第14讲 导数与零点 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与零点核心考点，涵盖存在性定理、单调性分析、参数讨论、零点关系及隐零点处理，按“基础方法—综合应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理、方法指导（如“三板斧”策略）、真题与变式训练，帮助学生系统突破零点问题难点。 讲义以“问题驱动—方法建模—能力提升”为主线，创新设计“零点个数定参数”中的换元转化、“隐零点设而不求”的方程代换等教学活动，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置分层练习（单选到解答题），配合即时反馈，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生解决复杂零点问题的应考能力。

第14讲 导数与零点 数零点的三板斧·零点个数定参数·零点的和差积·隐零点 一、数零点的三板斧 1. 存在性定理打底. 连续函数在区间两端异号则必有零点;但要数清个数,必须配合单调性——“单调 + 两端异号”才恰有一个. 2. 导数版数零点. 用 搭好 的增减骨架,再查三样:定义域端点的极限值(、 时 去向何方)、驻点值的符号、题面给的明桩(如 的现成零点)——三样齐了,个数当场数出. 3. 带对数因子的明桩. 形如 的函数自带零点 ; 的因子还决定 时的走向——先记明桩,再看另一因子的根落在哪个单调段. 4. 精确零点优先. 在 、 在 处的零点是精确的;先找明桩,其余用单调性与两边夹逼,比大小立即解决. 例1（解答·★★★★☆） 已知函数（1）若，求函数在处的切线方程；（2）求证：当时，有且仅有一个零点. 变式1（单选·★★☆☆☆） 已知点在幂函数的图象上，则函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 变式2（填空·★★★☆☆） 设函数，若有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为______． 变式3（单选·★★★☆☆） 已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 变式4（解答·★★★★☆） 已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若函数和的图象在公共点处的切线相同，证明：函数的图象在处的切线平行于轴． 二、零点个数定参数 1. 单谷(单峰)骨架. 只有一个零点时, 只有一个最值:零点个数 完全由最值的符号决定——把最值算成参数的函数,解不等式即得参数范围. 2. 换元打底. 与 并存时,求导后令 化成二次式;最值点、最值值都随之落定,再让谷底与 轴比高低. 3. 区间限定的零点. “在 内恰有两个零点”比”在 有两个零点”多两道闸:区间端点值要压过极值(如 ),驻点要落进区间()——逐道核对,一道不能省. 4. 等价转化取对数. ()两边取对数得 :零点个数问题立刻化为”水平线截 几刀”——单峰在 处,峰高 . 例2（解答·★★★★★） 已知函数．（1）若直线与曲线相切，求的值；（2）讨论的零点个数；（3）若方程有两个解 证明:使得 变式5（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）求的单调区间；（2）已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 变式6（解答·★★★★★） 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数的取值范围. 变式7（解答·★★★★★） 已知函数，其中．（1）当（为自然对数的底数）时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间上存在两个零点，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，设函数较大的零点为，记，当实数满足时，求证：． 三、零点的和·差·积 1. 韦达来不了,方程来凑. 两零点满足同一个方程 :两式相减、相除、相消,常能消去参数,逼出 的对称式——这是”零点版韦达定理”. 