7.1-7.2为什么要证明 认识证明（分层作业）数学北师大版2024八年级上册

7.1-7.2为什么要证明 认识证明 5大知识点（基础）+能力提升题（5道）+拓展培优练（3道） 一、命题的判断 1．（24-25七年级下·山东临沂·期末）下列句子是命题的是（   ） A．连接 B．小于的角是锐角？ C．画 D．相等的角是对顶角 【答案】D 【分析】本题考查命题的识别．命题是能够判断真假的陈述句，需满足两个条件：①是陈述句；②有明确的真假． 【详解】解：A．“连接”是作图指令，属于祈使句，无法判断真假，不是命题． B．“小于的角是锐角？”是疑问句，不是陈述句，因此不是命题． C．“画”是作图指令，属于祈使句，因此不是命题． D．“相等的角是对顶角”是陈述句，且可以判断真假．因此是命题． 故选：D． 2．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）下列语句中，不是命题的是（    ） A．相等的两个角是对顶角 B．如果，那么 C．延长线段 D．同位角相等 【答案】C 【分析】该题考查了命题，命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题．逐一分析选项是否为陈述句且能判断真假． 【详解】解：A．“相等的两个角是对顶角”是陈述句，可判断为假（相等的角不一定是对顶角），属于命题． B．“如果，那么”是陈述句，逻辑上为真，属于命题． C．“延长线段”是祈使句，表示指令而非陈述事实，无法判断真假，故不是命题． D．“同位角相等”是陈述句，虽可能为假（需特定条件），但仍可判断真假，属于命题． 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列选项中不是命题的是（   ） A．正数大于负数 B．过直线外一点作直线的平行线 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查了命题的定义：判断一件事情的语句叫命题．命题必须是一个完整的句子，它必须对某一件事情作出肯定或否定的判断，命题一般为陈述句，疑问句与作图语句（祈使句）、感叹句等都不是命题．判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可． 【详解】解：A．正数大于负数，是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意； B．过直线外一点作直线的平行线是作图语言，不是可以判断真假的陈述句，不是命题，符合题意； C．三角形的任意两边之和大于第三边，是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意； D．如果，那么，是可以判断真假的陈述句，是命题，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）下列句子中，属于命题的是（   ） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 【答案】B 【分析】本题考查了命题的定义，熟记能够判断一件事情的语句叫做命题是解题关键．根据命题的定义，逐一分析各选项是否为陈述句且可判断真假即可． 【详解】解：A.画一条线段等于已知线段，不是命题； B.垂线段最短，是命题； C. 利用三角板画出的角，不是命题； D. 直角都相等吗？不是命题； 故选：B． 二、命题真假的判断 1．（24-25八年级上·四川眉山·期末）下列说法：①“相等的角是对顶角”是假命题；②命题“若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等”的逆命题是假命题；③一锐角和斜边分别对应相等的两个直角三角形全等；④若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为60°．其中说法正确的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据所学的知识，理解判断解答即可． 本题考查了基础知识的综合，熟练掌握数学基础知识是解题的关键． 【详解】解：①“相等的角是对顶角”是假命题，本结论正确； ②命题“若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等”的逆命题是假命题，本结论正确； ③一锐角和斜边分别对应相等的两个直角三角形全等，本结论正确； ④若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为， 当高在等腰三角形的内部时，； 当高在等腰三角形的外部时，； 故这个等腰三角形的顶角的度数为或，本结论错误． 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列命题是假命题的是（   ） A．的绝对值是 B．对顶角相等 C．两点确定一条直线 D．如果直线，那么直线 【答案】A 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．由绝对值的意义，对顶角的性质，直线的确定，平行公理的推论，即可判断． 【详解】解：A、的绝对值是2，原命题错误，符合题意； B、对顶角相等，原命题正确，不符合题意； C、两点确定一条直线，原命题正确，不符合题意； D、如果直线，那么直线，原命题正确，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级下·云南昆明·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行 C．若，则 D．0没有相反数 【答案】B 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的性质和判定，等式的性质，相反数的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、同位角不一定相等，原命题是假命题； B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题； C、若，则，原命题是假命题； D、0的相反数是其本身，原命题是假命题； 故选：B． 三、举反例 1．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）下列四组的值，能说明命题“若，则”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了命题真假性的判断，代入具体数值检验选项是否成立是解决本题的关键． 要证明命题“若，则”为假，需找到满足但的例子即可． 【详解】解：选项A：，， 则有，，满足，但，命题成立，故排除； 选项B：，。 则有，，满足，但，此时，命题不成立； 选项C：，， 则有，，满足，但，命题成立，故排除； 选项D：，， 则有，，不满足，故排除， 综上，选项B是唯一满足条件的反例，说明原命题为假． 故选：B ． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，要说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题，需找到两个锐角的和不是钝角的例子，即可判断． 【详解】解：A、，是钝角，不符合题意； B、，是钝角，不符合题意； C、，是钝角，不符合题意； D、，是锐角，说明两锐角的和可能不是钝角，符合题意． 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）对假命题“若，则”举一个反例，符合要求的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据有理数的大小比较法则、有理数的乘方法则计算，判断即可． 【详解】解：当时，，而， ，是“若，则”的一个反例， 故选：A． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，非负数的性质：偶次方，关一键是通过计算得到与命题的结论相反的例子． 由命题的条件，找到与命题的结论相反的例子即可． 【详解】解：A、，，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意． 故选：D． 四、定理与证明 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）下列可以作为定理的有（    ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：能被2整除的数未必能被4 整除，所以①是假命题，不能作为定理； 相等的角是对顶角是假命题，所以②不能作为定理； 25 与x的平均值是 ，所以③是假命题，不能作为定理； 三角形的内角和为，经过证明是正确的，所以④可以作为定理． 故选：A． 2．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）下列语句中，是定义的是（    ） A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角 C．同角的余角相等 D．延长至D使 【答案】B 【分析】本题考查了全是与定理的知识，利用定义的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A. 若两角之和为，则这两个角互余，不是定义，不符合题意； B.相等的角是对顶角，是定义，符合题意； C.同角的余角相等，不是定义，不符合题意； D. 延长至D使，不是定义，不符合题意； 故选：B 3．（23-24七年级下·湖北黄石·阶段练习）“同位角相等，两直线平行”是（　　） A．公理 B．定理 C．定义 D．待证的命题 【答案】A 【分析】本题考查的是命题和定理，根据公理的概念判断即可． 【详解】解：“同位角相等，两直线平行”是基本事实，是公理， 故选：A． 五、命题的题设与结论 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题，命题是由题设与结论两部分组成．根据把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面，进而得出结论． 【详解】解：命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如果，那么，这个命题的条件是 ，结论是 ． 【答案】 【分析】本题考查了命题的结果，掌握命题是由题设（条件）和结论组成是关键，根据命题的结果判定即可求解． 【详解】解：如果，那么， ∴这个命题的条件是，结论是， 故答案为：①，② ． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ；该命题的条件是 ，结论是 ． 【答案】 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【分析】本题主要考查了命题与定理，根据命题的构成，如果前面是条件，那么后面是结论，解答即可． 【详解】解：同角的余角相等改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等， 该命题的条件是：两个角是同一个角的余角， 结论是：这两个角相等， 故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；两个角是同一个角的余角；这两个角相等． 4．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）“垂直同一条直线的两条直线互相平行”这个命题的条件是 ． 【答案】两条直线垂直于同一条直线 【分析】本题考查了命题的改写，根据命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果那么”的形式即可，解题的关键是正确理解“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．任何一个命题都可以写成“如果那么”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论，在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意． 【详解】解：命题可以改写为：“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”． 条件是：两条直线垂直于同一条直线，结论是：这两条直线平行； 故答案为：两条直线垂直于同一条直线 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）下列选项中，可以用来说明命题是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了举反例. 根据绝对值的性质、假命题的概念解答即可. 