第24讲 对勾函数与均值不等式链 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

该高中数学讲义聚焦对勾函数与均值不等式链核心考点，按“基础图象与单调性—对偶结构与参数处理—超越对勾与均值链延伸”逻辑架构，通过考点梳理（如标准对勾函数性质）、方法指导（单调消参、对偶恒等式）、真题训练（例题及变式题），帮助学生系统构建知识网络，突破难点。 资料以分层教学为特色，例题涵盖多选、单选等高考题型，变式题梯度设计，结合数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念），如例2通过对偶结构培养逻辑推理，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径，提升学生应考能力。

第24讲 对勾函数与均值不等式链 对勾图象与单调·对偶结构与单调消参·超越对勾 一、对勾函数:图象是 inventor,单调是说明书 1. 标准对勾. ():奇函数,增 与 ,减 与 (两段,分界是断点 );最小值 在 ,最大值 在 。口诀”勾自两处,减在中间、中间断开”. 2. 一般型. ():对勾的伸缩,拐点 ;乘开后均值不等式 就是图象的谷底高度. 3. 均值不等式链. 正数 的四个平均:调和 、几何 、算术 、平方 ,大小关系 ,取等均 。糖水不等式(加正数拉向 )已在第19讲亮相;对数平均 的链上位置在导数模块第17讲精讲. 4. 指数对勾. 是对勾的指数化身:偶函数,最小值 在 ,右侧递增——比较大小只比 . 例1（多选·★★★☆☆） 已知函数满足:当 时,;当 时,。则下列说法中正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 任意,存在,使得恒成立 C. 若方程(,)恰有两个不等实根,,则 D. 若方程()恰有三个不等实根,,,则 A. 为奇函数 B. 任意，存在，使得恒成立 C. 若方程恰有两个不等实根，则 D. 若方程恰有三个不等实根，则 变式1（单选·★★★★☆） 已知函数，，若存在实数、、，使得，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 变式2（单选·★★★☆☆） 已知是函数的图象上的任意一点，过分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则 = （ ） A. B. C. 0 D. 变式3（单选·★★★☆☆） 设函数，记，则（ ） A. B. C. D. 二、对偶结构与单调消参 1. 对偶恒等式. 对 型,有 :倒数对偶把 翻译成 . 2. 单调函数消参. 严格单调时,:含 的条件方程可以脱掉 ——严格单调性就是解冻令. 3. 对勾条件再加工. 型:平方给 ,立方差给 ,整族数值都可以由”和”延展. 例2（多选·★★★☆☆） 已知，，则（ ） A. B. C. D. 变式4（单选·★★★☆☆） 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 变式5（单选·★★★☆☆） 函数，若，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 1 三、超越对勾与均值链延伸 1. 超越对勾. 型( 才有右侧谷):导数 的驻点由 给出——隐零点无初等表达(导数模块第14讲的方法),不等式阶段只估位置. 2. 有界变差. :偶函数,值域 ,在 递减、 递增——跨全轴的最大变差是 . 3. 均值链的延伸场合. 常藏在新定义题;糖水不等式(第19讲)是对 加正数 后的比值走向,两处结论当定理用. 例3（单选·★★★☆☆） 已知函数，，若曲线上存在点P，使得点P关于y轴的对称点在曲线上，则a的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 变式6（填空·★★★☆☆） 已知函数，设，若恒成立，则的最小值为________. 变式7（单选·★★★☆☆） 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24讲 对勾函数与均值不等式链 对勾图象与单调·对偶结构与单调消参·超越对勾 一、对勾函数:图象是 inventor,单调是说明书 1. 标准对勾. ():奇函数,增 与 ,减 与 (两段,分界是断点 );最小值 在 ,最大值 在 。口诀”勾自两处,减在中间、中间断开”. 2. 一般型. ():对勾的伸缩,拐点 ;乘开后均值不等式 就是图象的谷底高度. 3. 均值不等式链. 正数 的四个平均:调和 、几何 、算术 、平方 ,大小关系 ,取等均 。糖水不等式(加正数拉向 )已在第19讲亮相;对数平均 的链上位置在导数模块第17讲精讲. 4. 指数对勾. 是对勾的指数化身:偶函数,最小值 在 ,右侧递增——比较大小只比 . 【通法】对勾先定拐点 ,再看区间落在哪一段. 【通法】均值链四兄弟:调和、几何、算术、平方,取等皆相等. 【通法】 比大小=比绝对值. 例1（多选·★★★☆☆） 已知函数满足:当 时,;当 时,。则下列说法中正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 任意,存在,使得恒成立 C. 若方程(,)恰有两个不等实根,,则 D. 若方程()恰有三个不等实根,,,则 A. 为奇函数 B. 任意，存在，使得恒成立 C. 若方程恰有两个不等实根，则 D. 若方程恰有三个不等实根，则 【切入点】两段拼接:右支 (,谷 在 ),左支 (,严格递增,值域 ,过原点邻域)。 A:取 :,而 ,不等,假; B:取 : 时 ; 时 (因 )。故 对一切 成立,真; C: 段 恰两正根须 ,两根之积为 (韦达);左支 的根为负,不计入”两根”。故 ,真; D:三根窗口须 (右支两根、左支一根——右支 须 才有两根,左支严格递增恒一根)。左支 的根 随 递增,且 时 ;右支两根之和 (等于 时只有一根)。故 真。故 BCD 正确。 【关键】B 的” 万金油”来自对勾的图象位置:右支在 上方、左支也在 上方;D 的窗口边界 交给的是谷底高度 + 渐近行为(左支趋于 ). 【易错】A 的验证点 别代错段: 走的是左支公式 。 【答案】BCD 变式1（单选·★★★★☆） 已知函数，，若存在实数、、，使得，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 即 :关于 有两正根 须 ,即 ;韦达 且 。记 : 取等 ,即 (此时 ,,可行)。故最小值为 选 C。 【关键】三点条件的全部信息浓缩成韦达两条(、),差 用”和与积”拼出;对勾再上场时,自变量已经是干净的 与 . 【答案】C 变式2（单选·★★★☆☆） 已知是函数的图象上的任意一点，过分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则 = （ ） A. B. C. 0 D. 【切入点】()。到直线 的垂足: 到 轴的垂足 ,故 。于是 与 无关,选 B。 【关键】 沿法向、长度恰为点线距离 ;对勾曲线上任一点的”法向量”可以提前写形——定点值 是算出来的,不是猜的. 【答案】B 变式3（单选·★★★☆☆） 设函数，记，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】 偶函数, 时递增,故比 的大小就是比 : 三个绝对值依次增大,故 选 C。 【关键】指数对勾(双曲余弦的表亲)只认 ;中间那个数不必精确,夹逼定序即可:,故 ;又 ——三个绝对值的大小区间互不重叠. 【答案】C 二、对偶结构与单调消参 1. 对偶恒等式. 对 型,有 :倒数对偶把 翻译成 . 2. 单调函数消参. 严格单调时,:含 的条件方程可以脱掉 ——严格单调性就是解冻令. 3. 对勾条件再加工. 型:平方给 ,立方差给 ,整族数值都可以由”和”延展. 【通法】先证 ,再用单调脱 . 【通法】对勾条件平方、立方延展,韦达白拿. 例2（多选·★★★☆☆） 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】,。 A:,开方(均为正)得 ,真; B:,开方得 ;而 给 ,应取 ,“”假; C:,真; D:( 取正),则 假。故 AC 正确。 【关键】对勾条件的”延展表”:平方减二、平方加二、乘以差——A 到 D 全部由 一个方程延展;唯一要动脑的是 B 的符号(由 定). 【答案】AC 变式4（单选·★★★☆☆） 已知函数，若，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【切入点】:,严格递增。又 即 对一切 成立。 于是 ,由严格单调得 取等 ()。故最小值为 选 B。 【关键】两件套:倒数对偶()加严格单调( 可逆),条件方程立刻降为一元;“对偶+单调”是超越方程消参的标准组合拳. 【答案】B 变式5（单选·★★★☆☆） 函数，若，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 1 【切入点】():,严格递增。 对偶恒等式:注意自变量配对 —— 相加恰好为零。故条件 即 ,由严格单调 于是 取等 (即 ,满足 )。故最小值为 选 C。 【关键】对偶的”配比”由条件里的自变量对 反推:要 与 对消,须两自变量互为平方——先试代再验恒等,验证 后一切坦途. 【答案】C 三、超越对勾与均值链延伸 1. 超越对勾. 型( 才有右侧谷):导数 的驻点由 给出——隐零点无初等表达(导数模块第14讲的方法),不等式阶段只估位置. 2. 有界变差. :偶函数,值域 ,在 递减、 递增——跨全轴的最大变差是 . 3. 均值链的延伸场合. 常藏在新定义题;糖水不等式(第19讲)是对 加正数 后的比值走向,两处结论当定理用. 【通法】超越对勾:位置估不出就先放一放,别硬解. 【通法】有界变差:全轴最大摆幅=两端极限之差. 【通法】均值链与糖水:当定理直接引用. 例3（单选·★★★☆☆） 已知函数，，若曲线上存在点P，使得点P关于y轴的对称点在曲线上，则a的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【切入点】设 (),其关于 轴的对称点 在 上: 解出 求最大值: 而 恒真,故 在 为正、 为负,最大值 选 C。 【关键】“存在对称点”翻译成方程后,参数 分离成单变量函数 ;因式分解 一步定号——分离参数是这类题的第一动作,求导只是收尾. 【答案】C 变式6（填空·★★★☆☆） 已知函数，设，若恒成立，则的最小值为________. 【切入点】记 :偶函数,值域 ,在 递减、 递增(两端极限 ,谷底 )。 对从 递增到 的这串点(),和式 是 沿这串点的总变差,不超过全轴最大摆幅: 另一方面,取 , 充分小、 充分大,和式 可任意接近 ,故 必须不小于 ;而 时上界已保证一切和式不超过 。故 的最小值为 【关键】“恒成立求 最小”= 求一切构造下和式的上确界:单调段的变差=端点值差,谷底把全轴拆成两个单调段,各贡献 . 【答案】2 变式7（单选·★★★☆☆） 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】定位三数:;;。 分段求值: 走 支:,,故 ; 走指数支:,,; 也走指数支:。 故 ,选 B。 【关键】分段函数比大小先”分诊”:负数走抛物线支(值小),正数走指数对勾支(比 );三个数各归各位后,只有一次近似的活儿. 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 $