第16讲 极值点偏移 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

该高中数学讲义聚焦高考极值点偏移核心考点，涵盖对称构造定和积、比值代换、条件偏移与不等式结合等内容，按“概念理解-方法应用-综合拓展”逻辑架构，通过考点梳理、方法指导（如对称构造转化和积关系、比值代换消元）、分层训练（例题+变式题），帮助学生系统突破难点。 资料特色在于创新运用“对称构造比函数值”“比值代换降元”等策略，如构造辅助函数证明极值点和积关系，培养学生数学思维与模型观念。设置基础到综合的分层练习，配合即时方法总结，高效提升学生解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第16讲 极值点偏移 对称构造定和积·比值代换·条件偏移与不等式结合 一、对称构造:定和·积之界 1. 偏移是什么. 两极值点(或两零点) 不关于极值点 对称,而命题偏要问 、 与 、 的大小——这就是极值点偏移. 2. 对称构造. 证”“型:由单调性把”和的界”翻译成”函数值比大小”——比较 与 ,构造 定号. 3. 积的界走对数. 型,取对数变”和的界”: 与 ——对数一取,乘法变加法,老构造照用. 4. 比值代换. 令 ,两极值点满足同一方程,消去 (或 )后目标式只含 ;对 的估计(如 )是标配收尾. 例1（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）当时，求函数的最值；（2）若函数有两个不同极值点，证明：. 变式1（解答·★★★★★） 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，且存在两个极值点．①求的取值范围；②设的两个极值点为，证明：． 变式2（解答·★★★★★） （1）求函数在区间上的值域；（2）设函数.①求证：当时，有唯一零点；②，分别是的两个不相等的极值点，求证：. 变式3（填空·★★★☆☆） 已知函数有两个极值点，则的取值范围是____________. 变式4（填空·★★★☆☆） 已知函数恰有1个极值点，则实数的取值范围为___________． 二、比值代换与极值点自身的计量 1. 极值点也是未知数. 极值点 满足 :它带方程入场,凡目标含 都可用该方程化简——极值点的”身份证”. 2. 韦达可在指数上. 含 型时,令 ,两极值点对应的 、 由韦达读出: 一写,差值分式当场化简. 3. 割率与切率. ( 下凸,割线斜率大于中点切线斜率):差值分式的常用估计. 4. 离散优化. 极值点 是参数 的函数时,先对连续的 求导找峰,再在整数点比较取值——连续先行,离散落点. 例2（解答·★★★★★） 已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若函数有两个极值点，①求的取值范围；②证明：. 变式5（单选·★★★☆☆） 已知函数，记的非零极值点为，则取最大值时， = （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 变式6（填空·★★☆☆☆） 已知是函数（）的极值点，则 = ______． 变式7（填空·★★★☆☆） 已知函数在区间上存在极值点，且该极值点处导数存在，则a的取值范围是______． 三、条件偏移与不等式结合 1. 条件偏移. 题目不给”偏移”二字,而给 这类条件反推极值点位置——条件先对数化,再与极值点方程联立. 2. 三次函数的对称心. 关于点 中心对称:()展开因式分解,常与 联立出定值. 3. 明桩与倒对偶. 导函数满足 时,零点成对倒数出现, 是明桩——三极值点问题秒变单侧估计. 4. 估计的分寸. 收官不必死磕精确值:换元 后,目标式乘 会拆成两块,各配一个”求导即胜”的辅助函数(如 与 )——分而治之,够用就停. 例3（解答·★★★★★） 已知函数．（1）若，求函数在处的切线方程；（2）设有且仅有一个极值点，求a的取值范围；（3）若函数存在2个极值点，且满足，求证：． 例4（解答·★★★★★） 已知函数．（1）求在上的最值．（2）设函数．（i）讨论的单调性；（ii）若为的一个极值点，且，，证明为定值． 例5（解答·★★★★★） 已知函数（）.（1）函数在定义域内无极值，求a的取值范围；（2）函数（），有三个不同的极值点，，（从左到右依次记为）；（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）证明. 变式8（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）当时，求的极小值；（2）若存在唯一极值点，证明：. 变式9（单选·★★★☆☆） 设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 极值点偏移 对称构造定和积·比值代换·条件偏移与不等式结合 一、对称构造:定和·积之界 1. 偏移是什么. 两极值点(或两零点) 不关于极值点 对称,而命题偏要问 、 与 、 的大小——这就是极值点偏移. 2. 对称构造. 证”“型:由单调性把”和的界”翻译成”函数值比大小”——比较 与 ,构造 定号. 3. 积的界走对数. 型,取对数变”和的界”: 与 ——对数一取,乘法变加法,老构造照用. 