第13讲 恒成立与能成立 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

该高中数学讲义聚焦高考恒成立与能成立核心考点，以分离参数、最值法与必要条件探路、能成立确界转化、双参数隔离为逻辑主线，通过考点梳理、方法指导（如分离参数的取等条件、探路法的必要性验证）、真题训练（例题及变式题）等环节，帮助学生构建系统解题框架，突破参数范围求解难点。 资料突出数学思维与模型观念，创新采用“确界分析+临界验证”策略，如必要条件探路中先由端点值探出参数范围再证充分性，双参数问题转化为直线族与曲线位置关系分析。设置分层练习（填空、解答题，难度★★★☆☆至★★★★★），助力学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第13讲 恒成立与能成立 分离参数·最值法与探路·能成立·双参数 一、分离参数:确界与取等 1. 分离的标准动作. 型且 在定义域上不变号时,先定符号再除过去(除负翻转),化成 (或 )对一切 成立;“恒成立”就是对 取上确界(或下确界). 2. 取等的两种局面. 的确界在区间内部取到,参数就取得到,范围带等号; 的确界只是端点极限(如 ),参数照样能取等——“ 取不到”与” 取不到”是两回事, 侧端点的开闭只看条件不等号是否带等. 3. 分离不动的两类信号. 参数在两处出现(如 与 并存、 藏在 里),或除式在定义域内变号——硬分离会走死,改走最值法(第二节)或双参数隔离(第四节). 4. 导数式里的”套娃”. 分离后 的分子常再出现 、 这类基准因子,它们的符号与零点是熟客——把 因式分解到”每个因子符号一目了然”,不必解根. 【通法】分离三步:定除式符号,化成 与 比大小,对 取确界. 【通法】恒成立取上(下)确界;端点开闭看条件不等号,不看 取不取得到. 【通法】 分解出基准因子( 等)就势定号. 例1（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围. 【切入点】(2) 含参式 单独一处,把 请到一边:条件等价于 ,除以 得 即 恒成立,只需求 的下确界. 基准因子 (在 处取等,这是熟知结论),故 的符号由 决定: 在 递减、 递增,下确界 故 .回验: 时, 恰好说明原不等式对一切 成立(在 处取等),端点取等合法. 【关键】分离后 的分子恰好提出 ——命题人把两个基准因子都埋好了;确界在 取到, 合法,回验一步不可省. 【易错】 的下确界在 处取得,所以 可以取;若错按”端点极限”写成开区间 ,就丢了取等的合法情形. 【答案】(1) 时增于 , 时减 增 ; (2) 例2（解答·★★★★★） 已知（1）讨论的单调性（2）对于恒成立；求的取值范围（3）设，为函数的两个零点；证明． 【切入点】(2) 即 ,除以 : 对一切 成立,取 的上确界. 在 递增、 递减,上确界 (取得到).故 ;回验: 时 即 ,成立. (3) 由(2)的讨论,两个零点恰在 时出现: 在 增、 减,.对称化构造:令 利用零点条件 化简 ,得 故 在 递增,又 ,于是 时 ,即 而 落在减区间内, 给出 ,即 【关键】(2) 的上确界在 取得, 端点闭;(3) 的对称化里 的分子是完全平方 ——构造方向选对,求导自动投降. 【通法】“两零点 关于极值点的对称式”用 处理: 取猜测的对称中心(此题 ); 定号后,一个零点的位置立刻把另一个压过界线.这套动作在第16讲《极值点偏移》里是主角,此处先见一面. 【答案】(1) 时增于 , 时增 减 ; (2) ; (3) 见解析 变式1（填空·★★★☆☆） 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是______． 【切入点】,分离 对一切 成立,取上确界. 记 :, 在 处取最大值 ,而 、 后 ,故 在 递增、 递减,上确界 故 . 【关键】 在 处取最大值 ,等价于熟知的 (换元 后即 )——记住这个”指数压对数”的基准,此题可以口算. 【答案】 变式2（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）若在处的切线斜率为，求；（2）若恒成立，求的取值范围． 