第23讲 1的代换与条件最值 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦条件最值核心考点，涵盖1的代换（基本型、平移型、倒数型）、常数化积与参数化条件、多法对照与判假等内容，按“基础方法-变式拓展-综合应用”逻辑架构，通过考点梳理、方法指导（如取等联立、同步换定义域）、分层真题训练（例题+变式题，含填空、单选、解答、多选），帮助学生构建解题体系，突破难点。 讲义特色在于分层设计与多法互验，如例2“一母两题”培养数学思维，判假清单甄别下确界等假象提升理性精神，通过“端点兜底”策略保障取等可行性，助力学生高效掌握解题逻辑，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供清晰路径。

第23讲 1的代换与条件最值 常值代换·平移代换·消元与判别式·端点兜底 一、1的代换:把条件当原料 1. 基本型. 条件 时, 条件不是约束,是塞进式子里的常数 1. 2. 平移型. 条件含 、 时,先整体换元 、,化回基本型;换元务必同步换定义域. 3. 倒数条件型. 条件本身是 时反着用:,乘开后自动出现互倒结构. 4. 取等联立. 代换后的取等条件与原条件联立解出 ,并回验为正——取等不可行就要换兜底工具. 【通法】条件即原料:把 1(或定值)乘进目标式. 【通法】平移换元连定义域一起换. 【通法】取等联立回验,不可行换工具. 例1（填空·★★☆☆☆） 已知正实数满足，则的最小值为_________ 【切入点】条件 乘进目标式: 取等 ,即 ;联立 得 ,,,均为正。故最小值为 【关键】倒数条件型是 1 的代换的镜像:目标乘条件,互倒项 与 自己浮出来——乘的顺序(目标乘条件)决定互倒是否出现. 【答案】16 变式1（单选·★★☆☆☆） 已知为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【切入点】先拆分: 用条件 乘开: 取等 ,即 ;联立得 ,,均为正。故最小值为 选 B。 【关键】“先拆分、后代换”两步走:分子 拆成 后,乘一展开的互倒比是 ——取等比是分子系数比的平方根. 【答案】B 变式2（填空·★★★☆☆） 已知实数，则的最小值是___________. 【切入点】条件两边同乘 : 条件竟是积定 的伪装!于是 取等 ;联立 得 ,,均为正。故最小值为 【关键】分式条件先通分去分母,常常化简出干净的积定/和定;本题 化成 后,平移壳就脱掉了. 【答案】 变式3（填空·★★★☆☆） 已知均为非负数，且，则的最小值为______. 【切入点】平移换元:,,条件 化为 使用柯西时分母要与约束的系数配平——目标式的 改写为 : 取等 ,即 ;联立 得 ,,即 ,,在非负定义域内可行。故最小值为 【关键】柯西 的分母 必须与约束线性的系数一一对应:本题若把 直接当 配 ,得到的 是配错分母的假下界(该式在 邻域根本到不了);配平后 一步到位,取等点还落在 的边界上——非负条件的题,边界常常就是取等点. 【易错】本类题第一大坑:柯西分母与约束系数错配,得出一个取不到的”最小值”。自检办法:取等点回代约束与定义域,两条都过才算数. 【答案】2 变式4（单选·★★☆☆☆） 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 3 【切入点】条件 给 ,代进目标式: 取等 ,即 ;联立 得 ,均为正。故最小值为 选 B。 【关键】本题只需一次”条件除以 “: 当场裂成 ,互倒结构即成——挑哪个字母去除条件,决定了裂项是否成功. 【答案】B 二、常数化积与参数化条件 1. 常数化积. 型移项配凑:;一般 配成 . 分母里的 、 由此有了常数积. 2. 两问设计. 压轴常把”和的最小值”与”分式的最小值”排在同一条件下:第一问用 ,第二问用其乘积——一母两题,各取一条腿. 3. 隐含定义域. 常数化积 自动给出 、:分母的符号由条件锁定,裂项才有资格. 4. 无最小值的甄别. 目标式沿定义域单调趋于某个下确界但取不到时,“最小值”不存在——多选题里这是判假点. 【通法】 配 . 【通法】分母来源即常数积:裂项前先写定义域. 【通法】单调趋限取不到=无最小值,多选判假利器. 例2（解答·★★★★☆） 已知、均为正实数，.（1）若，求的最小值：（2）若，求的最小值. 【切入点】(1) :,移项配凑 取等 ,即 ,,均为正。最小值 。 1. :,配凑 。由 得 ,于是 · 取等 ,即 ,,均为正。最小值 【关键】两问同用常数积 :第一问走”和腿”,第二问走”积腿换分母”——把 用常数积改成 ,分式最值立刻退化成基本不等式. 【答案】(1) ; (2) 变式5（填空·★★★☆☆） 若正实数满足.则的最小值为__________. 【切入点】 两边同乘 :,配凑 于是 , 取等 ,,均为正。故最小值为 【关键】与例2(2) 同一模具:分母 、 的”来历”就是条件配出的 ——见到分母带常数,先找常数积. 