4. 比值代换. 令 ,两极值点满足同一方程,消去 (或 )后目标式只含 ;对 的估计(如 )是标配收尾. 【通法】和的界:对称构造比函数值;积的界:先取对数. 【通法】比值代换 :方程消元,目标一元化. 【通法】()当定理用. 例1（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）当时，求函数的最值；（2）若函数有两个不同极值点，证明：. 【切入点】(1) :,,最大值 ,两端 ,无最小值. (2) :。两个极值点即 的两个变号零点,它们满足同一个方程 由 得 。比值代换:,交叉相乘: 即 。目标:,而 于是(通分,乘正数 ): 末式是 的弱化版( 时成立)。得证 . 【关键】比值代换的三步:同一方程 交叉相乘 解出 ;目标式通分后,剩下的只是对 的一个初等不等式—— 由 拦腰即可. 【答案】(1) 最大值 ,无最小值; (2) 见解析 变式1（解答·★★★★★） 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，且存在两个极值点．①求的取值范围；②设的两个极值点为，证明：． 【切入点】(1) 时 递增; 时增 减 。 (2)① :,,最大值 ,两个变号零点等价于 。 ②两极值点满足 。先把目标式整体化简: 故只须证 ,即 。 比值代换(): 给 末式对 成立。得证。 【关键】先花两行把花哨的目标式化简到底(),再发现它只欠”“——化简在前、偏移在后,是最省力的攻坚顺序;两道题共用同一条 不等式,但化简的功夫各不相同. 【答案】(1) 见解析; (2)① ② 见解析 变式2（解答·★★★★★） （1）求函数在区间上的值域；（2）设函数.①求证：当时，有唯一零点；②，分别是的两个不相等的极值点，求证：. 【切入点】(1) :,最小值 ;端点 、,值域 。 ② :两极值点满足同一方程 (),、。 目标 。用 代入: 在 递增,而 ,故 令 ,构造 : (因 递减且 )。于是 ,,,得证. 【关键】链条四次等价改写,每一环都”可逆”,最后一环落在三阶导锁号上—— 的正号由 担保;这套”层层可逆 + 逐阶锁号”是硬骨头题的标准拆法. 【答案】(1) ; (2)① 见解析 ② 见解析 变式3（填空·★★★☆☆） 已知函数有两个极值点，则的取值范围是____________. 【切入点】:两个极值点 ⟺ 分子有两个落在 内的变号根. 判别式 给 或 ;两根同正还需:和 、积 。 时两根皆负,分子在 上不变号,无极值点。故 【关键】“两个极值点”要过三关:有实根(判别式)、根在定义域内、根处变号;二次导数的根的位置由”和与积的符号”一眼定,不必真解. 【答案】 变式4（填空·★★★☆☆） 已知函数恰有1个极值点，则实数的取值范围为___________． 【切入点】:。 :, 严格递增,值域跨 到 ,唯一变号零点,恰 个极值点; : 先增后减,最大值 ,此时 有两个变号零点,恰 个极值点,不合; : 最大值非正,零点至多一个且不变号(相切),无极值点。 综上 。 【关键】“恰有 1 个极值点”的三分类:递增型()给 1 个;单峰型()给 2 个;峰顶不出水()给 0 个——相切点 归零不归一. 【答案】 二、比值代换与极值点自身的计量 1. 极值点也是未知数. 极值点 满足 :它带方程入场,凡目标含 都可用该方程化简——极值点的”身份证”. 2. 韦达可在指数上. 含 型时,令 ,两极值点对应的 、 由韦达读出: 一写,差值分式当场化简. 3. 割率与切率. ( 下凸,割线斜率大于中点切线斜率):差值分式的常用估计. 4. 离散优化. 极值点 是参数 的函数时,先对连续的 求导找峰,再在整数点比较取值——连续先行,离散落点. 【通法】极值点带方程入场,目标式先化简再估计. 【通法】 二次型:韦达读和与积. 【通法】割线斜率大于中点切线斜率. 例2（解答·★★★★★） 已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若函数有两个极值点，①求的取值范围；②证明：. 【切入点】(1) :,令 :, 增 减 。 (2)① ():令 , 的两正根 ⟺ 且 ,即 。 ②记 。两根满足韦达: 差商化简(): 要证它大于 ,即证 ,即 记 :(因 ),上式等价于 而 ,又 (即 ),故 ,成立。得证 . 【关键】“指数上的韦达”一步给出 ,把差商的硬骨头化成 ;最后一击只用两条软兵器:(根的位置)与 ()——大刀在前,寸劲收尾. 【答案】(1) 见解析; (2)① ② 见解析 变式5（单选·★★★☆☆） 已知函数，记的非零极值点为，则取最大值时， = （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【切入点】:,非零极值点 视 :,在 处由正转负,故 在 递增、 递减,整数峰在 附近: 最大值在 处取得,选 B。 【关键】 不是巧合( 使 对偶),但峰在 :连续函数的峰在 ,整数落点要左右各验一个;注意 为负值,“最大”指最靠近 . 【答案】B 变式6（填空·★★☆☆☆） 已知是函数（）的极值点，则 = ______． 【切入点】:极值点满足 ()。 是极值点:,得 (此时 负变正, 确为极小值点)。 