第27讲 不等式通法证明(下) 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

该高中数学讲义聚焦高考不等式证明核心考点，涵盖裂项放缩、有界放缩、构造法、反证法及数列不等式，按方法逻辑分层构建知识体系。通过考点梳理（如裂项“分母作差”原则）、方法指导（先猜后证策略）、真题训练（例题与变式题），帮助学生突破放缩尺度把控等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料创新采用“方法口诀化+分层递进”教学策略，如裂项放缩强调“够用即停”、有界放缩运用“分段三段账”，培养学生数学思维与模型观念。以例1数列不等式证明为例，引导学生通过裂项配凑实现精准放缩，配合不同星级变式题分层训练，确保高效突破高考难点，为教师把控复习节奏提供清晰路径，助力学生提升应考能力。

第27讲 不等式通法证明(下) 裂项放缩·有界放缩·构造法·反证法·数列不等式 一、裂项放缩:分母作差,够用即停 1. 基本裂项口径. 因子差多少,系数就补多少: 相加后中间全消,只剩首尾. 2. 增减项放缩. 分母减去一个小量,分数变大:(因 ),而 恰好裂项——减项是为了配出可裂的因子. 3. 够用即停,放完对账. 放缩方向只能朝目标一侧;放出的界必须比目标界更紧才算数(如放出 ,目标是 ,收工;若只放出 ,得回头收紧). 【通法】因子差定系数,首尾相消. 【通法】分母减项分数变大,配平方差再裂. 【通法】放缩对账:界不如目标就再收紧. 例1（解答·★★★★☆） 记数列的前项和为，已知．（1）证明是等差数列，并求；（2）记数列的前项和为，证明：． 【切入点】(1) ,整理: 故 (), 是公差 的等差数列,,。 1. 裂项: · 隔一相消: 【关键】口径由因子差决定: 与 差 ,补系数 ;相消后留首尾各一半。 是 的上确界——差一口气取不到,但作 “” 的界恰好够用. 【答案】（1）;（2）证明见解析 变式1（解答·★★★★☆） 已知数列的首项为，前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）求满足的的最小值；（3）已知，记数列的前项和为，求证：. 【切入点】(1) 递推 叠加: (2) 即 ,即 ,,故 ,。 1. 分解: · 叠加: · 核对 ; 时 (两项因子同正; 时分母积为 ,),故 从 起递增: · 上界因尾巴 恒成立。 【关键】负项开局的裂项和:显式 一出,两条界各就各位——下界取首项 ,上界由尾巴恒负给出,单调性只负责传话。裂项不挑正负,挑的是”显式之后界在哪端”. 【答案】（1）;（2）;（3）证明见解析 变式2（解答·★★★★★） 若无穷数列满足:对于,,其中为常数,则称数列为“数列”。已知数列为“数列”,且,,求证:。（原题另有公比设问与其余小问,此处取其放缩一问） 【切入点】“ 数列”即 ,且 ,故 ,。目标化为 。 直接放 只能收出 这条上界,对 太松。收紧:分母减项, 叠加: 于是 【关键】两条放缩的差距:减共轭项 把平方倒数接到平方差裂项上,上界从 压到 ——“够用即停”之前先对账,放出的界不如目标紧,就得换更细的减项再放一次. 【答案】证明见解析 二、有界放缩:闭式读界与先猜后证 1. 闭式读界. 若求和收出 的形状,则两条界自动到位:下界看首项 ,上界就是 (取不到);递增性由”逐项正负”交接. 2. 先猜后证. “证明 ”类问题,先算 猜出恒等式的形状(如 ),再用数学归纳法配平——归纳那一步只依赖原递推关系. 3. 分段放缩三段账. 头部一两项算准,尾部统一放粗,最后常数对账:——放缩的松紧,以”常数比较能闭环”为唯一标准. 【通法】闭式一出,首项与尾巴各给一条界. 【通法】猜形归纳,配平靠递推. 【通法】头部算准、尾部放粗、常数对账. 例2（解答·★★★★★） 已知方程的两实根分别为，数列的通项公式为的前项和为.（1）求；（2）求的值；（3）设数列的前项和为，证明：. 【切入点】(1) ,: (2) 由通项验算递推(): 把递推反着写 再叠加(裂项相消): 故 。 1. 先猜:算得 ,,,猜想恒等式 · 归纳: 成立;设 成立,则 · 而 ,归纳成立。于是 · 证毕。 【关键】同一递推两副面孔:反着写相消(第(2)问的和)、猜形后归纳配平(第(3)问的界)。猜形的数据全来自前三项——“先猜后证”里,猜不是碰运气,是用 反解常数. 【答案】（1）;（2）;（3）证明见解析 变式3（解答·★★★★★） 已知公比大于的等比数列,各项均为正数的等差数列的前项和为,且,,,是与的等比中项。（1）求,的通项公式;（2）记,求证:。（原题(2)为错位求和,此处取其(3)改列为(2)） 【切入点】(1) ,即 ,,,; 侧 ,即 ,,,,,,。 1. 分段放缩:头部算准, · 尾部放粗: 时 (在 取最大,之后随 递减),故 · 常数对账: · 其中用到 。 【关键】分段放缩是”记账”:头两笔精确入账,尾款一口估价,最后只验一个常数不等式闭环。松紧的标准不在单段,在总账能不能对上 . 【答案】（1）,;（2）证明见解析 变式4（解答·★★★★☆） 已知数列和满足,,。（1）求数列和的通项公式;（2）设数列的前项和为,求证:。 【切入点】(1) 递推两边同除 : 累加: 侧由和式相邻相减,。 1. 错位相减求 : · (验 :)。尾巴 ,故 。 【关键】“除 配比”让递推当场裂成可累加的一阶差;错位相减的闭式天生是常数减正尾巴——“” 只是闭式的读数,连放缩都省了。能求和就先求和,求不出来才放缩. 【答案】（1）,;（2）证明见解析 三、构造法:造辅助函数接住信息 1. 轻导数衔接. 目标里绕不开导数时,只让导数干一件事:找到极值点满足的参数关系;剩下的不等式交给均值、配方去说清——导数是侦察兵,不等式才是主力. 2. 换元同步换范围. 造辅助函数后用新变量表示,旧变量的范围(如 )必须一路带着走,取等与严格性都由它把关. 【通法】造一元辅助函数,集中全部信息. 【通法】导数找关系,均值说结论. 【通法】换元带范围,严格性不丢. 例3（解答·★★★★☆） 已知()。（1）若在定义域上单调递增,求的取值范围;（2）若有极大值,求证:。 【切入点】求导:()。构造辅助函数 则 。, 在 递减、 递增,。故 (1) 递增的充要条件是 。 1. 有极大值的充要条件是 :此时 有两根,记较小根 (极大值点在 ),且 · 代入极大值: · 而 · 故 。 【关键】本例是”构造 + 轻导数”的合演: 把零点关系 接住,代入 后对数当场对消,只剩纯代数式 ;收口一步是均值(对勾), 只负责把取等排除——导数找到门,均值走进去. 【易错】极大值存在才推出 (若 , 单调无极值)——前提不交代,分类就是断的;对勾不等式 的严格性要靠 点明. 【答案】（1）;（2）证明见解析 四、反证法:否定结论,赶尽杀绝 1. 四步流程. 否定结论(存在↔全称互换、“≥”否定为”<“)→ 在否定之下推演(递推、归纳、放大)→ 推出与已知/事实的矛盾 → 收回假设得结论。否定要完整:”存在一个”的反面是”每一个都不”,漏一种情形就是漏洞. 2. 经典对决. “线性 vs 平方”:假设每步至少涨 (线性下界),而实际量按常数差累加(线性总量),指数/平方一出场必炸——增长速度对决是反证最常见的矛盾源. 3. 不留活口. 参数分类(如 与 )在反证里每一支都要走到矛盾;某一支若推不出矛盾,说明否定假设在那支里是活的,整个反证塌方. 【通法】否定完整:全称存在互换. 【通法】增长对决造矛盾. 【通法】分类逐支封死. 例4（解答·★★★★★） 若各项为正数的无穷数列满足:对于都有,其中为非零常数,则称数列为“平方等差数列”。（1）判断无穷数列和是否是“平方等差数列”,并说明理由;（2）若是“平方等差数列”:(ⅰ)证明:存在正整数,使得不等式成立;(ⅱ)证明:存在正整数,使得。 【切入点】(1) :通项 , 为常数,是();: 与 有关,不是。 (2)(ⅰ) 反证:设对一切正整数 都有 ,则 而平方等差给 。若 :则 ,立矛盾;若 : 取 即为正,仍矛盾。假设不成立,故存在 使 。 (2)(ⅱ) 先封 :若 ,则 在 充分大时为负,与各项为正矛盾,故 。