【答案】 变式6（单选·★★☆☆☆） 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】定义域 本身就是条件:记 ,,则 , 取等 ,即 ,联立 得 ,可行。故最小值为 选 D。 【关键】“”不是背景板,是和定条件 ;隐含条件显式化后,1 的代换照走流水线. 【答案】D 三、多法对照与判假 1. 三条路. 条件最值:乘一代换、消元化一元、判别式法。按结构挑最省的;重要题目两法互验. 2. 高次条件. 型先试同除幂(如除以 、),把高次压成倒数结构;压不出干净结构就换数值试探或放弃巧解. 3. 判假清单. 多选条件最值的常见假象:取等点不可行(端点兜底才是真最值)、下确界冒充最小值、忽略隐含定义域. 【通法】同除幂压高次;压不出就别硬凑. 【通法】判假三查:取等可行?确有最值?定义域全验? 例3（多选·★★★☆☆） 已知，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值是 C. 的最小值是8 D. 的最小值是 【切入点】 移项:,同除 :;或移项配凑 由 得 ,且 。 A:,真; C:;记 :,取等 (,),真; D:,故 取等 ,真; B:同上记号, 它关于 严格递减( 与 的导数一负一正,负项恒占优),当 时趋于 但永远取不到——没有最小值,假。 故 ACD 正确。 【关键】B 是”下确界冒充最小值”的标准案例:递减趋于 却差一口气;多选判假问一句——取等点解出来在定义域内吗. 【易错】 用条件 化成 是本题的钥匙;不化的话式子没法动. 【答案】ACD 变式7（多选·★★★☆☆） 已知，，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】。 A:,是最大值 而非下界,“”假(如 时 ); B:,下界约 ,但更关键的是它没有上界—— 时 ,选项声称”不超过 “,假; C:(柯西雏形,取等 ),真; D:,取等 ,即 ,,真。 故 CD 正确。 【关键】D 是指数版的积定和最小: 与 的指数和 恰为定值;A、B 两个假选项各错在方向——“判方向”是多选条件最值的头条功夫. 【答案】CD 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23讲 1的代换与条件最值 常值代换·平移代换·消元与判别式·端点兜底 一、1的代换:把条件当原料 1. 基本型. 条件 时, 条件不是约束,是塞进式子里的常数 1. 2. 平移型. 条件含 、 时,先整体换元 、,化回基本型;换元务必同步换定义域. 3. 倒数条件型. 条件本身是 时反着用:,乘开后自动出现互倒结构. 4. 取等联立. 代换后的取等条件与原条件联立解出 ,并回验为正——取等不可行就要换兜底工具. 例1（填空·★★☆☆☆） 已知正实数满足，则的最小值为_________ 变式1（单选·★★☆☆☆） 已知为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 变式2（填空·★★★☆☆） 已知实数，则的最小值是___________. 变式3（填空·★★★☆☆） 已知均为非负数，且，则的最小值为______. 变式4（单选·★★☆☆☆） 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 3 二、常数化积与参数化条件 1. 常数化积. 型移项配凑:;一般 配成 . 分母里的 、 由此有了常数积. 2. 两问设计. 压轴常把”和的最小值”与”分式的最小值”排在同一条件下:第一问用 ,第二问用其乘积——一母两题,各取一条腿. 3. 隐含定义域. 常数化积 自动给出 、:分母的符号由条件锁定,裂项才有资格. 4. 无最小值的甄别. 目标式沿定义域单调趋于某个下确界但取不到时,“最小值”不存在——多选题里这是判假点. 例2（解答·★★★★☆） 已知、均为正实数，.（1）若，求的最小值：（2）若，求的最小值. 变式5（填空·★★★☆☆） 若正实数满足.则的最小值为__________. 变式6（单选·★★☆☆☆） 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 三、多法对照与判假 1. 三条路. 条件最值:乘一代换、消元化一元、判别式法。按结构挑最省的;重要题目两法互验. 2. 高次条件. 型先试同除幂(如除以 、),把高次压成倒数结构;压不出干净结构就换数值试探或放弃巧解. 3. 判假清单. 多选条件最值的常见假象:取等点不可行(端点兜底才是真最值)、下确界冒充最小值、忽略隐含定义域. 例3（多选·★★★☆☆） 已知，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值是 C. 的最小值是8 D. 的最小值是 变式7（多选·★★★☆☆） 已知，，满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $