第15讲 放缩与同构 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

该高中数学讲义聚焦高考放缩与同构核心考点，以母不等式体系为基础，串联对数化、朗博变形、同构恒成立等关键技能，通过考点梳理、方法提炼、真题演练的教学流程，帮助学生构建从基础到综合应用的知识网络。 资料创新采用“军火库-变形-恒成立-提款机”四阶训练模式，通过母不等式取等点验证、同构函数构造等策略，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置基础到综合的分层例题与变式题，配合结论反用、裂项求和等实战技巧，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供系统指导。

第15讲 放缩与同构 放缩的军火库·对数化与朗博变形·同构与恒成立·放缩结论的提款机 一、放缩的军火库 1. 两条母不等式. (取等 )与 (取等 )是同一件事的两副面孔;由它们派生:、、——每一条都必须连取等点一起背. 2. 取等点就是答题卡. 放缩链末尾等号能否成立,取决于链上各条母不等式的取等点能否同时到位;必要性的验证,常常就是取”链条同时取等”的那一点代入原式. 3. 比较大小三连. 含 、 的数比大小:先估数量级,再用母不等式造链,常用三条:、、(,由 递减得到). 4. 双边夹逼. 同一个不等式同时逼住两侧:左边有最小值 、右边有最大值 ,而 时,两侧必须同时取等——变量与参数当场锁定. 例1（填空·★★★☆☆） 若不等式 恒成立，则 的取值范围_____. 变式1（单选·★★★☆☆） 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 变式2（单选·★★★☆☆） 设，，，则（ ） A. B. C. D. 变式3（单选·★★★☆☆） 已知实数满足，则的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 2 D. 1 二、对数化与朗博变形 1. 对数化. 含 的等式两边取对数,把”指数天平”换成”线性天平”:—— 与 是同构搭档. 2. 指数化. 含 的等式两边指数化:;再整体乘 ,凑成 的标准形 . 3. 朗博变形的统一. 、、 这些结构,经 或 改写后,常统一成同一个函数在 处的取值. 4. 唯一正解传递. ()有唯一正解:两件东西若都满足同一方程且都是正数,它们就相等——这是”设而不求”的等值传递. 例2（填空·★★★★☆） “朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为_______. 变式4（填空·★★☆☆☆） 已知，则 = ______. 变式5（单选·★★★☆☆） 设方程的两个根为，，则 = （ ） A. 0 B. 1 C. e D. 变式6（单选·★★★☆☆） 已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 三、同构与恒成立 1. 同构的标志. 不等式里 与 同时出现(或 与 各占一侧),八成要换元 ,或两侧同时改写成同一函数 的取值. 2. 型. 同构后化为”“: 单调就去壳比内层; 不单调就对 取最值,恒成立回到确界. 3. 放缩链压恒成立. 不能同构时,用母不等式把两侧各自压到同一中间量,链的末端对齐即恒成立;必要性的验证点取”链等号点”. 4. 身份证再立功. 同构化简后的最值点若解不出(如 的根),它的方程就是身份证——第11讲的设而不求在此继续服役. 例3（单选·★★★☆☆） 若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 例4（单选·★★★☆☆） 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式7（单选·★★★☆☆） 已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式8（填空·★★★☆☆） 已知点满足：是函数图象上任意一点.则的最小值为__________. 四、放缩结论的提款机 1. 结论反用. 解答题(2)证得的恒成立式(如 )是(3)问的提款机:把数列通项套进 ,逐项提取. 2. 裂项求和. :凡目标里出现 ,先拆成对数裂项,再逐项与通项比大小. 3. 严格号的来源. 逐项放缩的严格性由取等条件担保:通项处 取等点 ⟹ 每项严格,求和后严格号不丢. 4. 差函数收尾. 涉及参数的最值比较(如 ),构造关于参数的差函数,二阶导锁号——第12讲的万能钥匙在参数轴上照样好使. 例5（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数的最小值；（3）求证：. 变式9（解答·★★★★☆） 设函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，． 变式10（解答·★★★★☆） 已知函数，.（1）若函数在处取得极值，求实数的值及此时的单调区间；（2）令，若对，的图象都不在图象的下方，求实数的取值范围. 变式11（解答·★★★★★） 已知函数.（1）已知的导函数为，证明：有唯一实数解.（2）若函数，，，，求m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 放缩与同构 放缩的军火库·对数化与朗博变形·同构与恒成立·放缩结论的提款机 一、放缩的军火库 1. 