2. 倒对偶. 若 满足 ,则零点成对倒数出现;再有一个”自配对”的零点(如 ),奇数个零点的乘积当场锁定. 3. 比值代换. 指数方程的两零点相除可消去参数: 型,令 ,一切化为 的一元函数,再对 求导. 4. 目标先改写. 证明零点估计式前,先把目标不等式等价改写成”能代入零点方程”的形状(取对数、约公因子、换底),再动手. 例3（解答·★★★★★） 已知函数.（1）若在处的切线经过点，求的值；（2）讨论函数零点的个数；（3）若函数有三个不同的零点，求这三个零点的乘积. 例4（解答·★★★★★） 设函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）设为的导函数，若在上有两个不同的零点，，求证：． 四、隐零点:设而不求 1. 隐零点的身份证. 解不出 时, 满足的方程本身就是身份证(如 、):把目标式里的 、 用身份证互相替换,常数当场现形. 2. 极值点即隐零点. “有唯一极值点 ”翻译成 且两侧变号;用 表示 之后,极值、零点、切线全部可以拿 结算. 3. 两零点的”2 倍界”. 极值点 夹在两零点之间时,证”“只须 : 在 右侧单调,函数值比大小就是自变量比大小. 4. 阈值常是”恰相切”. “有且只有两个零点”的临界参数,往往对应极大(小)值恰为零:让”身份证方程”与”极值为零”同时成立,阈值自动现身. 例5（解答·★★★★★） 已知函数，．（1）若，求不等式的解集；（2）若函数有1个极值点，且，证明：有两个零点；（3）在（2）的条件下，设的两个零点分别为，（），证明：． 变式8（解答·★★★★★） 已知函数．（1）求极值；（2）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求；（3）若函数有且只有两个零点，求的取值范围． 变式9（解答·★★★★★） 已知函数.（1）证明：有且只有一个极值点；（2）若恰有两个零点.（i）证明：；（ii）记的极值点为，若，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 导数与零点 数零点的三板斧·零点个数定参数·零点的和差积·隐零点 一、数零点的三板斧 1. 存在性定理打底. 连续函数在区间两端异号则必有零点;但要数清个数,必须配合单调性——“单调 + 两端异号”才恰有一个. 2. 导数版数零点. 用 搭好 的增减骨架,再查三样:定义域端点的极限值(、 时 去向何方)、驻点值的符号、题面给的明桩(如 的现成零点)——三样齐了,个数当场数出. 3. 带对数因子的明桩. 形如 的函数自带零点 ; 的因子还决定 时的走向——先记明桩,再看另一因子的根落在哪个单调段. 4. 精确零点优先. 在 、 在 处的零点是精确的;先找明桩,其余用单调性与两边夹逼,比大小立即解决. 【通法】数零点三查:端点极限、驻点符号、明桩. 【通法】单调段内至多一个零点;存在性定理负责”有”,单调性负责”清”. 【通法】见 因子,先记下 这根明桩. 例1（解答·★★★★☆） 已知函数（1）若，求函数在处的切线方程；（2）求证：当时，有且仅有一个零点. 【切入点】(2) 要证”有且仅有一个”,先定骨架再清点: 按判别式分两段做. : , 在 递增;而 时 (),,,恰一个零点. : ,,减 增 ,,起点 ,故恰一个零点 . : 记 ,分子两根 、,故 增 、减 、增 .三段清点: 极大值 ,两项皆负,极大值为负,故前两段无零点; 极小值 ,而 ,故第一项不超过 ,又 ,极小值为负,第三段恰一个零点. 综上各情形都有且仅有一个零点. 【关键】“恰有一个”的证明结构 = 单调骨架 + 两端极限 + 驻点符号,三样缺一不可;本题在 时还要舍掉前两段——极大值为负就是”舍”的依据. 【易错】 时 的极限是 而不是 ( 消失了),起点变成 ,清点时别套错模板. 【答案】(1) ; (2) 见解析 变式1（单选·★★☆☆☆） 已知点在幂函数的图象上，则函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【切入点】由 得 ,即 ., 递增,零点至多一个. ,,两端异号,由零点存在性定理,零点落在 ,选 C. 【关键】幂函数定点定 是热身动作;真正的主菜是”增函数 + 端点异号 = 恰一零点”——存在性定理负责”有”,单调性负责”只有一个”. 