第22讲 基本不等式与和积互化 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

该高中数学讲义聚焦基本不等式与和积互化核心考点，按“和定积最大、积定和最小—凑配与变形式族—多法对照与跨域迁移”逻辑架构，通过考点梳理（如“一正二定三相等”条件）、方法指导（凑配三板斧）、真题训练（例题及变式）环节，帮助学生系统构建知识网络，突破应用难点。 资料以数学思维培养为核心，创新设计“变形式族”归纳与“多法互验”策略，如用“乘一代换”解决条件最值，结合分层练习（单选到多选）提升推理能力。通过数学语言精准描述取等条件与变形式，助力学生快速识别题型，为教师把控复习节奏提供清晰路径，高效提升应考能力。

第22讲 基本不等式与和积互化 和定积最大·积定和最小·凑配变形式族·失效兜底 一、和定积最大·积定和最小 1. 定理与取等. 时 ,取等 。两个方向:和定积最大()、积定和最小()。 2. 系数版. 和带系数先配平: 时 ——凑系数使乘积因子的”和”恰为定值. 3. 一正二定三相等. 逐条核对:变形式中各因子为正;“和”或”积”确实是定值;取等点在定义域内。三条全过,答案才成立. 4. 变形式族. 、、()、;乘方、开方、取对数后仍按同族处理. 例1（单选·★★☆☆☆） 已知，，且，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 变式1（单选·★★☆☆☆） 若a，，且，则ab的最小值为（ ） A. 5 B. 17 C. 25 D. 36 变式2（单选·★★☆☆☆） 已知，，且，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 16 变式3（单选·★★☆☆☆） 已知，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 变式4（填空·★★☆☆☆） 若且，则的取值范围为__________. 二、凑配与变形式族 1. 凑配三板斧. 拆项( 用条件把 换成 )、添常数( 看成 配 的和)、乘一( 塞进式子). 2. 平方与根式. 、——柯西的二维雏形,本讲先用后证(第25讲收官). 3. 多选自查清单. 每个选项独立跑一遍”一正二定三相等”:最值方向(最大/最小)、取等是否可达、是否端点冒充最值. 4. 积式条件. 型移项成 :常数化积,配凑配更顺手. 例2（单选·★★☆☆☆） 已知，，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 例3（单选·★★★☆☆） 已知，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 变式5（单选·★★★☆☆） 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 变式6（多选·★★★☆☆） 若正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是9 C. 的最大值是 D. 的最小值是 变式7（多选·★★★☆☆） 已知，，且，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值8 C. 有最大值1 D. 有最小值 变式8（多选·★★★☆☆） 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 最大值为 变式9（多选·★★★☆☆） 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为1 C. 若，则的最小值为8 D. 若恒成立，则的最小值为 三、多法对照与跨域迁移 1. 同题多法. 条件最值常有多条路:乘一代换、消元化二次、判别式法、换元。按结构挑最省的;答案唯一,各法互验. 2. 判别式法. 把最值 设进等式,整理成含参二次方程,有解即 :适用于分式最值(第23讲将正式展开). 3. 均值链上的对数. 底真同侧定号、 递减链(第19讲)在条件最值里做收官比较. 4. 跨域迁移. 正态对称、圆的参数方程、双曲参数都可以只是”条件的外衣”,内核仍是和积互化——先剥衣,再认结构. 例4（多选·★★★☆☆） 已知，，，设的最小值为N，且（为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值是 C. D. 若且，则 变式10（单选·★★★☆☆） 已知，动圆经过原点，且圆心在直线上．当直线的斜率取最大值时， = （ ） A. B. C. D. 变式11（单选·★★☆☆☆） 若随机变量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22讲 基本不等式与和积互化 和定积最大·积定和最小·凑配变形式族·失效兜底 一、和定积最大·积定和最小 1. 