第7讲二次函数与分段函数讲义-2027届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦二次函数与分段函数核心考点，涵盖二次函数图象与最值、二次不等式恒成立、分段函数求值复合及单调含参等内容，按“基础知识点—解题方法—真题演练”逻辑架构，通过考点梳理（如二次函数三种表达式）、方法指导（如闭区间最值“看轴”口诀）、分层训练（例题与变式），帮助学生系统构建知识网络，突破难点。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新采用口诀化方法（如分段函数单调性“两段一缝”判断）和分层练习设计，例如二次函数恒成立问题转化为端点与顶点值联合讨论，培养学生逻辑推理与问题转化能力。设置不同难度例题变式，配合即时应用训练，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第7讲 二次函数与分段函数 二次函数的图象与最值·二次不等式与恒成立·分段函数综合 一、二次函数的图象与最值 1. 三种表达式. 一般式 ;顶点式 ;零点式 .求解析式时按已知条件选形式:给顶点用顶点式,给两根用零点式. 2. 闭区间最值的"看轴"口诀. ()在区间 上:轴 时最小值 ; 时最小值 ; 时最小值 .最大值在离轴远的端点取.动轴、动区间问题,按"轴与区间的相对位置"分三段讨论. 3. 区间含参先定序. 像 这类区间,参数同时在解析式和区间里:第一步由 定参数范围(区间非空),再做轴的位置讨论——这是最容易漏的一步. 【通法】闭区间最值:画草图定”轴与区间的相对位置”,分三段讨论,端点值必算. 【通法】动区间问题:先由区间端点大小关系定参数范围,再并入轴位置讨论. 【通法】定解析式:给顶点用顶点式,给零点用零点式,给三点用一般式. 例1（填空·★★★☆☆） 已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【切入点】区间 自己含参数:非空要求 ,即 ;再按对称轴 与区间的位置分类. 时开口向上,最小值看轴的位置: ①:轴 (在区间右侧),最小值 ,不合; ②:轴在区间内,最小值 ,不合; ③:轴 (在区间左侧),最小值 ✓. :区间为 , ✓. :区间空序,舍. 故 . 【易错】三层分类的界点 来自"轴与右端点重合":.分类标准不重不漏,每一种都要真的代一个值验. 【答案】 例2（单选·★★★☆☆） 已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 全在负半轴,直接写出 (用 或奇函数代换),对这段二次函数求最大值. ,开口向下,对称轴 , 在 上的最大值须小于 : ①(即 ):最大值 ;令其小于零,得 ,而 ,恒成立 ✓; ②(即 ): 在 上递减,最大值 ,得 ; ③(即 ): 递增,最大值 ,得 . 综上 .故选 D. 【关键】奇函数条件在本题只用来"把负半轴的表达式写出来";主体是对开口向下的二次函数问"最大值何时小于零"——与最小值版恰好方向相反,顶点越过区间时看端点. 【答案】D 变式1（填空·★★★☆☆） 已知函数在处的切线方程为，则的最小值为_______. 【切入点】"在 处的切线"给两个方程: 等于切线在该点的函数值、 等于切线斜率. ;,. 解得 ,,即 . 最小值在顶点 处:. 【关键】二次函数在某点的切线斜率 = 该点导数值 ,这是导数与二次函数的第一次握手;第14讲还会系统展开. 【答案】 变式2（填空·★★★☆☆） 已知，，若函数在区间上至少有一个零点，则的最小值是______. 【切入点】" 在 上至少有一个零点"即存在 使 ,把 看成平面上的点:它在直线 上. 对固定的 , 是 平面上的一条直线,原点到它的距离 时 单调递增(分子增长快),最小在 : 等号当 取 对应直线的垂足时成立.故填 . 【关键】"存在一个零点"= 点 落在直线族中的某一条上;到原点距离的最小值 = 垂线段长.把代数条件翻译成"点与直线族"的距离,是根的分布与最值结合的标准桥梁. 【答案】 变式3（填空·★★★☆☆） 已知，对任意，关于的方程有实数解，则的最小值为______. 【切入点】"对任意 ,方程有实数解" ⟹ 判别式非负: 对一切 成立,即 恒成立. 令 ( 时为正, 时非正),只需 最大值在 :. 故 的最小值为 . 【关键】"方程有解"翻成"判别式非负",再分离出 (含 的式子),恒成立取右侧最大值; 的最值用一次求导即得. 【答案】 二、二次不等式与恒成立 1. "恒大于零"的基本量. 对一切 成立 ⟺ 且 ;""时 .若 ,图象开口向下,两端趋向 ,不可能恒正. 2. 限制区间上的恒成立. 只要求在 上恒成立时,判别式条件放宽为"区间内无正函数值",常转化为端点值与顶点值的联合讨论. 3. 平方去绝对值后的因式分解. 含 的恒成立,两边非负时可平方;展开后的四次式若能分解成两个二次因式的乘积,"恒非负"就变成"两个二次因式同号",各自"恒正"的条件取交集. 【通法】全轴恒正: 且 ;限制区间时改看端点与顶点. 【通法】含绝对值恒成立:平方化差,因式分解后按”因子恒正”取交集. 【通法】线性与二次的组合(如 最值):把一个参数用另一个表示,化成单元函数求最值. 例3（单选·★★★☆☆） 已知实数，若对任意的，恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 对一切 成立 ⟺ 判别式 ,即 . 且 要求 ,即 . 得 ,此时 (此时 ✓.)故选 B. 【关键】恒成立先给"参数之间"的不等式( 的上界),再把 化成单元函数求最值;取等时要回验另一个参数的正负约束. 【答案】B 变式4（填空·★★★☆☆） 已知不等式对任意都成立，则实数的取值范围是______ 【切入点】两边非负,平方化差: 展开后按"常数 "尝试分解. 两个二次因子都开口向上,"乘积恒非负"要求两个因子都恒非负: 恒成立 ⟺ ; 恒成立 ⟺ . 取交集:. 【关键】分解出 后,"乘积恒非负"被"两因子各自恒非负"替代——这一步依赖两因子开口都向上且各自判别式非正;临界值 与 分别是两个判别式的零点,端点都取得到(乘积为零也是非负). 【答案】 变式5（填空·★★★☆☆） 若a，，若对任意实数x，都有恒成立，则的最大值为_______. 【切入点】两边非负,平方化差并因式分解: 即 恒成立要求两个因子恒同号;都开口向上,各自恒非负: 恒成立 ⟺ ; 恒成立 ⟺ ,先要求 . 于是 ,且 令 ,则 , 最大值在 :. 此时 ,,验证 ✓. 故 的最大值为 . 【关键】两条恒正约束里,""来自第二因子的常数项 ;把目标 用 表示后,就是二次函数求最值——本讲的主角在最难点上再出场一次. 【答案】 三、分段函数:求值与复合 1. 分段求值口诀."从外往内、逐段落区":先算最内层,看它落在哪一段,用该段解析式算出值;结果再作为新的自变量重复,直到算完.每一步都要"先判范围,再代式子". 2. 段端点要单独核对. 分段函数在分界点可能无定义(两段都开)、可能有定义(某段含),求值和复合时先确认分界点的归属. 3. 特殊的分段函数. 狄利克雷函数 (有理)或 (无理):它处处有定义却处处不连续;与有理数组合的条件判断(如 )是它与逻辑条件命题的结合点. 【通法】复合求值:由内向外,每层先判范围再代式. 【通法】含参求值():每段各解一次,解完回段检验. 【通法】分段复合 的定义域问题:内层值域决定外层可用哪段. 例4（填空·★★☆☆☆） 已知函数若，则 = ________________. 【切入点】 落在 段:.于是 ,负值只能由对数段产生. ,故 . 段 可取负值:,且 ✓. 故 . 【易错】 为负,断定 落在对数段,别忘了检验 ;若两段都可能产生 ,要分类后再合并. 【答案】 变式6（填空·★★☆☆☆） 设函数，则 = ______. 【切入点】从内往外: 落在 段. ; . 故填 . 【关键】第一层算出的 已经越过界点 ,所以第二次求值换用对数段——"落区"判断每一次都要做. 【答案】 变式7（单选·★★☆☆☆） 已知函数，则 = （ ） A. B. C. 2 D. 4 【切入点】 落在 段:. ,故 落在 段: 故选 D. 【易错】 这个"落区"判断是全题唯一门槛;若误以为落 段会去算 (无意义).两段在 处都无定义也值得关注. 【答案】D 变式8（单选·★★☆☆☆） 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”．已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】 意味着 ,即 与 都是有理数. 充分性: 推不出 都有理(如 ,,和为 ),此时 ,不充分; 必要性:,必要. 故""是""的必要不充分条件.故选 B. 【关键】处理狄利克雷函数,先把函数值翻译回" 是否有理";不充分的反例只需一组无理数,其和为有理(利用"无理+有理=无理"的反面构造). 【答案】B 变式9（填空·★★☆☆☆） 已知函数则的值为__________. 【切入点】从内往外: 落在 段. ?注意 ,第二次求值落在 段: 故填 . 【易错】第一层算出的 是自变量的值,不是函数值;" 故换段"这一步别把 当成函数值再代一次. 【答案】 四、分段函数:单调·最值·含参 1. 分段函数单调性的"两段一缝". 各段分别单调(方向一致)之外,分界点处的左右函数值必须衔接: 在 上递增时,左段上确界 右段在分界点的值.这是含参分段单调题的核心方程. 2. 分段最值的获得. 各段值域求并集;有最小(大)值要求下(上)确界被取到——若两段在"谷口"都取不到,函数就没有最小值. 3. 分段函数的切线. 求切点在某段内的切线,先用该段解析式求值与导数;若解析式带""这类复合,先化归(如周期结构 )再求导. 【通法】分段含参单调:两段各自单调 + 分界点衔接不等式,联立定参. 【通法】分段最值:两段值域取并,确界是否取到决定”有”与”无”. 【通法】复合型分段( 等):先化归为基本段,再按复合规则求导、求值. 例5（单选·★★★☆☆） 若函数有两个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】右段 是一次函数,自身无极值;两极值点必是"二次段顶点 + 分界点 "的组合. 左段 开口向下,顶点 (是极大值点,在段内 ⟺ ). 处成为极小值点的条件:左侧递减、右侧递增: 左端斜率 ;右段斜率 . 综上 .故选 B. 【关键】"两个极值点"的来源要拆清:一个由二次顶点提供(需顶点在段内),另一个由分界点两侧斜率变号提供(需左侧减、右侧增); 时右段不再递增, 失去极小值身份. 【答案】B 例6（填空·★★★☆☆） 若函数有最小值，则实数的取值范围是______. 【切入点】右段 在 上递增,值域 ——下端 取不到;"有最小值"必须靠左段把最小值"接住". 左段 ():最小值 . 要存在最小值:左段的最小值必须不超过右段的一切值,即 此时全局最小值 在 取到 ✓; 若 :,而右段值域 取不到 ,下确界 达不到,无最小值. 故 . 【关键】"有最小值"三字暗藏"确界取得到":右段 的下确界 取不到,只能靠左段端点给出一个真正的最小值——分段最值题,开闭区间就是生死线. 【答案】 例7（单选·★★★☆☆） 已知函数的最小值为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】右段 :令 ,化为 (当 ,即 取等).右段最小值为 . 左段的最小值不能低于 . 左段 (): 时: 在 上从 增到 ,乘负数后从 减到 ,最小值 ; :左段恒为 ; : 时 ,无最小值,不合. 全局最小值为 :要等于 ,需 ;同时 已含在 内, 也满足. 故 .故选 C. 【关键】右段用"对勾函数"()秒出最小值 ;左段按 的符号讨论增减与有界性,"无下界"直接淘汰 . 【答案】C 例8（单选·★★★☆☆） 已知函数，设是三个不同的实数，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 由两支构成:左支() 递增,值域 ;右支() 递增,值域 . 处无定义.水平线 与图象的交点个数: 时仅右支一个(); 时左支 、右支 两个; 时左支 、右支 两个. 取 :方程 的两解为 与 .于是取 验证三件套: ,,两者相等; ; 而 ,,即 . 所以 ,同理 ,三个复合值相等 ✓, 互异 ✓. 此时 . 再说明这是唯一的构造: 需要水平线 有两交点,即 (或 ,但 的原象中有 无定义、 会使 落到无定义处,均不可用);取定 得 ;第三个 需 ,即 : 使 落回无定义组合、 时 ,均排除;唯一可用的是 ,. 故 的值为定值 ,最小值即它.故选 D. 【关键】分段嵌套等式 “ 同值”的构造套路:先解目标集 ,再挑两个原象当 ,让第三个 的函数值沿”函数值链” 绕回来.本题的链是 与 :谁能把两个不同位置送到同一个函数值,谁就能上场. 【答案】D 五、分段函数的进阶应用 1. 分段函数单调性的”两段一缝”. 各段分别单调(方向一致)之外,分界点处的左右函数值必须衔接:递增函数要求左段在分界点的左极限不超过右段在该点的值.这是含参分段单调题的核心方程. 2. 分段最值的获得. 全局值域是各段值域的并集;有最小(大)值还要求下(上)确界被某一段真正取到——若两段在”谷口”都取不到,函数就没有最小值. 3. 含参分段方程. 参数同时控制解析式与分界位置:先解目标方程,再按参数分档清点有效根;端点值是否取到(开闭)逐个核验. 【通法】分段含参单调:两段各自单调 + 分界点衔接不等式,联立定参. 【通法】分段最值:各段值域取并,确界是否取到决定有与无. 【通法】含参分段方程:目标集到回代清点,端点开闭逐个验. 变式10（单选·★★★☆☆） 已知函数,则的解集是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 按 的符号落段;分 与 两边各自解不等式. :,. 在 处相等(), 时成立、 时不成立,得 ; :,.: 时 相等, 时成立(如 :)、 时不成立(如 :),得 . 故解集为 .故选 A. 【关键】 与 这对函数在 两次相交——记住这条曲线关系,"比大小"就变成"数区间";两侧分别解,最后并集. 【答案】A 变式11（单选·★★☆☆☆） 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. (－∞，2) B. (2，＋∞) C. (－∞，－2) D. (－2，＋∞) 【切入点】两段解析式 与 恰互为相反(后者 = 前者在 的取值?),先验奇偶. ( 时 ):,奇函数; 且两段都递增(:;:),衔接 连续,故 在 上严格递增. .故选 A. 【关键】"奇函数 + 两段递增"一次锁定严格单调,抽象不等式直接脱壳;判断两段解析式互为相反是识别奇函数的最快路径. 【答案】A 变式12（单选·★★★☆☆） 已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】:方程拆成 与 两组,先弄清 的值域分布. :;:(当 取等),值域 . :左段 无解;右段 ,恰 个根 ; :落在 时,左段 给 根(),右段 ()给 根,合计 根; 要 个互不相同根: 根加 的 根,且互不重合: 时 ,与 处 ✓. 故选 B. 【关键】"二次因式 + 复合"型方程:先因式分解降为 与 ,再按 值域的"拼接结构"数根;重根 与参数根的重合检查不能省. 【答案】B 变式13（单选·★★★☆☆） 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 落在 段:,先落段求值,再用链式法则求导. ,故 ; 时 ,而 ,故 . 切线:,即 .故选 C. 【关键】"递推式分段函数"()求导,就是把自变量平移回去用基本段的导数;求值与求导都做"落段"动作,切线便水到渠成. 【答案】C 变式14（单选·★★★☆☆） 已知函数,则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【切入点】给出的是 的解析式,先换元 还原 自己: 时 ; 时 .即 不等式 化为 , 的符号同时决定 落在哪段: :,则 ,不等式即 ,整理得 ,恒成立,故一切负数都满足; :,则 ,不等式即 ,得 . 综上 .故选 A. 【关键】给 就是给了一个换元:令 先还原 ;还原后发现 ,不等式立刻化简——"先还原、再化简"优于直接硬代. 【答案】A 变式15（填空·★★★★☆） 已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是_________. 【切入点】由外向内:先解目标集 ,再对每个目标 解 ;所有候选根的”有效段”由 控制,按 分档清点. 第一步,解 : (右段): 得 ,有效 ⟺ ; (左段): 得 或 ;有效 ⟺ : 恒有效( 恒成立), 恒无效(). 故目标集为 (恒有),以及 (当 时有效). 第二步,对每个目标 解 : :左段 得 (约 与 ),有效 ⟺ ,即分别需要 与 ;右段 无解; :左段 得 (约 与 ),有效分别需要 与 ;右段 得 ,有效 ⟺ (舍,). 按 清点根数: :四个候选根全部被 挡住,根数 ,不合; : 有效,其余无效,恰 个 ✓; : 与 都有效,根数 ,不合; : 使目标 失效,只剩 ,恰 个 ✓( 需 ,舍). 故 . 【关键】含参分段嵌套方程 = “目标集 + 回代清点”:参数 同时是右段的边界和左段根的有效阈值,所以每根的成立条件都是”根小于 “型不等式;把四个候选根的阈值()从小到大排成一排, 落在不同格子里的根数一目了然. 【答案】 例9（单选·★★★☆☆） 已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】分段增函数三件事:右段 增、左段 增、分界点 处左值不超过右值。 右段:():,,故 ; 左段: 对 恒成立 ⟺ ; 衔接:. 取交集:.故选 C。 【易错】衔接不等式 中,,对数项自动消失——漏掉 而保留 ,就会把上界错成 。 【答案】C 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 二次函数与分段函数 二次函数的图象与最值·二次不等式与恒成立·分段函数综合 一、二次函数的图象与最值 1. 三种表达式. 一般式 ;顶点式 ;零点式 .求解析式时按已知条件选形式:给顶点用顶点式,给两根用零点式. 2. 闭区间最值的"看轴"口诀. ()在区间 上:轴 时最小值 ; 时最小值 ; 时最小值 .最大值在离轴远的端点取.动轴、动区间问题,按"轴与区间的相对位置"分三段讨论. 3. 区间含参先定序. 像 这类区间,参数同时在解析式和区间里:第一步由 定参数范围(区间非空),再做轴的位置讨论——这是最容易漏的一步. 例1（填空·★★★☆☆） 已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 例2（单选·★★★☆☆） 已知是定义在上的奇函数，且当时，，若在上恒成立，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式1（填空·★★★☆☆） 已知函数在处的切线方程为，则的最小值为_______. 变式2（填空·★★★☆☆） 已知，，若函数在区间上至少有一个零点，则的最小值是______. 变式3（填空·★★★☆☆） 已知，对任意，关于的方程有实数解，则的最小值为______. 二、二次不等式与恒成立 1. "恒大于零"的基本量. 对一切 成立 ⟺ 且 ;""时 .若 ,图象开口向下,两端趋向 ,不可能恒正. 2. 限制区间上的恒成立. 只要求在 上恒成立时,判别式条件放宽为"区间内无正函数值",常转化为端点值与顶点值的联合讨论. 3. 平方去绝对值后的因式分解. 含 的恒成立,两边非负时可平方;展开后的四次式若能分解成两个二次因式的乘积,"恒非负"就变成"两个二次因式同号",各自"恒正"的条件取交集. 例3（单选·★★★☆☆） 已知实数，若对任意的，恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 变式4（填空·★★★☆☆） 已知不等式对任意都成立，则实数的取值范围是______ 变式5（填空·★★★☆☆） 若a，，若对任意实数x，都有恒成立，则的最大值为_______. 三、分段函数:求值与复合 1. 分段求值口诀."从外往内、逐段落区":先算最内层,看它落在哪一段,用该段解析式算出值;结果再作为新的自变量重复,直到算完.每一步都要"先判范围,再代式子". 2. 段端点要单独核对. 分段函数在分界点可能无定义(两段都开)、可能有定义(某段含),求值和复合时先确认分界点的归属. 3. 特殊的分段函数. 狄利克雷函数 (有理)或 (无理):它处处有定义却处处不连续;与有理数组合的条件判断(如 )是它与逻辑条件命题的结合点. 例4（填空·★★☆☆☆） 已知函数若，则 = ________________. 变式6（填空·★★☆☆☆） 设函数，则 = ______. 变式7（单选·★★☆☆☆） 已知函数，则 = （ ） A. B. C. 2 D. 4 变式8（单选·★★☆☆☆） 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”．已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 变式9（填空·★★☆☆☆） 已知函数则的值为__________. 四、分段函数:单调·最值·含参 1. 分段函数单调性的"两段一缝". 各段分别单调(方向一致)之外,分界点处的左右函数值必须衔接: 在 上递增时,左段上确界 右段在分界点的值.这是含参分段单调题的核心方程. 2. 分段最值的获得. 各段值域求并集;有最小(大)值要求下(上)确界被取到——若两段在"谷口"都取不到,函数就没有最小值. 3. 分段函数的切线. 求切点在某段内的切线,先用该段解析式求值与导数;若解析式带""这类复合,先化归(如周期结构 )再求导. 例5（单选·★★★☆☆） 若函数有两个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例6（填空·★★★☆☆） 若函数有最小值，则实数的取值范围是______. 例7（单选·★★★☆☆） 已知函数的最小值为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 例8（单选·★★★☆☆） 已知函数，设是三个不同的实数，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 五、分段函数的进阶应用 1. 分段函数单调性的”两段一缝”. 各段分别单调(方向一致)之外,分界点处的左右函数值必须衔接:递增函数要求左段在分界点的左极限不超过右段在该点的值.这是含参分段单调题的核心方程. 2. 分段最值的获得. 全局值域是各段值域的并集;有最小(大)值还要求下(上)确界被某一段真正取到——若两段在”谷口”都取不到,函数就没有最小值. 3. 含参分段方程. 参数同时控制解析式与分界位置:先解目标方程,再按参数分档清点有效根;端点值是否取到(开闭)逐个核验. 变式10（单选·★★★☆☆） 已知函数,则的解集是（ ） A. B. C. D. 变式11（单选·★★☆☆☆） 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. (－∞，2) B. (2，＋∞) C. (－∞，－2) D. (－2，＋∞) 变式12（单选·★★★☆☆） 已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式13（单选·★★★☆☆） 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 变式14（单选·★★★☆☆） 已知函数,则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 变式15（填空·★★★★☆） 已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是_________. 例9（单选·★★★☆☆） 已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $