某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单 循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平 一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束 后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四 名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与 乙打平的球队是 () A.甲 B.甲与丁C.丙 D.丙与丁4.3.65.C6.A 6.D7.A8.12-1 ∠BOC,∴.∠AOB=∠DOC 7.(1)8: 9.①③② 7.3平行线的证明 (2)评委对乙同学的评价更一致； 10.(1)如果两个三角形全等，那么 第1课时平行线的判定 (3)甲被选中」 这两个三角形的对应角相等；真 1.C2.80 8.B9.D10.C 命题 3.909034同位角相等，两 .13:21:3) (2)如果一个数是非负数，那么它 直线平行 12.1 的绝对值等于它本身；真命题 4.D 13.(1)8890;(2)乙； (3)如果一个角是两个锐角的 5.BC ED 内错角相等，两直线 (3)甲种西瓜的品质较好些，理 和，那么这个角是钝角，是假命 平行 由为：甲种西瓜得分的众数比乙 题，例如，一个角是30°，另一个 6.证明略.7.D 种的高. 是40°，则这两个角的和是70°， 8.证∠B+∠DCB=180° 乙种西瓜的品质较好些，理由 70°不是钝角. 9~10.证明略.11.a∥b,理由略. 为：乙种西瓜得分的中位数比甲 (4)如果a>b,那么a2>b2,是假 12.(1):AELCE,∴.∠AEC=90°， 种的高。 命题，例如：a=-1,b=-2,a 即∠2+∠3=90°，∴.∠1+∠4 第七章 证明 =1,b=4,则a<b,∴.a>b, =180°-∠AEC=90°， 7.1为什么要证明 则a>b,是假命题. 又：EC平分∠DEF, 1.A2.C 第2课时定理、公理与证明 ∴∠3=∠4，∴.∠1+∠3=90°， 3.当n为正整数时，代数式n2-n十 1.A2.B3.B4.D5.C6.B .∠1=∠2. 5的值不一定都是质数，例如，当 7.D8.A (2)∠1=∠A,由(1)知∠1 n=5时，n2-n+5=52-5+5= 9.证明略 ∠2，∠2=∠A,∴.AB∥EF, 25,25不是质数 10.(1)依据：内错角相等，两直线平 同理∠3=∠C,CD∥EF, 4.D5.B 行，是定理； .AB∥CD. 6.2号，3号，6号7.C (2)依据：两边及其夹角分别相 13.同位角相等，两直线平行内错 8.(1)979-(9+7+9)=954=9× 等的两个三角形全等，是公理」 角相等，两直线平行图略 106,故将“对称数”减去其各位数 11.证明略. 第2课时平行线的性质 字之和，所得结果能够被9整除； 12.(1)①②→③；①③→②：②③→① 1.B2.C3.20°4.132°5.90. (2)(100a+10b+a)-(a+b+a) (2)答案不唯一，如选择①③→ 6.对顶角相等ACBE同位角 =99a+9b=9(11a+b), ②，证明略 相等，两直线平行两直线平行， a,b为整数，.9(11a十b)能被 13.AC与CE垂直且相等.证明如 同位角相等45内错角相 9整除， 下：：AB⊥BD,ED⊥BD, 等，两直线平行 ·.“对称数”减去其各位数字之 ∠B=∠D=90°，又AB= 7.AE∥BF.理由略， 和，所得结果能够被9整除. CD,BC=DE, 8.C9.①②④ 7.2认识证明 .△ABC≌△CDE(SAS), 10.AD平分∠BAC,理由略. 第1课时定义与命题 .AC=CE,∠A=∠DCE, 11.(1)证明略；(2)∠1=20°， 1.D2.A3.D .∠A+∠B+∠ACB=180°， 12.(1):AD∥BC,OF∥BC, 4.两直线被第三条直线所截，如果 .∠A+∠ACB=90° .AD∥OF, 内错角相等两直线平行 ∴.∠ACB+∠DCE=90°， .∠FOB=∠B,∠A=∠AOF 5.(1)(2)是问句，所以(1)(2)不是 ∴.∠ACE=90°，即AC⊥CE,故 ∠AOB=∠AOF+∠FOB, 命题，其余2个都是命题： AC与CE垂直且相等， ∴.∠AOB=∠A+∠B: (3)如果两个角是相等的角的补 14.(1)∠AOD=115°；(2)证明略： (2)设∠ADB=x,则∠DAO= 角，那么这两个角相等； (3)成立.