第19讲 不等式性质与比较大小 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

该高中数学讲义聚焦不等式性质与比较大小高考核心考点，按“比较大小:结构决定方法”和“性质判断与条件推理”两大模块系统架构，通过考点梳理（如比较大小三条路、性质反向陷阱）、方法指导（异底异指找中介、反例取值）、真题训练（例题与变式题）等环节，帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以“结构决定方法”为创新策略，如比较大小用特殊值排除、单调性同构，培养学生数学思维与推理能力。设置分层变式题（★★☆到★★★），配合即时方法总结，确保高效突破考点，提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第19讲 不等式性质与比较大小 指对幂结构比较·性质判断与条件推理 一、比较大小:结构决定方法 1. 三条路. 比较大小先认结构:作差(纯代数式,能分解到符号明晓)、单调性(同构:同底异指、异底同指、同取对数后同构)、特殊值(选择填空的排除神器,必含 0、±1). 2. 异底异指找中介. 与 这类互不同构的数,与 、、 等锚点比;都在 附近时,取对数化为同构. 3. 幂式家族的总开关. 单峰(峰在 ):。整族 型比较都靠它; 型(配 家族)同理. 4. log 的正负定位. 底与真数同大于 或同在 内得正;一上一下得负。定位正负常一步出答案. 例1（单选·★★★☆☆） 已知，则（ ） A. B. C. D. 例2（单选·★★★☆☆） 若，则（ ） A. B. C. D. 变式1（单选·★★☆☆☆） 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 变式2（单选·★★☆☆☆） 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 变式3（单选·★★☆☆☆） 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 变式4（单选·★★☆☆☆） 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 变式5（单选·★★☆☆☆） 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 变式6（单选·★★☆☆☆） 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 变式7（单选·★★☆☆☆） 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 变式8（单选·★★☆☆☆） 下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 变式9（单选·★★☆☆☆） 若，则（ ） A. B. C. D. 二、性质判断与条件推理 1. 八条性质的反向陷阱. 可乘性要分正负( 在 处崩);倒数要反向且限同号;乘方限正数。多选里每条都可造反例. 2. 反例的取值习惯. 依次试 、、全负数链()——“全负链”专治倒数与平方类命题. 3. 真命题的两种证法. 要么一步性质,要么作差: 符号由两条独立的减法链读出. 4. 条件变形前置. 这类条件先解出 再推理;条件里带绝对值()先定符号(). 例3（多选·★★★☆☆） 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 例4（多选·★★★☆☆） 已知实数满足，则下列不等关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 变式10（多选·★★★☆☆） 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 变式11（多选·★★★☆☆） 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 变式12（单选·★★★☆☆） 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 变式13（多选·★★★☆☆） 已知正数满足，则的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 变式14（多选·★★★☆☆） 已知实数，若，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 不等式性质与比较大小 指对幂结构比较·性质判断与条件推理 一、比较大小:结构决定方法 1. 三条路. 比较大小先认结构:作差(纯代数式,能分解到符号明晓)、单调性(同构:同底异指、异底同指、同取对数后同构)、特殊值(选择填空的排除神器,必含 0、±1). 2. 异底异指找中介. 与 这类互不同构的数,与 、、 等锚点比;都在 附近时,取对数化为同构. 3. 幂式家族的总开关. 单峰(峰在 ):。整族 型比较都靠它; 型(配 家族)同理. 4. log 的正负定位. 底与真数同大于 或同在 内得正;一上一下得负。定位正负常一步出答案. 【通法】同构用单调,异构找中介,小题先特殊值. 【通法】 峰在 : 是 族的峰值. 【通法】取对数化同构,幂式家族通吃. 例1（单选·★★★☆☆） 已知，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个数同属” 次根号 “家族:取对数, 右端是 在 处的值。求导 当 时 ,故 严格递减,于是 选 D。 【关键】“ 家族”的通法是取对数变商;分母取 正是题面结构。 的符号由 与 的大小担保( 后恒负),一次构造,整族通吃. 【答案】D 例2（单选·★★★☆☆） 若，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】三数同属 族,取对数看 :,在 递增、 递减,峰值 。 在 上递增给 ; 在 上递减给 。故 选 B。 【关键】 与 只差半格(,,数值可佐证),靠的是 在峰值右侧递减—— 落在减段,方向千万别反. 【易错】 的方向: 过峰后递减,,故峰位的 更大。写成” 最大所以 最大”时,要能补出” 递减”这一步. 【答案】B 变式1（单选·★★☆☆☆） 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【切入点】,且 使 ; 与 是 家族:该链严格递减。证明:比较 与 ,交叉乘等价于 由 得 ,再用均值不等式 故 ,即 。综上 ,选 C。 【关键】 递减链的证明只用两件现成兵器: 与均值不等式——背下这条链, 一串直接读数. 【答案】C 变式2（单选·★★☆☆☆） 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【切入点】三数定位:,底 、真数 ,故 ;,底小于 、指数 ,故 ;。三数分居三段: 选 C。 【关键】“ 与 两刀切开”是指对混排最省力的路:先看底与真数的相对位置定正负,再在同段内细比. 