【切入点】(1) ,,得 .(2) 定义域 ,两边乘 化为 的零点满足 ,记为 (不可解,但只需它的”身份证”): 在 递增、 递减, 对 取对数得 ,代入: 故 . 【关键】隐零点 满足 ,它的”身份证”两条: 与 ——取对数即得,代回清算时 与 同时消账.这位老朋友在第8讲、第12讲都露过面,是不折不扣的”常数钉子户”. 【答案】(1) ; (2) 变式3（填空·★★★★☆） ，若恒成立，则实数的取值范围是______． 【切入点】左边是 的二次式: 判别式 恰为完全平方,于是二次式可分解: 由 知 ,条件等价于 落在 与 构成的区间之外(对每个 ). 比较两根:.于是: 当 时禁开区间 ,其并集为 ; 当 时禁开区间 ,其并集为 ; 而 时两根重合,对每个 都不被禁( 处二项式恰为零). 故 只须避开 ,即 【关键】判别式凑成 是命题的”针脚”,分解后问题从”对一切 恒成立”翻转为” 避开一族随 移动的禁区”——把禁区并起来,补上重根点 ,答案就长这样. 【易错】 这个孤点最容易丢: 处判别式为零,二次式退化为完全平方恒非负;并禁区时按开区间并,孤点不进去. 【答案】 二、最值法与必要条件探路 1. 最值法总纲. 恒成立当且仅当 :最值求不出时,设出取最值的点、把”该点导数为零”作方程消元——最值点的身份本身就是钥匙. 2. 必要条件探路. 在 处”起步”(如 、区间端点恰在定义域边上)时,恒成立强迫 (或 ,视方向而定),必要时 也受迫——先探出参数的必要范围,再对必要范围逐段验证充分性,一压到底. 3. 充分性的收尾. 必要范围常是单边区间(如 );此时把 放缩成”每项符号已知”的和,或对 再求导锁号,证明 全程保持预定方向. 4. 恒成立结论是资产. 一旦证得 ()这类带取等条件的式子,就可以逐点代入、逐项求和——解答题的(3)问常常是(2)问的”提款机”. 【通法】最值法:构造差函数,盯住起步点列必要条件,再回头压制. 【通法】探路口诀:起步点处导数(乃至二阶导)受迫,先夹参数,后验充分. 【通法】已得的恒成立式换 逐项求和,是数列不等式的标准桥梁. 例3（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围；（3）求证：当时，. 【切入点】(2) 且 (自动满足)——“起步点”二阶可导,恒成立先逼 : 这是必要条件;下面对 验证充分性. 当 时 ,故 时 , 在 递增,,充分性成立.综上 . (1) 时 :分子 在 、 为负,在 、 为正,分母 同步变号,逐段整理得: 减区间 与 ,增区间 与 . (3) 在(2)中取 :对一切 , 逐项取 (): 求和: 得证. 【关键】探路只走了一步()就把 夹到 ;充分性靠 因式分解成 一次完成——构造差函数后先试因式分解,分解成了就省掉逐段讨论. 【易错】(3) 求和时取等条件要盯住: 时 严格成立,所以和式是严格小于;若误用取等的情形,严格号就丢了. 【答案】(1) 减 与 ,增 与 ; (2) ; (3) 见解析 变式4（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）若恒成立，求a的取值集合；（2）当时，证明：当时，恒成立． 【切入点】(1) 对一切 :按 与 的大小分两侧除(除负翻转!),两侧各逼一个方向. 时 :,而 在 上小于 且趋于 (用 的变体),故 ; 时:,而 给 ,趋近 ,故 . 两侧合围:,取值集合 . (2) 当 、 时,构造 .逐阶求导: 故 (于 ), 递增,, 递增,,即 得证. 【关键】(1) 两侧除法方向相反,合围出 的”双碰头”;(2) 是第12讲济南变式”二阶导锁号”的加强版——、 依次归零,三阶导恒正,一路把符号锁死. 【答案】(1) ; (2) 见解析 变式5（解答·★★★★★） 函数．（1）若，求单调区间；（2）当时恒成立，求的取值范围；（3）设，，请比较与大小，并说明理由． 【切入点】(2) ,又是”起步点”!恒成立 (对 )先逼 . 充分性: 时,对 , 末一步用 (即 于 ,取等仅 ).故 在 递减,.综上 . (1) :,记 ,, 在 取最大值 ,故 :减区间 ,无增区间. (3) ,要证 ,逐项比较: 令 ,只需证 .再令 ,则 ,不等式化为 构造 :, 故 递增,,,逐项得 ,求和即 【关键】(2) 又是”起步点探路 + 一步放缩压制”;(3) 的双重换元(,再 )把根式不等式洗成 的干净形态——换元的目的只有一个:让构造的差函数在 处”归零起步”. 【答案】(1) 减区间 ,无增区间; (2) ; (3) ,证明见解析 变式6（填空·★★★★☆） 已知函数（，，），若在上恒成立，则的最大值为______. 【切入点】 在 上恒成立,先探 的方向: 时 ,若 则 ,崩——故 . 时 对一切 成立,即 ,此时 ; 时 有唯一零点 ,其中 ,最小值 于是 设 :,零点在 ,即 , 在此取最大值 故所求最大值为 . 【关键】“恒成立”的最小值条件把 的上界用 表示;指数 2026 与 2027 差 1,求导后恰好对齐——压轴填空的数字都是”设计好的”,求导前先看一眼幂次差. 【答案】 三、能成立:把”存在”翻译成确界 1. 能成立 = 换个方向取确界. “ 有解”对 取最大值,“ 有解”取最小值——与恒成立一上一下.最值取不到(端点、极限)时,把等号改严格:“有解”必须越过界限. 2. 双层量词分两步. “存在 ,使对一切 成立”是套娃量词:先固定 把内层”对一切 “做完,得到关于 的条件(常是 落在某个区间),再问”存在 “——区间非空即答案. 3. 几何翻译. “存在”也常说成”曲线有公共点”“切线能放进某区域”:画出不动的那条曲线,让含参对象去够它,临界位置往往在相切处. 4. 绝对值与分段. 含 的存在性问题按 与 的大小拆段,每段的最大值各管一段;对参数 求整体最省的取法,再回头读出另一参数的范围. 【通法】能成立取反方向确界;最值取不到就补严格号. 【通法】双层量词两步走:内层做完变关于 的条件,外层再取确界. 【通法】画不动曲线,让含参曲线去够它. 例4（单选·★★☆☆☆） 设函数，若存在实数使得恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 【切入点】 对一切 成立,即两因子恒异号.先看 的走向: 时它必须走向 (否则另一因子压不住),故 . 时: 对一切 成立,等价于 大于 的上确界 (在 处取得,取不到等); 对一切 成立,等价于 小于 的下确界;而 ,其下确界为 (在 处取得). “存在 ”即两条件相容: 故选 D. 【关键】双层量词:内层把两个”对一切 “各自做完(各取各的确界),外层只问”区间是否非空”;两个基准最值 与 是这套题的标配零件. 【易错】 的上确界 在 取得,所以内层条件是 (严格):若取 ,则 处 ,不满足严格小于零. 【答案】D 变式7（填空·★★★☆☆） 若存在实数，对任意的都有恒成立，则实数n的取值范围是______. 【切入点】“存在 ”先固定 求左边的最大值.记 ,按 与 的大小拆段: 时 (上开口抛物线,顶点 ); 时 (递增). 时左段最大值在顶点 处,为 ;若 ,右段最大值 .条件: 相容要求 ,即 ,得 . 时左段最大值 ,右段要求 ,即 ,更小. 取 、 验证: 段 ; 段 .均可. 故 的取值范围是 . 【关键】拆段后每段的最大值”各管一段”,存在 就是让两段的最大值同时压到 以下; 的上界出现在 与 同时卡边的位置——把 解出来代进另一个不等式,就得到 的二次不等式. 【答案】 变式8（填空·★★★☆☆） 已知函数，若曲线在点处的切线与函数的图象无公共点，则实数的取值范围为______． 【切入点】,,切线 .”无公共点”即 (“无公共点”排除了相切,所以是严格小于.) 在该处取最大值 恒成立等价于 ,即 【关键】“无公共点”对应严格不等号(有公共点含相切);切线定点 与斜率 先算死,剩下就是一条差函数的最值——切线与对数曲线的位置关系,差函数 的最值一锤定音. 【答案】 四、双参数:隔离、同号与直线族 1. 逐个隔离. 两参数各出现一处时,把条件拆成”“型:左右各对一个确界,”存在 “等价于上确界压不住下确界——两个确界之间非空. 2. 同号结构. 对一切 成立,而两因子在定义域内各有零点时,两零点必须重合——否则两零点之间两因子一正一负,乘积为负.重合条件把两参数锁进一个方程,双参数瞬间变一元. 3. 几何翻译. 