【答案】C 变式2（填空·★★★☆☆） 设函数，若有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为______． 【切入点】四零点 = 左段两条 + 右段两条.左段 ():需 且两根都留在 内: 右段 ()即 :两正根等价于 ,即 ,且韦达给 故四零点并存的条件是 . 左段两根之积 ,于是 (),故 在 上递增: 时 (取不到),(取到),取值范围 【关键】分段函数数零点,先问”每段各出几个”再问”合并时有没有多余约束”——左段的第二根要被 扣回来,才把 压到 ;之后表达式用韦达整体代入,连零点都不用求. 【答案】 变式3（单选·★★★☆☆） 已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【切入点】先找精确零点:,;,. 递增,,,故 . 三者比较:,即 ,选 A. 【关键】 与 的零点都”藏”不住: 与 代入即中;中间的 才需要两边夹逼——先摘明桩,再夹剩下的,是零点比较大小题的最快路径. 【答案】A 变式4（解答·★★★★☆） 已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若函数和的图象在公共点处的切线相同，证明：函数的图象在处的切线平行于轴． 【切入点】(1) ,两驻点 与 谁左谁右,按 与 比大小. 时 :增 与 ,减 ; 时 :增 与 ,减 ; 时 , 在 上递增(驻点不变号). (2) 公共点条件:,得 ; 切线相同即斜率相等,而 ,故 所以曲线 在 处的切线斜率为 ,平行于 轴,得证. 【关键】(1) 驻点是 与 的”双中心”结构,排序即分类;(2) 的化简只有两行—— 的公共点与同切线条件翻译成 与 ,链式法则一步到位. 【答案】(1) 见解析; (2) 见解析 二、零点个数定参数 1. 单谷(单峰)骨架. 只有一个零点时, 只有一个最值:零点个数 完全由最值的符号决定——把最值算成参数的函数,解不等式即得参数范围. 2. 换元打底. 与 并存时,求导后令 化成二次式;最值点、最值值都随之落定,再让谷底与 轴比高低. 3. 区间限定的零点. “在 内恰有两个零点”比”在 有两个零点”多两道闸:区间端点值要压过极值(如 ),驻点要落进区间()——逐道核对,一道不能省. 4. 等价转化取对数. ()两边取对数得 :零点个数问题立刻化为”水平线截 几刀”——单峰在 处,峰高 . 【通法】先画骨架(单调段+端点极限),再让水平线升降数交点. 【通法】单最值函数:零点个数是”最值符号”的三分类. 【通法】区间零点:端点闸 + 驻点闸,逐道核对. 例2（解答·★★★★★） 已知函数．（1）若直线与曲线相切，求的值；（2）讨论的零点个数；（3）若方程有两个解 证明:使得 【切入点】(1) 相切 = 点在曲线上 + 斜率相等:设切点 ,则 由第一式 ,代入第二式: 故 ,. (2) . : 递增,、,恰 个零点; : 在 处取最小值 : 最小值为正等价于 ,无零点; 最小值为零等价于 ,恰 个(相切); 最小值为负等价于 ,恰 个. (3) 即 .记 ,两解需 ,此时两解满足 、( 在 处取最大值 ). , 在 上严格递减,故把 连续地映满开区间 .又 故 是该开区间的内点.分两种情形取 :若 ,取 (区间非空:两个右端点都大于 );若 ,任取 .两种情形下都有 由介值定理( 连续,把 映满该开区间)存在 使 得证. 【关键】(2) 是”单谷 + 谷底符号”三分类的标准现场;(3) 的本质是” 严格单调,则 在两零点间取遍两端函数值之间的一切值”——介值定理落在导函数上,再配上”乘积为 “的倒数配对. 【易错】(1) 若只联立 而不验”点在直线上”, 解不出来;两条方程缺一不可. 【答案】(1) ; (2) 或 时 个, 时 个, 时 个; (3) 见解析 变式5（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）求的单调区间；（2）已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 【切入点】(2) 限区间 的两零点: 时极大值点 须落进区间,且极大值为正、右端点 为负——三道闸逐个核. : 递增,,恰 个零点,不合; : 增 、减 . 闸一(驻点进区间):; 闸二(峰顶出水):; 闸三(右端压线):(严格: 时零点落在端点 上,不在开区间内). 三闸合取:,即 . 【关键】 的常数项 来自”“——把端点值老老实实算全,是这道题唯一的坑;三道闸的顺序(驻点、峰值、端点)就是”骨架—峰—线”的顺序. 【答案】(1) 时增于 , 时增 减 ; (2) 变式6（解答·★★★★★） 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数的取值范围. 【切入点】(1) :令 ,则 是 的二次式,先解它的根. :、, 恒成立, 递减; :二次式两根 ,即 (舍)与 : 在 时为负、之后为正, 减 、增 . (2) 时 递减,()、( 时指数项压轴, 时 压轴),恰 个零点,不合; 时 、, 单谷,两零点等价于谷底为负.谷底在 : 令 : 记 :,, 在 递减、之后递增,且 、.故 ,即 【关键】 里”指数进、对数出”: 把一切化成 与 ;收尾的 以 为唯一零点,单调性一段锁死. 【答案】(1) 见解析; (2) 变式7（解答·★★★★★） 已知函数，其中．（1）当（为自然对数的底数）时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间上存在两个零点，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，设函数较大的零点为，记，当实数满足时，求证：． 【切入点】(2) ()两边取对数:. 在 处取最大值 ;左侧 时趋于 ,右侧 时趋于 .故两解等价于 ,即 . (1) :,,,切线 . (2) 由上述转化,. (3) 较大零点 满足 ,取对数:.以 代入,得零点的身份证 用它把目标式逐段等价改写(两边同为正,可除以 、可指数化): 于是只需证 .令 , 在 处取最大值 ,两零点 (, 当 ). 左式:(因 ),而 ,故 落在两零点之间,; 右式:记 ,则 而 满足 、(),故 ,即 ;又 ,它落在 右侧,故 .得证. 【关键】先拿”身份证” 把两个花哨的估计式指数化归约成 ,再让辅助函数 在三个探针点(、、)上验符号——零点估计题的全部动作就这三步. 【易错】 是正的:,这条”显然”的不等式要落笔写出来,不能跳. 【答案】(1) ; (2) ; (3) 见解析 三、零点的和·差·积 1. 韦达来不了,方程来凑. 两零点满足同一个方程 :两式相减、相除、相消,常能消去参数,逼出 的对称式——这是”零点版韦达定理”. 2. 倒对偶. 若 满足 ,则零点成对倒数出现;再有一个”自配对”的零点(如 ),奇数个零点的乘积当场锁定. 3. 比值代换. 指数方程的两零点相除可消去参数: 型,令 ,一切化为 的一元函数,再对 求导. 4. 目标先改写. 证明零点估计式前,先把目标不等式等价改写成”能代入零点方程”的形状(取对数、约公因子、换底),再动手. 【通法】零点关系两板斧:方程消参、比值代换. 【通法】倒对偶 一现,乘积立定. 【通法】目标式先等价改写,再让零点方程逐项生效. 例3（解答·★★★★★） 已知函数.（1）若在处的切线经过点，求的值；（2）讨论函数零点的个数；（3）若函数有三个不同的零点，求这三个零点的乘积. 【切入点】(1) ,切点纵坐标为 ;过 与 的直线斜率为 ,而 ,故 ,. (2) . :分子 恒成立, 递减,恰 个零点; :分子为 , 递增,恰 个; :判别式 ,分子恒正, 递增,恰 个; :两根 皆为正且 (积为 ), 增 、减 、增 . ()、、:由 在 递减穿过 ,得 三段各恰一个零点,共 个. (3) 零点满足 ,两边乘 : 做倒对偶:以 代入, 故 :零点按倒数成对出现;又 ,即 自成一对.三个零点 中, 与 必为倒数对: 【关键】(2) 里 是”明桩”:极大值、极小值的符号全靠与这根明桩比(减区间穿过它,两端就被压过);(3) 的倒对偶把”三个零点的乘积”变成一行代码—— 一现,乘积立定. 【易错】 时极小值点 ,别把”减区间穿过 “写成”极大值等于 “: 落在减段上,所以是极大值为正、极小值为负. 【答案】(1) ; (2) 或 时 个, 时 个; (3) 例4（解答·★★★★★） 设函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）设为的导函数，若在上有两个不同的零点，，求证：． 【切入点】(3) ,两正零点即 有两解,亦即 在 有两解(,两根 、).两零点方程相除消去 : 记 (题设 ),则 ,于是 记分子 :, 故 , 在 上递增, 当且仅当 (即 ,恰是题设允许的边界)时取等.得证. 【关键】两零点方程相除是最干净的一次消元; 比代换后,目标式变成 ——分子求导后自动整理成 的形状,单调性一锤定音;取等点 恰与题设条件对齐,这是命题人留的”满分缝”. 【答案】(1) ; (2) 时增于 , 时增 、减 、增 (其中 ); (3) 见解析 四、隐零点:设而不求 1. 隐零点的身份证. 解不出 时, 满足的方程本身就是身份证(如 、):把目标式里的 、 用身份证互相替换,常数当场现形. 2. 极值点即隐零点. “有唯一极值点 ”翻译成 且两侧变号;用 表示 之后,极值、零点、切线全部可以拿 结算. 3. 两零点的”2 倍界”. 极值点 夹在两零点之间时,证”“只须 : 在 右侧单调,函数值比大小就是自变量比大小. 4. 阈值常是”恰相切”. “有且只有两个零点”的临界参数,往往对应极大(小)值恰为零:让”身份证方程”与”极值为零”同时成立,阈值自动现身. 【通法】设而不求三步:设 、留方程、回代清算. 【通法】隐零点估值:目标式先化到只含 的初等式,再看符号. 【通法】临界参数 = 相切 = 极值恰好触零. 例5（解答·★★★★★） 已知函数，．（1）若，求不等式的解集；（2）若函数有1个极值点，且，证明：有两个零点；（3）在（2）的条件下，设的两个零点分别为，（），证明：． 【切入点】(1) 时按 与 比大小分段,两项各自定号: : 且 ,故 ; : 且 ,故 ; :.解集为 . (2) ,而 严格递增,故 至多一个零点.”有 个极值点”即 恰一零点 ,此时 减 、增 ,且 ()、,两零点等价于 : 令 :, 故 时 ,即 ,两零点 ,得证. (3) 在 递增且 ,故只须证 : 令 :,(),故 递增,, 递增(),于是 又 ,故 ,从而 .得证. 【关键】(2) 的隐零点身份证是 ,把 化成 后, 在 处的初值 正好卡住符号;(3) 的” 倍界”就是一句话: 加上单调性. 【答案】(1) ; (2) 见解析; (3) 见解析 变式8（解答·★★★★★） 已知函数．（1）求极值；（2）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求；（3）若函数有且只有两个零点，求的取值范围． 【切入点】(1) ,唯一零点 ,先负后正,极小值 ,无极大值. (2) ,,切线 .设它与 相切于 : 由第一式 ,代入第二式:,得 ,故 . (3) . 故 严格递减;又 、, 有唯一零点 (随 而变), 先增后减,最多两个零点.在 处 : 代入清算极大值: 记 :, 递增.再看 随 的变化: 故 与 同增.阈值: 时(): ( 与 等价).于是: 时最大值恰为 , 有且只有 个零点; 时 变大、,恰 个零点; 时 ,无零点. 所求范围为 . 【关键】 一举锁死”最多两零点”;极大值清算时 被身份证完全消去,极大值只含 ——于是”参数阈值”转化为”极大值何时触零”,而触零点恰是 的根,阈值 自动现身. 【易错】 时极大值恰为 ,是”一个零点”而不是”两个”:谷底(峰顶)触线只算一个公共点,临界值不属于答案. 【答案】(1) 极小值 ,无极大值; (2) ; (3) 变式9（解答·★★★★★） 已知函数.（1）证明：有且只有一个极值点；（2）若恰有两个零点.（i）证明：；（ii）记的极值点为，若，求的取值范围. 【切入点】(1) ,: 严格递增;又 、, 有唯一零点 , 减 、增 ——有且只有一个(极小值)极值点. (2)(i) 先证必要: 时 ,,,故 减 增 ,,且 于 ,即 于 、: 至多一个零点,与”恰有两个零点”矛盾.故 . 再证充分: 时 ,结合 、 与唯一极值点,恰有两个零点. (ii) 极值点满足 ,即 (关于 递增,且 ).结合(i),“恰有两个零点”等价于 .条件 对一切允许情形成立,即 证分母不等:.记 时用 (即 ,): 故 递增,,即 恒成立;而当 时比值趋于 ,故下确界为 , 【关键】(i) 的必要性用”参照函数”: 换成临界值 后差函数在 处触底归零——临界参数正好把函数抬到贴地;(ii) 把”恒成立”读成”比值取下确界”,用 一步锁住 的符号. 【答案】(1) 见解析; (2)(i) 见解析; (ii) 学科网（北京）股份有限公司 $