【答案】C 变式3（单选·★★☆☆☆） 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【切入点】,是精确值;:指数 ,故 ;(因 ,即 )。于是 选 B。 【关键】 这类”底是真数平方根”的精确值要当场识破;剩下两个只需夹逼: 夹在 与 之间, 用 顶过 . 【答案】B 变式4（单选·★★☆☆☆） 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【切入点】;:,故 ,又 ;(因 )。于是 选 A。 【关键】夹逼的锚点不必是整数: 与 都是”指数好算”的位置(、),凑锚点是指对夹逼的手艺活. 【答案】A 变式5（单选·★★☆☆☆） 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【切入点】(底 ,真数 );,:同指数异底,指数 时底大者大,故 。综上 选 A。 【关键】同指数幂直接比底(指数正则同向,指数负则反向); 化成 是顺手的第一步. 【答案】A 变式6（单选·★★☆☆☆） 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【切入点】;;:同指数异底,,故 。综上 选 B。 【关键】 化 后,与 同指数, 一眼可读. 【答案】B 变式7（单选·★★☆☆☆） 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【切入点】;;。故 选 A。 【关键】三个数分属”大于 1、(0,1) 内、负数”三段,定位即排序——最基础也最不能大意的一型. 【答案】A 变式8（单选·★★☆☆☆） 下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】逐项裁:A: 为底递减,指数大者小,,假;B: 递减, 给 ,假;C:,故 ,假;D:给两端找锚点: 而 ,故 ,真。选 D。 【关键】两个负数比大小,反过来比绝对值;给对数配分母锚点(、)是把”难比”化”整数幂比较”的标准动作. 【答案】D 变式9（单选·★★☆☆☆） 若，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】同底定位::底 为减函数,真数 ,故 ;:指数正、底小于 1,故 ,又 可不管,只须 ;(底 ,真数 )。故 选 A。 【关键】 这一步是”减函数底”的方向题:底小于 1 时,真数越小值越大—— 反而推出 . 【答案】A 二、性质判断与条件推理 1. 八条性质的反向陷阱. 可乘性要分正负( 在 处崩);倒数要反向且限同号;乘方限正数。多选里每条都可造反例. 2. 反例的取值习惯. 依次试 、、全负数链()——“全负链”专治倒数与平方类命题. 3. 真命题的两种证法. 要么一步性质,要么作差: 符号由两条独立的减法链读出. 4. 条件变形前置. 这类条件先解出 再推理;条件里带绝对值()先定符号(). 【通法】多选判断:先特殊值反例,后一般证明;反例只需一个. 【通法】同向可加、正同向可乘,是仅有的两条免费性质. 【通法】作差符号不明时,把差分解成链乘链的因式积. 例3（多选·★★★☆☆） 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【切入点】A:同向可加,,真;B:(基本不等式对任意实数成立),真;C: 反例(),假;D:作差 由 、 知分子为正,分母为正,差为正,真。故 ABD 正确. 【关键】D 是糖水不等式的变装:两条减法链 与 各自为正,交叉相乘即证;“四数两条链”的差分必分解为两链之积,这一眼值三行计算. 【答案】ABD 例4（多选·★★★☆☆） 已知实数满足，则下列不等关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件 先给 。 A:,故 ,指数函数增给 ,真; B:,而 ,故 ,真; C:反例 :,取 ,,假; D:分段读 : 时 ; 时同理 (); 时 ,而 (两个负因数),仍小于 。三段皆有 ,真。故 ABD 正确. 【关键】B 的垫脚石是配方 ——“平方条件压乘积”先配方;D 的绝对值分三段后,每段都是一次式赛跑,段段可赢. 【易错】 由 与平方函数在 递增而来,方向不要写成 开方——这里本来就有绝对值. 【答案】ABD 变式10（多选·★★★☆☆） 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】A: 反例,假;B:同向可加( 与 相加),真;C:,同 B,真;D:分母 、 恒真,可交叉相乘: 由 知 ,但 的符号不定:取全负链 (满足 ),则 ,不等式反向,假。故 BC 正确. 【关键】交叉相乘前先验分母同正(、 恒真);分子整理出 后, 不设防就是全负链反例的入口. 【答案】BC 变式11（多选·★★★☆☆） 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】A:,倒数反向给 ,真;B: 反例(两端同为 ,不严格),假;C:全负链反例 :,假;D:按 的符号分两段: 时 给 ,故 ; 时 给 ,即 ,亦有 。两段皆真,真。故 AD 正确. 【关键】D 的两段分界在 的符号:一段用” 压 “,一段用” 压 “——总有一段链能压住,这是链式条件()的先天优势. 【答案】AD 变式12（单选·★★★☆☆） 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 取对数:,即 : 与 同号,且 (系数 )。 A: 要求 ,假;B:, 时 成立,且 可取,真;C: 要求 ,假;D: 要求 ,正数下不成立,假。故选 B. 【关键】 型第一步取对数把指数关系拉平成比例关系 ;之后全是不等式性质的正负向题——系数 与 比大小,分正负两段讨论. 【答案】B 变式13（多选·★★★☆☆） 已知正数满足，则的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 【切入点】设公共值为 :,,,三个幂的指数 。 :指数大者大,,即 ,对应 D; :三数同为 1; :指数大者小,,对应 B。 其余次序不会出现。故 BD 正确. 【关键】“ 次幂相等”型先设公共值 ,把三个未知数统一成 的幂;之后只剩一句话——底 与 1 比大小,决定指数序是正读还是反读. 【答案】BD 变式14（多选·★★★☆☆） 已知实数，若，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【切入点】,:底 为减函数,真数 给 ,故 ,A 真; B:: 而 ,故 ,即 ,假; C:作差 ,由 、、 知差为正, 成立,真——这正是糖水不等式; D:(因 、),假。故 AC 正确. 【关键】C 就是糖水不等式的直接应用: 时,分子分母同加正数 ,分式 被拉向 ,故仍满足 ;对数条件 既是 A 的结论,又是 C 中所加的数为正的来源——小题内部首尾自洽. 【答案】AC 学科网（北京）股份有限公司 $