两条母不等式. (取等 )与 (取等 )是同一件事的两副面孔;由它们派生:、、——每一条都必须连取等点一起背. 2. 取等点就是答题卡. 放缩链末尾等号能否成立,取决于链上各条母不等式的取等点能否同时到位;必要性的验证,常常就是取”链条同时取等”的那一点代入原式. 3. 比较大小三连. 含 、 的数比大小:先估数量级,再用母不等式造链,常用三条:、、(,由 递减得到). 4. 双边夹逼. 同一个不等式同时逼住两侧:左边有最小值 、右边有最大值 ,而 时,两侧必须同时取等——变量与参数当场锁定. 【通法】放缩先写母不等式和取等点,再动手套. 【通法】链式放缩首尾相接:各步等号条件对齐,才不留缝. 【通法】双边夹逼 = 两侧最值碰头,等号点即答案. 例1（填空·★★★☆☆） 若不等式 恒成立，则 的取值范围_____. 【切入点】 时右边 :令 (随 取遍 ),不等式化为 放缩链:(母不等式 ,); 又 (用 ,取等 ). 故当 时链首尾相接:,恒成立. 必要性:(即 )处原式给 :当 时 ,崩.故 【关键】整条链只有两节: 与 ;第二节取等点 与第一节取等点 不必同时到位——因为条件是 ,只有末端的 用来做必要性,这是链式放缩的常规分工. 【答案】 变式1（单选·★★★☆☆） 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个数 、、:两两比较,每对用一条母不等式. :(,); :(,,取等仅 ,故严格). 所以 ,选 B. 【关键】比较大小不硬算数值:母不等式各管一对—— 压对数, 抬指数;取等点不在场,严格号自动保住. 【答案】B 变式2（单选·★★★☆☆） 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】、、:仍按”两两造链”. :;而 ,成立; :;令 ():,, 递减,故 ,即 ,两端同除 得 ,成立. 所以 ,选 A. 【关键】()的证明只有一行: 求导即减;它是 的”反向搭档”,三条母不等式凑齐,比较大小变成填空. 【答案】A 变式3（单选·★★★☆☆） 已知实数满足，则的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 2 D. 1 【切入点】把 与 拆到两侧: 左侧只含 ,右侧只含 ——各自求最值,双边夹逼. 左侧 :,最小值 ; 右侧 :,最大值 . 不等式成立要求 ,故两侧同时取等: 且 ,即 选 D. 【关键】“左边最小 = 右边最大”是双边夹逼的标志性局面: 与 的最值点 被等号同时钉死——谁也别想动. 【答案】D 二、对数化与朗博变形 1. 对数化. 含 的等式两边取对数,把”指数天平”换成”线性天平”:—— 与 是同构搭档. 2. 指数化. 含 的等式两边指数化:;再整体乘 ,凑成 的标准形 . 3. 朗博变形的统一. 、、 这些结构,经 或 改写后,常统一成同一个函数在 处的取值. 4. 唯一正解传递. ()有唯一正解:两件东西若都满足同一方程且都是正数,它们就相等——这是”设而不求”的等值传递. 【通法】见 ,想 ;见 ,想 . 【通法】指对等式互化,凑 的标准形. 【通法】同一方程的正数解唯一且相等. 例2（填空·★★★★☆） “朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为_______. 【切入点】两个条件分别对数化/指数化,凑同一个标准形: 是 的解(,因 ); . ()在 上有唯一解( 严格递增),而 与 都是它的解,故 于是 在 处取最大值 (求导即得),所求最大值为 . 【关键】整个题不求 的数值:“ 的正解唯一”一步完成等值传递 ;剩下的 是熟面孔——朗博变形把两个陌生函数焊接成一条链. 【答案】 变式4（填空·★★☆☆☆） 已知，则 = ______. 【切入点】对 两边取对数:,即 而 ,故 【关键】目标式与条件只差一个”负号的搬家”:对数化之后 根本不用解——朗博变形的瘾,就在于”解不出来,也不必解”. 【答案】 变式5（单选·★★★☆☆） 设方程的两个根为，，则 = （ ） A. 0 B. 1 C. e D. 【切入点】先化简:,方程即 左边关于 偶:若 是根,则 也是根;又 恰有两根(令 : 有两正根 ,互为倒数,对应 互为相反数),故 选 A. 【关键】“化简出偶函数”是对数化的红利: 这副面具一摘,对称性当场兑现;立方和公式再把”和为零”换成”立方和为零”. 【答案】A 变式6（单选·★★★☆☆） 已知实数和（其中）满足方程：，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】方程移项,让两侧各自成为单调函数: 左 递减();右 递减(). 反证:若 ,由 递减, 得 ,即 ,与 矛盾.故 选 D. 【关键】方程两侧”各守一个变量”且同为递减:比较 与 就在同一函数 的两点比函数值——单调性是这种”跨变量不等式”的唯一裁判. 【答案】D 三、同构与恒成立 1. 同构的标志. 不等式里 与 同时出现(或 与 各占一侧),八成要换元 ,或两侧同时改写成同一函数 的取值. 2. 型. 同构后化为”“: 单调就去壳比内层; 不单调就对 取最值,恒成立回到确界. 3. 放缩链压恒成立. 不能同构时,用母不等式把两侧各自压到同一中间量,链的末端对齐即恒成立;必要性的验证点取”链等号点”. 4. 