【详解】解：A、当时，，不能说明命题是假命题，不符合题意； B、当时，，不能说明命题是假命题，不符合题意； C、当时，，不能说明命题是假命题，不符合题意； D、当时，，能说明命题是假命题，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）下列可以说明命题“如果，那么”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】该题考查了举反例，要说明命题“如果，那么”是假命题，需找到满足但的例子．逐一验证选项即可． 【详解】解：选项A：，，，满足条件．，结论成立，故A不是反例． 选项B：，，，满足条件．，结论成立，故B不是反例． 选项C：，，，满足条件．，结论成立，故C不是反例． 选项D：，，，满足条件．，结论不成立，故D是反例． 故选：D． 3．（24-25七年级下·北京东城·期末）以下四个命题中，是真命题的是（　　） A．若，则 B．9的平方根是3 C．的相反数是它本身 D．点到两条坐标轴的距离都是1 【答案】D 【分析】本题主要考查了真假命题的判断，不等式的性质，平方根的定义，相反数，点到坐标轴的距离等知识，逐一分析各选项是否符合数学定义或性质即可判断． 【详解】解：A． 若a，b，两边同乘时不等号方向改变，即，故A错误． B． 9的平方根是，而3是算术平方根，故B错误． C． 的相反数为，显然不等于原数，故C错误． D． 点到x轴的距离为，到y轴的距离为，均等于1，故D正确． 故选：D 4．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列命题中，真命题的个数有（   ） ①如果两条直线没有交点，那么这两条直线平行；②一定没有平方根：③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④两个无理数的和还是无理数；⑤存在最大的负实数；⑥是的立方根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题、平行线的性质、垂直、平行公理、垂线段最短，熟练掌握性质和公理是解题的关键． 根据平行线的性质、垂直、平行公理、垂线段最短逐项判断即可解答． 【详解】解：①在同一平面内，如果两条直线没有交点，那么这两条直线平行，故该命题是假命题； ②当时，，存在平方根（如，则有平方根），故该命题为假命题； ③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故该命题是真命题； ④反例：和是无理数，但是有理数，故该命题为假命题； ⑤负实数无最大值，则存在更接近0的负实数，故该命题为假命题； ⑥是的立方根，故该命题为假命题． 综上，真命题的个数有1个． 故选：A． 5．（23-24八年级上·福建三明·期末）如图，在中，，分别是的角平分线和高线，点F在延长线上，，交于点G，交于点H．给出下列结论：①；②；③；④． 其中结论正确的为 ．（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】对于①，根据直角三角形的性质及同角的余角相等，即可判断结果； 对于②，通过举反例“当，时，．”计算可得②的结论不成立； 对于③，根据三角形的外角性质，即可判断结果； 对于④，根据是的角平分线，，可得，再利用三角形的外角性质，可逐步推得结论成立． 【详解】对于①， 是的高线， ， ， ， ， ， ①正确； 对于②， 举反例，当，时，． 理由如下： 当，时， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 而， ， ②错误； 对于③， 是的外角， ， 是的外角， ， 而由①知， ， ， ③正确； 对于④， 设与交于点，与交于点， 是的角平分线， ， ， ， 又，， ， ④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的高，举反例的方法，熟练掌握相关知识及方法是解答本题的关键． 1．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）可以用来说明“，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明“若，则”是假命题，通过满足但的例子逐一排除即可，理解题意是解题关键． 【详解】解：、∵，， ∴，，此时，不满足，不符合题意； 、∵，， ∴，，满足， ∵， ∴成立，不是反例，排除，不符合题意； 、∵，， ∴ ，，此时，不满足，排除，不符合题意； 、∵，， ∴，，满足， ∵，∴不成立，符合反例条件，符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）下列命题：①相等的角是对顶角；②算术平方根等于它本身的数有两个，分别是0和1；③已知关于的二元一次方程组，不论取什么有理数，的值始终不变；④已知正实数的平方根是和，若，则；⑤若不等式对一切实数都成立，则的最大值是5； 其中真命题是： ．（请填序号） 【答案】②③④ 【分析】根据对顶角、平方根、解二元一次方程组、代数式求值、绝对值等知识逐项判断即可． 【详解】解：①对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，所以①是假命题； ②算术平方根等于它本身的数有两个，分别是0和1，即②是真命题． ③解方程组可得：，则， 所以不论取什么有理数，的值始终不变，③是真命题． ④因为正实数的平方根是和， 所以，即，且， 因为， 所以，即， 因为正实数，则，④是真命题． ⑤：设， 当时，； 当时，； 当时，． 所以的最小值是3， 若不等式对一切实数a都成立，则，即m的最大值是3，则⑤是假命题． 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查了对顶角、平方根、解二元一次方程组、代数式求值、绝对值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 3．（24-25七年级下·云南昭通·期末）已知命题：如果与互为相反数，那么与互为相反数． (1)请写出上述命题的题设和结论，并判断是真命题还是假命题； (2)若与互为相反数，求的值． 【答案】(1)题设：与互为相反数；结论：与互为相反数；真命题； (2)． 【分析】本题考查实数的性质，解一元一次方程，熟练掌握相反数的定义，立方根的定义，是解题的关键： （1）根据“如果”引导的部分是题设，“那么”引导的部分是结论，进行作答即可； （2）根据（1）中结论，得到，求出的值即可． 【详解】（1）解：题设：与互为相反数； 结论：与互为相反数；此命题为真命题； ∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 即：与互为相反数； （2）由（1）可知：与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1-7.2为什么要证明 认识证明 5大知识点（基础）+能力提升题（5道）+拓展培优练（3道） 一、命题的判断 1．（24-25七年级下·山东临沂·期末）下列句子是命题的是（   ） A．连接 B．小于的角是锐角？ C．画 D．相等的角是对顶角 2．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）下列语句中，不是命题的是（    ） A．相等的两个角是对顶角 B．如果，那么 C．延长线段 D．同位角相等 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列选项中不是命题的是（   ） A．正数大于负数 B．过直线外一点作直线的平行线 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．如果，那么 4．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）下列句子中，属于命题的是（   ） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 二、命题真假的判断 1．（24-25八年级上·四川眉山·期末）下列说法：①“相等的角是对顶角”是假命题；②命题“若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等”的逆命题是假命题；③一锐角和斜边分别对应相等的两个直角三角形全等；④若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为60°．其中说法正确的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②③④ 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列命题是假命题的是（   ） A．的绝对值是 B．对顶角相等 C．两点确定一条直线 D．如果直线，那么直线 3．（24-25七年级下·云南昆明·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行 C．若，则 D．0没有相反数 三、举反例 1．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）下列四组的值，能说明命题“若，则”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）对假命题“若，则”举一个反例，符合要求的反例是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为(    ) A． B． C． D． 四、定理与证明 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）下列可以作为定理的有（    ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）下列语句中，是定义的是（    ） A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角 C．同角的余角相等 D．延长至D使 3．（23-24七年级下·湖北黄石·阶段练习）“同位角相等，两直线平行”是（　　） A．公理 B．定理 C．定义 D．待证的命题 五、命题的题设与结论 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如果，那么，这个命题的条件是 ，结论是 ． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ；该命题的条件是 ，结论是 ． 4．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）“垂直同一条直线的两条直线互相平行”这个命题的条件是 ． 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）下列选项中，可以用来说明命题是假命题的反例是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）下列可以说明命题“如果，那么”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25七年级下·北京东城·期末）以下四个命题中，是真命题的是（　　） A．若，则 B．9的平方根是3 C．的相反数是它本身 D．点到两条坐标轴的距离都是1 4．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列命题中，真命题的个数有（   ） ①如果两条直线没有交点，那么这两条直线平行；②一定没有平方根：③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④两个无理数的和还是无理数；⑤存在最大的负实数；⑥是的立方根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24八年级上·福建三明·期末）如图，在中，，分别是的角平分线和高线，点F在延长线上，，交于点G，交于点H．给出下列结论：①；②；③；④． 其中结论正确的为 ．（填序号）． 1．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）可以用来说明“，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）下列命题：①相等的角是对顶角；②算术平方根等于它本身的数有两个，分别是0和1；③已知关于的二元一次方程组，不论取什么有理数，的值始终不变；④已知正实数的平方根是和，若，则；⑤若不等式对一切实数都成立，则的最大值是5； 其中真命题是： ．（请填序号） 3．（24-25七年级下·云南昭通·期末）已知命题：如果与互为相反数，那么与互为相反数． (1)请写出上述命题的题设和结论，并判断是真命题还是假命题； (2)若与互为相反数，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$