定理与取等. 时 ,取等 。两个方向:和定积最大()、积定和最小()。 2. 系数版. 和带系数先配平: 时 ——凑系数使乘积因子的”和”恰为定值. 3. 一正二定三相等. 逐条核对:变形式中各因子为正;“和”或”积”确实是定值;取等点在定义域内。三条全过,答案才成立. 4. 变形式族. 、、()、;乘方、开方、取对数后仍按同族处理. 【通法】见和求积、见积求和:先凑系数,再核三相等. 【通法】取等点当场解出并回代检验定义域. 【通法】条件式先变形,把定值逼出来再用定理. 例1（单选·★★☆☆☆） 已知，，且，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【切入点】(),把 凑成 的一半: 取等:,即 ,,恰在定义域内。故 的最大值为 选 C。 【关键】系数版凑配只有一个动作:让乘积因子的和恰为定值—— 与 的和是 ,一击必中;取等点解出来还落在定义域内,三相等关清. 【答案】C 变式1（单选·★★☆☆☆） 若a，，且，则ab的最小值为（ ） A. 5 B. 17 C. 25 D. 36 【切入点】条件 移项: 记 :,即 ,故 ,于是 取等: 且 ,解得 ,。回代条件检验:,,合约。故 的最小值为 选 C。 【关键】条件式移项后左边 、右边 ——把 用基本不等式压成 的函数,再解关于 的一元二次不等式;取等点 务必回代条件验算. 【答案】C 变式2（单选·★★☆☆☆） 已知，，且，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 16 【切入点】,:取对数, 积定和最小反过来用——和定则积最大: 取等 ,即 ,满足 。故最大值为 选 B。 【关键】对数把积条件变和条件( 变 和为 ),定理立刻上场;先取对数再认结构,是指对背景题进基本不等式的标准入口. 【答案】B 变式3（单选·★★☆☆☆） 已知，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【切入点】条件 两边同乘 : 记 :,故 。目标式用换底公式: 给 。取等 :即 且 ,解得 ,合约。故最小值为 选 D。 【关键】两个动作:条件乘 把分式变整式;目标用换底公式()变对数和——双向化简后,主角就是 一个数. 【答案】D 变式4（填空·★★☆☆☆） 若且，则的取值范围为__________. 【切入点】 移项: 记 :,即 ,故 ,于是 取等 ( 合约)。取值范围 【关键】与温州-05 同一模具:移项、压均值、解一元二次;取等点 顺手回代——这一族题的流水线走三遍就熟了. 【答案】 二、凑配与变形式族 1. 凑配三板斧. 拆项( 用条件把 换成 )、添常数( 看成 配 的和)、乘一( 塞进式子). 2. 平方与根式. 、——柯西的二维雏形,本讲先用后证(第25讲收官). 3. 多选自查清单. 每个选项独立跑一遍”一正二定三相等”:最值方向(最大/最小)、取等是否可达、是否端点冒充最值. 4. 积式条件. 型移项成 :常数化积,配凑配更顺手. 【通法】拆项、添常数、乘一:凑配三件套. 【通法】 型先常数化积再凑. 【通法】多选项逐个验三相等,端点冒充要识破. 例2（单选·★★☆☆☆） 已知，，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【切入点】条件 给 ,代进目标式: 取等 ,即 ;联立 得 ,,均为正,合约。故最小值为 选 A。 【关键】“乘一”是主角:把 写成 拆成两块,目标式当场出现互倒结构 与 ——条件里藏着的那份”1”,就是凑配的原料. 【答案】A 例3（单选·★★★☆☆） 已知，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【切入点】,故 。目标式配对: 由基本不等式 故目标式不小于 。取等 ,即 ,联立 得 ,,均为正。故最小值为 选 C。 【关键】“乘一”展开后是常数块()加互倒块;取等方程 的系数比来自分子常数 的平方根——分子几比几,取等就几开方. 【答案】C 变式5（单选·★★★☆☆） 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【切入点】 移项配方: 目标凑配: 取等 ,与 联立得 ,即 ,,满足 。故最小值为 选 C。 【关键】 的意图就在 这步”常数化积”里;凑配时 是还账( 比 多出的常数)——换元要连常数一起换. 【答案】C 变式6（多选·★★★☆☆） 若正实数满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是9 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【切入点】(),逐项裁: A:,故 ,取等 ,真; B:乘一:,取等 ,即 ,联立得 ,,真; C:,取等 ,真; D:消元 : 顶点 处取最小值 ,假。 故 ABC 正确。 【关键】A、B、C 各配一件兵器:平方和、乘一、和定积最大;D 判假不必找巧法,消元化一元看顶点最直接——多选判假,消元是兜底兵器. 【答案】ABC 变式7（多选·★★★☆☆） 已知，，且，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值8 C. 有最大值1 D. 有最小值 【切入点】: A:,取等 ,,真; B:,取等 ,真; C:,在 处上确界为 ,但 时 违反 ,取不到,假; D:,取等 ,真。 故 ABD 正确。 【关键】C 是”端点冒充”的标准案例:严格正数条件下抛物线的顶点值只是上确界,说”有最大值”就错;B 的乘一展开照例出场. 【答案】ABD 变式8（多选·★★★☆☆） 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 最大值为 【切入点】: A:,故 ,取等 ,真; B:,取等 ,即 ,真; C: 没有正的最小值( 时趋于 ),选项说最小值 ,假—— 的上界是 (取等 ),选项把最大值说成了最小值; D:,故 ,取等 ,最大值为 ,真。 故 ABD 正确。 【关键】C 的辨析题:分子系数不对称时, 只有”最大”没有”正的最小”;D 是柯西雏形 的直接应用. 【答案】ABD 变式9（多选·★★★☆☆） 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为1 C. 若，则的最小值为8 D. 若恒成立，则的最小值为 【切入点】A:,记 :,,故 ,真; B:记 :,而 在 上递增,最小值在 处取:,假; C: 给 ,于是 对前两项用乘一(系数 与 ,配 ): 故原式不小于 。取等 ,即 ,联立 得 ,,回代 ,真; D:(柯西),故 对一切正数 成立,取等条件 即 ,存在正数解,故 的最小值为 ,真。 故 ACD 正确。 【关键】C 的成功在于先把 改写成 :减出一个常数后,剩下的 与 分子恰是平方数( 与 ),乘一展开即互倒;D 的柯西雏形里, 压的是”最坏比例”,取等比例存在就合格. 【易错】B 里 的最小值 在 处,而本定义域 取不到——对勾函数的取等点出了定义域,只能取端点. 【答案】ACD 三、多法对照与跨域迁移 1. 同题多法. 条件最值常有多条路:乘一代换、消元化二次、判别式法、换元。按结构挑最省的;答案唯一,各法互验. 2. 判别式法. 把最值 设进等式,整理成含参二次方程,有解即 :适用于分式最值(第23讲将正式展开). 3. 均值链上的对数. 底真同侧定号、 递减链(第19讲)在条件最值里做收官比较. 4. 跨域迁移. 正态对称、圆的参数方程、双曲参数都可以只是”条件的外衣”,内核仍是和积互化——先剥衣,再认结构. 【通法】先剥应用外衣,再认和积结构. 【通法】分式最值卡住时,判别式法兜底. 【通法】答案互验:两法同案,稳. 例4（多选·★★★☆☆） 已知，，，设的最小值为N，且（为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值是 C. D. 若且，则 【切入点】求 : 给 ,乘进目标式: 取等 ,即 ;联立 (即 )得 ,,均为正。故 。 A 说 ,假。 B: 的最大值在 处取 (第19讲的 单峰性),真; C:条件 ():真数为 ,对数非负要求 ;大小关系给 ,即 ,故 。C 说 ,即 :取 ,(满足 ):左边为 ,而 ,不等式反向,假; D:, 且 给分母为正、分子 因 为正,故差为正,D 真。 故 BD 正确。 【关键】 的计算是乘一的标准舞台;后半场的 条件先翻译成 ,后面两问全靠这条序——把杂条件翻译成大小关系,是跨域题的中转站. 【易错】 取等要求 ,别忘了和 联立验证解存在且为正. 【答案】BD 变式10（单选·★★★☆☆） 已知，动圆经过原点，且圆心在直线上．当直线的斜率取最大值时， = （ ） A. B. C. D. 【切入点】动圆过原点,;圆心 在 上,即 。斜率 代入 : 求最值:令 关于 的导数为零,或用判别式:设 ,整理 有正根 (由 ),须判别式 结合 与实际(分母 , 有界),最大值为 ,此时 ,。于是 选 B。 【关键】几何背景(动圆、斜率)全是外衣,内核是”条件 下分式的最大值”;判别式法在这里比求导更省——分母一次、分子二次,正根存在性直接翻译成 . 【答案】B 变式11（单选·★★☆☆☆） 若随机变量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【切入点】,密度关于 对称。:左右两尾概率相等,且 ,得 关于 对称: 于是 和定积最大:,取等 (此时 确实相等)。故最小值为 选 C。 【关键】正态对称只是外衣: 翻译成 (对称轴 ),之后就是”和定积最大、积定和最小”的反向联动;取等 连对称性条件都自洽. 【答案】C 学科网（北京）股份有限公司 $