【关键】 的导数是 ——外层平方、内层对数,链式法则别丢分母;验变号一步不可省. 【答案】2 变式7（填空·★★★☆☆） 已知函数在区间上存在极值点，且该极值点处导数存在，则a的取值范围是______． 【切入点】: 时 恒成立,无极值点; 时唯一驻点 ,且 由正变负,是极大值点. 极大值点落在 内等价于 。故 的取值范围是 。 【关键】“该极值点处导数存在”是题面的善意提醒:驻点 处 处处可导,条件自动满足——读懂废话,也是审题. 【答案】 三、条件偏移与不等式结合 1. 条件偏移. 题目不给”偏移”二字,而给 这类条件反推极值点位置——条件先对数化,再与极值点方程联立. 2. 三次函数的对称心. 关于点 中心对称:()展开因式分解,常与 联立出定值. 3. 明桩与倒对偶. 导函数满足 时,零点成对倒数出现, 是明桩——三极值点问题秒变单侧估计. 4. 估计的分寸. 收官不必死磕精确值:换元 后,目标式乘 会拆成两块,各配一个”求导即胜”的辅助函数(如 与 )——分而治之,够用就停. 【通法】条件先对数化,再与极值点方程联立. 【通法】三次函数 加 :因式分解出定值. 【通法】倒对偶 一现,零点配对. 例3（解答·★★★★★） 已知函数．（1）若，求函数在处的切线方程；（2）设有且仅有一个极值点，求a的取值范围；（3）若函数存在2个极值点，且满足，求证：． 【切入点】(1) :,,,切线 。 (2) :。 :, 严格递增,唯一变号零点,恰 个极值点; : 增 减 ,最大值 : ()时两个极值点; 时相切无极值点; 时无零点无极值点。 故”有且仅有一个极值点”等价于 。 (3) 两极值点满足 ,且 给 。记 、,则 条件 对数化:。 反证:若 ,即 ,则 ,由 在 递减, 但 ,且 (因 )于一切 ,故 递增,,矛盾。 所以 ;又 给 。综上 ,证毕。 【关键】条件对数化成 后, 的”单峰双支”结构把 拴在一根绳上;反证的方向要选对——把 的下界塞进 的减区间, 才能变成关于 的矛盾式. 【易错】判断 的符号,别去解 的零点(会引出 这类解不出的方程);用 (靠 )一步锁死严格正. 【答案】(1) ; (2) ; (3) 见解析 例4（解答·★★★★★） 已知函数．（1）求在上的最值．（2）设函数．（i）讨论的单调性；（ii）若为的一个极值点，且，，证明为定值． 【切入点】(1) :极大 ,极小 ;端点 、。最大值 (在 ),最小值 (在 )。 (2)(i) ,: 时 递增; 时增 、减、增 。 (ii) 先改写:。设 (, 为极值点): 又 为极值点:。代入: 即 (舍)或 【关键】三次函数先摆成 的”对称心 + 一次项”形态: 的立方差因式分解是自动的;极值点条件 一代入,剩下的分解式 几乎自己写完——“定值 对称心横坐标”是三次偏移的常见彩蛋. 【答案】(1) 最大值 ,最小值 ; (2)(i) 见解析 (ii) 例5（解答·★★★★★） 已知函数（）.（1）函数在定义域内无极值，求a的取值范围；（2）函数（），有三个不同的极值点，，（从左到右依次记为）；（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）证明. 【切入点】(1) ,, 在 处取最小值 。无极值等价于 恒成立,即 ,得 。 (2) ,:三极值点需 有两正零点,即 判别式 ,得 。 (ii) 注意两个”白送”的结构: 其一,: 是明桩; 其二,:倒对偶!零点按倒数配对,故 令 (即 ):由 即 ,得 记 、,则 、、,目标式 两边乘正数 : 两块分别配一个”求导即胜”的辅助函数: :记 ,,,故 ; :记 ,,(均值不等式,取等仅 ),故 。 两块皆正,目标式成立。得证。 【关键】明桩与倒对偶把三极值点坍缩成 ;令 ,参数 化成 ,目标式乘 后恰好拆成两块 与 ,各配一个”求导即胜”的辅助函数——拆块分治,是这类双向夹逼收官的通用解法. 【答案】(1) ; (2)(i) (ii) 见解析 变式8（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）当时，求的极小值；（2）若存在唯一极值点，证明：. 【切入点】(1) :,极小值 。 (2) ():分子判别式 。 :分子恒正,无极值点;:两根均落在 ,两个极值点; :负根 出局,唯一极值点 (2)证明: 给身份证 于是 记 ,只须证 (即 ):令 ,(),,取等仅 (即 )。 故 ,得证. 【关键】“唯一极值点”先翻译成 (两根出局一个),再用身份证 把 整个换血成 ;收官的 是 的乘方版——军火库第 15 讲的老熟人对新问题. 【答案】(1) ; (2) 见解析 变式9（单选·★★★☆☆） 设，若函数在内存在极值点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】:在 内存在(变号)极值点。 两根都落在 不可能:那需要 (即 )与对称轴 (即 )同时成立,矛盾;故恰有一根在 内,等价于 端点情形核验: 时 ,根 ; 时一根恰为 ,不在开区间内。故 选 B. 【关键】“存在极值点”= 有变号零点在开区间内:两根同内、一根同内、相切三种局面逐一清点;二次式的两根位置,用”端点值异号 + 对称轴约束”即可裁决,不必解根. 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 $