身份证再立功. 同构化简后的最值点若解不出(如 的根),它的方程就是身份证——第11讲的设而不求在此继续服役. 【通法】:同构第一换元 . 【通法】同构去壳要验单调;去不了壳就放缩到同一中间量. 【通法】解不出的最值点,留方程当身份证. 例3（单选·★★★☆☆） 若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【切入点】:把 改写为 ,而 恰是后两项——同构现身: 在 上严格递增,值域为 (两端 ),故 对应 ,即 的唯一正根,取得到. 恒成立要求 对一切 ,即 选 C. 【关键】“同构第一换元” 的三连:、后两项恰好是 、 取遍 ——三件事凑齐,原式就成了教科书上的 . 【易错】 对应的 是 的根,解不出来,但它存在且唯一( 递增)——最小值取得到, 合法,别因为”解不出”就把等号丢了. 【答案】C 例4（单选·★★★☆☆） 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】右边 :两条母不等式各压一头. 必要: 处原式给 ;函数 在 上递增且在 处取值 ,故 时崩,得 . 充分():对 ,用 : 末一步是 (最小值在 取得).链首尾相接,恒成立.综上 选 C. 【关键】 与 一条压对数、一条抬指数,中间用 接轨;必要性只派 一个探针——母不等式的取等点( 与 )在 时同时到场,等号严丝合缝. 【答案】C 变式7（单选·★★★☆☆） 已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】:左侧先用 (): 于是只须 对一切 ,即 ;而 ,故只须 ,即 . 必要: 处原式给 ;左侧关于 递增, 时取值 ,故 时崩. 综上 ,选 B. 【关键】放缩链 的两个取等点分别在 与 :它们能同时到位当且仅当 ——这既是充分性的”轨”,也是必要性探针 的由来. 【答案】B 变式8（填空·★★★☆☆） 已知点满足：是函数图象上任意一点.则的最小值为__________. 【切入点】令 :条件 。两条母不等式反向一夹: 相加:,两处取等都要求 。于是条件”不超过 “强迫 在 上, 在直线 上,故 记 :,最大值 ,故 ,其最小值为 ,在 处取得。所求最小值 【关键】母不等式正常方向给”“,而题目偏说”“——放缩逼等:双向夹出 ,可行域从一片区域坍缩成一条直线,点到曲线的距离成了纯计算. 【答案】 四、放缩结论的提款机 1. 结论反用. 解答题(2)证得的恒成立式(如 )是(3)问的提款机:把数列通项套进 ,逐项提取. 2. 裂项求和. :凡目标里出现 ,先拆成对数裂项,再逐项与通项比大小. 3. 严格号的来源. 逐项放缩的严格性由取等条件担保:通项处 取等点 ⟹ 每项严格,求和后严格号不丢. 4. 差函数收尾. 涉及参数的最值比较(如 ),构造关于参数的差函数,二阶导锁号——第12讲的万能钥匙在参数轴上照样好使. 【通法】(3)问先回(2)问要结论,再把通项代进去. 【通法】见 ,裂项为 . 【通法】取等条件逐项核对,严格号不丢. 例5（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数的最小值；（3）求证：. 【切入点】(2) :,零点满足 ;因 严格递增,唯一零点 ,且 负 正 ,最小值 于是得到恒成立结论 (3) 对 ,取 (严格不等): 求和: 且每项严格(取等点 不在场),故 【关键】(2) 的恒成立式是(3)的提款机:通项 恰好是 处结论除以 的形状;裂项 完成合拢——这套”结论反用 + 对数裂项”在第13讲宁波题已经预演过一次. 【答案】(1) 增区间 ,无减区间; (2) ; (3) 见解析 变式9（解答·★★★★☆） 设函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，． 【切入点】(1) : 时 , 递增; 时 零点 ,减 、增 . (2) 时最小值 构造差函数 ; (判别式 )。故 递增,, 于 、 于 ,,即 【关键】最小值 里”指数进、对数出”的搭档再次出现;差函数 在 处值与导数同时归零,二阶导恒正锁号—— 的分子 判别式为负,是”恒正”的免检标志. 【答案】(1) 见解析; (2) 见解析 变式10（解答·★★★★☆） 已知函数，.（1）若函数在处取得极值，求实数的值及此时的单调区间；（2）令，若对，的图象都不在图象的下方，求实数的取值范围. 【切入点】(1) ,;此时 的零点满足 ,由 递增知唯一, 减 增 . (2) “不在下方”即 对一切 : 分子: 上两项皆负,分子为负; 时为 ; 时记 ,,(因 ),故 ,分子为正。 于是 减 增 ,最小值 ,故 【关键】 的分子 在 上”两项皆负”是白捡的;真正要动手的只有 一侧,而 由 的单调性一步给出——分段定号,先捡便宜再啃硬骨头. 【答案】(1) ,减 增 ; (2) 变式11（解答·★★★★★） 已知函数.（1）已知的导函数为，证明：有唯一实数解.（2）若函数，，，，求m的取值范围. 【切入点】(1) :,故 ;而 在 严格递增,值域 ,唯一解 。 负 正 ,唯一极小值点. 极小值用身份证清算: 且 : (2) 条件 “:” 等价于 :,最小值 。故 【关键】又见 : 的清算全靠 这条身份证;“ 双层量词”按第13讲的口诀拆两步——内层对 取 ,外层对 取 ,两层最值一碰头, 就出来了. 【答案】(1) 见解析; (2) 学科网（北京）股份有限公司 $