曲线恒成立,即直线族 整族压在曲线下方;二阶导为正的曲线在任一条切线上方,临界参数由相切给出. 4. 比值即截距. 见到 、,先想”过点 的直线 “——参数比是横截距,最值常在直线与曲线相切处产生. 【通法】双参数先隔离:左右各取确界,非空即存在. 【通法】同号结构锁零点重合,双参数变一元. 【通法】参数比是横截距,临界在相切处. 例5（填空·★★★☆☆） 设函数，若存在实数，使得恒成立，则实数的取值范围是___________． 【切入点】定义域 .记 、,则 恒成立即 由 远大于 (指数压根式),合理的方向是 两侧隔离: 左最大:令 ,,最大在 ,故 ; 右最小:令 ,,最小在 : (用了 与 ). “存在 ”即 ,解得 ,即 【关键】“ 与 同号”选对方向后,就是左右各取一个确界、中间夹一个 ;两个最值点 与 都在定义域内取得,所以是”大于最大值、小于最小值”的开夹逼. 【答案】 变式9（单选·★★★☆☆） 若对恒成立，则当取得最小值时， = （ ） A. B. 1 C. D. 2 【切入点】条件即曲线 恒在直线 上方.直线 过点 —— 就是横截距,记 . 第一步:截距被逼到 . 当 时 ,条件要求 ,即 对一切 成立,故 . 第二步: 时的斜率被两边夹死. 即直线 过点 (恰是曲线的零点).对 : 对 : (曲线 满足 ,在切线 上方,且 处比值趋 ).故 . 第三步: 此时 .而当 时 更大,故 的最小值 在 处取得,选 D. 【关键】“参数比 = 横截距”一步把双参数几何化;截距的下界来自曲线在 上的负值段,斜率的锁定来自 两侧的双侧夹逼——零点重合 + 相切,是直线族问题的两块基石. 【答案】D 变式10（单选·★★★☆☆） 函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】硬算之前先分组: 对一切 成立,即两因子恒同号(或为零). 两因子的零点分别为 与 (各自恰一个,且各自在零点两侧变号).若两零点不重合,则夹在中间的区间上两因子一正一负,,矛盾——故必须 于是 : 时 从 递减趋于 ; 时 递增趋于 、且 时 .故值域为 选 D. 【关键】“同号结构锁零点重合”的现场演示:分组因式分解后,两参数只在重合条件 里联袂出现;剩下的 是一元函数求值域,求导即收. 【易错】 时第二因子退化为 , 要求 对一切 成立,不可能—— 自动排除,不必单列(它不满足重合条件 ). 【答案】D 变式11（单选·★★★☆☆） 若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】定义域 上 ,两侧同除正数,把 各自隔离: 右边与 无关,先取其最大值,得 的下界;再回头算 的最大值. 令 :,零点 ,且 在该处取最大值 (端点 时 ,取不到,故最大值在内部取得.) 于是条件等价于 (注意 取得到等号),即 时右边非正;令 ():,最大在 : 选 A. 【关键】两个参数出现两处,标准动作是先隔离再回代:第一轮把 用 表示(取确界),第二轮对 求最值——两次确界,一次交卷. 【答案】A 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 恒成立与能成立 分离参数·最值法与探路·能成立·双参数 一、分离参数:确界与取等 1. 分离的标准动作. 型且 在定义域上不变号时,先定符号再除过去(除负翻转),化成 (或 )对一切 成立;“恒成立”就是对 取上确界(或下确界). 2. 取等的两种局面. 的确界在区间内部取到,参数就取得到,范围带等号; 的确界只是端点极限(如 ),参数照样能取等——“ 取不到”与” 取不到”是两回事, 侧端点的开闭只看条件不等号是否带等. 3. 分离不动的两类信号. 参数在两处出现(如 与 并存、 藏在 里),或除式在定义域内变号——硬分离会走死,改走最值法(第二节)或双参数隔离(第四节). 4. 导数式里的”套娃”. 分离后 的分子常再出现 、 这类基准因子,它们的符号与零点是熟客——把 因式分解到”每个因子符号一目了然”,不必解根. 例1（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围. 例2（解答·★★★★★） 已知（1）讨论的单调性（2）对于恒成立；求的取值范围（3）设，为函数的两个零点；证明． 变式1（填空·★★★☆☆） 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是______． 变式2（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）若在处的切线斜率为，求；（2）若恒成立，求的取值范围． 变式3（填空·★★★★☆） ，若恒成立，则实数的取值范围是______． 二、最值法与必要条件探路 1. 最值法总纲. 恒成立当且仅当 :最值求不出时,设出取最值的点、把”该点导数为零”作方程消元——最值点的身份本身就是钥匙. 2. 必要条件探路. 在 处”起步”(如 、区间端点恰在定义域边上)时,恒成立强迫 (或 ,视方向而定),必要时 也受迫——先探出参数的必要范围,再对必要范围逐段验证充分性,一压到底. 3. 充分性的收尾. 必要范围常是单边区间(如 );此时把 放缩成”每项符号已知”的和,或对 再求导锁号,证明 全程保持预定方向. 4. 恒成立结论是资产. 一旦证得 ()这类带取等条件的式子,就可以逐点代入、逐项求和——解答题的(3)问常常是(2)问的”提款机”. 例3（解答·★★★★☆） 已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围；（3）求证：当时，. 变式4（解答·★★★★☆） 已知函数．（1）若恒成立，求a的取值集合；（2）当时，证明：当时，恒成立． 变式5（解答·★★★★★） 函数．（1）若，求单调区间；（2）当时恒成立，求的取值范围；（3）设，，请比较与大小，并说明理由． 变式6（填空·★★★★☆） 已知函数（，，），若在上恒成立，则的最大值为______. 三、能成立:把”存在”翻译成确界 1. 能成立 = 换个方向取确界. “ 有解”对 取最大值,“ 有解”取最小值——与恒成立一上一下.最值取不到(端点、极限)时,把等号改严格:“有解”必须越过界限. 2. 双层量词分两步. “存在 ,使对一切 成立”是套娃量词:先固定 把内层”对一切 “做完,得到关于 的条件(常是 落在某个区间),再问”存在 “——区间非空即答案. 3. 几何翻译. “存在”也常说成”曲线有公共点”“切线能放进某区域”:画出不动的那条曲线,让含参对象去够它,临界位置往往在相切处. 4. 绝对值与分段. 含 的存在性问题按 与 的大小拆段,每段的最大值各管一段;对参数 求整体最省的取法,再回头读出另一参数的范围. 例4（单选·★★☆☆☆） 设函数，若存在实数使得恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 变式7（填空·★★★☆☆） 若存在实数，对任意的都有恒成立，则实数n的取值范围是______. 变式8（填空·★★★☆☆） 已知函数，若曲线在点处的切线与函数的图象无公共点，则实数的取值范围为______． 四、双参数:隔离、同号与直线族 1. 逐个隔离. 两参数各出现一处时,把条件拆成”“型:左右各对一个确界,”存在 “等价于上确界压不住下确界——两个确界之间非空. 2. 同号结构. 对一切 成立,而两因子在定义域内各有零点时,两零点必须重合——否则两零点之间两因子一正一负,乘积为负.重合条件把两参数锁进一个方程,双参数瞬间变一元. 3. 几何翻译. 曲线恒成立,即直线族 整族压在曲线下方;二阶导为正的曲线在任一条切线上方,临界参数由相切给出. 4. 比值即截距. 见到 、,先想”过点 的直线 “——参数比是横截距,最值常在直线与曲线相切处产生. 例5（填空·★★★☆☆） 设函数，若存在实数，使得恒成立，则实数的取值范围是___________． 变式9（单选·★★★☆☆） 若对恒成立，则当取得最小值时， = （ ） A. B. 1 C. D. 2 变式10（单选·★★★☆☆） 函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式11（单选·★★★☆☆） 若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $