第18讲 整数解问题与压轴综合 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦整数解问题、多选压轴题及综合应用三大高考核心模块，按“嵌入零点—多选策略—综合演练”逻辑递进，通过考点梳理（如整数哨点控制、多选四招）、方法指导（清点法、夹逼法）、真题训练（例题变式分层设计），帮助学生构建解题框架，突破难点。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新“整数哨点”“指数衰减算子”等解题策略，设计从基础例题到压轴变式的分层训练，如通过例1到变式3的整数解问题递进培养逻辑推理，助力学生高效掌握高考难点，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第18讲 整数解问题与压轴综合 嵌入零点的整数解·多选压轴·累加放缩与综合演练 一、嵌入零点的整数解 1. 整数解问题的本质. “不等式没有整数解”比”恒成立”宽松得多:只需在每个整数哨点处控制符号,不必管实数点。反过来,“恰有唯一整数解”就是值域窗口只罩住一个哨点. 2. 唯一整数解的清点法. 把 解成参数与哨点值 的比较,再对整数哨点从 起逐个报数。窗口的端点由相邻两个哨点值夹出. 3. 整数参数的最值. 先解实数临界值,再取整;取整方向由不等号方向决定,莫反. 4. 引擎. 与 (即 的两种变形)是本讲出场率最高的两条;取等点往往就是临界参数的藏身处. 【通法】整数哨点逐个清点:连续恒成立的宽松版,分类更细. 【通法】唯一整数解=窗口夹逼,哨点值 报数定参. 【通法】整数最值=实数临界值再取整. 例1（解答·★★★★☆） 已知函数，．（1）若，求曲线的斜率为1的切线方程；（2）若不等式没有整数解，求实数的取值范围． 【切入点】(1) :。斜率为 即 。记 : 仅在 为零,故 以 为唯一最大值,方程只有解 ,切点 ,切线 (2) 即 。无整数解等价于 对一切整数 成立。 取 :。当 :两因子 、,积非正;当 :、,积非正。故 时 对一切实数成立,整数解自然没有; 时 更小,也没有。 反之 :,整数 就是解。 综上 【关键】“没有整数解”的必要条件试探只花一行(代 得 ),充分性靠 时 的因式分解——两因子在 两侧同号变号,积永远不出正。临界参数藏在因式分解的取等点里. 【答案】(1) ; (2) 例2（多选·★★★☆☆） 设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【切入点】。逐哨点清点 的整数: :,永不; :,对本题选项不可能; :,除法翻号,。 (当 ),故 在 递增,哨点值 于是 的整数哨点集合为 : 时, 与 都入选,至少两个; 时,只有 入选( 需 ),恰唯一; 时,一个都没有。 故存在唯一整数 等价于 。选项中: 出局, 出局, 与 入选。选 BC。 【易错】 段除以负数 要翻号, 对应 而非 ;翻错号,窗口就夹反了. 【答案】BC 变式1（解答·★★★★★） 已知函数．（1）求的单调区间；（2）证明：时，；（3）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求整数的最大值． 【切入点】(1) :增 减 。 (2) 要证 时 。记 ,: 令 :分子为 。故 递增,,得证。 1. 对一切 成立,等价于 。 下界:,故 。若 : · 违反。故 。 上界: 时 (用 ),成立。 故整数 的最大值为 【关键】(2) 的分子配方 与(3) 的 双侧引理是同一件兵器库里相邻的两件;(3) 证明 “ 够用、 超标”,两侧各用引理的一端——整数最值的标准打法. 【答案】(1) 见解析; (2) 见解析; (3) 变式2（解答·★★★★★） 已知函数（），.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，对任意，都有；（3）若方程没有实根，求整数的最小值. 【切入点】(1) : 时递增; 时增 减 。 (2) :,除以 即 。由 得 ,得证。 1. 有解等价于 落在 的值域内。而 · 故 时方程无实根。又 时:,,由连续性存在 使 ,即 时有实根。故整数 的最小值为 【关键】(3) 的两句话分工明确:上界 一锤定音” 无根”;连续函数介值定理补一刀” 有根”。中间的整数哨点 就是最小值——先封顶,再探底. 