理由：∠AOB= ∠ADB+20°=x+20°， (4)如果两条射线是邻补角的角 ∠AOC-∠BOC=90°-∠BOC, :AD∥BC, 平分线，那么它们互相垂直. ∠DO℃=∠BOD-∠BOC=90° .∠DBC=∠ADB=x. 64 由(1)知∠AOB=∠DAO+ .DE∥BC, ∴.HF∥AB.MF⊥FN, ∠DBC=x+20°+x=2x+20°. ∴.∠AED=∠C=40°， ∴.∠MFN=90°，∴.∠HFN= ∠AOB=∠DOC=70°， :DG∥AC, ∠MFN-∠MFH=40°，.∠1 ∴.2x+20°=70°，∴.x=25°， .∠EDG=∠AED=40°； =140°，..∠1+∠HFN=180°， ∠DBC=x=25°. (2)DE∥BC, .HF∥CD..AB∥CD. 第3课时平行线的性质和判定的 .∠AED=∠C=a, 专题十一与平行线有关的计算 综合运用 .∠DEC=180°-a, 1.∠C=∠3，.BC∥EF,.∠1 1.C2.B3.82°4.35 ,∠FEC=2∠DEF, +∠2=180°，，∠2=80°，.∠1 5.:EF∥AB,.∠DEF=∠BDE. :∠DEF=∠A, ∴∠DEF=子∠DEC-0-3a 1 =100°，：∠1+∠3=140°，.∠3 =40°，∠C=∠3，∴.∠C=40°， ∴∠BDE=∠A, :DG∥AC, ∠A=∠D,.AB∥CD, ∴.DE∥AC, ∴.∠DGE=∠CEF=2∠DEF ∴.∠B=∠C=40° ∴.∠ACB=∠BED=60°. =120°-2 a,:DE∥BC, 2.AC∥BH,∴.∠ABH=∠MAC 6.B7.D =30°，AB∥CD,.∠MBD+ 8.(1)证明：AB∥DG, ∴∠EFC-∠DEF=6O°- 3a, ∠BDC=180°，∴.∠MBD=1809 ∴∠BAD=∠1， ∴.∠DGF=180°-∠DGE=60 -75°=105°，：BE平分∠DBA, ∠1+∠2=180°， ∴.∠BAD+∠2=180°， +&,∠BFG=180°-∠EFC ∠MBE=2∠MBD=52.5, .AD∥EF; =120°+3a, .∠EBH=∠EBA-∠HBA= (2)懈：：∠1+∠2=180°，∠2= 52.5°-30°=22.5° 142°， :∠GF=子∠BPG,60+号a3.(山)证阴：∠1+∠DFE=18, 2 .∠1=38°， ∠1+∠2=180°，∴.∠2=∠DFE, 3 ,DG是∠ADC的平分线， ×120°+ 3a)a=72 AB∥EF,∠3=∠ADE, ∴.∠CDG=∠1=38°， 专题十证明平行 DE∥BC,.∠ADE=∠B, AB∥DG, 1.∠1=∠2，∴.AD∥BE,.∠D ∠3=∠B; ∴∠B=∠CDG=38 =∠DBE,又∠3=∠D,.∠3 (2):DE平分∠ADC,∴.∠ADE 9.(1):∠A=∠ADE, =∠DBE,.BD∥CE =∠EDC,,DE∥BC,.∠ADE ∴.AC∥DE, 2.,CDLAB(已知)， =∠B=∠EDC,由(1)知∠3= ∴∠EDC+∠C=180°， ∴.∠ADC=90°（垂直的定义）. ∠B,∴.∠ADE=∠3，.AD∥ 又：∠EDC=3∠C, ∴.∠1+∠CDE=90°， EF,∴.∠1=∠ADC=2∠B. .4∠C=180°，即∠C=45°； ∠1+∠2=90°（已知）， :∠2=3∠B,∠2+∠ADE+ (2)BE∥CD,理由如下： ∴.∠CDE=∠2（同角的余角相等）. ∠EDC=180°，.5∠B=180°， 由(1)知AC∥DE, ∴.DE∥BC(内错角相等，两直线 ∴.∠B=36°，∴.∠1=2∠B=72° ∠E=∠ABE, 平行). 4.(1)证明：：EC平分∠DEF,∴∠3 又∠C=∠E, 3.∠A+∠B=180°，AD∥BC =∠4.∠4=∠C,∴∠3=∠C, ∴∠C=∠ABE,∴.BE∥CD. ,∠EFC=∠DCG,∴.EF∥BC, ∴.EF∥CD.又：AB∥CD,∴AB∥ 10.(1)过点O作l∥m.:m∥n, .AD∥EF. EF: .l∥m∥n. 4.CD∥EF.理由如下：AB⊥BD, (2)设∠3=∠4=∠C=a,则∠2= m∥1，.∠4=∠1=100°. CD⊥BD,.∠B+∠D=180°， 90°-∠3=90°-a,EF∥CD,.∠1 :l∥n,∴∠3=∠4+∠2=100 .AB∥CD,又：∠1+∠2= =180°-∠2-∠3-∠4=90°-， +30°=130°； 180°，.AB∥EF,∴.EF∥CD. ∴.∠A=90°-a,∠A=∠2， (2)∠3=∠1+∠2. 5.AB∥CD.理由如下：：∠2=50°， ..AB∥EF, 11.(1)∠B=∠ADE=60°， ∠MFH=50°，∴.∠2=∠MFH, ∴.ABCD.∴.∠B+∠D=180°. 66