第11讲 导数与单调性 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

该高中数学讲义聚焦导数与单调性高考核心考点，涵盖求单调区间、含参分类讨论、由单调反求参数及导函数信息应用四大模块，按问题类型分层构建知识体系。通过考点梳理明确标准流程，方法指导强调因式分解等关键动作，真题训练结合例题与变式题，帮助学生系统突破导数定号、分类讨论等难点。 资料以“数学思维”培养为核心，创新分类讨论“按零点有没有、有几个、比大小”标准，设计“三段式书写”规范解题步骤。设置基础到综合的分层练习，如导函数信息题培养符号意识，助力学生高效掌握解题逻辑，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

第11讲 导数与单调性 不含参单调·含参分类讨论·由单调反求参数·导函数的信息 一、求单调区间:导数定号 1. 标准流程. 求 的单调区间:①确定定义域;②求 并因式分解;③解 得增区间、 得减区间;④区间与定义域取交,分开写,多个区间之间用逗号或"和",不能取并集. 2. 因式分解是关键动作. 导数式通分后分子往往能提公因式或十字相乘,如 ——分解到"每个因子符号一目了然"再列表定号. 3. 复合函数的单调性. 形如 、 的函数,先定外层增减,再令内层 满足方向;底数待定时先用条件把 解出来. 4. 三次函数的极值点. 的驻点是 的根;增减区间的分界点就是驻点,两驻点之和可由韦达定理直接读出. 例1（填空·★★☆☆☆） 函数的单调递减区间为______． 变式1（填空·★★☆☆☆） 函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则 = ________． 变式2（单选·★★☆☆☆） 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、含参函数单调性的分类讨论 1. 讨论的总纲:按 的零点"有没有、有几个、比大小"分类. 导数分子常是"二次式 + 对数/指数",先通分,分类标准来自:①首项系数的符号(开口方向);②判别式(零点个数);③零点与定义域的相对位置. 2. 三段式书写. 每一类都要落到"在哪些区间上 、哪些区间上 "的明确结论;临界的参数值(如判别式为零、两零点重合)单独作为一类,不能漏. 3. 定义域含 时, 是讨论的舞台. 分子是 的二次式,零点是否落在 内、两零点的先后,都要按参数逐段核对. 4. 讨论的结果反过来就是武器. 单调区间确定后,极值、零点、不等式都从中读出;讨论题的(2)问往往是(1)问结论的直接应用. 例2（解答·★★★★☆） 已知函数（1）讨论的单调性；（2）设，证明：. 例3（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若时，恒成立，求实数的值． 变式3（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围. 变式4（解答·★★★★☆） 已知函数，其中．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：． 变式5（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，，且，求的最大值． 变式6（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段与x轴有公共点，求实数a的取值范围． 变式7（解答·★★★★☆） 已知函数，其中．（1）若，求函数的单调区间；（2）当时，试判断的零点个数并证明． 三、由单调性反求参数 1. "恒单调"与"存在单调区间"是两条不同的路. 在区间 上递增 ⟺ 在 上恒成立(取等可分离); 在 上存在递增区间 ⟺ 在 上有解.恒成立取最值的最值,有解取上界的存在性——方向相反,别混. 2. 分离参数的标准动作. 恒成立且 只出现在一处时,解成 , 的下界就是 在 上的上确界(取不到也要取等,因为条件是 ). 3. "存在"型转最大值. 有解 ⟺ ;若 的最大值含参数,解不等式时注意端点开闭与取等. 4. 复合结构反求参数. 外层定向后,问题落到内层 在区间上的单调性,再回到 定号或对称轴位置——与函数模块的套路接龙. 例4（单选·★★★☆☆） 若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式8（单选·★★★☆☆） 已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式9（单选·★★☆☆☆） 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 变式10（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，存在，使得，求a的取值范围. 变式11（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若对任意和任意，都有，求实数的取值范围． 四、导函数携带的信息 1. 的图象信息就是 的变化信息. 的段 递增, 的段递减, 的零点是驻点;" 递增"说明 的图象越来越陡(下凸)," 有唯一零点"常常意味着 有一个最值. 2. 对称性会沿着求导传递. 关于直线 对称 ⟺ ,两边求导得 : 关于点 中心对称;反之,知道 的中心对称,积分回去就得到 的轴对称. **3. 由函数方程识别模型." 给了 与 的抽象关系,先用熟悉的函数(如 、)试满足方程,再用模型逐项检验选项;模型同时要满足题设的全部条件. 4. 值域包含型条件. " 使 "翻译成集合语言:——把逻辑符号换成值域的包含关系,问题立刻具体. 例5（多选·★★★☆☆） 已知函数及其导函数的定义域均为R，在R上单调递增，为奇函数，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 变式12（单选·★★★☆☆） 已知函数及其导函数的定义域均为，且满足．若在单调递增，则（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 导数与单调性 不含参单调·含参分类讨论·由单调反求参数·导函数的信息 一、求单调区间:导数定号 1. 标准流程. 求 的单调区间:①确定定义域;②求 并因式分解;③解 得增区间、 得减区间;④区间与定义域取交,分开写,多个区间之间用逗号或"和",不能取并集. 2. 因式分解是关键动作. 导数式通分后分子往往能提公因式或十字相乘,如 ——分解到"每个因子符号一目了然"再列表定号. 3. 复合函数的单调性. 形如 、 的函数,先定外层增减,再令内层 满足方向;底数待定时先用条件把 解出来. 4. 三次函数的极值点. 的驻点是 的根;增减区间的分界点就是驻点,两驻点之和可由韦达定理直接读出. 【通法】定义域先行,导数分解,列表定号,区间不并. 【通法】复合单调:外层定方向,内层解不等式. 【通法】三次函数驻点看 ,韦达定理读对称. 例1（填空·★★☆☆☆） 函数的单调递减区间为______． 【切入点】定义域 ;导数通分后分子出现 ,提出公因式 是破局点. 列表定号: 时分子两因子同正,; 时 、,; 时两因子同负,. 故单调递减区间为 . 【易错】定义域挖掉 ,减区间只能写在 ;若把左侧的递增与右侧的递增并写成 ,就用并集符号犯了格式错误. 【答案】 变式1（填空·★★☆☆☆） 函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，则 = ________． 【切入点】,两驻点 与 直接读出. 于 与 , 于 ,与题给增减区间结构对照得 ,,故 . 【通法】三次函数的增减区间分界就是驻点;由 的两根之和为 ( 为二次项系数比)用韦达定理最快,不必解出根再相加. 【答案】2 变式2（单选·★★☆☆☆） 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】外层 递减,故 在 递减等价于内层 在 递增. 的对称轴 ,在 上递增等价于 ,即 .故选 A. 【关键】"减外层套内层"要把方向翻转:外层减、复合要减,内层必须增;对称轴与区间左端点比较,取等号也合格(驻点落在端点不破坏单调性). 【答案】A 二、含参函数单调性的分类讨论 1. 讨论的总纲:按 的零点"有没有、有几个、比大小"分类. 导数分子常是"二次式 + 对数/指数",先通分,分类标准来自:①首项系数的符号(开口方向);②判别式(零点个数);③零点与定义域的相对位置. 2. 三段式书写. 每一类都要落到"在哪些区间上 、哪些区间上 "的明确结论;临界的参数值(如判别式为零、两零点重合)单独作为一类,不能漏. 3. 定义域含 时, 是讨论的舞台. 分子是 的二次式,零点是否落在 内、两零点的先后,都要按参数逐段核对. 4. 讨论的结果反过来就是武器. 单调区间确定后,极值、零点、不等式都从中读出;讨论题的(2)问往往是(1)问结论的直接应用. 【通法】通分、提因式,按”开口、判别式、零点位置”三级分类. 【通法】每一类写清增减区间,临界参数单列. 【通法】第(2)问回到第(1)问的结论上找突破口. 例2（解答·★★★★☆） 已知函数（1）讨论的单调性；（2）设，证明：. 【切入点】定义域 ;,分类标准就是 的符号——分子是"常数项 "的二次式. (1) 当 时 ,, 在 上单调递减; 当 时 给 , 在 上递减,在 上递增. (2) ,参数 完全消去!记 递增(两因子分别递增),且它有唯一零点 : 即 ,由 处 知 .故 于 、 于 , 对 两边取对数得 ,代入: 所以 ,不等式成立(当且仅当 时取等). 【关键】含参式相加后参数消失,是命题人埋的"彩蛋"——做证明题前先把 原样展开,说不定讨论根本不用做;隐零点 的"身份证"是 ,取对数得 ,于是 现场清算为零——与变式4(九江)的隐零点估值是同一件兵器. 【答案】(1) 时减于 , 时减 增 ; (2) 见解析 例3（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若时，恒成立，求实数的值． 【切入点】,比芜湖例更简单:零点唯一,( 时). (1) 当 时 , 在 上递减;当 时, 在 上递减,在 上递增. (2) 时 的最小值 条件 恒成立,只需最小值满足: 整理得 .记 (),则 在 递增、 递减,. 故 当且仅当 . 【关键】"恒成立取最值"把二元不等式压成关于 的一元式;而 的最大值恰是 ,把""逼成""——最值与取等条件的这种"双碰头",是求参数值的常见终局. 【答案】(1) 时减于 , 时减 增 ; (2) 变式3（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围. 【切入点】,分子是常数项为 的二次式:两根之积恒为 ,分类只看判别式与根的符号. (1) 判别式 : 当 时 或两根均非正,分子恒非负, 在 上单调递增; 当 时两根 均为正, 在 与 上递增,在 上递减. (2) 两极值点即分子两根:,(). 条件化为 记 (),, 递增,故 当且仅当 ,即 . 【关键】韦达定理把 整体算出而不必求根; 这一项的消失,是常数项取 的命题匠心. 【答案】(1) 见解析; (2) 变式4（解答·★★★★☆） 已知函数，其中．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：． 【切入点】,因式分解一步到位;两根 与 ( 时为正),按二者大小分类. (1) 时两根 与 均正: 当 时 , 在 递减、 递增、 递减; 当 时两根重合, 在 上递减; 当 时 , 在 递减、 递增、 递减. (2) 时, 等价于 递增且 、,故存在唯一 使 , 在 递减、 递增, 以 估计:,故 恒成立,原不等式成立. 【关键】隐零点 不必求出:""这条关系式就是它的"身份证",把 里的 换成 即可估值;用 放缩出下界,是隐零点估值的标准收尾. 【答案】(1) 见解析; (2) 见解析 变式5（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，，且，求的最大值． 【切入点】,分子是"首末均为 "的二次式:根是否为正、是否为实,全看 与 的大小. (1) :判别式 . 当 时判别式非正,开口向下的分子恒非正,, 在 上单调递减; 当 时两根 均为正(积为 、和为 ),分子在两根之间为正、之外为负, 在 与 上递减,在 上递增. (2) 极值点满足 ,,即 (以 代入). 结合 给 . 代入 : 在 上递增,最大值 故 的最大值为 . 【关键】减法 中, 项的差恰好等于 项的差(因为 ),两笔合并成 ;把 用 表示后,整个式子变成一元函数,求导判单调即可. 【答案】(1) 见解析; (2) 变式6（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段与x轴有公共点，求实数a的取值范围． 【切入点】,两根 与 ;注意 时 是负根,别默认它在右边. (1) : 在 与 上递增,在 上递减; : 且开口向下, 于两根 与 之间为正、之外为负, 在 上递减,在 上递增,在 上递减. (2) 切线与 轴垂直即切线水平:、 的横坐标是 与 ().两点纵坐标 线段 与 轴有公共点,等价于两端点函数值异号或其一为零: 令 :,而 ,故 (即 )时,根为 ,符号分析得 ,即 ; (即 )时,只有 满足,即 ,结合 得 . 综上 . 【易错】 时两根 与负数 都在定义域内,"两个水平切线"依然可能——只按 做就会漏掉 ;换元 后三个因式的根排序,符号分析才不会乱. 【答案】(1) 见解析; (2) 变式7（解答·★★★★☆） 已知函数，其中．（1）若，求函数的单调区间；（2）当时，试判断的零点个数并证明． 【切入点】(1) 定 后直接求导;(2) 含参零点个数,先用(1)同款流程确定 的"一减一增"骨架,再盯住极小值的符号. (1) :(). 于 , 于 :减区间 ,增区间 . (2) :,分子为零给 (负根不在定义域). 在 递减,在 递增. 端点行为: 时 ,乘 得 ;极小值 令 :上式为 ,把 用于 得 ,两边乘 即 ,故极小值 . 于是 从 降到负的极小值再升到 :两个零点. 【关键】" 在 时走向 (因 )"这一端点行为,是零点存在的第一块拼图;极小值为负由 的变体 一次放缩搞定——熟这条,零点个数题的"谷底符号"全都不慌. 【答案】(1) 减 增 ; (2) 两个零点,证明见解析 三、由单调性反求参数 1. "恒单调"与"存在单调区间"是两条不同的路. 在区间 上递增 ⟺ 在 上恒成立(取等可分离); 在 上存在递增区间 ⟺ 在 上有解.恒成立取最值的最值,有解取上界的存在性——方向相反,别混. 2. 分离参数的标准动作. 恒成立且 只出现在一处时,解成 , 的下界就是 在 上的上确界(取不到也要取等,因为条件是 ). 3. "存在"型转最大值. 有解 ⟺ ;若 的最大值含参数,解不等式时注意端点开闭与取等. 4. 复合结构反求参数. 外层定向后,问题落到内层 在区间上的单调性,再回到 定号或对称轴位置——与函数模块的套路接龙. 【通法】恒单调取最值,存在区间解不等式,两者方向相反. 【通法】分离参数: 型取上确界, 型取下确界. 【通法】复合结构先把外层方向定死,再处理内层. 例4（单选·★★★☆☆） 若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】"存在单调递增区间"即 在 上有解: 记 (): 在 上单调递增,最大值在右端点取得:. " 有解"等价于 (严格小于,取不到等号).故选 D. 【易错】"存在"对应严格不等号: 时 无解( 只在 处触零),故端点要排除——"恒成立"与"有解"的端点开闭正好相反. 【答案】D 变式8（单选·★★★☆☆） 已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】().存在递减区间即 有解: 在 上递增(,两因子同增),故其最小下界是 . " 有解"等价于 ,即 ,得 ,. 故选 B. 【关键】 的"最小值"在 取不到,但"有解"只要求越过下界: 时必有更小的函数值;这正是"存在型取开区间"的典型表现. 【答案】B 变式9（单选·★★☆☆☆） 已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【切入点】恒单调型: 在 上恒成立,分离 . 在 上递减,其上确界在 取得,为 (取不到). " 恒成立"要求 的上确界,故 ,最小值为 .故选 B. 【关键】上确界 在区间内取不到,但 时 于 严格成立——" 取到等号"与" 取不到等号"并不矛盾,层次要分清. 【答案】B 变式10（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，存在，使得，求a的取值范围. 【切入点】(1) :按 的符号出单调区间;(2) "存在 "即 ,把 上的最大值与最小值都查一遍. (1) 时 , 在 上递减; 时 在 处为零, 在 递减、 递增. (2) 时 先减后增(或全程递减),最小值在驻点或 处,最大值必在端点 或 处. 若 :,存在 使 ,符合; 若 :两端 、;最小值处:驻点 落在 内时 ,落在区间右侧()时 ,绝对值都小于 ,不合. 综上 . 【关键】 的存在性要"两头查":最大值冲 、最小值撞 ,分别清点;驻点是否落在 内,决定最值取在驻点还是端点——三种位置逐一定妥,不漏不重. 【答案】(1) 见解析; (2) 变式11（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若对任意和任意，都有，求实数的取值范围． 【切入点】(1) :零点唯一,按 的符号与 的位置分类;(2) " 对任意 "两侧分属两个变量,标准化为 ,即"左边最小值对右边最大值". (1) : 恒负, 在 递减;:, 递减;:驻点 , 在 递减、 递增. (2) 需要 (否则 无意义或 无正的最小值).两侧分离: 其中 ; ,,最大值在 即 处,. 条件即 故 的取值范围为 . 【关键】"任意对任意"的双变量不等式,先整除分离:两边各留一个变量,化成"一边最小值大于等于另一边最大值"; 的最大值在 处,是" 在 取最大"这条基准结论的换元版. 【答案】(1) 见解析; (2) 四、导函数携带的信息 1. 的图象信息就是 的变化信息. 的段 递增, 的段递减, 的零点是驻点;" 递增"说明 的图象越来越陡(下凸)," 有唯一零点"常常意味着 有一个最值. 2. 对称性会沿着求导传递. 关于直线 对称 ⟺ ,两边求导得 : 关于点 中心对称;反之,知道 的中心对称,积分回去就得到 的轴对称. **3. 由函数方程识别模型." 给了 与 的抽象关系,先用熟悉的函数(如 、)试满足方程,再用模型逐项检验选项;模型同时要满足题设的全部条件. 4. 值域包含型条件. " 使 "翻译成集合语言:——把逻辑符号换成值域的包含关系,问题立刻具体. 【通法】读 的图:正负定增减,零点定驻点. 【通法】对称性传递: 轴对称则 中心对称,反之亦然. 【通法】抽象关系先试模型,再用模型验选项. 【通法】量词条件翻译成值域包含. 例5（多选·★★★☆☆） 已知函数及其导函数的定义域均为R，在R上单调递增，为奇函数，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 【切入点】 为奇函数给 : 关于点 中心对称;"对称 + 递增"两件套,逐项清点. A: 取 得 ,故 ,正确; B:,是"相反"不是"相等",错误; C:记 ,则 ,故 ,即 , 关于直线 对称,正确; D: 递增且 ,故 时 、 时 , 在 处取最小值,且 对称.,其对称点 ;.两者都在 右侧且 ,由 在 递增得 ,即 ,与 D 的方向相反,错误. 故选 AC. 【关键】" 中心对称 ⟹ 轴对称"的证明只有一行:构造 ,求导为零;这是第3讲" 与 轴心互换"结论的导数版,两讲的桥就架在这里. 【答案】AC 变式12（单选·★★★☆☆） 已知函数及其导函数的定义域均为，且满足．若在单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】函数方程 用模型试探: 时左边为 ,右边为 ,两者相等,恰好吻合;取 满足"在 递增". 以 ()为工作模型逐项检验: A: 恒正,不存在 ,错误; B:,不恒为零,错误; C:,在 时为负,","不成立,错误; D:, 是凸函数,由凸函数的中间点不等式 正确.故选 D. 【易错】C 是最诱人的陷阱:" 递增"只保证 上 ;模型在负半轴 ——模型法的纪律是每个选项都要代回模型独立验证,不能凭直觉连坐. 【答案】D 学科网（北京）股份有限公司 $