【答案】(1) 见解析; (2) 见解析; (3) 变式3（解答·★★★★★） 已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程．（2）证明：在上单调递减．（3）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值． 【切入点】(1) ,,,切线 。 (2) 记 :, 在 增、 减,最大值 ,故 恒成立, 递减,得证。 1. 对一切 ,即 恒成立。而 时 ; 时 。故 对一切 成立, 全部合格;又 时 处 不满足严格小于。故整数 的最小值为 【关键】(3) 根本不用求 的精确上确界:分两段粗放缩就锁死”上确界小于 1”,整数哨点 直接合格——整数问题的放缩只求够用,不求精确. 【答案】(1) ; (2) 见解析; (3) 二、多选压轴:一题四招 1. 逐项独立. 多选的四个选项各设一关:构造辅助函数、对称与周期、零点普查、反例排除。一项判错不牵连其余,逐个击破. 2. 指数衰减算子. 时,:乘 把”导数与函数的比较”变成一个函数的单调性——与 乘 、 除以 同族. 3. 多项式根的三大法宝. 型:对称轴 ;极值点个数由 的 个根 alternating 决定;根处导数值等于其余根之积 . 4. 反例排除. “存在/可能”型选项,一个具体反例即可判假;构造反例优先从低次多项式、常数函数试起. 【通法】逐项独立判断,互不牵连. 【通法】 与 比较:乘 或 化全导数. 【通法】根处导数值=其余根之积. 例3（多选·★★★★☆） 记函数的导函数为，已知，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若为偶函数，则 D. 可能为二次函数 【切入点】由 得 , 在 上递减,且 。 A: 给 ,即 ,真; B: 给 ,即 ,假; C: 偶 奇:。对 用 :,即 ,真; D: 取 型: 即 恒成立。取 ,,():需 ,判别式 ,成立,真。 综上,正确的是 ACD。 【关键】A、B 两项是 单调性的两次”读表”;D 的反例构造要同时喂饱两个约束( 与判别式为负), 是配平点. 【答案】ACD 变式4（多选·★★★★☆） 已知函数是的导数，下列结论正确的是（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 的极大值点和极小值点个数相同 C. D. 方程有根 【切入点】。 A: ,令 得 (负号个数为偶),关于直线 对称,真; B: 有 个根,极大、极小值点交替出现, 为奇数,两类个数必为一奇一偶( 与 ),不相同,假; C: ,真; D: 记 : 与 同号。 的 个根处 全为零,相邻两根之间用罗尔定理, 至少有 个零点,即 有根,真。 综上,正确的是 ACD。 【关键】B 的”奇偶清点”: 个单根的 次多项式有 个极值点,极大与极小交替,个数是否相同只看 的奇偶;D 是罗尔定理的标准舞台——零点多,导数零点更多. 【答案】ACD 变式5（多选·★★★★☆） 定义在上的函数满足，当时， ，则（ ） A. 共有5个零点 B. 共有4个极值点 C. D. 当时，方程有且仅有4个实数根 【切入点】先攻 段 : ,极值点 。关键数值: 故 段: 从 升到 (在 处相切于零),再降到 ,再升到 :零点恰两个( 与某个 )。 A: 由奇函数,零点 共 个,真; B: 极值点 与对称的 ,共 个( 处 ,不是极值点),真; C: ,选项给反了,假; D: 对 :右支() 仅在 上从 升到 ,与 恰 解;左支(,奇对称),而 恰落在右支”极小值到 “的值域窗口内,与 、、 三段各恰 解,共 解。合计 个实数根,真。 综上,正确的是 ABD。 【关键】全题的枢纽是 :极大值恰好落在 轴上,相切零点比穿越零点少算一半;极值值 的符号(,即 )决定了窗口开口. 【答案】ABD 变式6（多选·★★★★☆） 分别用，表示，中的最小者和最大者，记为，.若，，则（ ） A. B. 函数有2个零点 C. 函数的图象关于轴对称 D. 关于的方程的所有解的乘积为 【切入点】,; 时 , 时 。 A: ,,和为 ,真; B: 时 , 无零点; 时 ,,唯一零点 。共 个,假; C: ,偶函数,真; D: 或 的所有解: 上 一解 ; 上 两解(积为 ); 上 一解 。,乘 的积 ,总积为 ,真。 综上,正确的是 ACD。 【关键】C 的观察是免费的:min 与 max 之积恒等于 ;D 的解分三段清点,两段根的乘积用韦达白拿,最后拼成 . 【答案】ACD 变式7（多选·★★★★☆） 若函数的图象连续不断，且存在常数，使得对于任意实数恒成立，则称为“学步”函数．下列命题正确的是（ ） A. 是“学步”函数 B. （为非零常数）为“学步”函数的充要条件是 C. 若是的“学步”函数，且时，，则时， D. 若是的“学步”函数，则在上至少有1012个零点 【切入点】A: : 对一切 需 且 ,矛盾,假; B: :,充要,真; C: :。对 :连乘三次 ,而 ,代入 得 ,真; D: :,故 与 异号(或其一为零)。对每个窗 ( 到 ),由连续性与介值定理窗内必有零点,且各窗零点互不相同,至少 个,真。 综上,正确的是 BCD。 【关键】C 是”沿定义反复传送”:每平移半个周期,函数值乘 ;D 的零点计数不找具体根,只靠 的符号翻转加介值定理——递推压符号,窗口数零点. 【答案】BCD 三、综合演练:取整、累加与新定义 1. 取整与覆盖. 问题的数数法:对每个上界 ,数 ;两个集合合起来恰好覆盖,等价于两个计数之和恒等于 。无理数保证不踩端点. 2. 累加放缩. 单点不等式对 到 的整数逐个成立再求和:如 累加得 。等比和与 的桥梁就在这一加. 3. 随 变动的零点. 参数依赖 时,先对每个 把 夹逼进一个小区间(代点算 的符号),再对 求和——逐项夹逼,汇总落地. 4. 新定义函数族. “ 阶负函数”“ 阶不减函数”这类定义,先逐字翻译成不等式组(、),再按常规单调性解;“判断是否一定”的题要用构造反例或举两例. 【通法】取整覆盖:数计数,不数元素;无理数防端点. 【通法】累加是放缩的收官动作:找准单点不等式再求和. 【通法】夹逼 :代点算符号. 例4（解答·★★★★★） 已知函数，其中.（1）当时，求函数的单调区间；（2）记函数的极小值点为，若满足，设集合，，其中表示不大于的最大整数.（i）求和的表达式，并判断1，2，3，4，5，6与集合的关系（参考数据：）；（ii）定义：若集合满足：，且，则称集合是正整数集的一个“互补覆盖”，求证：集合是正整数集的一个“互补覆盖”. 【切入点】(1) :,减 增 。 (2)(i) 给极小值点 ,从而 。取整:,故 ;,故 。 1. 记 ,,满足 。 不交:若 ,则 · 相加并注意 :整数 被夹在 与 之间,矛盾。 覆盖:对任意 ,数 中不超过 的个数:,共 个( 是无理数,上取整减一恰为下取整);同理 中有 个。记 (无理数),则 · (因 也是无理数,其下取整为 ;又 )。故两集合在 内合计恰 个数,又互不交,恰好覆盖 至 的全部整数。由 任意, 且 ,是”互补覆盖”。 【关键】(ii) 的两条腿:夹逼证不交(整数被夹在相邻整数之间)、计数证覆盖(两段计数之和用 与 的上下取整配平)。全程只用了 这一条代数恒等式,高中完全可以白手起家. 【答案】(1) 见解析; (2)(i) , (ii) 见解析 例5（解答·★★★★★） 已知，其中．（1）求证：当时，；（2）讨论取不同值的时候，函数的零点个数；（3）证明：，其中． 【切入点】(1) 记 (),: 分子 :,(当 ),故 ,,,得证。 1. ,而 先减后增( 的零点 ),,且 :故 恰两根 与 , 增、减、增。 :, 递增,唯一零点 ; :( 主导),升到 (由 在 递减且 反推),再降到 ,再升到 :恰两个零点。 1. 由本讲第一节变式(淄博)已证的引理 ,取 : · 再比大小:(两边六次方:,即 ),故 · 对 到 累加: · 得证。 【关键】(1) 的分子 是”增于零”的标准件: 加 ;(3) 的两次比较各用一条现成不等式, 与根号六次方比大小——先单项比较,再逐项累加,尾项相消只留 . 【答案】(1) 见解析; (2) 一个零点, 两个零点; (3) 见解析 变式8（解答·★★★★★） 已知函数．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若恒成立，求a的取值范围；（3）证明：． 【切入点】(1) :,,,切线 。 (2) 对一切 。 时:,而 (令 : 与 两步接力),故 (取等 )。 时:固定 ,, 关于 在 处取最大,最小值只能落在区间端点: 时 ; 时 (上一段)。故恒有 。 时:代 ,,而 在 处为零、对 的导数 ,故 时 ,不成立。 综上 。 1. 由(2), 时对一切 有 · 对 到 逐个使用并累加: · 左边是等比和 ,故 · 得证。 【关键】(3) 是”参数化不等式 → 逐点代入 → 累加”的三板斧:第(2)问辛苦挣来的 在 到 处批量兑现,等比和恰好接住左边。压轴综合的最后一问,常常是前面结论的批发部. 【易错】累加对象是 到 的 个整数点,左边等比和首项 、公比 ,别写错项数. 【答案】(1) ; (2) ; (3) 见解析 变式9（解答·★★★★★） 设是定义在的可导函数，且不恒为，记（）．若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶负函数”；若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶不减函数”（为函数的导函数）．（1）判断函数（）是否既是“阶负函数”又是“阶不减函数”，并说明理由；（2）若（）既是“阶负函数”，又是“阶不减函数”，求实数的取值范围；（3）对任给的“阶不减函数”，如果存在常数，使得恒成立，试判断是否为“阶负函数”？并说明理由． 【切入点】(1) (分子为 );。两者都成立,是。 (2) 。负: 对一切 ,而 的下确界为 (在 处逼近但取不到),故 ;不减: 对一切 ,同理 。综上 。 1. 不一定。两例说明两面上界都能达到: 其一,: 且 ,是”2 阶不减”又 恒成立,此时是”2 阶负函数”; 其二,构造 于 且 于 :当 时 ,当 时 , 处处成立,故是”2 阶不减函数”;取 , 恒成立,但当 时 不满足 ,故不是”2 阶负函数”。 两面都有例子,故不一定。 【关键】“是否一定”型问题的答法就是双例对比:一个满足、一个不满足,结论只能是”不一定”。反例的分段构造专挑” 触到零”的位置——不减允许取等,负不允许,边界就在这一字之差. 【答案】(1) 是; (2) ; (3) 不一定,见解析 变式10（解答·★★★★★） 已知函数（为自然对数的底数）（1）若，求函数在点处的切线方程；（2）若恰有一个正零点，求实数a的取值范围；（3）对于任意的正整数k，且时，设的正零点为，求证：对于任意的正整数n，都有. 【切入点】(1) :,,切线 。 (2) 恒为零点。,;。 时 , 先减后增( 的最小值在 处,值为 :该式在 处为零,对 的导数 ),故 在 上为负、其后为正, 先降后升, 且 ,恰一个正零点; 时 (当 ), 递增, 给 ,,无正零点。故 。 1. ,正零点 满足 ,即 · 上界:代 :,故左端大于 ,即 。 下界:代 (,此时 ):,故该点处函数值小于 ,; 时直接验 ,亦有 。 求和: 故对一切正整数 : 得证。 【关键】 的量级来自 展开式的三阶余项: 对 的比较直接给出 介于 与 之间。上界用 的四项下界(代点变正),下界用余项上界(代点变负)——代点方向与放缩方向相反,是这类”零点求和”题的固定舞步. 【易错】 是”隐藏的零点”,题目问的是正零点;(3) 中 严格,故第(2)问的结论对每个 都适用. 【答案】(1) ; (2) ; (3) 见解析 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 整数解问题与压轴综合 嵌入零点的整数解·多选压轴·累加放缩与综合演练 一、嵌入零点的整数解 1. 整数解问题的本质. “不等式没有整数解”比”恒成立”宽松得多:只需在每个整数哨点处控制符号,不必管实数点。反过来,“恰有唯一整数解”就是值域窗口只罩住一个哨点. 2. 唯一整数解的清点法. 把 解成参数与哨点值 的比较,再对整数哨点从 起逐个报数。窗口的端点由相邻两个哨点值夹出. 3. 整数参数的最值. 先解实数临界值,再取整;取整方向由不等号方向决定,莫反. 4. 引擎. 与 (即 的两种变形)是本讲出场率最高的两条;取等点往往就是临界参数的藏身处. 例1（解答·★★★★☆） 已知函数，．（1）若，求曲线的斜率为1的切线方程；（2）若不等式没有整数解，求实数的取值范围． 例2（多选·★★★☆☆） 设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. D. 变式1（解答·★★★★★） 已知函数．（1）求的单调区间；（2）证明：时，；（3）若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求整数的最大值． 变式2（解答·★★★★★） 已知函数（），.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，对任意，都有；（3）若方程没有实根，求整数的最小值. 变式3（解答·★★★★★） 已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程．（2）证明：在上单调递减．（3）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值． 二、多选压轴:一题四招 1. 逐项独立. 多选的四个选项各设一关:构造辅助函数、对称与周期、零点普查、反例排除。一项判错不牵连其余,逐个击破. 2. 指数衰减算子. 时,:乘 把”导数与函数的比较”变成一个函数的单调性——与 乘 、 除以 同族. 3. 多项式根的三大法宝. 型:对称轴 ;极值点个数由 的 个根 alternating 决定;根处导数值等于其余根之积 . 4. 反例排除. “存在/可能”型选项,一个具体反例即可判假;构造反例优先从低次多项式、常数函数试起. 例3（多选·★★★★☆） 记函数的导函数为，已知，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若为偶函数，则 D. 可能为二次函数 变式4（多选·★★★★☆） 已知函数是的导数，下列结论正确的是（ ） A. 的图象是轴对称图形 B. 的极大值点和极小值点个数相同 C. D. 方程有根 变式5（多选·★★★★☆） 定义在上的函数满足，当时， ，则（ ） A. 共有5个零点 B. 共有4个极值点 C. D. 当时，方程有且仅有4个实数根 变式6（多选·★★★★☆） 分别用，表示，中的最小者和最大者，记为，.若，，则（ ） A. B. 函数有2个零点 C. 函数的图象关于轴对称 D. 关于的方程的所有解的乘积为 变式7（多选·★★★★☆） 若函数的图象连续不断，且存在常数，使得对于任意实数恒成立，则称为“学步”函数．下列命题正确的是（ ） A. 是“学步”函数 B. （为非零常数）为“学步”函数的充要条件是 C. 若是的“学步”函数，且时，，则时， D. 若是的“学步”函数，则在上至少有1012个零点 三、综合演练:取整、累加与新定义 1. 取整与覆盖. 问题的数数法:对每个上界 ,数 ;两个集合合起来恰好覆盖,等价于两个计数之和恒等于 。无理数保证不踩端点. 2. 累加放缩. 单点不等式对 到 的整数逐个成立再求和:如 累加得 。等比和与 的桥梁就在这一加. 3. 随 变动的零点. 参数依赖 时,先对每个 把 夹逼进一个小区间(代点算 的符号),再对 求和——逐项夹逼,汇总落地. 4. 新定义函数族. “ 阶负函数”“ 阶不减函数”这类定义,先逐字翻译成不等式组(、),再按常规单调性解;“判断是否一定”的题要用构造反例或举两例. 例4（解答·★★★★★） 已知函数，其中.（1）当时，求函数的单调区间；（2）记函数的极小值点为，若满足，设集合，，其中表示不大于的最大整数.（i）求和的表达式，并判断1，2，3，4，5，6与集合的关系（参考数据：）；（ii）定义：若集合满足：，且，则称集合是正整数集的一个“互补覆盖”，求证：集合是正整数集的一个“互补覆盖”. 例5（解答·★★★★★） 已知，其中．（1）求证：当时，；（2）讨论取不同值的时候，函数的零点个数；（3）证明：，其中． 变式8（解答·★★★★★） 已知函数．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若恒成立，求a的取值范围；（3）证明：． 变式9（解答·★★★★★） 设是定义在的可导函数，且不恒为，记（）．若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶负函数”；若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶不减函数”（为函数的导函数）．（1）判断函数（）是否既是“阶负函数”又是“阶不减函数”，并说明理由；（2）若（）既是“阶负函数”，又是“阶不减函数”，求实数的取值范围；（3）对任给的“阶不减函数”，如果存在常数，使得恒成立，试判断是否为“阶负函数”？并说明理由． 变式10（解答·★★★★★） 已知函数（为自然对数的底数）（1）若，求函数在点处的切线方程；（2）若恰有一个正零点，求实数a的取值范围；（3）对于任意的正整数k，且时，设的正零点为，求证：对于任意的正整数n，都有. 学科网（北京）股份有限公司 $