放缩:对 , 即 。取 : 叠加相消: 取 ,则 ,即 ,于是放大后的下界 ,故这样的 存在。 【关键】(ⅰ) 的矛盾源是增长速度对决:假设强迫 线性快跑,而平方等差只允许平方数线性慢涨,平方一压即碎, 的正负两支都要走到矛盾;(ⅱ) 则示范”存在”类命题的放缩终点——放出一条随 伸缩、能越过 的下界,便宣告存在. 【答案】（1） 是, 不是;（2）（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27讲 不等式通法证明(下) 裂项放缩·有界放缩·构造法·反证法·数列不等式 一、裂项放缩:分母作差,够用即停 1. 基本裂项口径. 因子差多少,系数就补多少: 相加后中间全消,只剩首尾. 2. 增减项放缩. 分母减去一个小量,分数变大:(因 ),而 恰好裂项——减项是为了配出可裂的因子. 3. 够用即停,放完对账. 放缩方向只能朝目标一侧;放出的界必须比目标界更紧才算数(如放出 ,目标是 ,收工;若只放出 ,得回头收紧). 例1（解答·★★★★☆） 记数列的前项和为，已知．（1）证明是等差数列，并求；（2）记数列的前项和为，证明：． 变式1（解答·★★★★☆） 已知数列的首项为，前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）求满足的的最小值；（3）已知，记数列的前项和为，求证：. 变式2（解答·★★★★★） 若无穷数列满足:对于,,其中为常数,则称数列为“数列”。已知数列为“数列”,且,,求证:。（原题另有公比设问与其余小问,此处取其放缩一问） 二、有界放缩:闭式读界与先猜后证 1. 闭式读界. 若求和收出 的形状,则两条界自动到位:下界看首项 ,上界就是 (取不到);递增性由”逐项正负”交接. 2. 先猜后证. “证明 ”类问题,先算 猜出恒等式的形状(如 ),再用数学归纳法配平——归纳那一步只依赖原递推关系. 3. 分段放缩三段账. 头部一两项算准,尾部统一放粗,最后常数对账:——放缩的松紧,以”常数比较能闭环”为唯一标准. 例2（解答·★★★★★） 已知方程的两实根分别为，数列的通项公式为的前项和为.（1）求；（2）求的值；（3）设数列的前项和为，证明：. 变式3（解答·★★★★★） 已知公比大于的等比数列,各项均为正数的等差数列的前项和为,且,,,是与的等比中项。（1）求,的通项公式;（2）记,求证:。（原题(2)为错位求和,此处取其(3)改列为(2)） 变式4（解答·★★★★☆） 已知数列和满足,,。（1）求数列和的通项公式;（2）设数列的前项和为,求证:。 三、构造法:造辅助函数接住信息 1. 轻导数衔接. 目标里绕不开导数时,只让导数干一件事:找到极值点满足的参数关系;剩下的不等式交给均值、配方去说清——导数是侦察兵,不等式才是主力. 2. 换元同步换范围. 造辅助函数后用新变量表示,旧变量的范围(如 )必须一路带着走,取等与严格性都由它把关. 例3（解答·★★★★☆） 已知()。（1）若在定义域上单调递增,求的取值范围;（2）若有极大值,求证:。 四、反证法:否定结论,赶尽杀绝 1. 四步流程. 否定结论(存在↔全称互换、“≥”否定为”<“)→ 在否定之下推演(递推、归纳、放大)→ 推出与已知/事实的矛盾 → 收回假设得结论。否定要完整:”存在一个”的反面是”每一个都不”,漏一种情形就是漏洞. 2. 经典对决. “线性 vs 平方”:假设每步至少涨 (线性下界),而实际量按常数差累加(线性总量),指数/平方一出场必炸——增长速度对决是反证最常见的矛盾源. 3. 不留活口. 参数分类(如 与 )在反证里每一支都要走到矛盾;某一支若推不出矛盾,说明否定假设在那支里是活的,整个反证塌方. 例4（解答·★★★★★） 若各项为正数的无穷数列满足:对于都有,其中为非零常数,则称数列为“平方等差数列”。（1）判断无穷数列和是否是“平方等差数列”,并说明理由;（2）若是“平方等差数列”:(ⅰ)证明:存在正整数,使得不等式成立;(ⅱ)证明:存在正整数,使得。 学科网（北京）股份有限公司 $